自动控制原理习题第四章
自动控制原理课后习题第四章答案
G(s)H(s)=
Kr s(s+1)(s+3)
σ根 s=3-K+ω轨r4-3-迹+p4s132ω1-3的+~3ω32分p===s2-离+001K点.p-3r=3：KK~0θrr===012+ωω6021,o=3,=0+±1810.7o
8
jω
1.7
s1
A(s)B'系(s)统=根A'轨(s迹)B(s)
s3 p3
s=sK2±r没=j24有.8.6位×于2K.r根6=×4轨80.迹6=上7，. 舍去。
2
第四章习题课 (4-9)
4-9 已知系统的开环传递函数，(1) 试绘制出
根轨迹图。
G(s)H与(s虚)=轴s交(0点.01s+1K)(系0.统02根s+轨1迹)
jω
70.7
解: GKK(rr=s=)10H5(0s)=ωω2s1,(3=s=0+±17000K.7)r(s+50)
s1
A(s)B'(系s)统=A根'(轨s)迹B(s)
s3 p3
p2
p1
-4
-2
0
((24))ζ阻=尼03.振5s2荡+1响2应s+s的81==K-r0值0.7范+围j1.2
s=s-s10=3=.-80-56.8+50K.7r×=20=s.82-=54×-.631..1155×3.15=3.1
-2.8
450
1080
360
0σ
0σ
第四章习题课 (4-2)
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制出系
统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
自控原理第四章书后习题答案
4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：（1）3个开环极点为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
（2）实轴上的根轨迹（-4，0），（-∞，-5）（3）303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a(4) 分离点：1110d 45d d ++=++ d=-1.47, d=-4.53(舍) （5）与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
2、()()()()11.02*++=s s s K s H s G 解：（1）开环极点有3个，分别为：p 1=p 2=-0，p 3=-1，开环零点为z=-0.1 （2）实轴上的根轨迹为：[-1 -0.1] (3) 渐进线有两条，45.0131.010011-=-+--=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,23,2131212ππππϕ±±=-+=-+=k mn k a (4) 分离点：1111d 10.1d d d ++=++ d=0, d=--0.4(舍), d=0.25(舍)分离角：()() ,23,221212ππππϕ±±=+=+=k lk d 最后，精确地画出根轨迹。
4-3 已知系统的开环传递函数为()()()2*1+=s s K s H s G ① 绘制系统的根轨迹图；② 确定实轴上的分离点及K *的值； ③ 确定使系统稳定的K *值范围。
《自动控制原理》习题及解答04
Re(D( j )) K 8 2 0
Im(D(
j ))
20
3
0
60
0
解得：
K
0
⑤起始角：由相角条件 根轨迹如图解 4-5(a)所示。
2 5
K
160
p2 63 ， p3 63 。
⑵ G(s)H (s)
G(s1)H（s1）
K*
1
1 j 3 1 1 j 3 2 1 j 3 4
解出 ： K * =12 ，K= K * 3 82
4-2 已知开环零、极点如图 4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
（ａ）
（ｂ）
（ｃ）
（ｄ）
56
（ｅ）
（ｆ）
（ｇ）
题 4-2 图 开环零、极点分布图
确定根轨迹的渐近线、分离点、与虚轴交点和起始角）。
解（1）闭环特征方程
D(s) s 2 (s 10)(s 20) K (s z) s 4 30s3 200s 2 K s K z 0
有
D( j ) ( 4 200 2 K z) j(K 30 3 ) =0
第四章习题及答案
4-1 系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K*
(s 1)(s 2)(s 4)
试证明点 s1 1 j 3 在根轨迹上，并求出相应 的根轨迹增益 K * 和开环增益 K 。
解 若点 s1 在根轨迹上，则点 s1 应满足相角条 件 G(s)H (s) (2k 1) ，如图解 4-1 所示。
63
Re( j ) K 10.5 4 79.5 2 0 Im( j ) 5 43.5 3 45.5 0
自动控制原理第4章 习题及解析
4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*()(1)(3)K G s s s s =++ 2）*(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++解：（1）()(1)(3)*K G s s s s =++① 由G (s )知，n =3，m =0，p 1=0，p 2=–1，p 3=–3。
