点集拓扑学(1)

点集拓扑学~非同凡响畅想系列
注明：（拓扑学的语言表达准确性很重要），这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。

本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。

由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。

点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后研究的那些不变性和不变量，比如连通性，可数性，分离性等。

其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。

这些都和弹性变形下的拓扑不变性有关，这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸关系，相近点变相近点的连续概念。

拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。

第一节：关系与映射
集合概念的发展历程：
集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。

朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识和总结，在现实中得到了广泛的运用。

集合的定义：
① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。

② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来作为一个群体来研究，这个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体，或一个抽象的概念，或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不完全相同，也可能是没有包涵关系的子集，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。

全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。

集合一般用大写字母代表，其中元素用小写代表。

集合的表示方式:
1枚举法
一般在大括号里罗列出集合的元素，如下:
{}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a
2文字语言表述法
用文字语言来表达构成集合的要求：
某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。

3图示法
4数学关系描述法或者数学语言描述法
用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，或者用数学表达方式来抽象的替代构成集合的要求，为了便于数学分析与研究我们一般用这种数学表达方式来抽象的描述集合，如下： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者
对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论，比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。

又比如：
{}{}能是该集合的元素
同时说明一个集合不可了离模式表示方式就合理所以我们采用下面的分的元素都是矛盾，
元素与不是这个集合中很显然是这个集合中的呢？也就是说是不是这个集合的元素是一个集合，那么如果X A A x X x R R x R R x x x R ⊂∉∈==∉=,? 集合的关系符号：（=∈∋⊆⊇⊂⊃∪∩⊊⊋⊄⊅⊈⊉）
如果在集合A 中的某个元素a 属于它那么记为A a ∈否则A a ∉；如果集合B 中的元素包含在集合A 中我们记为A B ⊆或者B A ⊇，这时当A 中元素有多的异于B 中的元素时记为A B ⊂或者B A ⊃;当A 与B 中元素相同时我们称它们相等记为B A =
集合的运算：
运算符号：交⋂，并⋃，差-，补︒A ,余A ',
{}B A x x B A ∈∈=⋃x 或者，{}B x A x x B A ∈∈=⋂且
1幂等律：A A A A A A =⋃=⋂,
2交换律：A B B A A B B A ⋃=⋃⋂=⋂,
3分配律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃⋂⋃⋂=⋃⋂, 4结合律:()()()()C B A C B A C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃⋂⋂=⋂⋂,
5 De Morgan 律：()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A -⋂-=⋃--⋃-=⋂-,
6 ()()()()()()C A B A C B A C A B A C B A ⨯⋃⨯=⋃⨯⨯⋂⨯=⋂⨯,
7 ()()A A X X X A X A A X X =--⊆⋂=--则，若,
8 B B A B A A B A =⋃⇔⊆⇔=⋂
集合中的元素也可能是一个集合，这样的集合有两种，第一种虽然集合中的元素是集合但是该集合中的元素是把集合当做一个对象或者个体，与集合中其它对象（这里的对象是集合）没有包含关系，这样的集合本质上还是集合概念所定义的集合，也可以称为集族，比如集合，{}别
和一般集合没有本质区共同的全集元素没有合，且没有包含关系各一个元素而不是一个集它们都是作为集合中的时一群羊都是集合，而此，一群人，一群大象，群羊一群人，一群大象，一,第二种是集合中的元素都是集合，但是这些集合有一个全集，它们和全集有包含关系，我们把由全集的部分子集作为研究对象构成子集族。

这种子集族和集合是有区别的，我们把全集的所有子集放在一起称为幂集。

点集拓扑学主要研究的是第二种情况，下面给出指标集族的定义：
子集族：给定一个集合X ，X X i ⊆,把X 的所有子集抽象出来构成一个集合称为X 的
幂集()X P ，把幂集中有一部分子集或者全部拿出来构成一个集合，我们称为子集族。

数列{}{}+
∈=Z n n n x x ，数列可以看做定义域在整数集或者子集上的函数或者映射，其中元素可以有相同的，但是数列中的元素必须是有序的，也就是说遵循正整数由小到大的排列顺序规律，即映射中元素之间关系必须遵循整数的由小到大排列顺序。

