1.3晶面和晶向解析
01_03晶向晶面及标志
晶向指数
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
例：简单立方晶格的晶向标志 1）立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向
2）面对角线的晶向 共有12个
a3
O
a3
a 2 a 1 a 1
a2
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
3）体对角线OC的晶向
体对角线晶向共有8个 由于立方晶格的对 称性，以上3组晶向分 别是等效的，表示为
的晶面指数称为密勒指数，用(hkl)表示。
综上所述，晶面指数(h1h2h3 )表示的意义是；
(1)基矢a1 , a 2 , a 3 被平行的晶面等间距的分割成h1、h2、h3 等份； (2)以 a1 , a2 , a3 为各轴的长度单位所求得的晶面在坐标轴 上的截距倒数的互质比；
(3)晶面的法线与基矢夹角的方向余弦的比值。
以布拉菲原胞基矢 a , b,c 为坐标轴来表示
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
同一族的其它晶面的截距都是
的整数倍。
的倒数是晶面族中最靠近原点的晶面的截距。
用
标记这个晶面系
叫做 密勒指数。
以单胞的基矢为参考，所得 出的晶列指数和晶面的密勒指数， 有着重要的意义。
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
例2：如图所示 a b c ，I和H 分别为BC，EF之中点，试求晶面 AEG，ABCD，OEFG，DIHG的密
—— 符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外表面时才有 意义, 在晶体内部这些面都是等效的
01_03_晶向 晶面和它们的标志 —— 晶体结构
如图取一格点为顶点，原胞的三 个基矢 a1 , a 2 , a 3 为坐标系的三个轴， A3
晶面和晶向
所谓某晶面的原子密度指其单位面积中的 原子数，而晶向原子密度则指其单位长度 上的原子数。在各种晶格中，不同晶面和 晶向上的原子密度都是不同的。例如，在 体心立方晶格中的各主要晶面和晶向的原 子密度见表1-2
1.2.3 金属的同素异构转变
实际金属中的缺陷对材料力学性能 的影响如下：
点缺陷的存在，提高了材料的硬度和强度， 降低了材料的塑性和韧性，增加位错密度 可提高金属强度，但塑性随之降低
面缺陷能提高金属材料的强度和塑性 细化晶粒是改善金属力学性能的有效手段
某些金属在不同温度和压力下呈不同的晶体结构，同一 种固态的纯金属（或其他单相物质），在加热或冷却时 发生由一种稳定状态转变成另一种晶体结构不同的稳定 状态的转变，称为同素异构转变。此时除体积变化和热 效应外还会发生其他性质改变。例如Fe、Co、Sn、Mn 等元素都具有同素异构特性。
铁在结晶后继续冷却至室温的过程中，将发生两次晶格 转变，其转变过程如图1.2-14所示。铁在1394℃以上时具 有体心立方晶格，称为δ-Fe；冷却至1394~912℃之间， 转变为面心立方晶格称为γ-Fe；继续冷却至912℃以下又 转变为体心立方晶格，称为α-Fe。
2)确定晶面指数的步骤如下：
（1）设晶格中某一原子为原点，通过该点平行于 晶胞的三棱边作OX、OY、OZ三个坐标轴，以晶 格常数a、b、c分别作为相应的三个坐标轴上的量 度单位，求出所需确定的晶面在三坐标轴上的截 距（见图1.2-6）。
（2）将所得三截距之值变为倒数； （3）再将这三个倒数按比例化为最小整数，并加
3. 晶格的晶面和晶向
（1）晶面指数及晶向指数 （2）晶面及晶向的原子密度
1）晶面指数及晶向指数
晶向、晶面和它们的标志
[001]
[010]
[100]
[010] [001]
[100]
向为等效晶向，写成<100>。
1.3.2 晶面及密勒指数
1.晶面
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。 /
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111] /
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
(hkl)
AEG 的密勒指数是(111)； OEFG的密勒指数是(001)； DIHG的密勒指数是(120)。
C B I
G
a
O
E
H
F
/
例3:
在立方晶系中画出(210)、 (121) 晶面。
晶面在三个坐标轴上的截距分别为：
a
(210)
1 2
1
b1Leabharlann c 1CE
B D A
a
c
G
O a E H DIHG 2 1
F
晶面与晶向
晶格、晶列、晶面理想晶体可以看作0维原子质点在三维方向的周期排列一维原子阵列在二维方向的周期排列二维原子平面在一维方向的周期排列（本讨论假设一个晶格格点只有原子）1. 晶面：晶面指数•一个晶面不是指一个原子面，而是指晶体中一系列周期性排列的原子面；•晶面可以用三个整数标识。
标识晶面的三个整数称为晶面指数（密勒指数）。
acb xyz晶胞晶面指数这样确定：①选晶胞的任一顶点为原点，三条棱为坐标轴，建立坐标系；②以晶胞常数为单位，求出晶面中某原子面在三个坐标轴X、Y、Z上的截距（x、y、z），取其倒数。
注意截距可正可负；③将三个倒数约化为最小互质整数h、k、l，并用圆括号（hkl）表示，即为晶面指数。
有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６或关注桃报：奉献教育（店1.晶面：晶面指数确定示例如图：某晶面的一个原子面与X 、Y 、Z 轴的截距分别是1/2、1/3、2/3，其倒数分别为2、3、3/2，约化为互质整数为4、6、3，则包含该原子面的晶面为（463）。
a cb xy z晶胞a, b, c ：晶格常数x=1/2, y=1/3, z=2/3：截距值1. 晶面：已知晶面指数确定晶面取向示例确定（123）晶面的取向：如图，取X 、Y 、Z 轴上的截距分别是相应晶面指数的倒数1、-1/2、1/3，将三点连接得到的面，即得该晶面的取向。
如果将该面按照如图所示沿Y 轴平移一个单位，也是该晶面的取向。
a cbx y z晶胞a, b, c ：晶格常数x=1, y=-1/2, z=1/3：截距值1. 晶面：晶面族晶面族：原子排列完全相同，仅仅是空间位向不同的各个晶面的集合。
{hkl}。
{110}{111}{100}立方晶系的晶面2. 晶向（晶列）•一个晶列不是指一列原子，而是指 晶体中一系列周期性平行排列的同向原子列的集合；•晶列的方向称为晶向，可用三个整数标识。