② 实轴上[0，–1]、[–3，∞]是根轨迹段。
③ 有n –m =3条渐近线,交点3403310-=---=a σ， 夹角︒±=60a ϕ、180°。
④ 实轴上[0、–1]根轨迹段上有分离点d 。
由0)(1=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ds s G ds d 求d ：03832=++s d 解得 45.0-=d （分离点） 3742j d --=（舍去） ⑤求根轨迹与虚轴交点，令jw s =代入0)(=s D ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-==+-=03)(Im 04)(Re 312ωωωωωj j j D K j D 解得3±=o ω 20412*K ω==临根轨迹图见图4-2（1）（2） *(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++①由 G (s )知， n =3，m =1，p 1=0，p 2=–2，p 3=–3，p 4=–5②实轴上[-2、0]，[-5、-3]是根轨迹段 ③有n-m=2条渐近线：0a σ=，夹角ϕa =±90°④实轴上 [-2、0] 根轨迹段上有分离点d ， 由1[]0()s dd ds G s ==求d ：3232556300s s s +++=，试凑得 s 1=-0.88 是其解，且是分离点。
根轨迹图见图4-2（2）。
4-3 已知单位负反馈系统的开环传递函数如下，试绘制出相应的闭环根轨迹图。
1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++- 2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++解：（1）*(2)()(12)(12)K s G s s j s j +=+++-根轨迹图见图4-3（1）（2）*2()(4)(420)K G s s s s s =+++① n =4，m =0，p 1=0，p 2=–4，p 3、4=–2±j 4② p 1、p 2连线中点正好是p 3、p 4实部，开环极点分布对称于垂线s=–2，根轨迹也将对称于该垂线。
自动控制原理第4章课后习题答案
第4章4-1 已知系统的开环传函如下,试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,对特殊点要加以简单说明. (1) ()()(4)(1)(2)K s G s H s s s s +=++ (2) ()()2(4)(420)KG s H s s s s s =+++ 解:(1)有3个开环几点,1个开环零点,固有3条根轨迹分别始于0,-1,-2; 1条根轨迹终于-4,另外2条根轨迹趋于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-1~0之间及-4~-2之间 渐近线条数为n-m=3-1=2 渐进线的交点12041312σ++-=-=-渐近线的倾角90θ︒=±分离点22[()()]02152480d G s H s s s s ds =⇒+++= 解得: 12s =- 其它舍去求与虚轴交点:令s j ω=代入特征方程(1)(2)(4)0s s s K s ++++=中得(1)(2)(4)0j j j K j ωωωω++++= 令上式两边实部和虚部分别相等,有226430(2)0 2.83K K K ωωωω⎧=⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨+-==±=±⎪⎪⎩⎩绘制系统根轨迹,如图4-1(1)(2)有4个开环几点,无开环零点,有4条根轨迹,分别起始于0,-4, 24j -±终于无穷远处 实轴上的根轨迹分布在-4~0之间; 渐近线条数为n-m=4-0=4 渐进线的交点04242424j j σ++++-=-=-渐近线的倾角45,135θ︒︒=±±分离点22[()()]042472800d G s H s s s s ds=⇒+++=解得: 2s =-由()()1G s H s =得21224(2)4220K=--+--⨯+, K=64绘制系统根轨迹,如图4-1(2)图4-1(1)图4-1(2)4-2 已知系统的开环传函为(2)(3)()()(1)K s s G s H s s s ++=+(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图,求取分离点和会和点 (2) 试证明系统的轨迹为圆的一部分解:有2个开环极点,2个开环零点,有2条根轨迹,分别起始于0,-1; 终于-2,-3;实轴上的根轨迹分布在-3~-2之间及-1~0之间分离会和点2221,2,321[()()]02401,12123(2)()()()[()()]0[2(6)4]0203602,18()()[()()]00020,d G s H s s ds KK K s G s H s s s a d G s H s s s a s a dsa a a a s KG s H s sd G s H s s ds a s s =⇒+===-+⨯-++=+=⇒+++=⇒-+≥⇒≤≥===⇒=≤≤=23s ==解得:当10.634s =-时 由()()1G s H s =得(0.6342)(0.6343)10.070.6340.6341K K -+-+=⇒=-⨯-+当2 2.366s =-时 同理 K=13.9 绘制系统根轨迹 如图4-2证明:如果用s j αβ=+代入特征方程1()()0G s H s +=中,并经整理可得到以下方程式:2233()24αβ++=(注:实部虚部相等后消K 可得)显然,这是个圆的方程式,其圆心坐标为3(,0)2-,半径为2图4-24-3 已知系统的开环传函()()(1)(3)KG s H s s s =++(1) 试绘制系统参数K 从0→∞时系统的根轨迹图(2) 为了使系统的阶跃响应呈现衰减振荡形式,试确定K 的范围 解:有2个开环极点,无开环零点,有2条根轨迹,分别起始于-1,-3; 终于无穷远处;实轴上的根轨迹分布-3~-1之间; 渐近线条数2; 渐近线的交点13022σ+-=-=- 渐近线的倾角90θ︒=± 分离会和点[()()]0240d G s H s s ds=⇒+=解:S=-2由()()1G s H s =得1,12123KK ==-+⨯-+绘制系统根轨迹图4-3由图知 当1<K<+∞时系统的响应呈现衰减振荡形式4-4 设负反馈控制系统的开环传函为2(2)()()()K s G s H s s s a +=+试分别确定使系统根轨迹有一个,两个和三个实数分离点的a 值,分别画出图形 解:求分离点2[()()]0[2(6)4]0d G s H s s s a s a ds=⇒+++=解得s=0,或分离点为实数2203602a a a ⇒-+≥⇒≤或18a ≥当a=18时 实数分离点只有s=0 如图4-4(1)当a>18时 实数分离点有三个,分别为1,2,3(6)0,4a s -+=如图4-4(2)当a=2时2()()K G s H s s =分离点[()()]00d G s H s s ds=⇒= 即分离点只有一个s=0 如图4-4(3) 当02a ≤≤分离点有一个s=0 如图4-4(4) 当a<0时 分离点有1230,s s s ===(舍去)如图4-4(5)综上所述：当a=18,0≤a ≤2时，系统有一个分离点 当a ＞18时，系统有三个实数分离点 当a ＜0时，系统有两个分离点a=18图4-4(1) a=2图4-4(2)图4-4(3) a=1图4-4(4)图4-4(5)4-65 已知系统的开环传递函数为3(1)(3)()()K S S G S H S S++=（1）绘制系统的根轨迹。
自动控制原理第4章习题解——邵世凡
第四章 习题4-1 绘制具有下列开环传递函数的负反馈系统的根轨迹1、()()()()54*++=s s s K s H s G解：首先确定开环传递函数中的零极点的个数各是多少。
由开环传递函数可知 m=0，n=3，n -m=3。
即，有限零点为0个，开环极点为3个。
其中，3个开环极点的坐标分别为：p 1=0，p 2=-4，p 3=-5。
然后，在[s]平面上画出开环极点的分布情况，根据根轨迹方程的幅角条件：首先确定实轴上的闭环系统的根轨迹。
如图所示。
接着再通过所需参数的计算画出比较精确的根轨迹通过画实轴上的根轨迹图可知，有3条闭环根轨迹，分别从p 1=0，p 2=-4，p 3=-5出发奔向无穷远处的零点。
在这一过程中，从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后进入复平面，因此，有必要进行分离点的坐标计算，渐进线在实轴上的坐标点和渐进线的角度计算，以及与虚轴交点的计算。
根据公式有：渐进线303054011-=----=--=∑∑==mn zp n i mj jiσ()() ,,331212ππππϕ±±=+=-+=k mn k a从p 1=0，p 2=-4两个极点出发的根轨迹在实轴上相遇后将沿着±60º进入复平面，分离点：设：()1=s N ；()()()s s s s s s s D 2095423++=++=；()0'=s N ；()201832'++=s s s D则有：()()()()()0201832''=++-=⋅-⋅s s s D s N s D s N[s ]0201832=++s s解得方程的根为s 1= -4.5275（不合题意舍去）；s 2= -1.4725 得分离点坐标：d = -1.4725。
与虚轴的交点：在交点处，s=j ω，同时也是闭环系统的特征根，必然符合闭环特征方程，于是有：()020********=++--=+++*=*K j j K s s sj s ωωωω整理得： 0203=-ωω；092=-*ωK 解得01=ω；203,2±=ω；18092==*ωK 最后，根据以上数据精确地画出根轨迹。
自动控制原理第二版第四章课后答案
自动控制原理第二版第四章课后答案【篇一：《自动控制原理》第四章习题答案】4-1 系统的开环传递函数为g(s)h(s)?k*(s?1)(s?2)(s?4) 试证明点s1??1?j3在根轨迹上，并求出相应的根轨迹增益k*和开环增益k。
解若点s1在根轨迹上，则点s1应满足相角条件?g(s)h(s)??(2k?1)?，如图解4-1所示。
对于s1= -1+j3，由相角条件?g(s1)h(s1)?0??(?1?j3?1)??(?1?j3?2)??(?1?j3?4)? 0??2??3??6???满足相角条件，因此s1= -1+j3在根轨迹上。
将s1代入幅值条件： g(s1)h（s1?k*?1?1?j3?1??1?j3?2??1?j3?4k8*解出： k=12 ，k=*?324-2 已知开环零、极点如图4-2 所示，试绘制相应的根轨迹。
