自动控制原理习题第四章

第四章：

例1 求下列各开环传递函数所对应的负反馈系统的根轨迹。 (3)()(1)(2)

g K K s W s s s +=

++

解 1）

起点：两个开环极点为1212p p -=--=-，

； 终点：系统有一个开环零点为3z -=-。 2） 实轴上的根轨迹区间为]([],3,2,1-∞---。 3）

根轨迹的分离点、会合点计算

'()()'()()0D s N s N s D s -=

即

[](1)(2)(3)(1)(2)0s s s s s ++-++++=

2670s s ++=

1,211

(6(6322

s =-=-=-±因为根轨迹在 ](,3-∞-和[]2,1--上， 所以，分离点为 1.58-，会合点为 4.42-。 根轨迹如图4-1所示。

图4-1根轨迹图

例2 求下列各环传递函数所对应的负反馈系统根轨迹。 （1）2(2)()23

g K K s W s s s +=++

解

1）起点：两个开环极点 1211p p -=-+-=--。 终点：系统有一个 2 z -=-开环零点。

2）实轴上根轨迹区间为 (2]-∞-，

。

3）渐近线计算

由公式()

()

1

1

18012 0,1,2,n m j i j i k n m p z n m μ?μσ==?±?+=

=?-?

?

-?

?-=--?

∑∑

求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为

180(12)

18021μ?±?+=

=?-

22

021

k σ--=-=- 4）求分离点，会合点 由'()()'()()0D s N s N s D s -=得

223(2)(22)0s s s s ++-++=

整理得2410s s ++=

解得12s =-

22s =-

由于实轴上的根轨迹在()2-∞，

区间内，所以分离点应为12 3.7s =-≈-。 5）出射角计算

由111180n m sc j i j i ββα-==??

=-- ???

∑∑得

()11809054.7

144.7sc β=--=

同理，2144.7sc β=-。 根轨迹如图4-2所示。

图4-2 例2根轨迹图

例3 负反馈控制系统的开环传递函数如下，绘制概略根轨迹，并求产生纯虚根的开环增益l K 。

()(1)(10)

g

K K W s s s s =

++

解 1)

起点：三个开环极点为 1230,1,10p p p -=-=--=-。

终点：三个无穷零点 2) 实轴上的根轨迹区间为[-1，0]，（∞-，-10]。 3)

分离点、会合点计算

'()()'()()0D s N s N s D s -=

整理得

2322100s s ++=

解得 120.49 6.85s s =-=-，

（舍去） 4) 渐近线计算

由公式()()11

18012 0,1,2n m j i j i k n m p z n m μ?μσ==?+==?

-???-?

?-=-?-?

∑∑， 求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为

???=+?=

300,180,603

)

21(180μ?

110

3.673

K σ+-=-=-

5）与虚轴的交点

系统的特征方程为 ()()1100g s s s K +++= 令ωj s = 得 0)10)(1(=+++g K j j j ωωω

即 ??

???=-=-0110102

3g K ωωω 解得

ω=

即根轨迹与虚轴的交点为1,2110g l s K K =±== 根轨迹绘于图4-3。

图4-3 题3的根轨迹图

例4 设系统结构图如图4-4所示。为使闭环极点位于

1s =-±

试确定增益K 和反馈系数h K 的值，并以计算得到的h K K 、值为基准，绘出以h K 为变量的根轨迹。

图4-4 例4的控制系统结构图

解

系统闭环传递函数为

2

B 2h h 2()1(1)K K

s W s K

s KK s K

K s s

=

=

+++

+

由于闭环极点位于1s =-±，则系统闭环特征方程为2

h s KK s K ++=)31)(31(j s j s -+++ 整理得

2h s KK s K ++=422++s s

所以4=K ,h 0.5K = 系统开环传递函数

2

(2)

()h K K s W s s +=

1）

起点：两个开环极点1,20p -=。

终点：一个开环零点。 2） 实轴上的根轨迹区间为（∞-，-2]。 3）

分离点，会合点计算

'()()'()()0D s N s N s D s -=

整理得

0)2(22=+-s s s

则 12s 0,s 4==- 4）渐近线计算

由公式()()

1

1

18012 0,1,2,n m j i j i k n m p z n m μ?μσ==?±?+==?

-?

?

-?

?-=--?

∑∑

求得根轨迹的渐近线倾角和渐近线与实轴的交点为

180(12)

1803μ?±?+=

=?