而集合中的元素是无序的，互不相同的，这就是区别。

我们以这样的方式表示集族：
给定一个集合J ,对于任意不同的J j ∈，存在不同的集合j A ，我们把所有不同的j A 全体称为有标集族()J j j A ∈=A ，称J 为指标集，j 为有标集族中某个集合元素的指标，当任
意j A 都是某个集合X 的子集时，这时候的有标集族为有标子集族。

集族中元素是互不相同的，但是可能有序，这种有序有标集族称为集列，这时指标集为自然数N ,集列按自然数由小到大排列。

幂集：
集合中的关系：
对于集合X 与Y 的笛卡尔集Y X ⨯,存在它的一个子集Y X R ⨯⊆,子集R 中的元素()R y x ∈,,我们说y x ,是对于R 二元相关记作xRy ，当Y X =时R 称为X 上的二元关系。

集合X 上的一个关系R 如果是等价的那么必须满足三个条件：
1 自反的：()()xRx R x x X x R X 即∈∃∈∀
⊆∆,,, 2 对称的：R R op =，若xRy ，且yRx
3 传递的：R R R ⊆ ,若yRz xRy ,，则xRz
()()()()y x R x y y x id X R R
R X X op =⇒∈=∆=,,,即称为反对称的：上关系另外 恒同关系()(){}X x x x X ∈=∆,，模p （素数）等价关系：
(){
}np y x t s Z n Z Z y x p =-∈∃⨯∈=..,,mod ，同柸关系等都是等价关系。

(){}y x R y x y x <∈,,,小于关系不是等价的它是传递的，不是对称的和自反的。

R 是X 上的一个等价关系，存在X x ∈,集合[](){}R y x X y x ∈∈=,称为x 关于R 的等价类。

我们把[]{}X x x ∈叫作集合X 关于R 的商集，记作R X /。

定律：如果R 是非空集合X 上的等价关系，则
1 [][]≠∴∈∈∀x x x X x ，则,∅
2 [][]y x y x R y x =，则等价记关于~,
3 [][][][]y x y x X y x ≠=∈∀要么要么,,,
4 []x X X x ∈= 。

X 上的一个等价类[]x 是X 上的某类划分中的其中一个部分，X 的不同划分中X 中的元素x 有不同的等价类，且个划分的各部分之间没有交集，所有部分的并为全集X ，即[]x X X x ∈= 。

如下图是对集合X 的两种划分：
X X
其中A 是其中一种划分中的一个划分部分或者等价类或称等价类集，A 中任何元素都是以A 部分为等价的，A 中的元素相对于A 划分部分都是同柸的。

划分与同柸：一个划分是指那些满足等价关系的元素或对象的集合或者搜集，集合X 的一个等价关系决定了某个划分中的一部分，反过来集合的一个划部分对应着一个等价关系。

同柸指的是拓扑空间的图形满足拓扑不变性的映射关系的一类图形的搜集，同柸是一个集合，所有不同的同柸构成同柸集族，同柸族的并是全集X ，所以相当于X 的一个划分。

使拓扑空间中的图形满足拓扑不变性的关系对应的的映射称同柸映射，满足同柸映射的关系有多种，其中的恒同关系是等价关系，不同的图形可能有不同的同柸，所以一个同柸代表一个划分，但是一个划分并不代表一个同柸，因为一个划分中的元素并不一定是拓扑几何图形，所以同柸是划分的一种情形。

我们把在拓扑空间中满足图形的拓扑不变性的所有映射或者函数统称为同柸关系，满足同柸关系的映射为同柸映射，同柸关系的因变量与自变量是拓扑图形，图形在同柸关系的映射下互为同柸，所以同柸映射与同柸关系不是同一概念，同柸关系包涵所有同柸映射。

（拓扑学的语言表达准确性很重要）
映射：
映射是集合之间关系的一种术语，是在纯数学中讨论的一个基本数学概念，映射由三部分组成：定义域，值域，对应法则，在定义域X 中任意一个取值x 按照某种对应法则f 在值域Y 中都有唯一确定的值y 与之对应。