解根轨如图解4-2所示：4-3 单位反馈系统的开环传递函数如下，试概略绘出系统根轨迹。
⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)k(s?5)s(s?2)(s?3)* ⑵ g(s)?⑶ g(s)?k(s?1)s(2s?1)解⑴ g(s)?ks(0.2s?1)(0.5s?1)=10ks(s?5)(s?2)系统有三个开环极点：p1?0,p2= -2,p3 = -5①实轴上的根轨迹：???,?5?, ??2,0?0?2?57?????a??33②渐近线： ????(2k?1)????,?a?33?③分离点：1d?1d?5?1d?2?0解之得：d1??0.88，d2?3.7863(舍去)。
④与虚轴的交点：特征方程为 d(s)=s3?7s2?10s?10k?0?re[d(j?)]??7?2?10k?0令 ? 3im[d(j?)]????10??0?解得?????k?7。
根轨迹如图解4-3(a)所j）与虚轴的交点（0，?示。
⑵根轨迹绘制如下：①实轴上的根轨迹：??5,?3?, ??2,0?0?2?3?(?5)????0a??2②渐近线： ????(2k?1)????a?22?③分离点： 1d?1d?2?1d?3?1d?5用试探法可得 d??0.886。
自动控制原理课后习题第四章答案
然后，根据闭环传递函数的定义，闭环传递函数F(s)=G(s)/(1+G(s)H(s))。
解析3
将G(s)H(s)代入闭环传递函数的定义中，得到F(s)=100/((s+1)^2+3)/(1+100/((s+1)^2+4)((s+1)^2+3))。
解析4
化简得到F(s)=100/((s+1)^2+3)(4((s+1)^2+3))=400/(4(s^2+2s+3))。
1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
04
题目四答案
题目内容
• 题目四：已知系统的开环传递函数为 G(s)H(s)=K/(s^2+2s+2)，其中K>0，试 求系统的闭环极点和稳定性。
答案解析
闭环极点
根据开环传递函数，我们可以求出闭环传递函数为 G(s)H(s)/(1+G(s)H(s))，然后求出闭环极点。由于开环传递函 数为K/(s^2+2s+2)，所以闭环极点为-1±√2i。
标准形式，即 G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
02
解析二
根据开环传递函数的分子和分母，可以得出系统的开环传递函数为
G(s)H(s) = (s + 1)(s + 2)/(s^2 + 3s + 2)。
03
解析三
根据开环传递函数，可以求出系统的闭环传递函数为 G(s)H(s) = (s +
自动控制原理课后习题第四章 答案
自动控制原理-吴怀宇-课后习题-第四章
第四章4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)KG s s s s =++ 试绘制该系统在正、负反馈情况下的根轨迹图。
解：（1）负反馈情况令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为(][],2,1,0-∞--两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3a k k n m ππϕ++=-（）（），（k=0,1,2）当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为60°，180°，-60° 确定分离点，由111++=012d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于2d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为1d确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232=0s s s K +++令=s j ω 代入上式得3232=0j j K ωωω--++ 写出实部和虚部方程233=020K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩可求得=006K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩因此，根轨迹在ω=6K =；另外实轴上的根轨迹分支在0ω=处与虚轴相交。
负反馈系统根轨迹如下图所示（2）正反馈情况令(1)(2)=0s s s ++，解得 3个开环极点1230,1,2p p p ==-=-根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)j j j -- 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为[](]2,1,0,--+∞两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111n mi ji j a p zn mσ==-==--∑∑渐近线与实轴正方向的夹角为2=3a k πϕ，（k=0,1,2）当k=0,1,2时，计算得a ϕ分别为0°，120°，-120° 确定分离点，由111++=012d d d ++解得120.42, 1.58d d =-=-由于1d 不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为2d确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232-=0s s s K ++将=s j ω 代入上式得3232-=0j j K ωωω--+ 写出实部和虚部方程23-3=020K ωωω⎧-⎪⎨-=⎪⎩可求得=00-6K K ωω⎧⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩ 因此，根轨迹在0ω=处与虚轴相交。