2

21

K σ--=-=

根轨迹绘于图4-5。

图4-5 例5的以h K 为变量的根轨迹

例5 已知单位反馈控制系统的闭环传递函数为2n

22

n

()=s 2B n W s s ωξωω++,试画出以n ω为常数、ξ为变数时，

系统特征方程式的根在s 平面上的分布轨迹。 解

系统特征方程为22

n s 20n s ξωω++=

系统的特征根为

1,21)n p ξωωξ-=-±≥

或

1,21)n p j ξωωξ-=-±<

当n ω为常数，ξ为变数时，系统特征方程的根在s 复平面上分布的轨迹为以原点为圆心、以n ω为半径的圆，如图4-6所示。

图4-6 例5根轨迹分布图

例6设系统结构图如图4-7所示。为使闭环极点位于

1s =-±

试确定增益K 和反馈系数h K 的值，并以计算得到的K 值为基准，绘出以h K 为变量的根轨迹。

图4-7例6的控制系统结构图

解

系统闭环传递函数为

B 2

h h 2

()1(1)K K

s W s K

s KK s K

K s s =

=

+++

+

由于闭环极点位于1s =-±，则系统闭环特征方程为2h s KK s K ++=)31)(31(j s j s -+++ 整理得

2h s KK s K ++=422++s s

所以4=K ,h 0.5K =

以4=K 值为基准，绘制以h K 为变量的根轨时，系统对应的等效开环传递函数为：

24()4

eq h K K s

W s s =

+ 4）

起点：两个开环极点1,22p j -=±。

终点：一个有限零点，10z -=。 5） 实轴上的根轨迹区间为（∞-，0]。 6）

分离点，会合点计算

'()()'()()0D s N s N s D s -=

整理得

24s =

则 1222s s =-=，

根据题意，实轴上的根轨迹在（∞-，0]区间内，所以会合点为12s =-。 根轨迹绘于图4-18。

图4-8 例6的以h K 为变量的根轨迹

例8已知系统开环传递函数为

)

4)(2()1()(2+++=

s s s s K s W g K

试绘制系统在负反馈与正反馈两种情况下的根轨迹。 解

起点：系统有四个开环极点1,2340,2,4p p p -=-=--=-。 终点：一个开环有限零点1z -=-。 （1）负反馈

1）实轴上根轨迹区间为 (,4] , [2,1]-∞---。 2）渐近线计算

180(12)60,180o n m

μ?+==±-

2415

33

k σ+--=-=-

3）与虚轴交点

将s j ω=代入系统特征方程1()0K W s =＋，得

2()(2)(4)(1)0g j j j K j ωωωω++++=

由实部虚部分别相等，得42

3

80

60g g K K ωωωω?-+=??-+=??

解得222 =612g K ωωω=== 则根轨迹与虚轴的交点为

1,2=s ±对应的根轨迹放大系数为 12g K =。 根轨迹如图4-11所示。

图4-11 例8负反馈情况下的根轨迹图

（2）正反馈

1）实轴上 [-4，-2]，［-1,0］区间为根轨迹。 2）渐近线计算

360120,0n m

μ

?=

=±- 2415

33

k σ+--=-=-

3）分离点计算

() 1 N s s =+

2()(2)(4)D s s s s =++

'() 1 N s =

222

2

'()(2)2(2)(4)(4) =s (26)2(68)

D s s s s s s s s s s s s =++++++++++

由'()()'()()0D s N s N s D s -=得

3222(41816)(1)(68)0s s s s s s s +++-++=

32(3162616)0s s s s +++=

解得 1 3.1s ≈-,23,40 1.12,0.68s s j ==-±,

由于实轴上根轨迹的区间为[-4，-2]，［-1,0］，所以分离点取1 3.1s =-。 根轨迹如图4-12所示。

图4-12 例8正反馈情况下的根轨迹图

例9 给定控制系统的开环传递函数为

(),0(2)

K s a

W s a s s a +=

≥-

试作出以为参变量的根轨迹，并利用根轨迹分析取何值时闭环系统稳定。 解 闭环特征方程22(21)(1)0s as s a s s a s -++=+--= 改写为(1)

10(21)

a s s s --

=+

等效的开环传递函数为(1)

()(21)

eq a s W s s s -=-

+

该系统在绘制以为 参变量的根轨迹时，应遵循零度根轨迹的绘制规则。 相应的根轨迹绘于右图。由图可知，当1a =时，系统处于临界稳定状态。 闭环系统稳定的范围：01a <<

图4-13 例9 系统的根轨迹