然而在点集拓扑学里我们这样来定义映射：给定两个集合Y X ,以及它们的一个关系R ,如果集合X 中任意一个元素x ，集合Y 中存在唯一的元素y ，使得y x ,对于R 相关，即xRy ，我们称R 是集合X 到集合Y 的对映法则，这时候我们称在对映法则R 下建立了集合X 到Y 的映射，映射的原像称为定义域，映射的像称为值域，映射的关系R 称为对应法则，一般记为f ，记Y X f →:。

两个映射22:2111,:Y X f Y X f →→相同,当且仅当212121,,f f Y Y X X ===
函数：y x f →:
像：()(){}A x x f A f X A ∈=⊆∀,
原像：()(){}B x f X x B f
Y B ∈∈=⊆∀-1,
几种映射：
单射：存在映射Y X f →:,如果集合X 中存在任意的不同的元素x ，按照对应关系f 在集合Y 中都有唯一的不同元素y 与之对映称之为单射。

这里的单射不一定是单调映射，如分段函数()⎪⎩
⎪⎨⎧=<<==1,010,0,1x x x x x f ，在定义域[]1,0内不连续不单调
满射：存在映射Y X f →:,如果集合X 中存在元素x ，按照对应关系f 在集合Y 中都
有唯一元素y 与之对映且Y 中没有多余的元素称为满射，像与原像基数的关系：()()B f A f 1-⊆。

一一映射（双射）：Y X f →:即是满射又是单射称为一一映射，一一映射不一定是单调，但是可逆映射。

可逆映射：可逆映射必须左可逆和右可逆，如果映射Y X f →:是单射那么左可逆，单射是左可逆映射；若果Y X f →:既是单射又是满射，那么右可逆同时左可逆，双射是可逆映射但不一定连续。

常值映射：a X f →:，无论x 取X 中何值，a 都不变。

恒同映射：()x x f X X f =→,:称为恒同映射，记为X i
映射的复合：为它们的复合函数则称Z X f g Z Y g Y X f →→→:,:,: ，
()()()()h g f h g f y f i f x i f W Z h Z Y g Y X f ===→→→;:,:,:，则若 ()()1
,,:,:,:,:,:,,:-==→→=⇒=→→=⇒=→→f f g Y i g f X f g X Y g Y X f f h g f h f g Z Y h g Y X f f h g h f g f X Z h g Y X f 的逆映射，记为为是唯一的，称且当且仅当存在映射若是双射为右可消。

，则称当且仅当，存在映射若是满射为左可消。

，则称当且仅当存在映射若是单射 限制IA f :
扩张：
内射：X A i XIA →:,()X A f ⊆,在X 内的映射，值域()A f 在目标域X 内。

投射i i X X P →:：存在集合N n i X i ∈→,作为坐标集，笛卡尔积
(){}n i X x x x x X i
n X X X X i i n i i n i n ≤∈===⨯⨯⨯∏∏≤≤,,,21121 到第i 个坐标集i X 的映射称为投射，记i i X X P →:笛卡尔积中任意一个元素()n x x x x 21,=通过投射有()i x x P =。

自然映射：对于集合X 给定一个等价关系R ,集合X 到商集R X /的映射R X X P /:→称为自然映射，即有()[]R x x P =。

f 诱导幂集映射F ：如果存在集合Y X ,上的映射Y X f →:,如果集合Y X ,上的幂集
()()Y P X P ,存在对映关系F ,映射F 下的像与原像分别为集合Y X ,的某个子集，定义域与值域分别为集合Y X ,的子集族,这里指的是幂集()()Y P X P ,，且满足：()(){}()(){}B x f X x A B F A x x f B A F ∈∈==∈==←,:我们称这样的映射F 为f 的诱导子集族映射，这里指幂集映射。