标识晶列的三个整数称为晶向指数（晶列指数）；•晶向指数这样确定：①选晶胞的任一顶点为原点，三条棱为坐标轴，建立坐标系。
晶体学基础(晶向指数与晶面指数)
1.4 【2 】晶向指数和晶面指数一晶向和晶面1 晶向晶向：空间点阵中各阵点列的偏向（衔接点阵中随意率性结点列的直线偏向）.晶体中的某些偏向,涉及到晶体华夏子的地位,原子列偏向,表示的是一组互相平行.偏向一致的直线的指向.2 晶面晶面：经由过程空间点阵中随意率性一组阵点的平面（在点阵中由结点组成的平面）.晶体华夏子所组成的平面.不同的晶面和晶向具有不同的原子分列和不同的取向.材料的很多性质和行动（如各类物理性质.力学行动.相变.X光和电子衍射特点等）都和晶面.晶向有亲密的关系.所以,为了研讨和描写材料的性质和行动,起首就要设法表征晶面和晶向.为了便于肯定和差别晶体中不同方位的晶向和晶面,国际上通用密勒（Miller）指数来同一标定晶向指数与晶面指数. 二晶向指数和晶面指数的肯定1 晶向指数的肯定办法三指数表示晶向指数[uvw]的步骤如图1所示.(1)树立以晶轴a,b,c为坐标轴的坐标系,各轴上的坐标长度单位分离是晶胞边长a,b,c,坐标原点在待标晶向上.(2)拔取该晶向上原点以外的任一点P(xa,yb,zc).(3)将xa,yb,zc化成最小的简略整数比u,v,w,且u∶v∶w = xa∶yb∶zc.(4)将u,v,w三数置于方括号内就得到晶向指数[uvw].图1 晶向指数的肯定办法图2不同的晶向及其指数当然,在肯定晶向指数时,坐标原点不必定非拔取在晶向上不可.若原点不在待标晶向上,那就须要拔取该晶向上两点的坐标P (x 1,y 1,z 1)和Q (x 2,y 2,z 2),然后将(x 1-x 2),(y 1-y 2),(z 1-z 2)三个数化成最小的简略整数u ,v ,w ,并使之知足u ∶v ∶w =(x 1-x 2)∶(y 1-y 2)∶(z 1-z 2).则[uvw ]为该晶向的指数. 显然,晶向指数表示了所有互相平行.偏向一致的晶向.若所指的偏向相反,则晶向指数的数字雷同,但符号相反,如图3中[001]与[010].解释：a 指数意义：代表互相平行.偏向一致的所有晶向.b 负值：标于数字上方,表示同一晶向的相反偏向.c 晶向族：晶体华夏子分列情形雷同但空间位向不同的一组晶向.用<uvw>表示,数字雷同,但分列次序不同或正负号不同的晶向属于同一晶向族.晶体构造中那些原子密度雷同的等同晶向称为晶向轴,用<UVW>表示. <100>：[100] [010] [001] [001] [010] [100] <111>：[111] [111] [111] [111] [111] [111] [111] [111]图3 正交点阵中的几个晶向指数2 晶面指数的肯定国际上通用的是密勒指数,即用三个数字来表示晶面指数（h k l）.图4中的红色晶面为待肯定的晶面,其肯定办法如下.图4晶面指数的肯定(1)树立一组以晶轴a,b,c为坐标轴的坐标系,令坐标原点不在待标晶面上,各轴上的坐标长度单位分离是晶胞边长a,b,c.(2)求出待标晶面在a,b,c轴上的截距xa,yb,zc.如该晶面与某轴平行,则截距为∞.(3)取截距的倒数1/xa,1/yb,1/zc.(4)将这些倒数化成最小的简略整数比h,k,l,使h∶k∶l= 1/xa∶1/yb∶1/zc.(5)若有某一数为负值,则将负号标注在该数字的上方,将h,k,l置于圆括号内,写成(hkl),则(hkl)就是待标晶面的晶面指数.解释：晶面指数所代表的不仅是某一晶面,而是代表着一组互相平行的晶面.a 指数意义：代表一组平行的晶面;b 0的意义：面与对应的轴平行;c 平行晶面：指数雷同,或数字雷同但正负号相反;d 晶面族：晶体中具有雷同前提（原子分列和晶面间距完整雷同）,空间位向不同的各组晶面,用{hkl}表示.在立方系中,{100}：（100）（010）（001）,{110}：（110）（101）（011）（110）（101）（011）,{111}：（111）（111）（111）（111）e 若晶面与晶向同面,则hu+kv+lw=0;f 若晶面与晶向垂直,则u=h, k=v, w=l.立方系常用晶面指数图5.图5 立方系常用晶面指数例子：请肯定图6中的晶面的晶面指数,并在图7中画出这些晶面指数所代表的晶面.起首选定坐标系,如图所示.然后求出待标晶面在a,b,c轴上的截距,分离为a/2,2b/3,c/2.取倒数后得到2,3/2,2.再将其化成最小的简略整数比,得到4,3,4三个数.于是该面的晶面指数为(434).图6图7 晶面指数的标注所有互相平行的晶面在三个晶轴上的截距固然不同,但它们是成比例的,其倒数也仍然是成比例的,经简化可以得到响应的最小整数.是以,所有互相平行的晶面,其晶面指数雷同,或者三个符号均相反.可见,晶面指数所代表的不仅是某一晶面,并且代表着一组互相平行的晶面.图8立方晶胞的{110}.{111}晶面族3 关于晶面指数和晶向指数的肯定办法还有以下几点解释：(1)参考坐标系平日都是右手坐标系.坐标系可以平移（因而原点可置于任何地位）.但不能迁移转变,不然,在不同坐标系下定出的指数就无法互相比较.(2)晶面指数和晶向指数可为正数,亦可为负数,但负号应写在数字上方,如（231）,[112]等.(3)若各指数同乘以不等于零的数n ,则新晶面的位向与旧晶面的一样,新晶向与旧晶向或是同向(当n >0),或是反向(当n <0).但是,晶面距（两个相邻平行晶面间的距离）和晶向长度（两个相邻结点间的距离）一般都邑改变,除非n =1.从以上各例可以看出,立方晶体的等价晶面具有“相似的指数”,即指数的数字雷同,只是符号（正负号）和分列次序不同.如许,我们只要依据两个（或多个）晶面的指数,就能断定它们是否为等价晶面.另一方面,给出一个晶面族符号{hkl},也很轻易写出它所包括的全体等价晶面. 对于非立方晶系,因为对称性改变,晶面族所包括的晶面数量就不一样.例如正交晶系,晶面(100),(010)和(001)并不是等同晶面,不能以{100}族来包括. 与晶面族相似,晶体中因对称关系而等同的各组晶向可合并为一个晶向族,用<uvw>表示.模仿上例,读者可以写出在立方晶系中的<100>,<110>,<111>,<112>和<123>等晶向族所包括的等价晶向.今后,在评论辩论晶体的性质(或行动)时,若碰到晶面族或晶向族符号,那就表示该性质（或行动）对于该晶面族中的任一晶面或该晶向族中的任一晶向都同样成立,因而没有必要区分具体的晶面或晶向. 别的,在立方晶系中,具有雷同指数的晶向和晶面必定是相垂直的,即[hkl]⊥(hkl).4.六方晶系指数表示上面我们用三个指数表示晶面和晶向.这种三指数表示办法,原则上实用于随意率性晶系.对六方晶系,取a,b,c为晶轴,而a轴与b轴的夹角为120°,c轴与a,b轴相垂直,如图9所示.