向量代数、平面与直线

性质2 Prju (α + ) = Prju α + Prju
性质3 Prju (α) = Prju α

( )
OB 为边作平形四边形 OACB ，称向量 OC=γ 为向量 OA 和 OB 之和，记作 OA+OB=OC ，或 α+β=γ.( 称为向
量加法的平行四边形法则). B β
O
C A
α
20、三角形法则 定义 2 从一点 O 作向量 OA=α ， 再由 A 点作向 量AB=β，称向量OB =γ是向量OA与AB的和，记 作OA+AB=OB，或α+β=γ. B O
上页
下页
返回
结束
例3. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 . 解： M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
( 1 , 1 , 2 )
( 1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
例如
在平行四边形ABCD中，
D A B
C
AB=DC，AD=BC，
AB=DC.
50 反向量 与向量α的长度相等，方向相反的 向量，称为α的反向量或负向量，记作 -α .
α
α
显然，如β 是α的负向量(β =-α)，那么α也 是β 的负向量(α=-β ). D C 例如 在平行四边形ABCD中， A AB=-CD，AD=-CB， 按定义，显然 AB=-BA.
B
A
α
a
30 向量的模 向量的大小叫做向量的模，或向量的长度. 向量 AB 、α 、a 的模依次记作 | AB |、|α|、|a|.
40 自由向量 解析几何中所说的向量只考虑它的大小和方 向而不计较它的起点位置，因此它可以平行移动， 这种向量也称为自由向量. 所以，如果两个向量α和β 长度相等，方向 相同，就称这两个向量相等，记作α=β .
P
过γ=OP的终点P分别作直线平行于向量α、β，
则OQ∥α，OR∥β
由引理1知 OQ=mα,OR=nβ，
于是，由向量加法的平行四边形法则 知γ=mα+nβ.
充分性 若γ=mα+nβ，则说明γ是以mα、nβ为 边的平行四边形的对角线， 因此γ与mα、nβ共面， 所以γ也与α、β共面. 仿照定理1的唯一性，可以证明出m、n的唯 一性.此部分由同学们自己完成. 定理2 向量α1、α2、α3共面的充分必要条件是有不 全为零的实数k1,k2,k3，使得 k1α1+k2α 2+k3α3=0.
α
A
β
由定义不难验证向量加法有下列基本性质：
向量加法的基本性质：
对于任意向量α、β、γ，有
(1) α+β=β+α(交换律)；
(2) (α+β)+γ=α+(β+γ)(结合律)；
(3) α+0=0+α=α；
(4) α+(-α)=0. α+β α β
γ
三个向量α，β，γ的和可以简记为α+β+γ, n个向量α1，α2，…，αn的和可以简记为 α1+α2+…+αn 。 α5 α4 例如 s=α1+α2+α3+α4+α5 s α1 α3 α2
一、 向量的概念及其表示 1、概念
10 向量：把既有大小、又有方向的量称为 向量或矢量.
20 表示方法
以A为起点,B为终点的向量用符号 AB 表示. γ …， 为了方便，也常用黑体希腊字母 α 、β、 或黑体英文字母a、b、c…表示向量，有时也用 大写字母上加一箭头来表示，如 A、B、C ….
x x cos 2 2 2 r x y z
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r


x
y
机动
目录
2、减法运算 定义3 我们规定两个向量α与β的差α-β 是α与-β的和，即α-β=α+(-β).按三角形法则， α-β是由β的终点到α的终点的向量. 向量的减法可看作向量加法 的逆运算，即如α+β=γ，则 α=γ-β. β
α α-β
3、向量的数乘运算 定义 4 实数k与一个向量 α 的乘积 kα为一个 向 量 ， 它 的 模 为 |kα|=|k|·|α| ， 当 k>0 时 ， kα 的方向与 α 的方向相同；当 k<0 时， kα 的方 向与α的方向相反；当 k=0或α=0时，kα=0.
M1 M2
A1(O)

A2
补充
由定义知，向量 α = (ax , ay , az ) 在直角坐标系 Oxyz
的坐标就是
α
在三条坐标轴上的投影，即
Prjxα = ax , Prjy α = ay , Prjz α = az
向量的投影具有与坐标相同的性质:
性质1 Prju α =| α | cos, 其中φ是向量α与u 轴的夹角。
B
60 零向量 长度为0的向量称为零向量，记作0. 零向量实质上是起点与终点重合的向量，它 的方向是不确定的，也可以说它的方向是任意 的，可根据需要来选取它的方向.
70 单位向量 长度为1的向量叫做单位向量.
二、 向量的线性运算
1、加法运算 10 平行四边形法则 定义1 以一点O 作向量OA=α,OB=β，再以OA，
第三章
向量代数、平面与直线
§3.1 向量及其线性运算 §3.2 数量积 向量积 混合积 §3.3 平面及其方程 §3.4 空间直线的方程
§2.1 向量代数及其线性运算
一、 向量的概念及其表示 二、 向量的线性运算 三、 共线向量和共面向量 四、 空间直角坐标系
五、 利用坐标进行向量的线性运算
六、 向量的模、方向角、投影
向量共面判定定理
引理2 若向量α、β不平行，则向量γ与α、β 共面的充分必要条件是存在唯一的有序实数组 (m,n)， 使得γ=mα+nβ.
证 因为向量α、β不平行，则α≠0，β ≠0. R β 必要性 若γ与α、β α 共面，把这三个向 O Q 量的起点放在同一 点O, 则它们在同一个平面上. 它们与α、β所在的直线分别相交于Q，R，
r xi y j zk
z
定义：有序数 x, y, z 称为向量 r 在直角坐标系 Oxyz中的
坐标，记作 r ( x , y , z ) ,有序数 x, y, z 称为点M 在直角坐标系 Oxyz中的坐标，记作 M ( x , y , z )
特殊点的坐标：
原点 O(0,0,0)； 坐标轴上的点 P, Q , R ； 坐标面上的点 A , B , C
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 , 于是得
机动
目录 上页 下页 返回 结束

