人教版教材《平方差公式》ppt1
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人教版平方差公式 PPT
14.2 乘法公式
14.2.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式； 2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
3;y+5
=10000－4
=-4y+1
=9996
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
5.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8）（x16+y16)
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
图2
只有符合(a+b)
【例1】运用平方差公式计算：
(a－ b)的形式才能
用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
14.2.1 平方差公式
1.经历探索平方差公式的过程,会推导平方差公式； 2.理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式．
回忆：多项式与多项式相乘的法则 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘
另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn.
(2)原式
=(100+2)(100-2)
=(y2－22)-(y2+5y-y-5)
3;y+5
=10000－4
=-4y+1
=9996
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
5.(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)(x8+y8）（x16+y16)
【解析】原式=（x2y2 )( x2+y2)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16) =（x8-y8)(x8+y8)(x16+y16) =(x16-y16)(x16+y16) = x32-y32
图2
只有符合(a+b)
【例1】运用平方差公式计算：
(a－ b)的形式才能
用平方差公式
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
课件《平方差公式》精品PPT课件_人教版1
辨一辨:
下列各式能否用平方差公式进行计算？ 观 (a+察b下)(a列-b多) =项式，并进行.计算，你能发现什么规律？
观= y察2-下22列-(多y2项+4式y-，5)并进行计算，你能发现什么规律？
=观(2察a下)2-列b2多项式，并进行计算，你能发现什么规律？
⑴ (7ab3b)(7ab3b) =(y+120)0(2y-22)-=(1y0-10)(0y0+5–)4 = 9 996.
(2) (b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(即1)两(个3x数+2的) (和3x与-2这); 两(个2)数(的b+差2a的)(2积a,-等b)于; 这两(3个) (数-x+的2平y) 方(-x差-2.y). (解y+: 2(1)()y-120)-2(×y-918)(=y(+150)0+2)(100-2)
(能)
解(1):(1(3) x(3+x2+) 2(3)(x3-x2-)2; ) (2) (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y) (-x-2y).
(281)2 (81)2 (16 1)
(2161)2 (161)
2321
链接
2. 123452 1234612344 解：原式 123452 (12345 1)(12345 1)
下列各式能否用平方差公式进行计算？ 观 (a+察b下)(a列-b多) =项式，并进行.计算，你能发现什么规律？
观= y察2-下22列-(多y2项+4式y-，5)并进行计算，你能发现什么规律？
=观(2察a下)2-列b2多项式，并进行计算，你能发现什么规律？
⑴ (7ab3b)(7ab3b) =(y+120)0(2y-22)-=(1y0-10)(0y0+5–)4 = 9 996.
(2) (b+2a)(2a-b) =(2a+b)(2a-b) =(2a)2-b2 =4a2-b2
例2 计算: (1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解: (1) 102×98=(100+2)(100-2) = 1002-22=10 000 – 4 = 9 996.
(即1)两(个3x数+2的) (和3x与-2这); 两(个2)数(的b+差2a的)(2积a,-等b)于; 这两(3个) (数-x+的2平y) 方(-x差-2.y). (解y+: 2(1)()y-120)-2(×y-918)(=y(+150)0+2)(100-2)
(能)
解(1):(1(3) x(3+x2+) 2(3)(x3-x2-)2; ) (2) (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y) (-x-2y).