自动控制原理第四章习题
s3 (0.88) 2 0 (2) (5) s3 5.24
解：本系统有三个开环极点
p1 0, p2 2 2 j, p3 2 2 j
和一个开环零点 z1 5 由a点导出的相量相角分别为
(a p1 ) a 180 0 (a p2 ) (a 2 2 j ) 296 .60 (a p3 ) (a 2 2 j ) 63.40 (a z1 ) (a 5) 00
根轨迹在实轴上应分布于（－∞，0］ 由于实轴上－∞与－10之间存在根轨迹，故在－∞ 与－10之间存在分离点。
用重根法求分离点
D( s ) N ( s ) N ( s ) D( s ) 0
' '
本题中，N s 3 , D s 2 20 s 100 ( s 10) 2 得s1, 2 （舍去） 3 10 0 ,s （舍去） 4 30 ,s
i 1 j 1 m n
可见c点不满足相角条件，不在根轨迹上
4.8 已知系统的开环传递函数为
Gk ( s ) Kg 2 s ( s 3s 9)
试用根轨迹法确定使闭环系统稳定 的Kg取值范围
解：（1）根轨迹关于实轴对称 3 3 3 p1, 2 j , p3 0 （2）系统有三个开环极点 2 2 没有开环零点 （3）本系统中n-m=3,因此根轨迹有三条分支。起 3 3 3 0, j 点为系统的开环极点 ，终点都趋向 2 2 于无穷远。 （4）实轴上的根轨迹区间为（－∞，0］
自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题
4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函数。
（1）210s cs c +++=，以c 为可变参数。
（2）3(1)(1)0s A Ts +++=，分别以A 和T 为可变参数。
（3）1()01I D P k k s k G s ss τ⎡⎤+++=⎢⎥+⎣⎦，分别以P k 、I K 、T 和τ为可变参数。
4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为(31)()(21)K s G s s s +=+试用解析法绘出开环增益K 从0→+∞变化时的闭环根轨迹图。
4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求确定分离点坐标）。
（1）()(0.21)(0.51)KG s s s s =++（2）(1)()(21)K s G s s s +=+（3）(5)()(2)(3)K s G s s s s +=++4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图（要求算出起始角）。
（1）(2)()(12)(12)K s G s s s j s j +=+++-（2）(20)()(1010)(1010)K s G s s s j s j +=+++-4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为*2()()(10)(20)K s z G s s s s +=++试确定闭环产生纯虚根1j ±的z 值和*K 值。
4-6已知系统的开环传递函数为*22(2)()()(49)K s G s H s s s +=++试概略绘出闭环根轨迹图。
4-7设反馈控制系统中*2()(2)(5)KG s s s s =++（1）设()1H s =，概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性（2）设()12H s s =+，试判断()H s 改变后的系统稳定性，研究由于()H s 改变所产生的影响。
自动控制原理 4-5章习题与解答习题课后校对稿
可知： K 增大时， % ， t p 。
4
4-9 设电子心率起搏器系统如图 4-41 所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一个纯积 分器。要求：
（1）若 0.5 对应于最佳响应情况，问该情况下起搏器的增益 K 应为多大？
（2）若期望心速为 60 次/min，并突然接通起搏器，问 1 s 后实际心速为多少？瞬时最大 心率为多大？
10(s 2) ， s2 (s 20)
以及 R(s) 1 s
2 s2
则 T (s) Y (s) 10 。 R(s) s 20
4-5 某控制系统结构图如图 4-38 所示，其中 K1 5 ， T1 0.5 。 （1）求系统的单位阶跃响应； （2）计算系统的性能指标 tr ， t p ， ts ( 5% )， % ；
T1 5T1
