第二章随机过程基本概念

2随机过程的基本概念
§2.1 基本概念
随机过程是指一族随机变量.
对随机过程的统计分析称为随机过程论,它是随机数学中的一个重要分支，产生于本世纪的初期.
其研究对象是随机现象，而它特别研究的是随“时间”变化的“动态”的随机现象.
一随机过程的定义
1 定义设E为随机试验，S为其样本空间，如果（1）对于每个参数t∈T, X(e,t)为建立在S上的随机变量，
（2）对每一个e∈S, X(e,t)为t的函数，那么称随机变量族{X(e,t), t∈T, e∈S}为一个随机过程，简记为{X(e,t), t∈T}或X(t)。

()()()()(){}
{}
[]()为随机序列。

时，通常称，取可列集合当可以为无穷。

通常有三种形式：
参数一般表示时间或空间，或有时也简写为一个轨道。

随机过程的一个实现或过程的样本函数，或称随机的一般函数，通常称为为对于：上的二元单值函数。

为即若用映射来表示注意：
t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R
S T t e X t
21321,,,,3,2,1,0,1,2,3,,3,2,1,0T ,.4,.3,,2,:,.1=---==ÎÎ×δ®´L L L
为一个随机过程。

则令
掷一均匀硬币，例),()(cos )(},{1
t e X t X R
t T e t H e t t X T H S =Îîíì====p 2 随机过程举例
îíì=====为随机变量的函数
均为和解释：T e t H
e t t e X t t t T X t t H X 0
00cos ),(),(cos ),((p p 2
121
cos )
,(000p t t t e X p 并且：
例2：用X(t)表示电话交换台在(0，t)时间内接到的呼唤的次数,则
(1)对于固定的时刻t, X(t)为随机变量,其样本空间为
{0，1，2，…..},
且对于不同的t,是不同的随机变量.
(2)对于固定的样本点n, X(t)=n是一个t的函数.
(即：在多长时间内来n个人?)
所以{X(t),t>0}为一个随机过程.
相位正弦波。

为随机过程，称为随机则令例)()
2,0(~)
sin()(3t X U Y R t Y t a t X p w Î+=例4 考虑抛掷骰子的试验:
（i ）设X n 是第n 次抛掷的点数，对于n = 1, 2, …的不同值，X n 为不同的随机变量，因而{X n , n ≥1}构成一个随机过程，
（ii ）设是前n 次抛掷中出现的最大点数，
n Y }1,{³n Y n 为随机过程。

k n
k n X Y ££=1max
例5 1827年布朗（Brown）发现静水中的花粉在不停的运动，后来就把这种运动称为布朗运动。

在静水中花粉运动的原因是由于花粉受到水中分子的碰撞，这些相互独立的分子每分钟多达1021次对花粉随机碰撞的合力使花粉产生随机运动。

若用X(e,t)表示在t时刻花粉所处位置的横坐标，那么
{X(e,t) , t∈(0,+∞}
就是描述花粉运动的随机过程。

（布朗运动）
例6 群体生长随机模型
一个群体（如：自然生长的鸟的群体、一个宇宙射线粒子引起的裂变的原子全体、数量遗传学中：传染病的扩散数、癌细胞的扩散数等）的大小和组成是有起伏的（随时间而变），用X(t)表示时间t时群体的大小，则为一随机过程。

t
XÎ
t
{T
)(
}
例7 排队问题：
顾客来到服务站要求服务（如：某时间段内
用户对电话交换台的呼叫数、到银行要求服务的顾客数、用户对电器故障要求修理的户数等），当服务站中的服务员都在忙碌时，来到的顾客就要排队。

如：用X(t)表t时要求服务的用户数，
Y(t)表t时来到的顾客需等候的时间
Z(t)表t时的队长，等。

则X(t), Y(t), Z(t) 均为随机过程。

自然界还有许多随机现象，如
地震波幅，
结构物承受的风荷载，
§在时间间隔[0, t)内船舶甲板“上浪”的次数，§通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰，§生物群体的生灭问题
§数量遗传学
§竞争现象，
§传染病扩散，癌细胞扩散
§质点随机游动，排队问题等等
§都可用随机过程这一数学模型来描述。

例8
()()()
()()()()().
,)2,0(,1,13.,,)2,0(2.,,1,11.
,,sin 为常数而的均匀分布上服从上均匀分布的随机变量是若为常数上的均匀分布服从若为常数上均匀分布的随机变量是若画出其图形的任意两个样本函数并试写出随机过程
Q -Q Q -+¥¥-ÎQ +=p w w p w w A A A t t A t X
()()()()()的概率分布。