(281)2 (81)2 (16 1)
(2161)2 (161)
2321
链接
2. 123452 1234612344 解：原式 123452 (12345 1)(12345 1)
课件《平方差公式》精品ppt_人教版1
a
例（3x + 2）（3x –2）
从边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形（如图甲），然后将其裁成两个长方形，并拼成一个大长方形（如图乙），你能
用这两个图形的面积说明平方差公式吗？
例（3x + 2）（3x –2） （1）(x+1)(x-1)
a 利用平方差公式计算：
（3）(m+2)(m-2) 解：原式=m2-2m+2m-22
=x2-1
=(2x)2-12
（3）(m+2)(m-2) 解：原式=m2-2m+2m-22
=4x 2-1
=m2-22 =m2-4
观察下列多项式，你能发现什么规律？
（1）(x+1)(x-1) =x2-1 （2）(2x+1)(2x-1)=4x 2-1
（3）(m+2)(m-2) =m2-4
问题： 1、三个式子的左边多项式具有什么特征？ 2、计算结果有什么共同特征？ 3、能否用含字母a,b的式子表示具有以上 特征的多项式乘法
a-b a-b
b
a
b
a-b b
解析
快乐学习1：
判断下列算式能否运用平方差公式计算
= y2-4-y2+y-5y+5
（2）(2x+1)(2x-1)
（1）(x+1)(x-1)
观察下列多项式，你能发现什么规律？
（3）( a+b)(-b+a) =a2-b2
(1)(x+2)(x-2)= x2-2
(a+b)(a-b)=a2-b2 (2)(-3a-2)(3a-2)=9a2-4
2
2
大家谈收获
平方差公式中字母 a、b可代表一个数、一个单 项式或多项式。
人教版八年级数学上册《14.2.1 平方差公式》课件 (共18张PPT)
例1 利用平方差公式计算： （1）(7+6x)(7−6x)； （2）(3y ＋ x)(x−3y)； （3）(−m＋2n)(−m−2n)． 解：（1） (7+6x)(7−6x)= 72-（6x）2= 49－36x2
（2）(3y+x) (x−3y) = x2－3y2= x2－9y2
（3）(−m+2n)(−m−2n ) =(－m)2－(2n)2 =m2－4n2
=(1000 −4) ×(1000+4 ) =10002 −42 =1000 000−16 =999 984
判断下列式子能否用平方差公式计算：
(1) (a+2b)(a−2b) ； (不能) (第一个数不完全一样 ) (2) (a−2b)(2b−a) ； (不能) (3) (2a+b)(b+2a)； (不能) (4) (a−3b)(a+3b) ； (能) −(a2 −9b2)= −a2 + 9b2 ； (5) (2x+3y)(3y−2x)． (不能)
例4 改正错误 (1)(x+3)(x-3)=x2-3 错，x2-9 (2)(-3a-1)(3a-1)=9a2-1 错，1-9a2 (3)(4x+3y)(4x-3y)=4x2-3y2 错，16x2-9y2 (4)(2xy-3)(2xy+3)=4xy2-9 错，4x2y2-9
例5 用两种方法计算(3x5)(3x5)
（1）公式左边两个二项式必须是相同两 数的和与差相乘；且左边两括号内的第 一项相等、第二项符号相反（互为相反 数或式.
（2）公式右边是这两个数的平方差；即 右边是左边括号内的第一项的平方减去 第二项的平方．
（3）公式中的 a和b 可以是数，也可以是 代数式．
人教版教材《平方差公式》课件ppt1
多项式与多项式是如何相乘的？
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
多项式与多项式是如何相乘的？
(a+b)(m+n) =am+an +bm+bn
（x ＋ 3)( x＋５） =x2＋5x ＋3X ＋15 =x2 ＋8x ＋15
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘 另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
计算下列多项式的积：
(1) (x+1)(x-1) = X2-1 =x2 - 12
（ x4 y）4 (x4+y4) x8 y8
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
小结
平方差公式
相同为a
适当交换
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
B.(a-b)(b-a)
C.（100+8)(100-7)
D.(x+y-1)(x+y-1)
C
2.下列多项式相乘,不能用平方差公式计算的是( )
A.(x-2y)(2y+x)
B.(-x+2y)(-x-2y)
C.(-2y-x)(x+2y)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
D.(-2b-5)(2b-5)
人教版八年级上册数学课件：14.2.1 平方差 公式
例2 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
(2) (b+2a)(2a－b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
《平方差公式》课件PPT人教版1
想一想：这些计算结果有什么特点？
(2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) .