（1）该系统的单位阶跃响应为
y(t) 2.51
e nt 1 2
sin(d t
)
2.51
23 3
e nt
sin(
3t
)
3
2.51
1.1547e t
sin(1.7321t
3
)
（2）系统的性能指标为：
解之得： K 25 ， n 25
（2）闭环传递函数写为： T (s)
s2
625 25s 625
，闭环极点 s1,2
12.5
j12.5
3。
方法一：系统的阶跃响应为
y(t) 1
1 1
2
e nt
sin( n
黄家英自动控制原理第二版第四章习题答案
dG !K (s ) d (s 1) c、 分 离 点 ： [ 2 ] 0 ds ds s (s 2)(s 4) 或： 3s 4 16s 3 26s 2 16s 3s(s 3.08)[(s 1.12) 0.692 ] 0 经 检 验 可 得 分 离 点 为 d 3.08 ： 概 略 绘 制 系 统 的 根 轨如 图 所 示 。 迹
由根轨迹图可见，负馈系统稳定时的开环轨迹 反 根 增 益 临 界 值 为 ： gc 12 即 开 环 增 益 临 界 值c K gc / 8 1.5） K （ K , 而正反馈系统为结构不稳定的。 性
j
0 -4
-2 -1
负反馈
j
0
正反馈
B4.14 设某单位反馈位置随动系统的开环传递函数为
2 2
经检验分离点为： d 1 6 d 2 , 3 6 j 28 6 j5.29
j
-12
-8
-4
0
B4.5 设单位反馈系统的开环传递函数为
要求： (1)绘制系统的根轨迹； (2)确定系统的临界开环增益； (3)当系统的暂态响应为欠阻尼、临界阻尼或过阻尼时， 试分别求其开环增益的取值范围。
241 5 nm 41 3 c、 根 轨 迹 与 虚 轴 的 交 ： 点 a 令 s j,由 特 征 方 程 可 得 ；
4 D（j）（j） 6( j) 3 8( j) 2 jK g K g 0
p 0i Z 0 j
4 8() 2 K g 0 或 联 立 求 解 得 ： 0和 2 3 6() K g 0 于 是 可 概 略 绘 制 系 统根 轨 迹 如 图 所 示 。 的
自动控制原理答案(黄坚)第四章
第四章 根轨迹分析法习题4-2 单位回馈控制系统的开环传递函数1)(+=s K s G r，试用解析法绘出r K 从零变化到无穷时的死循环根轨迹图，并判断-2, j1, (-3+j2)是否在根轨迹上。
解：1-s 01s 0r=⇒=+=时，K2-s 02s 1r=⇒=+=时，K3-s 03s 2r=⇒=+=时，K……-2 在根轨迹上，（-3+j2），j1不在根轨迹上。
4-3 回馈控制系统的开环传递函数如下，0≥r K ，试画出各系统的根轨迹图。
(2) )4)(1()5.1()(+++=s s s s K s G r (3) 2)1()(+=s s K s G r ，解：（2）1）开环零、极点：p 1=0，p 2=-1,p 3=-4,z=-1.0，n=3，m=1 2）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1.5，-4） 3）根轨迹的渐近线：︒±=±=-+±=-=----=902)12(,75.12)5.1(410)2( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点6.05.1141111-=+=++++d d d d d 试探法求得（3）1）开环零、极点：p 1=0，p 2,3=-1，n=32）实轴上根轨迹段：（0，-1），（-1，-∞） 3）根轨迹的渐近线：±=-+±=-=--=3)12(,323110)3( ππϕσm n k aa夹角交点条渐近线4）分离点和会合点310121-=⇒=++d d d 5）与虚轴交点：223++s s4-5 系统的开环传递函数为)1()2()(++=s s s K s G r ，(1) 画出系统的根轨迹，标出分离点和会合点；(2) 当增益r K 为何值时，复数特征根的实部为-2？求出此根。
解： （1）1）开环零、极点：p 1=0，p 22）实轴上根轨迹段：（0，-13）分离点和会合点.3,586.02111121-=-=⇒+=++d d d d d123s s s s r2K -r21 1K rKj,202rr±==⇒=-s K K（2）系统特征方程为02)1(rr2=+++K s K s2j 2322122,1rr±-==-=+-=-s K Ka b ，，得：由4-6 单位回馈系统的前向信道函数为)3)(1()(++=s s s K s G r，为使死循环主导极点具有阻尼比5.0=ξ，试确定r K 的值。
自动控制原理课后答案第4章
5
的不同，系统的稳定性和动态性能不一定能同时得到满足。因此，只有当附加开环零点的位 置选配得当，才有可能使系统的稳态性能和动态性能同时得到显著改善。 ② 增加开环极点 增加开环极点后，系统阶次升高，渐近线数量增加，使得渐近线与实轴的夹角变小，从 而导致根轨迹向右弯曲，致使系统不稳定成分增加。同时，实轴上的分离点也向右移动。系 统响应减缓，过渡过程延长，调节时间增加，系统的稳定性降低。当增加的极点在[-1,0]范 围内时，越靠近虚轴的极点，其产生的阶跃响应振荡越剧烈，稳定性越差；而当增加的极点 在(-∞, -1)范围内时，越远离虚轴的极点，对根轨迹的影响越小，从而对系统的动态性能影 响越小。