试利用特征函数求的概率分布。

试求数曲线。

试画出一典型的样本函相互独立。

且具有概率分布其中，考虑一维对称流动过程例n n k k k n
k k
n n Y Y Y X X X P X P X X Y Y 3,21,...,2
111,0Y ,
921110=-=====å=
{}{}{}{}2
1112
111,)2(,1,1(1):111111=====-==-==-=-===X P Y P X P Y P X Y n
Y X n Y X n k n k 所以
由于曲线则得到另一典型的样本若取所有的线则得到一典型的样本曲若取所有的解
{}{}{}{}{}{}{}
{}{}{}{}{}{}{}{}4
1111122
11111111104
111112,2121221212121221212212=-=-==-=-==-===-=+-====-=+-============+=X P X P X X P Y P X P X P X P X P X X P X X P Y P X P X P X X P Y P X X Y ，，，，所以
由于
()()()()()()()()()()()()()()(){}n k C k n Y P C e
e e C e e t t e E e E e
E e E t X X e e e e e E t n k
n
n n k
n
n k k n i k n it k
it n k k
n n n it it n itX itX X X it itY n it it it it itX n n n k ,...,3,2,1,0,212:
21)(2121:,,,2
12121)3(020
X X Y 1X n 111n k ==-===+=====+=+==åå=---=-++--征函数的求法有对照离散型随机变量特二项展开有所以由特征函数的性质相互独立由于j j j j L L L L
§2.2随机过程的分布与存在定理
一、随机过程的分布函数族
定义2.1设X (t)为随机过程，对任意固定的t ，及实数x ，称
为随机过程的一维分布函数,而称为此随机过程的一维分布函数族.
}
,),,({T t R x t x F ÎÎT
t x t X P t x F 룼D
))((),(1注意：随机过程的一维分布函数不是一个函数而是一族（无数个）函数，描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。

1 随机过程的一维分布函数族
(1) 若有的一维密度函数。

为称使可积
}:)({),(),(),(,0),(1111T t t X t x f dx
t x f t x F t x f x
Î=³ò¥-(2) 若有的一维概率分布。

为称满足}:)({}{1
,0})({T t t X p p
p p x t X P k k k k k
k Î=³==å
例1 考虑随机过程
=,
cos
)(w
T
XÎ
t
t
t
X
此处w为常数，X服从标准正态分布。

试求X (t)的一维概率密度。

解：在一个给定时刻t 0，随机变量
为X 的线性函数，而X 服从标准正态分布N (0, 1)，由概率论知X (t 0)服从正态分布
)
cos ,0(02t N w ()0 t cos cos 21exp 21 cos 1),(020001¹ïþ
ïýüïîïíì÷÷øöççèæ-×=w w p w t x t t x f 故其一维概率密度为
0 cos )(t X t X w =
例2 设随机过程为
te
Y X
t
=t
)0
)(>
(
,
其中X服从参数为l的指数分布，试求Y(t)的一维概率密度。

)0( 0
00 )(>îíì£>=-l l l x x e x f x )
())((),(1y te P y t Y P t y F X £=£=而对于固定的t > 0，Y (t )的一维分布函数
解：因为X ～Z(λ),即其概率为密度
ïîïíì£>£=ïîïíì£>£=000)ln (000)(y y t y X P y y t y e P X ïîïíì£>=òt y t y dx t y
0 e ln 0x -l l )
0,0(0),(11>>ïîïíì£>=\
+l l l l t t y t y y
t t y f
定义2设X(t)为随机过程，对于任意两个时刻t 1,t 2，及实数x 1,x 2，称
为随机过程的二维分布函数,而
称为此随机过程的二维分布函数族.
)
)(,)((),,,(221121212x t X x t X P t t x x F ££=}
,,,),,,,({21212121T t t R x x t t x x F ÎÎ2 随机过程的二维分布函数族
注意：随机过程的二维分布函数描述了随机过程在任意两个不同时刻的状态之间的联系。

定义3设X (t)为随机过程，对于任意n 个时刻，及实数，称T t t t n Î,,,21L R x x x n Î,,,21L ))(,,)(,)((),,,,,,,(22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £££=L L L }1,,,,),,,,,,,,({212121³În T t t t t t t x x x F n n n n L L L 3 n 维分布函数族
为X (t )的有限维分布函数族。

