2016年江苏省高等数学竞赛一级

2016年江苏省高等数学竞赛

一．解答下列各题（每小题6分，共24分）

1.设234()(1)(2)(3)(4)f x x x x x =----，试求(2)

f ''2.求极限0tan(tan )tan(tan(tan ))

lim tan tan(tan )tan(tan(tan ))

x x x x x x →-⋅⋅3.设Γ为曲线21x y =+上从点(0,2)A 到点(1,3)B 的一段弧，试求曲线积分

2(1)xy xy e xy dx e x dy

Γ++⎰4.已知点(3,2,1)P 与平面:2231x y z π-+=，在直线2124x y z x y z ++=⎧⎨-+=⎩

上求一点Q ，使得线段PQ 平行于平面π，试写出点Q 的坐标

二．判断下一命题是否成立？若判断成立，给出证明；若判断不成立，举一反例，作出说明。

命题：若函数()f x 在0x =处连续，0(2)()lim ()x f x f x a a R x

→-=∈，则()f x 在0x =处可导，且()f x a '=（10分）

三．设函数()f x 在区间[]0,1上二阶可导，(0)0,(1)1,f f ==求证：存在(0,1)ξ∈，使得

()(1)()1f f ξξξξξ'''++=+（10分）四．求定积分220sin 1cos x x dx x

π

+⎰（10分）五．设函数(,)f x y 在点(2,2)-处可微，满足

2222(sin()2cos ,2cos )1()

f xy x xy y x y x y ο+-=++++这里22()x y ο+表示比22

x y +为高阶无穷小（当(,)(0,0)x y →时），试求曲面(,)z f x y =在点(2,2,(2,2))f --处的切平面方程。（12分）六．求二重积分22D

x

y x dxdy +-⎰⎰，其中{(,)|01,01}D x y y x x =≤≤-≤≤（12分）七．设∑为球面2222x y z z ++=，试求曲面积分

444333222()x y z x y z x y z x y z dS ∑

++---+++---⎰⎰（10分）

八．已知级数2(1)ln n

n n n λ∞=-∑，其中实数[]0,1λ∈，试对λ讨论该级数

的绝对收敛，条件收敛与发散性。（12分）