集合，Y X ,上的映射Y X f →:有下面性质：
1 子集()()2121A F A F A A ⊆⇒⊆
2 子集()()2121B F B F B B ←←⊆⇒⊆
3 任给,,Y B X A ⊆⊆()()B F
A B A F ←⊆⇒⊆, 4 任给()()B F F B A F F A Y B X A ←←⊇⊆⊆⊆ ,,,
5 任给的X 的子集族{}()()i i i i i i A F A F A Γ∈Γ∈Γ∈= ,
6 任给的Y 的子集族{}()()()()i i i i i i i i i i B F B F B F B F
B ←Γ∈Γ∈←←Γ∈Γ∈←Γ∈== ,, 7 任给的()()B F X B Y F Y B ←←-=-⊆,
证明：仅以3， 4为例
()()()()()()得证则3,,,B F A A f F A B A f B x f A x B A F ←←⊆⇔⊆⊆∈∈⇔⊆ 对于4因为()()A F A F ⊆由3我们知()()()A F F A F F A ←←=⊆
设X Y g Y X f →→:,:是映射，令()()←←→===f g H f
g H f g h ,,： 1 F G H =
2 ←←←=G F H
证明2：←←←G F H ,都是以()Z P 为定义域，()X P 为值域的映射，任给()Z P C ∈
()()()(){}
()(){}()(){}()(){}
(){}()
C G F C G F x X x C G F x X x C G x f X x C x f g X x C x f g X x C f g C H ←←←
←←←
←←
←=∈∈=∈∈=∈∈=∈∈=∈∈==
类似的可以证明1.
反过来，任何以()X P 为值域的映射f 的像集都可以看做X 的一个子集族。

任给()X P 的一个子集族A ，通过含如映射 ()X P A i →:可以把A 看作一个以他自身为指标集的X 的子集族。

特别的空子集族∅()X P ∈（作为指标集族）在含如映射下对应的子集族是关于X 的空族，若()X P A B ⊆⊆,则B 就是A 的一个子族
任给()X P A ⊆作为集族A 中所有元素（X 的子集）的并可描述为{}A x A x ∈A ∈∃=A , 特别的 ∅=∅，若非空()X P ⊆A ，它中元素的交描述为{}A X A x ∈A ∈=A ,
()()()()()2121,,2
;,,,1
,:y y R y x R y x R y x Y y X x R f graph R graph R Y X f Y X Y X R =∈∈∈∈∈→⨯⊆则且若存在任给的满足：
当且仅当等于诱导的图像函数使得关系的关系，存在映射到是命题：设 基数：
对等：给定两个集合B A ,，如果B A ,之间存在一个一一对应，我们称B A ,的基数()cardinal 对等或等势，记为cardB cardA =。

定理：在拓扑空间中如果一个集合包含在一个图形里，然后经过弹性变形，即在同柸映射下，得到另一个同柸图形，那么这个集合的可数性不变。

我们所说的两个集合基数对等指的是拓扑空间的弹性变形的可数性不变，即基数不变。

基数可以理解为个数，两个集合的基数相同我们就说他们等势或对等。

比如说N n n y ∈=,2
，则该函数的值域为偶数，
所以偶数与自然数等势，也就是说能找到偶数集到自然数集的双射，但不一定所有偶数集到自然数集都是满射，比如这两个集合建立的恒同映射。

偶数与自然数等势可以理解为实数集经过弹性变形后自然数对应的点与原来的偶数对应的点重合。

注明：基数对等或等势我们指的是集合中元素的个数等势，不是指的两集合元素相同，它们之间可能存在包含于被包含关系，比如素数集就是整数集的真子集。

在有限集里两个集合等势那么这两个集合元素的个数相同，在无限集里两个集合等势指的是同柸中的可数性不变。

性质：
1 任意无限可数集相互等势，同一拓扑空间，可数集的幂集与不可数集等势；任何不可数集相互等势，但不可数集与其幂集不等势。

2 一条直线与直线上的任意非空开区间等势，与任意无洞开平面邻域等势，与三维空间任意单连通开邻域等势，比如单联通开球，与高维空间任意单连通开邻域等势。

这些可以通过直线的伸缩蛇形弯曲来达到和空间的非空的单连通的开区间等势，也就是说空集中的所有点可以通过直线的同柸变形来等势。

如下图：
−−
−−→−当弯曲密集时 −−−−−−−−−→−和平面等势
可以无限密集下去直到
3 一个同柸里的任何元素（图形或集合或对象）等势
4 我们认为任何集合的幂集要比该集合的基数大，
5一般一个集合的幂集与另外一个集合的基数不做比较，
6 不同的无限集合的幂集基数比较，不可数集合的幂集的基数大于可数集的幂集的基数，任何可数集的幂集基数相同，任何不可数集合的幂集的基数相同。