图9六方晶体的等价晶面和晶向指数但是,用三指数表示六方晶系的晶面和晶向有一个很大的缺陷,即晶体学上等价的晶面和晶向不具有相似的指数.这一点可以从图9看出.图中六棱柱的两个相邻表面（红面和绿1）和(100).图中夹角为60°的面）是晶体学上等价的晶面,但其密勒指数却分离是（10两个密排偏向D1和D2是晶体学上的等价偏向,但其晶向指数却分离是[100]和[110].因为等价晶面或晶向不具有相似的指数,人们就无法从指数断定其等价性,也无法由晶面族或晶向族指数写出它们所包括的各类等价晶面或晶向,这就给晶体研讨带来很大的不便.为了战胜这一缺陷,或者说,为了使晶体学上等价的晶面或晶向具有相似的指数,对六方晶体来说,就得废弃三指数表示,而采用四指数表示（密勒-布拉菲指数）.四指数表示是基于4个坐标轴：a1,a2,a3和c轴,如图10所示,个中,a1,a2和c轴就是原胞的a,b和c轴,而a3=-(a1+a2).下面就分离评论辩论用四指数表示的晶面及晶向指数.图10六方晶体的四轴体系（1）六方晶系晶面指数的标定六方晶系晶面指数的标定道理和办法同立方晶系中的一样,从待标晶面在a 1,a 2,a 3和c 轴上的截距可求得响应的指数h ,k ,i ,l ,于是晶面指数可写成(hkil ).依据几何学可知,三维空间自力的坐标轴最多不超过三个.运用上述办法标定的晶面指数情势上是4个指数,但是不难看出,前三个指数中只有两个是自力的,它们之间有以下的关系：i = -( h + k ),是以,可以由前两个指数求得第三个指数.六方晶体中常见晶面及其四指数（亦称六方指数）标于图11中.从图看出,采用四指数后,本家晶面（即晶体学上等价的晶面）就具有相似的指数.例如：共6个等价面(Ⅰ型棱柱面).共6个等价面(Ⅱ型棱柱面).而{0001}只包括(0001)一个晶面,称为基面.六方晶体中比较重要的晶面族还有,请读者写出其全体等价面.图11六方晶体中常见的晶面（2）六方晶系晶向指数的标定采用四轴坐标,六方晶系晶向指数的标定办法如下：当晶向经由过程原点时,把晶向沿四个轴分化成四个分量,晶向OP 可表示为：OP=ua 1+va 2+ta 3+wC,晶向指数用[uvtw]表示,个中t=-(u+v).原子分列雷同的晶向为同一晶向族,图12中a 1轴为[0112],a 2轴[0121],a 3轴[2011]均属〈0112〉,其缺陷是标定较麻烦.可先用三轴制肯定晶向指数[UVW],再运用公式转换为[uvtw].采用三轴坐标系时.C 轴垂直底面,a 1.a 2轴在底面上,其夹角为120o ,如图12,肯定晶向指数的办法同前.采用三轴制固然指数标定简略,但原子分列雷同的晶向本应属于同一晶向族,其晶向指数的数字却不尽雷同,例如[100],[010],[011],见图12.图12 六方晶系的一些晶面与晶向指数六方晶系按两种晶轴系所得的晶向指数可互相转换如下)2(31V U u -=,)2(31U V v -=,)(v u t +-=,W w =.例如,[011]→[2011],[100]→[0112],[010]→[0121],如许等同晶向的晶向指数的数字都雷同.标定办法平日采用行走法.用行走法肯定六方晶体的四轴晶向指数时,会碰到一个新的问题,即解是不独一的.例如,a 1轴的指数可所以,也可所以[2000];a 2轴的指数可所以,也可所以[0200].剖析各类等价晶向的四指数后发明,要想使等价晶向具有相似的四指数,就须要工资地附加一个前提,即前三个指数之和为零.若将晶向指数写成[UVTW ],则上述附加前提可写成：U+V+T=0,或T =-(U+V ).按照这个附加前提,上述a 1轴的指数就应当是,而不是[2000];同样,a 2和a 3轴的指数分离是和.图13中标出了六方晶体中各重要晶向的四指数,它们是[0001],,等等.图13六方晶体中常见的晶向除上述几个特别晶向外,对一般的晶向,很难直接求出四指数[UVTW],因为很难保证在沿a1,a2,a3和c轴分离走了U,V,T和W步后既要到达晶向上的另一点,又要知足前提T=-(U+V).比较靠得住的标注指数办法是解析法.该法是先求出待标晶向在a1,a2和c三个轴下的指数u,v,w（这比较轻易求得）,然后按以下公式算出四指数U,V,T,W.(1-1)T = - (U + V)W = w此公式可证实如下.因为三指数和四指数均描写同一晶向,故：U a1+ V a2+ T a3+ W c= u a1+v a2+w c(1-2) 又由几何干系：a1+ a2= - a3(1-3) 再由等价性请求：T = - (U+V)(1-4) 解以上三个联立方程,即得到：u = 2U+V,v = 2V+U,w = W(1-5) (1-5)式和(1-1)式可用矩阵表示如下：==下面举两个例子.例1 请写出a1轴的晶向指数.解：从晶胞图直接得到：u=1,v=0,w=0,按(1-1)式算得：故.例2 请写出a2和-a3交角的等分线D的晶向指数.解：从晶胞图可看出：D=a1+(-a3)=2a1+a2,得u=2,v=1,w=0,代入(1-1)式得到：U=1,V=0,T=-1,W=0,故.5 立方和六方晶体中重要晶向的快速标注在今后各章将多次碰到立方和六方晶体中的一些低指数重要晶向,须要敏捷肯定其指数.依据上述标定指数的办法,我们归纳出一条快速标定晶向指数的口诀,即：“指数看特点,正负看走向”.就是说,依据晶向的特点,决议指数的数值;依据晶向是“顺轴”（即与轴的正向成锐角）照样“逆轴”（即与轴的正向成钝角）,决议响应于该轴的指数的正负.下面具体评论辩论立方和六方晶体中的各重要晶向.（1）立方晶体立方晶体中各重要晶向的特点如下：(1)<100> 是晶轴.若沿着a轴,则第一指数为1,依次类推;假如“逆轴”（如沿-a轴）,则响应指数为.(2)<110> 是立方面子临角线.若面临角线在a面（即(100)面）上,则第一指数为零,其余两个指数为1或（取决于所评论辩论的对角线是“顺着”照样“逆着”响应的晶轴）.(3)<111> 是体对角线.三个指数都是1或,取决于该对角线与响应轴的交角（锐角为1,钝角为).(4)<112> 是顶点到对面（即不经由过程该顶点的{100}面）面心的连线.假如对面是a面,则第一指数为2或,其余两个指数为1或.（2）六方晶体六方晶体中各重要晶向的特点如下：(1)[0001] c轴.(2)和a1,a2或a3轴平行的晶向.和哪个轴正（或反）平行,则响应的指数就是2（或）,其余三个指数就是,,0（或1,1,0）.(3)两个晶轴±a i和a j交角的等分线（i.j=1,2,3,i≠j）.例如,是+a1轴和-a3轴交角的等分线;是-a2轴和+a3轴交角的等分线等等. 依据以上几类晶向指数,还可以敏捷求得某些不平行于基面的重要晶向.办法是先求该晶向在基面上的投影线的指数[UVT0],而w可从晶胞图中直不雅看出.