想一想：这些计算结果有什么特点？ =（100＋2）(100－2)
(a-b)
= - 4y + 1. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差
米
=10000 – 4
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12
b米
知识要点 平方差公式
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
想一想：这些计算结果有什么特点？
原式＝5×12－5×22＝－15.
(a+b)(a−b)= a −b 想一想：这些计算结果有什么特点？
例1 计算：(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；
22
两公数式和1.变与（形这a –:两b数) (差a的+ 积b) ,=等a2于- 这b2 两数的平方差. =方注((④解(③(通原(原(==两紧想＝＝不 (③紧猜例两(④a3332a231（2+))))+))法：（：（过式式数紧一44符（紧想1个（0公 公 公 右 公(5bb3xx10y总 这 5原 2合 ＝ ＝ 和 抓 想 合2抓 ： 数 5))22x0式式式边式0((计2yymm+－－mm00结里式理55与住：平 住(的4中中中是中＋－＋＋a＋＋算++××yy–)+：的＝变这这方 和(22nn的的的相的2““113：4bzz一 一 z－－))11）22x应两4形两些差 与)2))aaa同a))((－－((-x((同同44a155和和和4和(用数，数计公 这2122yy项−)yy)55－一一-220mmbbbb－－b××平可利差算式 (两(的0＋＋2可可可可)3－－反反y=22－zzx方以用的结运 个x2平xx22））以以以以+＋11””－222＝＝这这3差是平积果算 数))方是是是是)==)2(－－(一一4公两方有条的,443减等具具具具)ymm(x11特特式个差什件 差2去-于3体体体体55222－x..征征计单公么的 的)相－－这数数数数－x.，，算项式特乘 积2反两，，，，211)在在时式，点法 ，22项)数也也也也；应应，也可？， 等的的可可可可用用应可以按 于平平以以以以时时注以简乘 这方方是是是是，，意是化法 两；差单单单单只只以两运法 个.项项项项有有下个算则 数式式式式两两几多进 的.或或或或个个个项行 平多多多多二二问式运 方项项项项项项题等算 差式式式式式式：．.．．．．的的(1)积积左才才边有有是可可两能能个应应二用用项平平式方方相差差乘公公，式式并；；且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
平方差公式ppt课件
1. 计算 (+)(−) 的结果是(
A. −
B. −
)
A
C. −
D. −
2. 下列多项式相乘中，不能用平方差公式计算的是( A )
A. ( − )( − )
B. (− + )(− − )
C. ( − )( + )
D. ( + )( − )
3．(1)(2021德阳)已知a＋b＝2，a－b＝3，则a 2－b2 的值
为
6
；
(2)计算：(x＋2)(x－2)(x 2＋4)＝
x 4－16 ．
知识点三：巧用平方差公式计算
技巧：当出现多个因式相乘时，要仔细观察式子的特点，
看是不是符合平方差公式的结构特征或根据题意“凑”出
符合平方差公式结构的形式，然后依次运用公式，一直到
小结：正确列式表示图①和图②中的阴影面积是关键.
例1 判断下列各式是否满足平方差公式的结构特征，若满足，则运用平方差公式计算.
【点拨】先观察题中的式子是否符合“ ( + )( − ) ”的结构特征，若符合，进
而确定式子中的“ ”与“ ”，然后依据公式可得出运算结果.