如果cardB cardA <是指A 与B 的某个真子集对等。

当B A ,中元素的个数为有限个时称为有限集，当B A ,中元素的个数为无限个时称为无限集，在无限集中，如果B A ⊂，那么cardB cardA ≤，比如A 与B 同时为有理数集，或者同时为实数集那么cardB cardA =，如果A 为有理数集，B 为实数集，那么cardB cardA <。

如果cardB cardA ≤等价于A 的基数与B 的某个子集的基数对等。

两个基数相同的可数集或者无限集它们元素的个数是否一样多呢？很显然是有区别的，比如素数集是自然数的子集，自然数中有异于素数集的点，又比如实数集的某个非空开区间是实数集的子集，实数集中有异于该开区间的点，所以我们所说的基数的概念不能说成是某集合中元素的个数，基数等势指的集合之间存在同柸关系，之所以会这样是因为它们都是无限的，元素个数都是数数不尽的的，所以两个这样的集合中总能找出对映的元素。

既然这样那么自然数集与实数集同是无穷多个元素，为什么基数不相同不等势呢？这是因为自然数集到实数集的某个真子集可以建立连续的双射，（离散空间我们可以作连续的处理）因此自然数集与实数集的某真子集等势，cardR cardN <,所以无限极的基数也是有分别的，不可数集的基数我们认为大于可数无限集。

如果一个集合A 的基数与自然数N 的基数对等我们称为可数集，即0N cardA =。

集合的分类：
()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎨⎧⎪⎪⎪⎪
⎩⎪⎪⎪
⎪⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩
⎪⎨⎧
=实数集上非空开区间不可数整数集自然数集可数无限集有限点集单点集空集可数有限集集合 R A 可数集的性质：
1 {} n a a a X X 21,=⇔应一个确定的自然数可数则其中元素个数对
2 若X 为无限集，那么X 有一个可数子集
3 集列{}∞
=1n n X 中每一个n X 可数n n X ∞
=⇒1 可数
4 Y X ,可数，则笛卡尔积Y X ⨯可数
5 如果X 可数，X A ⊆,那么A 要么有限，要么可数
6 Y X f →:是单射，那么Y 可数则X 可数
7 X 可数，Y X f →:，则()X f 可数 8
若
X
可数则：
(){}
有限
A X A X P fin ⊆=可数，也就是说
族可数的所有有限子集构成的可数集X
()()()。

中有限子集的个数无限限子集族中元素个数无限，则有可数。

另一方面，所以可数个可数集的并可数，性质的有限子集，那么根据所有的，这些集合的并包含了有限子集作为一个集合的限个，把所有含有不同的有限子集的个数是有中含有以为有限子集族矛盾，所的子集族的无限子集存在，这和有的有限子集中一定有含是无限多个那么有限，因为如果的有限子集的个数一定中含有可数，所以的证明：因为给出性质X P X X P X x x X X P X x X x X X fin fin i i fin i i 38
下面证明实数集不可数，并且他不与自然数N 的幂集等势（换就话说他们不是同柸关系，也就是说不能通过弹性变形得到）： 定理：任给集合X ，不存在满射()X P X f →:。

任给N 的子集A ,建立一个由1,0个构成的序列如下：
n a a a a 210,,满足⎩⎨⎧∉∈=A
n A
n a n ,0,1
显然N 的不同子集对映不同（0,1）的序列，反过来任意一个（0,1）序列确立了N 的一个子集{}
1=∈n a N n 或∅，例如空集对映常值序列： 00,0，
设映射()N P N f →:，任给N n ∈令 nn n n a a a 10,表示由()n f 对映的N 的子集确定的序列，把这些（0,1）序列排列起来我们得到一个无穷矩阵：
222120121110020100,,,,,,a a a a a a a a a 利用这个矩阵对角线定义一个（0,1）序列 n b b b b ,,,210 其中⎩⎨
⎧===0,11
,0nn
nn n a a b
这样序列确定的N 的子集{}{}(){}
n f n b N n a N n b N n n nn n ∉=∈==∈==∈,101 这就是cantor 对角线方法中属于N 的子集A ，他与任何一个子集()n f 都不相同，所以
()N P N f →:;不是满射，
对于单射Y X f →:,可知集合Y 中元素不比X 中少，这里只分析Y X ,都为无限集，如果两个集合都可数，那么必定存在X 到Y 的单射和Y 到X 的单射，其中一个必为满射，由下面的分析可知Y X ,等势，同理Y X ,同时为不可数集，那么Y X ,等势；如果X 为可数集，
Y 为不可数集，那么只有X 到Y 的单射，找不到Y 到X 的单射，那么cardY cardX <。

