怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长
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怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长
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怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长-中学数学论
文
怎样应用勾股定理在直角三角形中求线段的长
庄双成
(新沂市棋盘初级中学,江苏徐州221423)
摘要:应用勾股定理抽象出数学方程模型或者进行图形的转化是解决线段长度问题的一种行之有效的方法。在此,笔者就谈谈在这类问题上,怎样正确快速地应用勾股定理解决问题。在应用勾股定理解决问题过程中,一定要让学生经历解题的过程,树立“数形结合”的思想,正如《课标》所说:“它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。”笔者就上面的这类问
题的解题方法总结如下,请初中数学教学同仁和专家批评指正。
关键词:勾股定理;直角三角形;线段长
中图分类号:G633文献标识码:A文章编号:1005-6351(2013)-09-0063-01
一、直接把勾股定理变式计算线段的长
例1 :如图1所示,在△A中C / C=90 ,
(1) AC=4,BC=3,求AB 的长。
(2) AB=13,AC=12,求BC 的长。
分析:根据题意可知:AC2+BC2=AB2,直接带值进行计算就可以了。所以已知直角三角形两条边的具体的值,求第三边,直接把勾股定理变式计算线段的长。
崗?
二、结合勾股定理设未知数计算线段和长
例2 :如图3所示,在△A中C / C=90 ° ,
(1) AC+BC=7,AB=5,求AC、BC 的长。
(2) AB-AC=8 ,BC=12,求AB、AC 的长。
分析:以⑴为例,设AC=x,则BC=7-x。
又因为x2+(7-x)2=25 ,就可以找出线段的值。
所以已知一条边具体的值,同时已知另外两边的关系,求边长。就结合勾股定理设未知数计算线段的长。
也]84
变式训练:在图4中,小红用一张矩形纸片进行折纸。已知该纸片的宽AB为8 厘米,长BC为10厘米,
当小红折叠时,顶点D落在边BC上的点F处(折痕为AE)。想一想,此时CE有多长?
三、应用三角形面积的不同表示方法求线段的长
例3 :如图5所示,已知△AB,C / C=90 °A=3,BC=4,求AB边上的高为
CD。
分析:先根据AC2+BC2=AB2 ,求出AB的长,再根据三角形的面积1/2AC • BC=1/2AB • CD,就可
以计算出斜边上的CD。所以已知直角边的长,求斜边上的高,应用三角形面积的不同表示方法求线段的
长。
变式训练:如图6所示,已知在△ ABC, / C=90AC,=7 , BC=24,点P是厶ABC
4
多远
处?
股定理构建方程计算线段的长。
多少?
应用全等三角形的知识计算线段的长
0 分析:这个题目单独利用直角三角形 ADE 没有办法解决问题,恰好ADE 和厶BCE 四、两次应用勾股定理构建方程计算线段的长
例5 :如图9所示,已知:在厶AB 中 个土特品收购站E,使得C 、D 两村到E 站的距离相等,则E 站应建在离A 站 都是直角三角形,并且有相等的边 DE 和CE ,于是设AE=x ,BE=25-x ,根据 所以已知两个直角三角形有一条公共边或相等边, 求线段的长。可以两次应用勾 变式训练:如图8所示,在正方形ABCD 中,E 为BC 的中点,折叠正方形,使 C=90。,/ 1CD=2.5,BD=2.5
例4 :如图7所示,已知:铁路上A 、B 两点相距25km ,C 、D 为两村庄,AD 丄AB DE2=CE2得152+x2=102+(25-x)2. 即可找出线段的长。
内的一点,并且点P 到三角形三边的距离相等,求这个距离。
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于A , BC 丄A 盯B ,已知:AD=15km ,BC=10km 。现在要在铁路 AB 上修建 点A 与点E 重合,压平后折痕为MN ,贝U 梯形ADMN 与BCMN 的面积之比为
求AB的长。
分析:首先构造直角三角形,过点D向AB边做垂线DE,再结合条件得出
CD=DE,AC=AE,找出BE的长,最后禾用Rt △ AB(中解决问题。
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/X?
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所以已知一个直角三角形一些边和其他相等的角,计算线段的长,可以应用全等三角的知识计算线段的长。
以上举了很多例子,学生通过这些例子,能够很好地理解和运用勾股定理。当然, 老师在讲解和分析这些例子时,无论如何不能搞一言堂,而要让学生充分发挥他们的主体作用,让他们去讨论、探究、交流,通过他们自己的讨论、探究、交流, 培养他们的思维能力和创新能力,同时也践行《课标》提出的“教师要处理好讲授与学生自主学习的关系,引导学生独立思考、主动探索、合作交流,使学生理解和掌握基本的数学知识与技能,体会和运用数学思想与方法,获得基本的数学活动经验。”“在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”的理念。
学习和应用勾股定理,一定要紧密联系生活实际,可以适当搞一些“综合与实践”,要运用勾股定理给学生灌输“生活数学”的思想。《课标》指出:“‘综合与实践’内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题,培养学生的问题意识、应用意识和创新意识,积累学生的活动经验,提高学生解决现实问题的能力。”
同时,我们在学习勾股定理时,不但要学会利用它进行计算,更要学习和了解它
的历史,了解其中体现出来的“形数结合”的思想方法, 展和
这对我们今后的数学发科学创新都将具有十分重大的意义。