例3 计算：
【点拨】 （1） (−) 与 (+) 符合平方差公式的形式,其结果再与 ( +) 结合．（2）
观察式子的特点， (+) 可以理解为 × (+) = (−)(+) = − ,这样可借助平方差公
式计算．
（1） (−)( +)(+) ；
【解】原式 = (−)(+)( +)
平方差公式(课件)八年级数学上册(人教版)
2
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
4
2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
3
2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
（1）
=
（x+1）
（x -1） x -1 ；
（2）
= m2 - 4 ；
（m+ 2）
（m- 2）
2
（3）
=
4
x
-1．
（2 x+1）
（2 x -1）
相乘的两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？
（a+b）
（a-b）=a 2 -b 2
你能证明(a+b)(a-b)=a 2 -b 2 吗？
1、利用多项式的乘法法则验证：
(1)上述操作能验证的等式是________．
B
A. 2 − 2 + 2 = ( − )2
B. 2 − 2 = ( + )( − )
C. 2 − = ( − )
(2)应用你从（1）中选出的等式，完成下列各题：
①已知x 2 − 4y 2 = 18， − 2 = 3，求 + 2．
2
3
4
1
20212
× 1−
1
20222
．
（2）解：①∵x2-4y2=18，x-2y=3，
∴x+2y=(x2-4y2)÷(x-2y)=18÷3=6；
1
1
1
②原式=(1 − ) × (1 + ) × (1 − )
2
2
3
1
3
2
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2021
2023
= × × × × ⋯×
×
2
2
3
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2022
2022
1 2023
人教版
八年级上册数学
第十四章
14.2.1平方差公式
复习引入
人教版课件《平方差公式》PPT课件1
(1)94x2 (2)x2y2 1 z2
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
感谢观看，欢迎指导！
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a2b2(ab)a (b)
范例 例1.分解因式：
(1)x2 4 (2)4n29m2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
巩固 3.分解因式：
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
56254325
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4( )2
3( )2
结论：
a在实数范围内分解因式：
•
8通过了解穆罕默德的主要活动，学习 他不畏 困难的 坚强意 志和为 阿拉伯 民族统 一与幸 福而奋 斗的远 大抱负 。
•
9.掌握隋唐科举制度的主要内容，联 系当今 考试的 实际培 养分析 问题的 能力； 学生对 唐朝人 衣食住 行的时 尚和博 大宏放 的精神 面貌的 了解， 感知科 举制度 的创新 对社会 进步的 促进作 用；想 象唐朝 人的生 活，培 养学生 丰富的 想象力 。
4
范例 例2. 分解因式：
(1 )1(x 6y)29(xy)2 (2) 4 (2mn)2
25
把括号看作一个整体
巩固 4.把下列各式分解因式：
(1)(ab)2c2 (2)x (p)2(xq)2 (3)x (y)2(zm )2
• 例3.分解因式：
(1) x 4 y 4 ;
感谢观看，欢迎指导！
两数的平方差，等于这两数的和 与这两数差的积。
因式分解平方差公式：
a2b2(ab)a (b)
范例 例1.分解因式：
(1)x2 4 (2)4n29m2
先确定a和b
巩固
2.下列多项式能否用平方差公式分解因 式？
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
a2和b2的符号相反
巩固 3.分解因式：
因式分解要分到 每个因式都不能
(2)a
3b
ab
.
分为止. 若有公因式，一定
要先提取公因式.
范例 例4.简便计算：
56254325
利用因式分解计算
巩固
4.计算：
(651)2 (341)2
2
2
探究 根据数的开方知识填空：
4( )2
3( )2
结论：
a在实数范围内分解因式：
•
8通过了解穆罕默德的主要活动，学习 他不畏 困难的 坚强意 志和为 阿拉伯 民族统 一与幸 福而奋 斗的远 大抱负 。
•
9.掌握隋唐科举制度的主要内容，联 系当今 考试的 实际培 养分析 问题的 能力； 学生对 唐朝人 衣食住 行的时 尚和博 大宏放 的精神 面貌的 了解， 感知科 举制度 的创新 对社会 进步的 促进作 用；想 象唐朝 人的生 活，培 养学生 丰富的 想象力 。
《平方差公式》PPT课件
a2 - b2 是两个数的平方差形式。
- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
a2 - b2
因式分解
整式分解
尝试- =？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
思考探究
对照平方差公式将下面多项式分解因式4x²-9 (2)(x+p)²-(x+q)²
(a-b)(a-2)(a+2)
课堂测试
2．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．
【详解】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝(a2+b2﹣2ab)﹣1＝(a﹣b)2﹣1＝(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．故答案为：(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．
(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)
课堂测试
3．分解因式：4ax2-ay2=________________.