所以X 中元素的基数与Y 中的元素的基数：cardB cardA ≤，下面先给出拼接概念： 设集合Y X ,,{}
J i A i ∈是X 的一个覆盖，映射族{}
J i Y A f i i ∈→:称为相容的若对任意的
J j i ∈,,()()j i j j i i A A f A A f ⋂=⋂，特别的若{}J i A i ∈是X 的一个划分，则 任意的一族
映射{}
J i Y A f i i ∈→:相容，若{}
J i Y A f i i ∈→:是一族相容的映射，则它们的拼接映射：
Y X f f i J i →=∈: ，定义如下：()()i i A x x f x f ∈=若,。

定理：（Bernstein,Cantor,Schröder ）（注明：下面的证明方法个人认为存在问题，证明两个集合等不等势直接证明他们是不是一个同柸就可以了）若存在单射Y X f →:及X Y g →:,则Y X ,等势（基数相同），()()
x f y X x y A ≠∈=,任给B 中一点0y ，交替作用g 于f 我们得到一个序列：
() n g
n f g f g x y x y x y y L →→→→→11000:由于Y X f →:与X Y g →:是单射，在序列()0y L 中只要m n ≠就有m n m n y y x x ≠≠,，Y 中所有出现在序列()0y L 中元素构成一个集
合，记为0y G ，X 中所有出现在序列()0y L 中的元素构成的集合记为0y H ，利用g f ,是单射则{}B y G yo ∈0与{}
B y H yo ∈0分别是Y X ,中两两不相交的子集族，
令0000,y B y y B y G V H U ∈∈== ，任给的B y ∈0,对映n n y x →，是0y H 到0y G 的一个双射，
这些映射拼接起来其就给出了一个双射：V U h U →:,由于f 是单射，V U ,具有以下性质：
()U x V x f X x ∈⇔∈∈∀,,，这等价于()U X x V Y x f X x //,∈⇔∈∈∀，因为任给的
V Y y /∈存在()Y x f X x ∈∈,,我们有双射()V Y U X f //=,因此对映()x f x →定义了
一个双射V Y U X f //:→把双射U h ,f 拼接起来就得到X 到Y 的双射g ，因此Y X ,等势。

我们知到有限集的幂集基数等于n
2，可数集的基数我们记N
2，不可数集的基数记X
2 性质：实数集R 与自然数集的幂集等势。

证明：任给N A ⊆，存在(){}
J
j j
A N P ∈=与J
2等势（这个后面有证明），令
()⎩
⎨
⎧∉∈=A n A
n n x A ,0,1 A x 为A 的特征函数，我们定义一个映射()R N P f →:：()()()N P A n x A f A n n ∈=∑+∞
=-,30，
则f 是值域为实数的单射，另一方面对任意R x ∈令(){}
x r Q r x h <∈=，因为有理数是稠密的，所以不论x 取何实数，每个集合{}
x r Q x <∈都互不相同，所以()Q P R h →:是单射，又因()()N P Q P ,等势，于是存在单射()N P R g →:同时单射()R N P f →:存在的单射所以R 和()N P 等势。

可数集的列子：
1 自然数集，偶数集，整数集，素数集
2 有理数集
3 平面上的有理点集(){}
Q y x R R y x ∈⨯∈,,
4 R 上互不相交的开区间，包括空集
5 单点函数的不连续点
不可数集:
无限集中除了可数集事实上还有一种不可数集，自然数集基数无法与它对等，不可数集的基数要多于自然数的基数，我们称为不可数集。