式中，A(s)为开环传递函数的分母多项式，B(s)为开环传递函数的分子多项式。则分离点或 会合点坐标可用下式确定，即 A( s) B '( s ) A '( s ) B ( s ) 0 3）极值法
dK 0 ds
规则 7：根轨迹的出射角和入射角 根轨迹的出射角是指根轨迹离开开环复数极点处的切线与实轴正方向的夹角，如图 4-2 中的角 p1 ； 而根轨迹的入射角是指根轨迹进入开环复数零点处的切线与实轴正方向的夹角， 如图 4-2 中的角 z1 。
n n
n l
m
s
l 1
n
(1) n pi (1) m K z j
i 1
n
j 1
( 1)
n
s
l 1
l
(1)
nLeabharlann pi 1i
K （系统无开环零点时）
5、根轨迹与系统性能之间的关系 根轨迹可以直观地反映闭环系统特征根在[s]平面上的位置以及变化情况，所以利用根轨 迹可以很容易了解系统的稳定性和动态性能。除此之外，由于根轨迹上的任意一点都有与之对 应的开环增益值，而开环增益又与系统稳态误差有一一对应的关系，因此通过根轨迹也可以 确定出系统的稳态误差，或者根据给定系统的稳态误差要求，来确定闭环极点位置的容许范 围。由此可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
自动控制原理第四章课后答案
点),3(j -不在根轨迹上。
（3）求5.0=ξ等超调线与根轨迹的交点方法一 ︒=60β，设等超调线与根轨迹交点A s 坐标实部为σ-，则σσ3,j s B A ±-=，有 162)3)(3(2++=++-+as s j s j s σσσσ 令等式两边s 各次项系数分别相等，得⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==4216422a aσσσ 方法二 由特征方程01622=++as s ，按照典型二阶系统近似计算得：⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧==442162a an n n ωξωω 另外，把n n n n j j s ωωωξξω87.05.012+-=-+-=代入特征方程也可求得同样结果。
2-4-6 已知单位负反馈系统的开环传递函数为)1(4/)()(2++=s s a s s G（1）试绘制参数a 由+∞→0变化的闭环根轨迹图；（2）求出临界阻尼比1=ξ时的闭环传递函数。
【解】：（1）系统特征方程为01)144(04401)1(4)(2232=+++⇒=+++⇒=+++s s s a a s s s s s a s等效开环传递函数为： 22)5.0(25.0)144()(+=++='s s a s s s as Ga 由∞→0变化为一般根轨迹。
① 开环极点5.0,03,21=-=-p p 。
② 渐近线与实轴的交点：31-=-σ，渐近线倾角：︒︒︒=300,180,60θ。
③ 实轴上的根轨迹在区间]0,(-∞。
④ 分离点 由 0)()()()(='-'s Q s P s Q s P 得 025.0232=++s s 解得5.01-=s 为起点，17.0612-=-=s 为分离点。
074.0=a 。
⑤ 根轨迹与虚轴的交点 令ωj s =，代入特征方程得⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+-=+-⇒=++--15.0025.0025.0025.025.02323a a a j j ωωωωωωω⑥ 该系统根轨迹如题2-4-6解图所示。
胡寿松自动控制原理习题解答第四章
4-1 设单位反馈控制系统的开环传递函数 1)(+=∗s K s G试用解析法绘出∗K 从零变到无穷时的闭环根轨迹图，并判断下列点是否在根轨迹上： （－２＋ｊ０）， （０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２） 解：有一个极点：（－1＋ｊ０），没有零点。
根轨迹如图中红线所示。
（－２＋ｊ０）点在根轨迹上，而（０＋ｊ１）， （－３＋ｊ２）点不在根轨迹上。
4-2 设单位反馈控制系统的开环传递函数 )12()13()(++=s s s K s G 试用解析法绘出开环增益K 从零增加到无穷时的闭环根轨迹图。
解：系统开环传递函数为)2/1()3/1()2/1()3/1(2/3)(++=++=s s s K s s s K s g G 有两个极点：（0＋ｊ０），（－1/2＋ｊ０），有一个零点（-1/3，j0）。
根轨迹如图中红线所示。
4-3 已知开环零、极点分布如图4-28所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。
图4-28 开环零、极点分布图4-4 设单位反馈控制系统开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求确定分离点坐标d)： (1) )15.0)(12.0()(++=s s s Ks G解：系统开环传递函数为)2)(5()2)(5(10)(++=++=s s s K s s s Ks g G 有三个极点：（0＋ｊ０），（－2＋ｊ０），（－5＋ｊ０）没有零点。
分离点坐标计算如下：051211=++++d d d 3解方程的010142=++d d 7863.31−=d ，d 88.02−=取分离点为88.0−=d根轨迹如图中红线所示。