例如,求图1-19中MN的指数时,先将MN平移至原点,找出其投影ON'的指数,从图1-19中可直不雅看出W=1,故MN的指数,化整后得到.6 晶带订交于某一晶向直线或平行于此直线的晶面组成一个晶带,此直线称为晶带轴.设晶带轴的指数为[uvw],则晶带中任何一个晶面的指数（hkl ）都必须知足：hu+kv+lw=0,知足此关系的晶面都属于以[uvw]为晶带轴的晶带,已知两个非平行的晶面指数为（h 1k 1l 1）和（h 2k 2l 2）则其交线即为晶带轴的指数[uvw]：1221l k l k u -=,1221h l h l v -=,1221k h k h w -=.图14 晶带轴 7 晶面间距一组平行晶面中,相邻两个平行晶面之间的距离叫晶面间距.两近邻平行晶面间的垂直距离,用d hkl 表示.对于不同的晶面族{hkl}其晶面间距也不同.总的来说,低指数晶面的面间距较大,高指数晶面的面间距较小.图15 晶面间距22)22(34)(1c l a k hk h hkld +++=图16 晶面间距公式的推导由晶面指数的界说,可用数学办法求出晶面间距,（简略立方）：d=a/(h 2+k 2+l 2)1/2,正交系：222)()()(1c l b k k h hkld ++=,立方系：222lk h a hkl d ++=,六方系：22)22(34)(1c l a k hk h hkld +++=.此公式用于庞杂点阵（如体心立方,面心立方等）时要斟酌晶面层数的增长.例如,体心立方（001）面之间还有同一类的晶面,可称为（002）面,故晶面间距应为简略晶胞001d 的一半,等于2a .由公式也可看出低指数晶面的面间距大. 三 晶体的极射赤面投影采用立体图难以做到清楚表达晶体的各类晶向.晶面及它们之间的夹角.经由过程投影图可将立体图表现于平面上.晶体投影办法很多,普遍运用的是极射赤面投影. 1 参考球与极射赤面投影 （1）参考球假想将一很小的晶体或晶胞置于一个大圆球的中间,因为晶体很小,可认为各晶面均经由过程球心,由球心作晶面的法线与球面的交点称为顶点,这个球称参考球,如图17.球面投影用点表示响应的晶面,两晶面的夹角可在参考球上量出,如图17,(110)与(010)夹角为45o .但运用上仍不便利.可在此基本上再作一次极射赤面投影.图17 参考球与立方系球面投影（2）极射赤面投影以球的两极为不雅测点,赤道面为投影面.贯穿连接南极与北半球的顶点,连线与投影面的交点即为晶面的投影,如图18.投影图的边界大圆与参考球直径相等叫基圆.位于南半球的顶点应与北极连线,所得投影点可另选符号,使之与北半球的投影点相区分.也可选与赤道平行的其他平面作投影面,所得投影图外形不变,只改变其比例.对于立方系,雷同指数的晶面和晶向互相垂直.所以立方系标准投影图的顶点即代表了晶面又代表了晶向.若将参考球比拟为地球,以地球的两极为投影点,将球面投影投射到赤道平面上,就叫极射赤面投影.图18 极射赤面投影2 标准投影图以晶体的某个晶面平行于投影面,作出全体重要晶面的极射投影图称为标准投影图.一般选择一些重要的低指数晶面作投影面,如立方系(001),(011),(111)及六方系(0001)等.例如(001)标准投影图是以(001)为投影面,进行极射投影而得到的,如图19.图19 立方系（001）标准投影图3 吴氏网吴氏网是球网坐标的极射平面投影,分度为2 o,具有保角度的特点.其读数由中间向外读,分东,南,西,北.吴氏网如图20所示.图20 吴氏网（分度为2o）运用吴氏网时,投影图大小与吴氏网必须一致.运用吴氏网可便利读出任一顶点的方位,并可测定投影面上随意率性两顶点间的夹角,是研讨晶体投影,晶体取向等问题的有力对象.在测量时,用透明纸画出直径与吴氏网相等的基圆,并标出晶面的极射赤面投影点.将透明纸盖于吴氏网上.两圆圆心始终重合,迁移转变透明纸.使所测两点落在赤道线上,子午线上,基因上,同一经线上.两点纬度差(在赤道上为经度差)就等于晶面夹角.不能转到某一纬线去测夹角,因为此时所测得的角度不是现实夹角.例题1.已知纯钛有两种同素异构体,低温稳固的密排六方构造和高温稳固的体心立方构造,其同素异构改变温度为882.5℃,盘算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm, aβ900℃=0.3307nm）.答案20℃时为α-Ti：hcp构造当h+2k=3n (n=0,1,2,3…) ,l=奇数时,有附加面.;900℃时为β-Ti：bcc构造当奇数时,有附加面.内容提纲晶胞是能反应点阵对称性.具有代表性的根本单元（最小平行六面体）,其不同偏向的晶向和晶面可用密勒指数加以标注,并可采用极射投影办法来剖析晶面和晶向的相对位向关系. 重点与难点1 晶向指数与晶面指数的标注;2 晶面间距的肯定与盘算;3 极射投影与Wulff网.重要概念与名词晶向指数,晶面指数,晶向族,晶面族,晶带轴,晶面间距,极射投影,顶点,吴氏网,标准投影. [U V W]与[u v t w]之间的交换关系：晶带定律：立方晶系晶面间距盘算公式：六方晶系晶面间距盘算公式：习题1 标出具有下列密勒指数的晶面和晶向：a) 立方晶系,,,,;b) 六方晶系,,,,2 在立方晶系中画出晶面族的所有晶面,并写出{123}晶面族和﹤221﹥晶向族中的全体等价晶面和晶向的密勒指数.3 在立方晶系中画出认为晶带轴的所有晶面.4 试证实在立方晶系中,具有雷同指数的晶向和晶面必定互相垂直.5 已知纯钛有两种同素异构体,低温稳固的密排六方构造和高温稳固的体心立方构造,其同素异构改变温度为882.5℃,盘算纯钛在室温（20℃）和900℃时晶体中（112）和（001）的晶面间距（已知a a20℃=0.2951nm, c a20℃=0.4679nm,aβ900℃=0.3307nm）.答案晶向指数：[uvw] 即为AB晶向的晶向指数.如u.v.w中某一数为负值,则将负号标注在该数的上方.[21]和[1]就是两个互相平行.偏向相反的晶向.因对称关系而等同的各组晶向可合并为一个晶向族,用<uvw>表示对峙方晶系来说,[100].[010].[001]和[00].[00].[00]等六个晶向,它们的性质完整雷同,用<100>表示对于正交晶系[100].[010].[001]这三个晶向并不是等同晶向,因为以上三个偏向上的原子间距分离为a.b.c,沿着这三个偏向,晶体的性质并不雷同.图1-19{100},{111},{110}晶面族在立方系中：{100}=（100）.（010）.（001）;{110}=（110）（101）（011）（10）（01）（01）;{111}=（111）.（11）.（11）.（11）.{123}=（123）.（132）.（231）.（213）.（312）.（321）;（23）.（32）.（31）.（13）.（12）.（21）;（13）.（12）.（21）.（23）.（32）.（31）;（12）.（13）.（23）.（21）.（31）.（32）.共24组晶面晶面指数用来分离表示原子的分列组成的很多不同方位的晶面. 如（111）在晶体中有些晶面具有配合的特色,其上原子分列和散布纪律是完整雷同的,晶面间距也雷同,独一不同的是晶面在空间的位向,一组等同晶面称为一个晶面族,用符号{hkl}表示.在立方晶系中,具有雷同指数的晶向和晶面必定是相垂直的,即[hkl] 垂直于（hkl）.例如：[100] 垂直于（100）,[110] 垂直于（110）,[111] 垂直于（111）,等等.但是,此关系不实用于其它晶系.左边图,a1.a2.c为晶轴,而a1与a2间的夹角为120度.六方晶系六个柱面的晶面指数为（100）.（010）.（10）.（00）.（00）.（10）这六个面是同类型晶面,但其晶面指数中的数字却雷同.晶向指数也有相似情形,例如[100]和[110]是等同晶向,但晶向指数却不雷同.为懂得决这一问题,可采用专用于六方晶系的指数标定办法.（右图）。
