压杆稳定及欧拉公式
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2
0.7 7
2 200109
64
2645 kN
Plj
EI 2 L
2
0.164
2
0.5 9
64
3136kN
P cr ( a ) P cr (b ) P cr (c )
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1
和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
F=
n22EI
l2
使压杆在微弯状态下保持平衡的 最小轴向压力即为压杆的临界载荷
n=1
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
第二节 细长压杆的临界应力 临界载荷:
欧拉公式
F cr =
说明:
2EI
l2
—欧拉公式
x y z
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比; 2、临界载荷Fcr与杆长成反比; 3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin; 已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
压杆稳定的概念
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则 称原来的直线平衡构形是不稳定的。
弯 曲 平 衡 构 形
临界载荷:
用Fcr 表示
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
失稳(屈曲)
在扰动作用下，直线平衡构 形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形 的过程，称为屈曲或失稳。
稳定性——指承载物体在外界干扰下保 持原有平衡状态的能力。
第一节 概述
刚体平衡的稳定性 稳定平衡
不稳定平衡
第一节 概述
杆件平衡的稳定性
● 受拉杆的平衡是稳定的，不讨
论其失稳问题。
●受压杆则要考虑稳定性问题。
●短粗的压杆——强度问题 ●细长的压杆——稳定性问题
10cm 3cm
第一节 概述
中心受压细长直杆的稳定性
压杆稳定的概念
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力
失稳（曲屈） 稳定的平衡 不稳定的平衡
Fcr
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力
第二种情况：
P 30 N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０分，位于南京大光路北 侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋 盖模板倒塌，部分施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人受伤 被送往医院抢救和治疗。
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵向平面（即最 小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力
欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
F F F F
各种支承压杆临界载荷的通用 公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
( l)2
2EI
——长度因数 l ——相当长度
z y b x h
2 EI P cr ( l )2
注意判断在哪个平面内失稳
1、若杆端在各个方向的约束情况都 相同（如球形铰），则 I 应取最小的 形心主惯性矩； 2、若杆端在各个方向的约束情况不同 （如柱形铰），则 I 应取挠曲时横截 面对其中性轴的惯性矩。
y
例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆
如图示，如取 E =200GPa，d =160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 压杆稳定概念及欧拉公式 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授Hale Waihona Puke Baidu
教学 目的
教学 重点 教学 难点
掌握压杆稳定概念
压杆稳定概念
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用
第七章 压杆稳定问题
A
P1
B
P2
A
B
a
C D C D
a
a
a
解：图(a)中，AD杆受压 2 EI N F N AD 2 P 1 2 2a
AB为零杆
1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压 2 E I FN N AB P 2 2 a
A B P1 P2
AC为零杆
P2
2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责任公司刚刚竣工的68米 高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民 工全部翻下坠落，造成21人死亡，9人受伤。
第一节 概述
上述细长压杆之所以失效，是由于稳定性不足 带来的，与杆件的强度刚度无关。这种失效我们称 为失稳，或称屈曲。
A
EI
2
a
2
B
a
C D C D
a
a
a
例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b
改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？
第一节 压杆稳定概念 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 压杆的稳定性计算举例
第一节 压杆稳定概念
• 问题引入