利用平方差公式分解因式的注意事项
填空
±3x
± 6
± 0.9
± 4
课堂热身
判断能否用平方差公式分解因式
Байду номын сангаас
可以
不可以
不可以
可以
它不满足平方差公式的特点
它不满足平方差公式的特点
基础巩固
1．因式分解：＝___.
【解析】 a2(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a2-4)=(a-b)(a-2)(a+2)，故答案为：(a-b)(a-2)(a+2)．
探索提高
感谢各位的仔细聆听
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- = - -ab+ab= -ab+ab-=a(a-b)+b(a-b)=(a+b)(a-b)
(a+b)(a-b)
a2 - b2
因式分解
整式分解
尝试- =？
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
思考探究
对照平方差公式将下面多项式分解因式4x²-9 (2)(x+p)²-(x+q)²
(a-b)(a-2)(a+2)
课堂测试
2．分解因式：a2﹣1+b2﹣2ab＝_____．
【详解】解：a2﹣1+b2﹣2ab＝(a2+b2﹣2ab)﹣1＝(a﹣b)2﹣1＝(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．故答案为：(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)．
(a﹣b+1)(a﹣b﹣1)
课堂测试
3．分解因式：4ax2-ay2=________________.
利用平方差公式分解因式的注意事项
填空
±3x
± 6
± 0.9
± 4
课堂热身
判断能否用平方差公式分解因式
Байду номын сангаас
可以
不可以
不可以
可以
它不满足平方差公式的特点
它不满足平方差公式的特点
基础巩固
1．因式分解：＝___.
【解析】 a2(a-b)-4(a-b)=(a-b)(a2-4)=(a-b)(a-2)(a+2)，故答案为：(a-b)(a-2)(a+2)．
探索提高
感谢各位的仔细聆听
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课件《平方差公式》实用PPT课件_人教版1
(1)(x 2y)(2y x)
(2)(2x 5)(5 2x)
【解析】 原式=(-2y-x)(-2y+x)
原式=(5+2x)(5-2x)
= 4y2－x2
= 25－4x2
(3)(x 6)2 (x 6)2
原式=[(x+6)-(x-6)][(x+6)+(x-6)]
= (x+6-x+6)(x+6+x-6)
【解析】原式=(100+0.
= 4y2－x2
=10000-0.
(相同项)2-(相反项)2 解：(1) (3x+2)(3x-2) = (3x)2-22
（6）(c2－d2)(d2+c2). =（x4-y4)(x4+y4)(x8+y8)(x16+y16)
注：这里的a、b可以是两个单项式，也可以是两个多项式．
=3x2－5x+10
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是
( （2）（5）（6） )
（1）(x+1)(1+x)；
（2）(a+b)(b－a)；
（3）(－a+b)(a－b)； （4）(x2－y)(x+y2)；
（5）(－a－b)(a－b)； （6）(c2－d2)(d2+c2).
2.利用平方差公式计算：
平方差公式 ⑨逆用公式变化
a2 b2 (a b)(a b)
1022 982 (102 98)(102 98) 200 4 800
练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4.
人教版教材《平方差公式》ppt课件1
(2x+2)(2x-2) 2x 2 (2x)2-22 4x2-4
(m+3n)(3n-m) 3n m (3n)2-m2 9n2-m2 (-a+4b)(-a-4b) -a 4b (-a)2- (4b)2 a2-16b2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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特征:
相反数
(相同项)2-(相反项)2
(a+b)(a-b)=a2-b2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
相同
平方差
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(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式的特征： （1）左边是两个二项式相乘，并且这两上二 项式中有一项完全相同，另一项互为相反 数． （2）右边是乘式中两项的平方差（相同项 的平方减去相反项的平方）． （3）公式中的a,b可以表示 一个单项式也 可以表示一个多项式.