为随机过程的n 维分布函数。

称关于随机过程X (t )的所有有限维分布函数的集合
注意：随机过程的n 维分布函数描述了随机过程在任意n 不同时刻的状态之间的联系。

随机过程X (t)的有限维分布函数族的意义何在?
随机过程的n维分布函数（或概率密度）能够近似地描述随机过程的统计特性，而且，n 越大，则n维分布函数越趋完善地描述随机过程的统计特性。

1931年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫证明了关于有限维分布函数族的重要性的定理.
（1）对称性：对于(1, 2, …, n )的任一排列i 1,i 2,…,i n 有满足
} ,1 ),,,,,,,,({2121T t n t t t x x x F F i n n n γ=L L )
,,,,,,,(),,,,,,,(21212121n n i i i i i i n t t t x x x F t t t x x x F n n L L L L =)
)(,,)(,)((),,,,,,,(22112121n n n n n x t X x t X x t X P t t t x x x F £££=L L L 则F 必为某个随机过程的有限维分布族。

即存在X(t),使（2）相容性：对于任意自然数m < n ，函数簇中的m 维分布函数与n 维分布函数之间有关系：
定理2.1(存在定理)设分布函数簇
),,,,,,,,,,(),,,,,,,(21212121n m n m m m t t t x x x F t t t x x x F L L L L L +¥+¥=
例3 设为随机过程，其中A 和B 为随机变量,相互独立,均服从正态分布N (0, 1) b t a Bt A t X ££<+=0 ,)(试求X (t )的n 维分布函数。

解：因为A 和B 都服从标准正态分布，且相互独立，所以它们的线性组合也服从正态分布，且易知X(t 1),…,X (t n )的任意线性组合均服从一维正态分布，故n 元函数(X(t 1),…,X (t n ))服从n 维正态分布.
对于正态分布，只要知道它们的数学期望与协方差就可完全确定它们的分布，故此处只需求得X (t )的一阶矩和二阶矩即可。

(X(t 1),…,X (t n )) 的概率密度,即X (t )的有限维概率密度为}2
1exp{)2(1),,,,,,,(12122121x C x C t t t x x x f n
n n n -¢-=
p L L ),,,( )1(21¢
=+=´n n n j i x x x x t t C L 其中
二、随机过程的数字特征与特征函数
1 随机过程的数字特征
（1）若对于任意给定的t ，EX (t)的存在，则称它为随机过程的均值（t 的函数），记为
)
()(t EX t m X =又称为X(t)的均值函数。

（2）若对于任意给定的t ，EX 2(t)存在，则称它为随机过程的均方值函数，记为)
()(2
2
t EX t X =y （3）若对于任意给定的t, E(X(t)-m X (t))2存在，则称它为随机过程的方差函数，记为[]2
)()()(t m t X E t D X X -=
（4）若对于任意给定的t 1,t 2, E[X(t 1)X(t 2)]存在，则称它为随机过程的自相关函数,记为
)]
()([),(2121t X t X E t t R X =（5）若对于任意给定的t 1,t 2，存在
则称它为随机过程的自协方差函数，记为()()()()()()[]
2211t m t X t m t X E x x --均值函数，均方值函数与方差函数是刻画随机过程在某个孤立时刻状态的数字特征，而自相关函数与自协方差函数则是刻画随机过程自身在两个不同时刻状态之间的线性依从关系的数字特征。

))]
()())(()([(),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=
数字特征之间具有如下关系
),()]([)(22t t R t X E t X X ==y )()(),(),(212121t m t m t t R t t C X X X X -=)
(),(),()(2t m t t R t t C t D X X X X -==)
()(22
t m t X X -=y
例4试求随机相位余弦波
t
X w
)
a
cos(
=t
)(Q
+
的均值函数，方差函数和自相关函数。