1.3.3 晶向符号
晶向 B
1.两点坐标分别为（1, 1, 1）和（0, 0, 0） 2. （1, 1, 1） -（0, 0, 0） = （1, 1, 1） 3.已为最小的整数，记作 [111]
晶向符号
例题 确定图中A，B和C方向的晶向指数
晶向 C
1.两点坐标分别为（0, 0, 1） 和（1/2, 1, 0） 2. （0, 0, 1） -（1/2, 1, 0） = （-1/2, -1, 1） 3. 2(-1/2, -1, 1) = -1, -2, 2，记作
注意
[100]
[001] [010]
[100]
[010] [001]
晶面与晶向的关系、晶带轴定理
立方晶系的晶向符号与晶面符号
• 在立方晶系中，同指数的晶向与晶面之间有严格的对应关系，即同 指数的晶向与晶面相互垂直，即[hkl]晶向是(hkl)晶面的法向。
• 在结晶学中，把同时平行于某一晶向[uvw]的所有晶面称为一个晶 带或晶带面，该晶向称为这个晶带的晶带轴。
材料科学基础西安建筑科技大学西安建筑科技大学133晶向符号晶向符号晶向符号晶面与晶向的关系晶带轴定理通过晶格中任意两个格点连一条直线称为晶列晶列的取向称为晶向描写晶向的一组数称为晶向符号晶向的特点平行晶向组成晶向族晶向族包含所有的格点
材料科学基础
第1 章
1.3.3 晶向符号
晶向符号
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以上两公式 在晶体x射线 衍射及电子衍 射分析中非常
重要。
晶列的特点
晶向符号
晶向符号的求法
1 建立坐标系 按前述方法建立坐 标系
3 化整
将三个坐标值系数化为 互质整数比u︰v︰w；
晶向符 号确定 步骤
晶向、晶面及晶带ppt课件
12个对角面 (110)， (101)， (011)， (110)，(101)， (011)， (110)， (101)， (011)， (110)， (101)， (011)构成{110}晶面族；
6个表面 (100) ， (010) ，(001) ，(100) ， (010) ， (001)构成{100}晶 面族；
3.已为最小的整数，记作 ( 0 1 0 )
精选ppt
练习
G
Z
EFB晶面
BFGD晶面 E
ACD晶面
F
D
C
X
20
精选ppt
A
B
Y
_
EFB晶面 (111_) BFGD晶面 （110）
__
ACD晶面 (112)
2021/3/10
例：在下图中画出（012）和（123）晶面
Z
Z
O
Y
Y
O
X
X
21
精选ppt
4、间隙
3
精选ppt
2021/3/10
一、晶向及晶向指数
1.晶向：
通过晶格中任意两个格 点连一条直线称为晶列， 晶列的取向称为晶向，描 写晶向的一组数称为晶向 指数(或晶列指数 miller indices)。
过一格点可以有无数晶 列。
4
精选ppt
晶列的特点： (1)平行晶列组成晶列族，晶列族包含所有的格点； (2)晶列上格点分布是周期性的； (3)晶列族中的每一晶列上，格点分布都是相同的； (4)在同一平面内，相邻晶列间的距离相等。
(213) (213) (2 13) (213)
(231) (231) (2 31) (23 1 )
(321) (321) (3 21) (32 1 ) (312) (312) (3 12) (312)
1.3晶向、晶面和它们的标志
§1-3 晶向、晶面和它们的标志
晶体的一个基本特点是具有方向性, 沿晶格的不同方向晶体的性质不同 1. 晶列与晶向 Bravais格子上的格点可以看成分列在一系列平行 的直线系上，这些直线系称为晶列 每一个晶列定义了一个方向，称为晶向
同一格子可以形成方向不同的晶列
如果从一个格点沿晶列方向到最近邻格点的位移 矢量为 l1a1+l2a2+l3a3 晶向就用l1、l2、l3来标志，写成 [l1 l2 l3]，称为 晶向指数
|h1 ||h2 ||h3|实际表明等距的晶面分别把基矢a1 (－a1 )、 a2 (－a2 ) 、 a3 (－a3 )分割成多少等分 h1 h2 h3 是以|a1|、|a2|、|a3|为各轴的 长度单位所求得的晶面截距的倒数
立方晶格的(100)、(110)、(111)面
(101)
写 出 晶 面 指 数
负指数用头顶上一横表示
用〈 l1 l2 l3 〉表示一组对称的晶向
[111]
立方晶格中的 [100]、[110] 和 [111] 晶向
[100]
[110]
〈 100 〉6个
〈 111 〉8个
〈 110 〉12个[111]Βιβλιοθήκη [210]写出晶向指数
2. 晶面与密勒指数
Bravais格子上的格点也可以看成是分布在平行 且等间距的平面上，这样的平面称为晶面
符号相反的晶面指数所标志的面相互平行， 对于标志晶格里面的晶面来说是没有区别的
{100}、{111}、{110}的等效晶面数分别为3、4、6 符号相反的晶面指数只是在区别 晶体的外表面时才有意义
以简单立方为例所列举的的一些晶向 和晶面在实际问题中是很重要的
对于Bravais格子为面心立方或体心立方的晶格, 在标志晶向、晶面时，常常并不是从晶格原胞的 基矢出发, 而是基于立方单胞的三个基矢
晶面与晶向
二、晶面及其标志
1、晶面 晶面:通过布喇菲格子中任意三个不共线的 格点所作的平面。 无数个互相平行且等距离分布的全同晶面 组成晶面族,所有格点都处于该晶面族上。
采用面间距和法线方向来表征晶面族。
面间距是一族晶面中相邻两个晶面间的距离,可用几何方法求出. 如正交晶系。
法线方向可由晶面在三个坐标轴上截距的倒数来表示，并用晶面 指数标志出来。
晶向指数和晶面指数的确定通常以惯用元胞的轴矢为参考系，因 为: (1)由于轴矢在晶轴方向上,晶轴本身的晶向指数特别简单,它 们分别是[100][010][001]
(2)晶面指数简单的晶面是重要的晶面.