比如实数集和开区间()1,0，记
()N card cardR ==1,0
Bernstein Cantor -定理
cardY cardX cardX cardY cardY cardX =≤≤则且,,
无最大基数定理：设X 是一个非空集合，则()X cardP cardX <而没有最大基数，，也就是说基数可以无穷大。

命题：（乘积的万有性质）设Y X ,是集，Y X ⨯是笛卡尔集，Y X P P ,是投射则：
我们来考虑一族集合{}
J
j j
X ∈的乘积，为此我们换一个角度来看两个实数空间的集合
21,X X 的笛卡尔乘积，21X X ⨯中的元素()21,x x 可以看做一个映射{}R n X X x n ∈⋃→,2,1:21，满足(){}2,1,∈∈i X i x i n 反过来任给映射{}R n X X x n ∈⋃→,2,1:21，满足(){}2,1,∈∈i X i x i n 值域{}i x x 21,是21X X ⨯中的一个元
素，容易看出建立了21X X ⨯到{}(){}{}
R n i X i x X X x i n n ∈∈∈⋃→,2,1,2,1:21的一一对应，
因为等势的集合基数相同，所以可以互换身份，我们可以定义21X X ⨯为：
21X X ⨯={}(){}{}R n i X i x X X x i n n ∈∈∈⋃→,2,1,2,1:21
由此任给一族集合{}
J
j j
X ∈，定义笛卡尔积为：
()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈∈→=∈∈∏R n J j X j x X J x X j
n j J j n J
j j ,,: 任给J i ∈映射
(){} n
j n j n
J j j n n J j j i i J j j i x x x x x x x i x x P X X P 2121,,,:⨯==⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛→∏∏∏∈∈∈ 的那个笛卡尔积表示对应映射为 J
j j n n
j X J x x x x ∈→⨯:21 称为第i 个坐标分量的投射。

任给笛卡尔积∏∈J j j X 中的一个元素n J j j x ⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛∏∈，R n x P x n J j j i i ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∏∈,，称为
n J j j x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∏∈的第i 个坐标分量。

∏∈J j j X 中的元素由它的由它
的坐标唯一确定，换句话说，要确定∏∈J j j X 中的任意元素n J j j x ⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛∏∈，只要确定它的对应坐标就可以了因此我们把∏∈J j j X 中的元素写作()J j j J
j n J j j x x ∈∈∈⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∏或简记为,.
若笛卡尔积
∏∈J
j j
X
中每一个j X 都是同一个X ，我们把
∏∈J
j j
X
简记为J
X ，称X 的J 次幂，
有定义J
X 是J 到X 的全体映射之集，即{}X J f X
J
→=:，特别的
n
X X X ⨯⨯记为n X 。

例题:
命题：（乘积的万有性质）设集族{}
J
j j X ∈的笛卡尔积
j J
j X ∏
∈，j j J j j X X P →∏∈:是投
射，则
()()
∏
∈∈J j j j J
j P X ,满足条件：任给集合Z 以及一族映射{}J j j j X z f ∈→:存在唯一
的映射j J
j X Z h ∏
∈→
:，使得任给的h P f J j j j =∈,，如下图关系：
证明映射j J
j X Z h ∏
∈→
:，()J j j f Z ∈→是满足条件的唯一映射。

上述结论中的唯一映射j J
j X Z h ∏
∈→
:称为映射族{}J j j j X Z f ∈→:的对角映射
（Diagonal,Map 记为j J j f ∈∆，特别的考虑恒等映射X X i X →Y 与它自身的对角映射
X X X i X X X X i i X X X ⨯→∆⨯→⨯∆:,: 由定义任给的X x ∈，()()x x x i i X X ,=∆ ，
这说明X 在X X i i ∆ 下的像恰好是X X ⨯的对角线，这就是对角映射这一名词的来历。

推论：设
j J
j X ∏
∈是一族集合{}J j j X ∈的笛卡尔积，j j J j j X X P →∏∈:是投射，则任给
集合Z 以及映射j J
j X Z g f ∏
∈→:,当且仅当对任意的g P f P J j j j =∈,。