向量代数、平面与直线

B
A
α
a
30 向量的模 向量的大小叫做向量的模，或向量的长度. 向量 AB 、α 、a 的模依次记作 | AB |、|α|、|a|.
40 自由向量 解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方 向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动， 这种向量也称为自由向量. 所以，如果两个向量α和β 长度相等，方向 相同，就称这两个向量相等，记作α=β .
x x cos 2 2 2 r x y z
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r


x
y
机动
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第三章
向量代数、平面与直线
§3.1 向量及其线性运算 §3.2 数量积 向量积 混合积 §3.3 平面及其方程 §3.4 空间直线的方程
§2.1 向量代数及其线性运算
一、 向量的概念及其表示 二、 向量的线性运算 三、 共线向量和共面向量 四、 空间直角坐标系
五、 利用坐标进行向量的线性运算
六、 向量的模、方向角、投影

性质2 Prju (α + ) = Prju α + Prju
性质3 Prju (α) = Prju α

( )
对向量进行加、减与数乘运算，只需对其向量的各个坐标分 别进行相应的运算就行了。
例1. 已知两点
在AB直线上求一点 M , 使 解： 设 M 的坐标为 如图所示
及实数
1 ,
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
即
所以
o
A
B M
OM O A ( OB OM )
AB
AB
1 (3 ,1, 2) 14

3 1 2 , , 14 14 14

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2. 方向角与方向余弦 任取空间一点O, 设有两非零向量 称 =∠AOB (0≤ ≤ )为向量 a , b 的夹角. 记作 在直角坐标系中， 与三坐标向量 i, j, k 的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.
B
60 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0. 零向量实质上是起点与终点重合的向量，它 的方向是不确定的，也可以说它的方向是任意 的，可根据需要来选取它的方向.
70 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.
二、 向量的线性运算
1、加法运算 10 平行四边形法则 定义1 以一点O 作向量OA=α,OB=β，再以OA，
例如
在平行四边形ABCD中，
D A B
C
AB=DC，AD=BC，
AB=DC.
50 反向量 与向量α的长度相等，方向相反的 向量，称为α的反向量或负向量，记作 -α .
α
α
显然，如β 是α的负向量(β =-α)，那么α也 是β 的负向量(α=-β ). D C 例如 在平行四边形ABCD中， A AB=-CD，AD=-CB， 按定义，显然 AB=-BA.
2、减法运算 定义3 我们规定两个向量α与β的差α-β 是α与-β的和，即α-β=α+(-β).按三角形法则， α-β是由β的终点到α的终点的向量. 向量的减法可看作向量加法 的逆运算，即如α+β=γ，则 α=γ-β. β
α α-β
3、向量的数乘运算 定义 4 实数k与一个向量 α 的乘积 kα为一个 向 量 ， 它 的 模 为 |kα|=|k|·|α| ， 当 k>0 时 ， kα 的方向与 α 的方向相同；当 k<0 时， kα 的方 向与α的方向相反；当 k=0或α=0时，kα=0.
z
R ( 0,0, z )
B ( 0, y , z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q ( 0 , y ,0 )
y
x P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
五、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( a x , a y , a z ), b (b , b , b ) , 为实数 ， 则 x y z a b ( a x bx , a y b y , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
四、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
Ⅲ
z 轴(竖轴) Ⅱ
• 坐标原点
• 坐标轴 • 坐标面
• 卦限(八个)
Ⅳ Ⅶ
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
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x轴(横轴) Ⅷ
x
Ⅴ
2. 向量的坐标表示
则 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 对应空间中一点 M ，
存在唯一的实数m，使β=mα.
证 充分性. 如果β=mα，由数乘向量的定义知，
β与α共线，充分性得证. 必要性. 由于β与α共线，且|α|≠0，
λ . 因而有非负实数λ 使得
当β与α同向时，可取m=λ ； 当β与α反向时，可取m=-λ ， 于是，都有β=mα
最后证明β=mα中的m是唯一的.
r xi y j zk
z
定义：有序数 x, y, z 称为向量 r 在直角坐标系 Oxyz中的
坐标，记作 r ( x , y , z ) ,有序数 x, y, z 称为点M 在直角坐标系 Oxyz中的坐标，记作 M ( x , y , z )
特殊点的坐标：
原点 O(0,0,0)； 坐标轴上的点 P, Q , R ； 坐标面上的点 A , B , C
M1 M2
A1(O)