(i) 晶面指数简单的晶面族有较大的面间距.
图1-36面间距和原子面密度示意图 晶体容易沿面间距大的晶面劈裂开来而表现出解理性。 (ii) 晶面指数简单的晶面原子面密度较大. 原子面密度:晶体中某个晶面上单位面积内所包含的原子个数。 在用x射线衍射分析晶体结构时,原子面密度高的晶面对射线衍 射强。
表1-13 体心立方、面心立方晶格主要的原子排列和密度
三、六方晶系中的晶向与晶面指数
1、采用四轴坐标系来确定六方晶系 的晶向指数与晶面指数。 若采用x1x2z建立的三轴坐标系确定出六 个柱面的晶面指数为(100)(010)(ī10) (ī00)(0ī0)(1ī0)，看不出等效性。 2、四轴坐标系 x1x2x3三个轴位于同一底面,互成 120°角;轴上的度量单位为棱边长度, 即晶格常数a。 Z轴垂直于底面,度量单位为六方 元胞的高,即晶格常数c。
Lvdd ZDLP
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固体物理1-3晶向、晶面
立方晶格中的[100]，[110]， [111]晶向
立方边,面对角线,体对角线,不止一个,它们的晶向 指数确定方法同上.
简单立方晶格 立方边共有6 个不同的晶向：
[001]
av3 av2
av1
[100]
[100],[010],[001]
[100],[0 10][00 1]
由于立方晶格的对称 性,6个晶向是等效 的,<100 >晶向族
立方边[100] 垂直的晶面（100） 面对角线[110] 垂直的晶面（110） 体对角线[111] 垂直的晶面（111）
av3
(
v k)
av2
(
v j)
av1
v (i )
3 、密勒指数计算方法：
p
具体步骤：
m
n
① 建立坐标系：以晶胞的某一点格点为原点，过原 点平行于晶胞的三棱边为坐标轴，晶格常数为坐 标轴的度量单位。注意：坐标原点不能在待定晶 面上。
对立方晶系 a b c
h : k : l cos : cos : cos
• 练习： • 在一个面心立方晶胞中画出[012][123] • 在一个面心立方晶胞中画出(012)(123)
{110}: (110), (011), (101)
(1 10), (01 1),10 1
立方晶格中与(111)面 等效的晶面：4 个
{111}: (111),(111),(111),111
符号相反的晶面指数只是在区别晶体的外 表面时才有意义，在晶体内部这些面都是 等效的。
简单立方晶格中，一个晶面的密勒指数和晶面法 线的晶向指数完全相同。
E A
c
b
Oa
C
D B
晶面与晶向
2、晶面指数
➢ 确定晶面指数的步骤
(1)确定坐标系:任取一格点为原点，以轴矢a、b、c为轴建立 坐标系x、y、z
(2)求截距:选取不经过原点的晶面，确定该晶面在各坐标轴上 交点的位矢ra、sb、tc，其中r、s、t就是截距。
(3)取倒数后化整数:将r、s、t的倒数连比,并化为互质整数h、 k、l，即1/r:1/s:1/t=h:k:l
二、晶面及其标志
1、晶面 ➢ 晶面:通过布喇菲格子中任意三个不共线的
格点所作的平面。 ➢ 无数个互相平行且等距离分布的全同晶面
组成晶面族,所有格点都处于该晶面族上。 ➢采用面间距和法线方向来表征晶面族。
面间距是一族晶面中相邻两个晶面间的距离ห้องสมุดไป่ตู้可用几何方法求出. 如正交晶系。
法线方向可由晶面在三个坐标轴上截距的倒数来表示，并用晶面 指数标志出来。
=u : v : w
(4)列括号：将所得互质整数依次列入方括号内,得晶向指数 [u v w].若某一指数为负,则在相应指数上加“-”号.如[ī00]
➢ 晶向指数实质上是晶向在三个坐标轴上投影的互质整数,它代表
了一族晶列的取向.同一族晶列可以有两个相反的晶向,因而对应
有两个晶向指数,如
[u v w]和 [u v w]
(1)A点的坐标值为½、½、-1、0 (2)化整数½:½:(-1):0=1:1:(-2):0 (3)晶向指数[1120] ➢ 求阴影晶面的晶面指数 (1)在四轴上的截距分别为、1、-1 、 (2)化整数:0、1、-1、0 (3)晶面指数(0110)
5、在六方晶系中,指数相同的晶向和晶面相互垂直,如 [0001](0001)。
(4)列括号:将所得各整数列入圆括号内,得到晶面指数(h k l)。 若晶面的某一截距为负值，则在相应的指数上加“-”号，若晶面 与某一坐标轴平行，则截距为，其倒数为0。例如(ī10)
1.3典型的晶体结构,晶向、晶面的表示一晶体结构的表达方
1.3 典型的晶体结构，晶向、晶面的表示一. 晶体结构的表达方法二. 晶向、晶面和它们的标志三. 晶面间距四. 典型晶体结构五. 多晶型现象和结构相变参考黄昆书 1.3 节，Kittel8版 1.3 1.4 节一.晶体结构的表达方法指出晶体所属的点阵、晶系、点群和空间群类型是在不同层次上对晶体结构做描述。
以NaCl 为例说明。
面心立方点阵说明了它属于立方晶系，可以用a=b=c, α=β=γ=90°面心立方晶胞表示其原子周期排列特点。
点群为O h ，说明了它的外形具有的宏观对称性。
空间群为O h 5-F m3m ,指出了它的原子排列规律。
至此我们才可以说对NaCl 晶体的几何结构特点有了比较充分的认识。
NaCl结构中的原子排列NaCl晶体为八面体群的说明：O h,它的每个原子都处在不同原子组成的8面体体心位置。
考虑它的晶场时就要注意到这个特点。
点群对称操作：体对角线是3重轴；3 条棱边是4重轴；棱对角线是2重轴，体心是反演中心。
z但有些元素晶体和所有化合物晶体，其最小重复单位（基元）至少包含2个或2 个以上的原子，它们的每一个原子虽然都构成同样的点阵类型（即同样的周期排列方式），但绘成晶胞时，要绘出基元原子之间位置上的相互关系，所以是同样的点阵类型的叠加，我们称这些晶体具有复式晶格。
例如：CsCl晶体是两个原子各自构成简立方点阵后，沿晶胞对角线方向移动二分之一距离的叠加。
NaCl晶体是两个原子各自形成一个面心立方点阵后，沿立方边方向移动二分之一晶胞边长距离的叠加。