（2） )12()1()(++=s s s K s G解：系统开环传递函数为)5.0()1()5.0()1(2/)(++=++=s s s K s s s K s g G有两个极点：（0＋ｊ０），（－0.5＋ｊ０），有一个零点（－1＋ｊ０）。
分离点坐标计算如下：115.011+=++d d d 解方程的05.022=++d d 7.11−=d ，d 29.02−=取分离点为7.11−=d ，29.02−=d 根轨迹如图中红线所示。
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根轨迹绘于图4-18。
图4-8 例6的以 为变量的根轨迹
例8已知系统开环传递函数为
试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。
解
起点：系统有四个开环极点 。
终点：一个开环有限零点 。
（1）负反馈
1）实轴上根轨迹区间为 。
2）渐近线计算
3）与虚轴交点
将 代入系统特征方程 ，得
由实部虚部分别相等，得
解得
则根轨迹与虚轴的交点为
对应的根轨迹放大系数为 。
根轨迹如图4-11所示。
图4-11 例8负反馈情况下的根轨迹图
（2）正反馈
1）实轴上 [-4，-2]，［-1,0］区间为根轨迹。
2）渐近线计算
3）分离点计算
由 得
解得 ,
由于实轴上根轨迹的区间为[-4，-2]，［-1,0］，所以分离点取 。
根轨迹如图4-12所示。
例3负反馈控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益 。
解
1)起点：三个开环极点为 。
终点：三个无穷零点
2)实轴上的根轨迹区间为[-1，0]，（ ，-10]。
3)分离点、会合点计算
整理得
解得 （舍去）
4) 渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
5）与虚轴的交点
系统的特征方程为
令 得
即
解得
即根轨迹与虚轴的交点为
根轨迹绘于图4-3。
图4-3题3的根轨迹图
例4设系统结构图如图4-4所示。为使闭环极点位于
试确定增益 和反馈系数 的值，并以计算得到的 值为基准，绘出以 为变量的根轨迹。
图4-4例4的控制系统结构图
解
系统闭环传递函数为
由于闭环极点位于 ，则系统闭环特征方程为 =
（1）
解
1）起点：两个开环极点 。
终点：系统有一个 。
2）实轴上根轨迹区间为 。
3）渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
4）求分离点，会合点
由 得
整理得
解得 ， 。
由于实轴上的根轨迹在 区间内，所以分离点应为 。
5）出射角算
由 得
同理， 。
根轨迹如图4-2所示。
图4-2例2根轨迹图
整理得
=
所以 ,
系统开环传递函数
1）起点：两个开环极点 。
终点：一个开环零点。
2）实轴上的根轨迹区间为（ ，-2]。
3）分离点，会合点计算
整理得
则
4）渐近线计算
由公式
求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为
根轨迹绘于图4-5。
图4-5例5的以 为变量的根轨迹
例5已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为 ,试画出以 为常数、 为变数时，系统特征方程式的根在 平面上的分布轨迹。
解
系统特征方程为
系统的特征根为
或
当 为常数， 为变数时，系统特征方程的根在 复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以 为半径的圆，如图4-6所示。
图4-6例5根轨迹分布图
例6设系统结构图如图4-7所示。为使闭环极点位于
试确定增益 和反馈系数 的值，并以计算得到的 值为基准，绘出以 为变量的根轨迹。
图4-7例6的控制系统结构图
图4-12 例8正反馈情况下的根轨迹图
例9给定控制系统的开环传递函数为
试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。
解闭环特征方程
改写为
等效的开环传递函数为
该系统在绘制以为参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。
相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当 时，系统处于临界稳定状态。
闭环系统稳定的范围：
解
系统闭环传递函数为
由于闭环极点位于 ，则系统闭环特征方程为 =
整理得
=
所以 ,
以 值为基准，绘制以 为变量的根轨时，系统对应的等效开环传递函数为：
4）起点：两个开环极点 。
终点：一个有限零点， 。
5）实轴上的根轨迹区间为（ ，0]。
6）分离点，会合点计算
整理得
则
根据题意，实轴上的根轨迹在（ ，0]区间内，所以会合点为 。
第四章：
例1求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。
解
1）起点：两个开环极点为 ；
终点：系统有一个开环零点为 。
2）实轴上的根轨迹区间为 。
3）根轨迹的分离点、会合点计算
即
因为根轨迹在 和 上，
所以，分离点为 ，会合点为 。
根轨迹如图4-1所示。
图4-1根轨迹图
例2求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。