⑴21×19 = (20+1) (20-1) = 202-12 = 400-1 = 3 99
谁是a? 谁是b?
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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例2 计算： ⑴ 21 ×19 ， 103 ×97; ⑵ (y+2)(y-2)-(y-1)(y+5);
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人教版八年级数学上册教学平方差公式精品课件PPT
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分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
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四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
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五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
新人教版平方差公式ppt课件
平方差公式
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
（a+b)(a-b)= a²-b²
两数和与这两数差的积 等于这两数的平方差 。
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
两数和乘以这两数的差
相同为a
适当交换
（a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
算一算，比一比，看谁算得又快又准!
计算下列各题
①(x+2)(x-2) = x²-4 ②(1+3a)(1-3a) =1-9a²=1-(3a)² ③(m+5n)(m-5n) =m²-25n²=m²-(5n)² ④(3y+z)(3y-z) =9y²-Z²=(3Z)²-Z²
同学们，你发现了什么规律？
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
合理加括号
相同数的平方减去相反数的平方
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
再 见！
相反为b 合理加括号
特点：相同数的平方减去相反数的平方。 公式变形:
1、(a-b)(a+b) = a2-b2 2、(b+a)(-b+a) = a2-b2
火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂 拥而出 或留恋 财物， 要当机 立断， 披上浸 湿的衣 服或裹 上湿毛 毯、湿 被褥勇 敢地冲 出去
相同项的平方减去相反项的平方
3、判断正误
（1）（2b+a）(a-2b)=4b2-a2 ( ×)
a2-4b2
平方差公式课件1
理等。
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
添加标题
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平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)
平方差公式的定义：a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) 平方和公式的定义：a^2 + b^2 无法通过其他形式表示 平方和与平方差的关系：无法直接通过平方差公式推导得到 平方和与平方差的应用场景：在数学、物理等领域有广泛的应用
二项式定理：平方差公式的扩展，适用于任意两个二项式相乘的情况
平方差公式在代数表达式中可以用 于简化计算
平方差公式可以用于解决一些代数 方程的求解问题
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平方差公式可以用于因式分解，将 多项式化为两个因式的乘积
平方差公式在代数表达式中可以用 于证明一些恒等式
计算面积：利用平方差公式计算各种几何图形的面积 计算周长：利用平方差公式计算各种几何图形的周长 证明定理：利用平方差公式证明几何定理，如勾股定理等 解决实际问题：利用平方差公式解决几何图形中的实际问题，如土地测量、建筑测量等
利用多项式乘法展 开验证公式
证明公式正确性
总结推导过程
将原式拆分成两个二项式相减的形 式
利用平方差公式进行因式分解
展开并简化得到平方差公式
平方差公式的推导 基于多项式乘法与 因式分解的结合
通过将左边的式子 进行因式分解，得 到两个二项式的乘 积
利用多项式乘法的 分配律，将右边的 式子展开
最终得到平方差公 式的形式
完全平方公式：平方差公式的特殊形式，适用于两个完全平方项相乘的情况
平方差公式的几何意义：将平方差公式与几何图形相结合，有助于理解公式的意义和性 质
平方差公式的应用：介绍平方差公式在数学、物理等学科中的应用，以及在解决实际问 题中的应用
公式形式：a^2 b^2 = (a+b)(a-b)
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平方差公式:
两数和,两数差, 乘积就是平方差.
(a+b)(a－ b)= a2－ b2.
即两数和与这两数差的积等于这两个数
的平方差.
①平方差公式中的a、b 可代表数、单项式、多 项式；②要符合公式的 结构特征才能运用平方 差公式。
❖ 平方差公式
将图甲中阴影部分的小长方形变换到图乙位置,
你能根据两个图形的面积关系直观地说明平方差
❖ 乘法公式
再试一试: (4) (x+5y)(x-5y) = x2-25y2 (1) (x+1)(x-1) = x2-1 (2) (m+2)(m-2) = m2-4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2-1
猜一猜: (a b)(a b) ?a2 b2
❖ 乘法公式
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 .