上述复式晶格中，每种原子自身是等价的，有完全相同的环境，但两类原子是不等价的，它们的几何环境是完全不同的。
二. 晶向、晶面和它们的标志：晶体的一个基本特点是各向异性，沿晶格的不同方向晶体的性质不同，因此有必要识别和标志晶格中的不同方向。
点阵的格点可以分列在一系列平行的直线系上，这些直线系称作晶列。
同一点阵可以形成不同的晶列，每一个晶列定义一个方向，称作晶向。
晶面与 晶向(课件)
立方晶系中六个等同的{100}晶面、十二个等同的{110}晶 面、八个等同的{111}晶面。
(第四次实习内容)
12
4.3 晶向及晶向指数
什么是晶向？ 在晶体中任何一条穿过许多质点的直 线方向称为晶向。
确定晶向指数的三个步骤： 1)先做一条平行于该晶向的直线，并使其通过晶胞原
点； 2)在这条直线上任取一点，求其在 x、y、z轴上的三
2，2，3→ 1，1，1 → 3，3，2 →（332） 223 6668来自9两种特殊情况：
1)当晶面和晶轴平行时，认为：该晶面与晶轴在 无 穷 远 处 相 交 ， 截 距 ∞ ， 1/∞=0 ， 因 此 晶 面 在 这个晶轴上的密勒指数为0，(110)表示与Z轴平 行 的 晶 面 ， (100) 表 示 平 行 于 YZ 平 面 的 晶 面 ， (001)表示平行于XY平面的晶面。
在六方晶系中，晶向最好用 a1、a2、c三个晶 轴坐标系统表示，即[uvw]， 但也有用a1、a2、a3， c四个晶轴坐标系统表示的即[uvtw],四个坐标指数 满足u+v+t=0的关系。
16
在具体确定晶向指数的时侯，选取与待定晶 向相邻近的两个a轴为独立晶轴，而与另一个a轴 相对应的晶向指数，则由 u＋v＋t＝0 来确定。
(0,0,0)表示处于顶点上的原子 ( 1 , 1 , 1 ) 表示处于体心上的原子
222
简单立方格子的原子坐标 (0,0,0)
3
体心立方格子：(0,0,0)
(1 , 1 , 1) 222
4
面心立方格子：(0,0,0)( 1 , 0 , 1 )( 1 , 1 , 0 )( 0 , 1 , 1 )
个坐标，一般选取结点； 3)相乘或相除同一整数，化为最简整数比，即为晶向
晶面与晶向（范文3篇）
晶面与晶向（范文3篇）以下是网友分享的关于晶面与晶向的资料3篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。
晶面与晶向（一）晶向指数与晶面指数在晶体物质中，原子在三维空间中作有规律的排列。
因此在晶体中存在着一系列的原子列或原子平面，晶体中原子组成的平面叫晶面，原子列表示的方向称为晶向。
晶体中不同的晶面和不同的方向上原子的排列方式和密度不同，构成了晶体的各向异性。
这对分析有关晶体的生长、变形、相变以及性能等方面的问题时都是非常重要的。
因此研究晶体中不同晶向晶面上原子的分布状态是十分必要的。
为了便于表示各种晶向和晶面，需要确定一种统一的标号，称为晶向指数和晶面指数，国际上通用的是密勒（Miller）指数。
一、晶向指数晶向指数是按以下几个步骤确定的：1．以晶胞的某一阵点为原点，三个基矢为坐标轴，并以点阵基矢的长度作为三个坐标的单位长度；2．过原点作一直线OP，使其平行于待标定的晶向AB（见图1），这一直线必定会通过某些阵点；3．在直线OP 上选取距原点O 最近的一个阵点P，确定P 点的坐标值；4．将此值乘以最小公倍数化为最小整数u、v、w，加上方括号，[uvw] 即为AB 晶向的晶向指数。
如u、v、w中某一数为负值，则将负号标注在该数的上方。
图2给出了正交点阵中几个晶向的晶向指数。
显然，晶向指数表示的是一组互相平行、方向一致的晶向。
若晶体中两直线相互平行但方向相反，则它们的晶向指数的数字相同，而符号相反。
如[21]和[1]就是两个相互平行、方向相反的晶向。
图 1. 晶向指数的确定图 2.正交点阵中几个晶向的晶向指数晶体中因对称关系而等同的各组晶向可归并为一个晶向族，用表示。
例如，对立方晶系来说，[100]、[010]、[001]和[00]、[00]、[00]等六个晶向，它们的性质是完全相同的，用符号表示。
如果不是立方晶系，改变晶向指数的顺序，所表示的晶向可能不是等同的。
例如，对于正交晶系[100]、[010]、[001]这三个晶向并不是等同晶向，因为以上三个方向上的原子间距分别为a、b、c，沿着这三个方向，晶体的性质并不相同。
《讲晶面和晶向》课件
晶面的符号表示和表达方法
晶面可以用米勒索引、穆勒索引或汉索式表示。米勒索引是使用方向余弦表示，穆勒索引是使用坐标轴上的直 线截距表示，而汉索式是使用晶体的理想晶面来表示。
晶向的表示和计算方法
晶向可以用布拉维指数法或符号法表示。布拉维指数法使用整数序列来表示 晶向，而符号法使用希腊字母和方向余弦来表示。
《讲晶面和晶向》PPT课 件
欢迎大家来到本次关于晶面和晶向的课程。本课程将带您深入了解晶面和晶 向的定义、符号表示、计算方法，以及它们在晶体结构分析中的应用。让我 们一起开始探索晶体世界的奥秘吧！
晶面和晶向的定义
晶面是晶体中原子排列相对规则的表面，具有特定的晶面间距和晶面角度。 晶向是晶面的延长线方向，用来描述晶体中原子间的相对位置和排列方向。
3
案例三
使用扫描电镜观察晶胞参数和晶面形貌，研究矿物颗粒的晶体生长机制。
总结和要点
晶面和晶向是晶体结构 分析的重要概念。
它们可以用来描述晶体中原 子的相对位置和排列方向。
晶面的符号表示和计算 方法
可以使用米勒索引、穆勒索 引或汉索式。
晶向的表示和计算方法
可以用布拉维指数法或符号 法表示。
晶面和晶向的关系
晶面是晶向的延长线经过相邻原子所形成的表 面。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
可用于确定晶体的晶系、解析晶格常数、预测 物理性质等。
晶面和晶向的关系
晶面和晶向之间存在一种对应关系，晶面是晶向的延长线经过晶体中的相邻 原子后所形成的表面。 通过研究晶面和晶向之间的关系，我们可以更好地理解晶体的结构和性质。
晶面和晶向在晶体结构分析中的应用
1 确定晶体的晶系和结 2 解析晶格常数和晶胞 3 预测晶体的物理性质