已知 : c 40 MPa, A 3 0.5 1.5 cm
2
求： 使其破坏所需压力。
3cm
第一种情况：
10cm
P c A 40 106 1.5 104 6000 N
0.7 7
2 200109
64
2645 kN
Plj
EI 2 L
2
0.164
2
0.5 9
64
3136kN
P cr ( a ) P cr (b ) P cr (c )
例2：图示两桁架中各杆的材料和截面均相同，设P1
和P2分别为这两个桁架稳定的最大荷载 (A) P1=P2 (B) P1<P2 (C) P1>P2 (D) 不能断定P1和P2的关系
稳定平衡
F
临界状态
F
不稳定平衡
F
F<Fcr
F=Fcr
F>Fcr
第一节 概述
压杆稳定的概念
平衡构形—压杆的两种平衡构形：
FP<Fcr : FP>Fcr : 直线平衡构形 弯曲平衡构形 (在扰动作用下)
直 线 平 衡 构 形
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
FP<Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲构 形，扰动除去后，能够恢复到直线平衡构形，则称原 来的直线平衡构形是稳定的。
7m
5m
(a)
(b)
9m (c)
解：三根压杆临界力分别为：
(a)
EI Plj 2 L
2
2 200109
0.164
64 2540kN
1 5
2
b c
EI Plj 2 L
2
2 200 109
0.164
欧拉公式
一、两端铰支细长压杆的临界载荷
F=
n22EI
l2
使压杆在微弯状态下保持平衡的 最小轴向压力即为压杆的临界载荷
n=1
F cr =
2EI
l2
—欧拉公式
第二节 细长压杆的临界应力 临界载荷:
欧拉公式
F cr =
说明:
2EI
l2
—欧拉公式
x y z
1、临界载荷Fcr与杆的抗弯刚度成正比; 2、临界载荷Fcr与杆长成反比; 3、欧拉公式中的横截面的惯性矩I应取最小值Imin; 已知：横截面尺寸为宽3cm，厚0.5cm
压杆稳定的概念
FP>Fcr :在扰动作用下，直线平衡构形转变为弯曲平 衡构形，扰动除去后，不能恢复到直线平衡构形，则 称原来的直线平衡构形是不稳定的。
弯 曲 平 衡 构 形
临界载荷:
用Fcr 表示
第一节 概述
压杆稳定与不稳定的静力学准则
失稳(屈曲)
在扰动作用下，直线平衡构 形转变为弯曲平衡构形，扰动除 去后，不能恢复到直线平衡构形 的过程，称为屈曲或失稳。
稳定性——指承载物体在外界干扰下保 持原有平衡状态的能力。
第一节 概述
刚体平衡的稳定性 稳定平衡
不稳定平衡
第一节 概述
杆件平衡的稳定性
● 受拉杆的平衡是稳定的，不讨
论其失稳问题。
●受压杆则要考虑稳定性问题。
●短粗的压杆——强度问题 ●细长的压杆——稳定性问题
10cm 3cm
第一节 概述
中心受压细长直杆的稳定性
压杆稳定的概念
弯 曲 平 衡 构 形
第一节 概述
使杆件保持稳定平衡状态的最大压力 ——临界压力
失稳（曲屈） 稳定的平衡 不稳定的平衡
Fcr
注： 压杆的临界压力Fcr越高，越不易失稳，即稳定性越好。 细长压杆失稳时的应力一般都小于强度破坏时的应力。 研究压杆稳定性的关键是确定临界压力。
第二节 细长压杆的临界应力
第二种情况：
P 30 N
2000年１０月２５日南京电视台演播中心工地事故造成５人死亡
新华网南京１０月２５日电（记者王家言）今天上午１０时３０分，位于南京大光路北 侧的南京电视台演播中心，在演播厅施工浇筑混凝土中，因脚手架失稳，造成演播厅屋 盖模板倒塌，部分施工人员被压。据统计，这次事故已造成５人死亡，另有３５人受伤 被送往医院抢救和治疗。
10cm
压杆失稳时，总是在抗弯能力为最小的纵向平面（即最 小刚度平面）内弯曲;
第二节 细长压杆的临界应力
欧拉公式
二、两端非铰支细长压杆的临界载荷
F F F F
各种支承压杆临界载荷的通用 公式: （仍称欧拉公式）
F cr =
( l)2
2EI
——长度因数 l ——相当长度
z y b x h
2 EI P cr ( l )2
注意判断在哪个平面内失稳
1、若杆端在各个方向的约束情况都 相同（如球形铰），则 I 应取最小的 形心主惯性矩； 2、若杆端在各个方向的约束情况不同 （如柱形铰），则 I 应取挠曲时横截 面对其中性轴的惯性矩。
y
例1：材料相同，直径相等的三根细长压杆
如图示，如取 E =200GPa，d =160mm,试计 算三根压杆的临界压力，并比较大小。
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 授课 授课 洪单平 12建筑工程 2013/3 教师 班级 时间 课 压杆稳定概念及欧拉公式 课型 题 教学 讲练结合 方法 学 时 2
面授Hale Waihona Puke Baidu
教学 目的
教学 重点 教学 难点
掌握压杆稳定概念
压杆稳定概念
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用
欧拉公式的使用
第七章 压杆稳定问题
A
P1
B
P2
A
B
a
C D C D
a
a
a
解：图(a)中，AD杆受压 2 EI N F N AD 2 P 1 2 2a
AB为零杆
1 EI P1 2 2 2 a
2
图（b）中，AB杆受压 2 E I FN N AB P 2 2 a
A B P1 P2
AC为零杆
P2
2004年5月12日上午9时20分，河南安阳信益电子玻璃有限责任公司刚刚竣工的68米 高烟囱施工工程，在准备拆除烟囱四周脚手架时，上料架突然倾翻，30名正在施工的民 工全部翻下坠落，造成21人死亡，9人受伤。
第一节 概述
上述细长压杆之所以失效，是由于稳定性不足 带来的，与杆件的强度刚度无关。这种失效我们称 为失稳，或称屈曲。
A
EI
2
a
2
B
a
C D C D
a
a
a
例3：长方形截面细长压杆，b/h=1/2；如果将 b
改为 h 后仍为细长杆，临界力Pcr是原来的多少倍？
第一节 压杆稳定概念 第二节 细长压杆的临界应力 欧拉公式 第三节 压杆的稳定性计算举例
第一节 压杆稳定概念
• 问题引入
已知 : c 40 MPa, A 3 0.5 1.5 cm
2
求： 使其破坏所需压力。
3cm
第一种情况：
10cm
P c A 40 106 1.5 104 6000 N