平方差公式
❖ 乘法公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
❖ 乘法公式
算一算: (1) (x+1)(x-1) = x2-1 (2) (m+2)(m-2) = m2-4 (3) (2x+1)(2x-1) = 4x2-1 观察算式的结构特征,你发现了什么规律? 计算出结果后,你又发现了什么规律?
❖ 平方差公式
1、课本 习题14.2第1题.
( -2x+y )( y+2x ) =( y-2x )( y+2x ) =y2 -(2x )2 =y2-4x 2
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
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❖ 平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
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❖ 平方差公式
应用探究 协作交流 培养能力
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当
怎样改正？
(1) (2x+3)(2x－3)=2x2－9；（×）
应为：（2x)2 32 4x2 9
(2) (－3a－2)(3a－2)=9a2－4.（×）
应为：（ 2）2 (3a)2 4 9a2
(4) (x+y)(x-y)(x2+y2)
①平方差公式中的a、b 可代表数、单项式、多 项式；②要符合公式的 结构特征才能运用平方 差公式。
人教版数学八年级上册14.2.1平方差 公式 课件
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❖ 平方差公式
(1) 23×17= (2) 102×98= (3) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)=
(3) (-x+2y)(-x-2y).
解:(3) (-x+2y)(-x-2y) =(-x)2－(2y)2
(3) (-x+2y)(-x-2y) = [-(x-2y)][-(x+2y)] = (x-2y) (x+2y)
= x2－4y2
= x2－4y2
(3) (-x+2y)(-x-2y) = (-x+2y)[-(x+2y)]
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❖ 平方差公式
应用探究 协作交流 培养能力
2、观察：( -2x+y )(
),在括号内填入
怎样的代数式，才能运用平方差公式进
行计算？
( -2x+y )( -2x-y ) =(-2x )2-y2 =4x 2-y2
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❖ 平方差公式
❖1、本节课你有何收获？ ❖2、通过本节课学习，你有何感受? ❖3、你还有什么疑惑?
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(3)(2a
3b)(2作a，互为
相反数的项中
(4)(2a 3b)(2a 3b)（能）
带正号的项看 作b。
可变形为：（-3b-2a)(-3b+2a)
(5)(a2 b)(a b2 ) （不能）
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= -(-x+2y)(x+2y) =- [(2y)2-(-x)2] = x2－4y2
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❖ 平方差公式
例2 计算
(1) (－2x2－y)(－2x2+y)
(2) (x+2y)(2x-y)
(3) (y+2) (y -2) - (y -1) (y+5)
(2a)2-b2 4a2-b2
(-x+2y)(-x-2y) -x 2y (-x)2-(2y)2 x2-4y2
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❖ 平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
解：（1）(3x＋2)(3x－2) （2）(b+2a)(2a－b)
=(3x)2－22
=(2a+b)(2a－b)
=9x2－4； (3) (-x+2y)(-x-2y)
=(-x)2－(2y)2
=(2a)2－b2 =4a2－b2.
= x2－4y2
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❖ 平方差公式
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a－b);
(3) (-x+2y)(-x-2y).
填表:
(a＋b )( a－b ) a b (3x＋2 )( 3x－2 ) 3x 2
(b+2a)(2a－b) 2a b
a2-b2 最后结果 (3x)2-22 9x2-4
公式吗?
a
a-b
a-b
a
b
b
❖ 平方差公式
(a b)(a b) a2 b2
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❖ 平方差公式
下列多项式乘法中，能否用平方差公式计算？
(1)(2a 3b)(2a 3b) （能） 使用公式时，
关键要找准a
(2)(2a 3b)(2a 3b)（不能） 与b，公式左 边积的两个因