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O a1 cosa1 , n : cosa2 , n : cosa3 , n h1 : h2 : h3
晶面的法线与三个基矢的夹角余弦之比等于三个整数之比。
1 1 1 又 cos a1 , n : cos a2 , n : cos a3 , n : : r s t
AD的晶列指数为: [212] 注意:
1 OD i j , 2
C D
a
O
B
(1)晶列指数一定是一组互质的整数； 晶列(11-1) (2)晶列指数用方括号表示[ ]； 晶列[11-1] 晶列(111) 晶列[111]
(3)遇到负数在该数上方加一横线。
(4)等效晶向。
在立方体中有，沿立方边的 晶列一共有6个不同的晶向，由于 晶格的对称性，这6个晶向并没有 什么区别，晶体在这些方向上的 性质是完全相同的，统称这些方
如图取一格点为顶点，原胞的三 个基矢 a1 , a 2 , a 3 为坐标系的三个轴， A3
设某一晶面与三个坐标轴分别交于
A1,A2,A3,设晶面的法线ON交晶面 A1A2A3于N，ON长度为d，d为该晶 面族相邻晶面间的距离，为整数， 该晶面法线方向的单位矢量用 示，则晶面A1A2A3的方程为：
l1 1, l2 2, l3 1
[ l1 , l2 , l3]晶列上格点的周期= ?
(2)以布拉维原胞基矢表示
如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
R m a nb p c
a , b , c 为布拉维原胞基矢
E
其中 m , n , p 为有理数,将 m , n , p化为互质的整数 m,n,p, 记为[mnp]，[mnp]即为该晶列的晶列指数.
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
h1 : h2 : h3
1 1 1 : : r s t
因为h1、h2、h3为整数，所以r、s、t必为有理数。 任一晶面在坐标轴上的截距r，s，t必是一组有理数。 可以证明h1，h2，h3一定是互质的，称它们为该晶面族的 面指数，记为(h1h2h3 ) 。
[001]
[010]
[100]
[010] [001]
[100]
向为等效晶向，写成<100>。
1.3.2
1.晶面
晶面及密勒指数
在晶格中，通过任意三个不在同一直线上的格点作一平面， 称为晶面，描写晶面方位的一组数称为晶面指数。
(1)平行的晶面组成晶面族，晶面族包含所有格点；
(2)晶面上格点分布具有周期性； (3)同一晶面族中的每一晶面上，格点分布(情况)相同； (4)同一晶面族中相邻晶面间距相等。 2.晶面指数 晶面方位 晶面在三个坐标轴上的截距 (1)以固体物理学原胞基矢表示 晶面的法线方向(法线方向与三个坐标轴夹角)
D是BC的中点，求BE,AD的晶列指数。 解： OB i ,
a i , b j, c k 例1：如图在立方体中， A
OE i j k ,
c
b
C
BE OE OB j k
O
D
a
B
晶列BE的晶列指数为： [011]
求AD的晶列指数。
E A
c
b
OA k ,
1 AD OD OA i j k 2
第三节 晶向、晶面和它们的标志
本节主要内容:
1.3.1 晶向及晶向指数 1.3.2 晶面及密勒指数
§1.3 晶向、晶面和它们的标志
1.3.1 晶向及晶向指数
1.晶向
通过晶格中任意两个格点 连一条直线称为晶列，晶列的 取向称为晶向，描写晶向的一 组数称为晶向指数(或晶列指数 )。 过一格点可以有无数晶列。
h3d的晶面上，这里 h1、h2、h3为整数 。
(1)所有格点都包容在一族晶面上；因此给定晶面族中必
有一个晶面通过坐标系的原点；在基矢 a1 , a 2 , a 3 末端上的格点 也一定落在该晶面族的晶面上； (2)同一晶面族中的晶面平行且相邻晶面间距相等,故在原 点与基矢的末端间一定只有整数个晶面。
n
N
a3
O
d
a2
A2 A1n表a1来自X n d设OA1 r a1 ,OA2 sa 2 ,OA3 t a 3
r a1 n d sa 2 n d ta3 n d
X n d
A3 N
s a cosa , n d t a cosa , n d a
a1 ,a 2 ,a 3
为固体物理学原胞基矢
, l3 为整数，将 l , l , l 化为互质的整数 l , l , l ， 其中 l1, l2 1 2 3 1 2 3
记为[ l1l2 l3]， [ l1l2 l3 ]即为该晶列的晶列指数。
如遇到负数，将该数的上面加一横线。
如[121]表示
r a1cos a 1 , n d
2 2 3 3
n
A2
A1
3
d
a2
取 a1 , a2 , a3 为天然长度单位，则得： O
1 1 1 cos a 1 , n : cos a 2 , n : cos a 3 , n : : r s t
a1
晶面的法线方向与三个坐标轴(基矢)的夹角的余弦之比，
(1)平行晶列组成晶列族，晶列 族包含所有的格点；
(2)晶列上格点分布是周期性的；
(3)晶列族中的每一晶列上，
格点分布都是相同的；
(4)在同一平面内，相邻晶列间的
距离相等。
晶列的特点
2.晶向指数 (1) 用固体物理学原胞基矢表示 如果从晶列上一个格点沿晶向到任一格点的位矢为
a1 l2 a 2 l3 a3 R l1
a 1 n h1d a 2 n h2d a 3 n h3d
a cosa , n h d a cosa , n h d
a1 cos a 1 , n h1d
2 3 2 3 2 3
X n d
A3
N
n
A2
a 3 d
a2
A1
取 a1 , a2 , a3为天然长度单位得：
等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
1 1 1 cos a 1 , n : cos a 2 , n : cos a 3 , n : : r s t
可以证明：r,s,t必是一组有理数---阿羽依的有理数定理。
设 a 1 , a 2 , a 3的末端上的格点分别在离原点距离h1d、h2d、