A2
补充
由定义知，向量 α = (ax , ay , az ) 在直角坐标系 Oxyz
的坐标就是
α
在三条坐标轴上的投影，即
Prjxα = ax , Prjy α = ay , Prjz α = az
向量的投影具有与坐标相同的性质:
性质1 Prju α =| α | cos, 其中φ是向量α与u 轴的夹角。
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 , 于是得
N
o
P x
r OM
向量的模
设 r ( x , y , z ), 则 r
x y z
2 2
2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
例2. 已知两点
和
求与
方向
相同的单位向量 e
解
e
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例3. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 . 解： M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
( 1 , 1 , 2 )
( 1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
向量共面判定定理
引理2 若向量α、β不平行，则向量γ与α、β 共面的充分必要条件是存在唯一的有序实数组 (m,n)， 使得γ=mα+nβ.
证 因为向量α、β不平行，则α≠0，β ≠0. R β 必要性 若γ与α、β α 共面，把这三个向 O Q 量的起点放在同一 点O, 则它们在同一个平面上. 它们与α、β所在的直线分别相交于Q，R，
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3
,
3.向量在轴上的投影 定义 取定点 O 及单位向量 e 确定u轴（见右下图）， 任给向量 r，作 OM ＝ r ，再过点 M 作与 u 轴垂直的 平面交 u 轴于点 M’ ，则点 M’ 称为点 M 在 u 轴上的 投影，向量 OM’ 称为向量 r 在 u 轴上的分量。设 OM’ ＝ λe，则数 λ 称为向量 r 在 u 轴上的投影。 记作 Prju r
α
A
β
由定义不难验证向量加法有下列基本性质：
向量加法的基本性质：
对于任意向量α、β、γ，有
(1) α+β=β+α(交换律)；
(2) (α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；
(3) α+0=0+α=α；
(4) α+(-α)=0. α+β α β
γ
三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ, n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为 α1+α2+…+αn 。 α5 α4 例如 s=α1+α2+α3+α4+α5 s α1 α3 α2
OA OB OC OM ON NM 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 ,
即
C 此式称为向量 r 的坐标分解式 , M r 沿三个坐标轴 k j B o 方向的分向量. y i A 向量OM称为点M关于原点O的向径。 N x 1 1 1 1 有序数组 ( x , y , z ) 向径 点 M
由定义可知：
kα=0的充要条件为α=0 或 k=0.
α 与非零向量α同方向的单位向量为 α 0 记为 0 ，这时α=|α|·
特别地，如果k=-1,有(-1)α=-α.
向量与数量的乘法(简称数乘)满足下列基本性质： 对于任意向量α、β和任意实数 k,l有
(1) 1·α=α； (2) k(lα)=(kl)α； (3) (k+l)α=kα+lα； (4) k(α+β)=kα+kβ. 向量加法与数乘统称为向量的线性运算.
三、 共线向量和共面向量
1.共线向量
两个向量，如果把它们的起点放在同一点时，它们 的终点和公共起点在一条直线上，则称这两个向量是共 线的。
方向相同或相反的两个非零向量，称为平行 向量。记作α∥β. 并规定，零向量平行于任何向量.
共线向量
平行向量
向量共线判定定理
引理1 设向量α≠O，向量β与α共线的充分必要条件是，
若β=m1α=m2α，则(m1-m2)α=0, 因为α≠0，所以 m1=m2 . 定理1 向量α1、α2共线的充分必要条件是存在不 全为零的实数k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.
2.共面向量
设有k(≥3)个向量，如果把它们的起点放在同一点 时，它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这k个 向量共面。
OB 为边作平形四边形 OACB ，称向量 OC=γ 为向量 OA 和 OB 之和，记作 OA+OB=OC ，或 α+β=γ.( 称为向
量加法的平行四边形法则). B β
O
C A
α
20、三角形法则 定义 2 从一点 O 作向量 OA=α ， 再由 A 点作向 量AB=β，称向量OB =γ是向量OA与AB的和，记 作OA+AB=OB，或α+β=γ. B O
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y 2 , 2
z1 z 2 2
B M
六、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
R
z
M Q y
一、 向量的概念及其表示 1、概念
10 向量：把既有大小、又有方向的量称为 向量或矢量.
20 表示方法
以A为起点,B为终点的向量用符号 AB 表示. γ …， 为了方便，也常用黑体希腊字母 α 、β、 或黑体英文字母a、b、c…表示向量，有时也用 大写字母上加一箭头来表示，如 A、B、C ….
P
过γ=OP的终点P分别作直线平行于向量α、β，
则OQ∥α，OR∥β
由引理1知 OQ=mα,OR=nβ，
于是，由向量加法的平行四边形法则 知γ=mα+nβ.
充分性 若γ=mα+nβ，则说明γ是以mα、nβ为 边的平行四边形的对角线， 因此γ与mα、nβ共面， 所以γ也与α、β共面. 仿照定理1的唯一性，可以证明出m、n的唯 一性.此部分由同学们自己完成. 定理2 向量α1、α2、α3共面的充分必要条件是有不 全为零的实数k1,k2,k3，使得 k1α1+k2α 2+k3α3=0.