自动控制原理习题第四章

整理得
=
所以 ,
系统开环传递函数
1）起点：两个开环极点 。
终点：一个开环零点。
2）实轴上的根轨迹区间为（ ，-2]。
3）分离点，会合点计算
整理得
则
4）渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
根轨迹绘于图4-5。
图4-5例5的以 为变量的根轨迹
例5已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为 ,试画出以 为常数、 为变数时，系统特征方程式的根在 平面上的分布轨迹。
根轨迹绘于图4-18。
图4-8 例6的以 为变量的根轨迹
例8已知系统开环传递函数为
试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。
解
起点：系统有四个开环极点 。
终点：一个开环有限零点 。
（1）负反馈
1）实轴上根轨迹区间为 。
2）渐近线计算
3）与虚轴交点
将 代入系统特征方程 ，得
由实部虚源自文库分别相等，得
解得
例3负反馈控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益 。
解
1)起点：三个开环极点为 。
终点：三个无穷零点
2)实轴上的根轨迹区间为[-1，0]，（ ，-10]。
3)分离点、会合点计算
整理得
解得 （舍去）
4) 渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
5）与虚轴的交点
解
系统闭环传递函数为
由于闭环极点位于 ，则系统闭环特征方程为 =
整理得
=
所以 ,
以 值为基准，绘制以 为变量的根轨时，系统对应的等效开环传递函数为：
4）起点：两个开环极点 。
终点：一个有限零点， 。
5）实轴上的根轨迹区间为（ ，0]。
6）分离点，会合点计算
整理得
则
根据题意，实轴上的根轨迹在（ ，0]区间内，所以会合点为 。
则根轨迹与虚轴的交点为
对应的根轨迹放大系数为 。
根轨迹如图4-11所示。
图4-11 例8负反馈情况下的根轨迹图
（2）正反馈
1）实轴上 [-4，-2]，［-1,0］区间为根轨迹。
2）渐近线计算
3）分离点计算
由 得
解得 ,
由于实轴上根轨迹的区间为[-4，-2]，［-1,0］，所以分离点取 。
根轨迹如图4-12所示。
图4-12 例8正反馈情况下的根轨迹图
例9给定控制系统的开环传递函数为
试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。
解闭环特征方程
改写为
等效的开环传递函数为
该系统在绘制以为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。
相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当 时，系统处于临界稳定状态。
闭环系统稳定的范围：
解
系统特征方程为
系统的特征根为
或
当 为常数， 为变数时，系统特征方程的根在 复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以 为半径的圆，如图4-6所示。
图4-6例5根轨迹分布图
例6设系统结构图如图4-7所示。为使闭环极点位于
试确定增益 和反馈系数 的值，并以计算得到的 值为基准，绘出以 为变量的根轨迹。
图4-7例6的控制系统结构图
第四章：
例1求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
解
1）起点：两个开环极点为 ；
终点：系统有一个开环零点为 。
2）实轴上的根轨迹区间为 。
3）根轨迹的分离点、会合点计算
即
因为根轨迹在 和 上，
所以，分离点为 ，会合点为 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1根轨迹图
例2求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。
图4-13例9系统的根轨迹
（1）
解
1）起点：两个开环极点 。
终点：系统有一个 。
2）实轴上根轨迹区间为 。
3）渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
4）求分离点，会合点
由 得
整理得
解得 ， 。
由于实轴上的根轨迹在 区间内，所以分离点应为 。
5）出射角计算
由 得
同理， 。
根轨迹如图4-2所示。
图4-2例2根轨迹图
系统的特征方程为
令 得
即
解得
即根轨迹与虚轴的交点为
根轨迹绘于图4-3。
图4-3题3的根轨迹图
例4设系统结构图如图4-4所示。为使闭环极点位于
试确定增益 和反馈系数 的值，并以计算得到的 值为基准，绘出以 为变量的根轨迹。
图4-4例4的控制系统结构图
解
系统闭环传递函数为
由于闭环极点位于 ，则系统闭环特征方程为 =