计算机视觉第八次作业

第十一章 立体视觉

习题

证明：对于校正过的图像对，在第一个摄像机的归一化坐标系内，P 点深度可

以表示为B z d

=-，其中B 是基线，d 是视差。

图 11-1 一个校正图像对

证明：为了证明B z d =-，有必要根据图11-1对题目背景及符号进行说明。

符号说明：

1) ∏、'∏分别为物体平面(d ∏)对应的两个像平面；

2) O 、O '分别为第一、二个摄像机的光心，且基线长度为B OO '=； 3) p 、p '分别为物体平面d ∏中点P 在两个像平面中的投影点； 4) q 、q '分别为物体平面d ∏中点Q 在两个像平面中的投影点；

5) 0C 、0

C '分别为过光心O 、O '与基线垂直相交的点(垂足)； 6) H 为过Q 点与线段O O '垂直相交的点(垂足)；

7) u 、u '的方向分别表示第一、二个摄像机坐标系的横轴x 的正方向，且彼

此相互平行；

8) v 、v '的方向分别表示第一、二个摄像机坐标系的纵轴y 的正方向，且彼

此相互平行；

9) 向量0OC 、0

O C ''的方向分别表示第一、二个摄像机坐标系的z 轴正方向，且彼此相互平行；

显然，p 点和p '点位于同一条扫描线上，不妨设p 点和p '的在各自坐标系中的坐标分别为(),u v 和(),u v '，则它们的横坐标之差为视差d u u '=-。 在图11-1中，根据上述符号描述以及相似三角形性质，有 0~QHO OC q ∆∆ ⇒

00

OH qC QH

OC =

(1)

~QHO O C q ''''∆∆ ⇒ 00

O H q C QH

O C '''=

'' (2)

(1)式与(2)相加得

000

OO qC q C QH

OC O C '''=

+

'' (3)

又因为在第一个摄像机位于归一化坐标系中，即 00

1OC O C ''==； 基线B OO '=，QH z =-，0qC u =-，0q C u '''=，代入(3)式得 证毕。

证明当两个窗口的图像亮度可以用一个仿射变换I I λμ'=+相联系时，相关函

数达到最大值1，其中λ和μ为某个常数，0λ>。 证明：考虑两幅图像I 和I '，分别用向量()12,,

,T

p w w w w =和()

1

2,,,T

p w w w w ''''=表示。其中，w 、p w R '∈，()()2121p m n =+⨯+，m 和n 为正整数。则归一化相关函数可以表示为

显然，为使()max 1C d =，则当且仅当向量w w -与向量w w ''-之间的夹角为

零时，即()

,0w w w w λλ''-=->则 或

w w λμ'=+，,0w w μλλ'=->

所以当两个窗口的图像亮度可以用一个仿射变换I I λμ'=+相联系时，相关函数达到最大值1，其中λ和μ为某个常数，0λ>。

证毕。