其中，a, w为常数，Q是在(0, 2p)上均匀分布的随机变量。

)2,0(~p U Q )]
cos([)]([)(Q +==t a E t X E t m X w 故有其概率密度为
ïîïíì<<=其它
020 21)(p q p q f 解: 因为ò=+=p
q p
q w 2 0 0d 21) cos( t a )]
cos() cos([)]()([)(212121Q +Q +==t a t a E t X t X E t t R X w w )]
cos() [cos(212Q +Q +=t t E a w w q p
q w q w p
d t t a 21) cos() (cos 212 0 2++=ò
()ò-+++=p
q p
w q w w 2 0 2121221)](cos 2 [sin 21 d t t t t a )(cos 2122
t t a -=w §特别地，令t 1=t 2=t,即得方差函数为
2)(),()(2
2a t m t t R t D X X X =-=
例5设g (t )是以L 为周期的矩形波函数，如下图，X 为服从两点分布的随机变量，其分布律为
P(X= -1)=P(X=1)=1/2
g (t )
§t
L L 0)
(),,(),,(),(2121t D t t C t t R t m Y Y Y Y 其中g (t )的图形为令随机过程Y (t)=g(t)X, 试求
故有0
)1(1)1(1)(==´+-=´-=X P X P X E 12121)1(1)1()1()(2
22=+==´+-=´-=X P X P X E 0)()(])([)]([)(====X E t g X t g E t Y E t m Y ]
)()([)]()([),(212121X t g X t g E t Y t Y E t t R Y ´==)()()()()(212
21t g t g X E t g t g ==)
()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -=)
()(21t g t g =)()()(),()]([2
t g t g t g t t C t Y D Y ===解因为
2 随机过程的特征函数
的一维特征函数。

为称为随机变量，记
由于给定)(),()()(),()(,)()(t X u t u e
E u t t X T t X t X t iuX X j j j Ù==Îåò====
¥¥-k k iux X k k iux X p e
u t p x t X P t X dx t x f e u t t x f t X k ),())(()()2),(),(),()(111j j 则有分布列若（，则
有密度）若（
有时也需要利用常用的一些特征函数来求随机变量的分布函数，由特征函数与分布函数的一一对应性有：
k
k k k iux t X p x t X P p e
u k ==Û=å})({)()(j
例6：设独立，且服从),0(,)(2
21s N X t X X t X i +=求X(t)的一维特征函数。

2)1(2)(2)()()(22
222222121)()()()(t u ut u iutX iuX t X X iu t iuX t X e e e e e E e
E e
E u +---+=×=×===s s s j 解：由公式
随机过程的n 维特征函数：
)(),,;,,()]()()([112211n n t X u t X u t X u i n n X e E u u t t +++=L L L j 定义：称随机过程的一维、二维、…n 维等有限维特征函数全体
为X(t)的有限维特征函数簇。

}:)({T t t X Î}
1,:),,;,,({11³În T t u u t t i n n X L L j 随机过程与分布函数一样，能较全面地描述X(t)的统计特性。

§2.3 随机过程的基本类型对一般随机过程进行研究是十分困难的.
因为实际问题产生的随机过程总可以归结为一些特殊的随机过程，所以我们有必要对随机过程进行分类，以方便实际应用与研究需要。

基于出发点的不同，可产生许多不同的分类方法，本节仅介绍两类典型的分类方法:即按参数集与状态集分类方法,和按随机过程的概率结构来分类方法,并介绍一些常见的随机过程,
一、按参数集与状态集分类
随机过程
离散参数集，离散状态集随机过程离散参数
集，连续
状态集随
机过程
连续参数
集，离散
状态集随
机过程
连续参数
集，连续
状态集随
机过程
随机过程的参数集或参数空间T 可分为离散集与连续集，状态集或状态空间E 亦可分为离散集与连续集，这样，我们将随机过程分为以下四类：
我们通常称状态空间离散的随机过程为链，参数空间离散的随机过程为随机（时间）序列。

二、按随机过程的概率结构来分类
这种分类是按随机过程的概率特性来分类，实质上就是按随机过程的分布函数的特性分类。

设X (t)为随机过程，若其均方值函
数，对于任意的t 都存在，则称此X (t )为二阶矩过程。

1. 二阶矩过程
2()E X t
例3.1试问随机过程在下列两种情况下是否为二阶矩过程？
i ）
，为常数; ii ）X 具有概率密度。

} cos )({T t t X t X Î=w ),(~2s m N X w )1(1
)(22x x f +=p
+¥<+= cos )(2
22t w m s 解i ）] cos [)]([)(,2222t X E t X E t t X
w y =="所以,此X (t )为二阶矩过程。

t X E cos )(2
2w =ii ）¥
=+==Î"ò¥
+¥-dx x t x t X E T t X 222222)1( cos )]([,p w y 即其二阶矩不是有限的,所以此X (t )不是一个二阶矩过程。