3
,
3.向量在轴上的投影 定义 取定点 O 及单位向量 e 确定u轴（见右下图）， 任给向量 r，作 OM ＝ r ，再过点 M 作与 u 轴垂直的 平面交 u 轴于点 M’ ，则点 M’ 称为点 M 在 u 轴上的 投影，向量 OM’ 称为向量 r 在 u 轴上的分量。设 OM’ ＝ λe，则数 λ 称为向量 r 在 u 轴上的投影。 记作 Prju r
AB
AB
1 (3 ,1, 2) 14

3 1 2 , , 14 14 14

机动
目录
上页
下页
返回
结束
2. 方向角与方向余弦 任取空间一点O, 设有两非零向量 称 =∠AOB (0≤ ≤ )为向量 a , b 的夹角. 记作 在直角坐标系中， 与三坐标向量 i, j, k 的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦.
三、 共线向量和共面向量
1.共线向量
两个向量，如果把它们的起点放在同一点时，它们 的终点和公共起点在一条直线上，则称这两个向量是共 线的。
方向相同或相反的两个非零向量，称为平行 向量。记作α∥β. 并规定，零向量平行于任何向量.
共线向量
平行向量
向量共线判定定理
引理1 设向量α≠O，向量β与α共线的充分必要条件是，
由定义可知：
kα=0的充要条件为α=0 或 k=0.
α 与非零向量α同方向的单位向量为 α 0 记为 0 ，这时α=|α|·
特别地，如果k=-1,有(-1)α=-α.
向量与数量的乘法(简称数乘)满足下列基本性质： 对于任意向量α、β和任意实数 k,l有
(1) 1·α=α； (2) k(lα)=(kl)α； (3) (k+l)α=kα+lα； (4) k(α+β)=kα+kβ. 向量加法与数乘统称为向量的线性运算.
若β=m1α=m2α，则(m1-m2)α=0, 因为α≠0，所以 m1=m2 . 定理1 向量α1、α2共线的充分必要条件是存在不 全为零的实数k1,k2，使得k1α1+k2α2=0.
2.共面向量
设有k(≥3)个向量，如果把它们的起点放在同一点 时，它们的终点和公共起点在一个平面上，则称这k个 向量共面。
OA OB OC OM ON NM 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 ,
即
C 此式称为向量 r 的坐标分解式 , M r 沿三个坐标轴 k j B o 方向的分向量. y i A 向量OM称为点M关于原点O的向径。 N x 1 1 1 1 有序数组 ( x , y , z ) 向径 点 M
对向量进行加、减与数乘运算，只需对其向量的各个坐标分 别进行相应的运算就行了。
例1. 已知两点
在AB直线上求一点 M , 使 解： 设 M 的坐标为 如图所示
及实数
1 ,
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
即
所以
o
A
B M
OM O A ( OB OM )
四、 空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念
过空间一定点 O , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
Ⅲ
z 轴(竖轴) Ⅱ
• 坐标原点
• 坐标轴 • 坐标面
• 卦限(八个)
Ⅳ Ⅶ
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴) Ⅷ
x
Ⅴ
ห้องสมุดไป่ตู้
2. 向量的坐标表示
则 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 对应空间中一点 M ，
N
o
P x
r OM
向量的模
设 r ( x , y , z ), 则 r
x y z
2 2
2
对两点
与
因
得两点间的距离公式:
( x 2 x1 ) 2 ( y 2 y1 ) 2 ( z 2 z1 ) 2
例2. 已知两点
和
求与
方向
相同的单位向量 e
解
e
z
R ( 0,0, z )
B ( 0, y , z )
C ( x, o, z )
o
r
M
Q ( 0 , y ,0 )
y
x P ( x ,0 ,0 )
A ( x , y ,0 )
五、利用坐标作向量的线性运算
设 a ( a x , a y , a z ), b (b , b , b ) , 为实数 ， 则 x y z a b ( a x bx , a y b y , a z bz ) ( a , a , a ) a x y z
存在唯一的实数m，使β=mα.
证 充分性. 如果β=mα，由数乘向量的定义知，
β与α共线，充分性得证. 必要性. 由于β与α共线，且|α|≠0，
λ . 因而有非负实数λ 使得
当β与α同向时，可取m=λ ； 当β与α反向时，可取m=-λ ， 于是，都有β=mα
最后证明β=mα中的m是唯一的.
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y 2 , 2
z1 z 2 2
B M
六、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
设 r ( x , y , z ), 作 OM r , 则有 r OM OP OQ OR
由勾股定理得
R
z
M Q y