群论的分类是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群的课件是有关近世代数的群

素，所以不是么半群。 3.半群作成群的条件
定理 4 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是： (1)G 有右单位元素 e : ∀a ∈ G, a e = a ； (2)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个右逆元 a−1 : a a−1 = e 。 定理 5 G 是一个半群，则 G 作成群的充分必要条件是：∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 结论 设 (G, ) 是一个么半群，令 H = {g g ∈ G且g可逆} ，证明 (H , ) 是一个群. 注 从上述讨论中自然知道：若 e 是群 G 的单位元 ⇒ e−1 = e, ∀a ∈ G ⇒ (a−1)−1 = a ，若 a,b 可逆 ⇒ ab 也可逆且 (ab)−1 = b−1a−1 . 4.有限半群作成群的条件 推论 有限半群 G 作成群的充分必要条件是：在 G 中两个消去律成立。 命题 有限半群 (G, ) 作成群 ⇔ 乘法满足消去律
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批注
(1)任一个群 G 中都在唯一的单位元 e ，特别的，如果 G 是加法群时，G 中的单
位元换叫做“零元” (2)群 G 中任一个元素 a，都在 G 中有唯一的逆元 a−1 .如果 G 是加法群时，a 的逆 元改叫做“负元”，并记为“ −a ”.
作业 习题 2.1：1－2;4;6 （3 例题）
批注
Ⅰ群的定义 1.定义 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足:
(1)结合律 ∀a,b, c, (a b) c = a (b c) ； (2)G 中有左单位元素 e : ∀a ∈ G, e a = a ； (3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个左逆元 a−1 : a−1 a = e 。 则称 G 对于代数运算 作成一个群，记为 (G, ) 。 如果还满足 (4) ∀a,b ∈ G, a b = b a 则称 G 对于代数运算 作成一个交换群(Abel 群)，否则称为非交换群(非 Abel 群)。 2.例子 (1) (Z , +), (Q, +), (R, +), (C, +), (nZ, +) 均为群，更一般的， (F, +)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 0，每个元素 a 的左逆元素-a. 但是 (N, +) 不是群，非零元的左逆元素 不存在。 (2) (Q* ,×), (R*,×), (C*,×) 均为群，更一般的， (F * ,×)(F 为数域)。(Abel 群) 左单位元素 1，每个元素 a 的左逆元素 a−1 。 (3) F 为数域，F 上的 n 级方阵集合 M n (F ) 关于矩阵加法作成交换群：
第6讲
§2 群中元素的阶
重点和难点 元素阶的定义、性质，交换群阶的性质。
Ⅰ.群元素的指数律和倍数律
∀a ∈ G, n ∈ Z + ,规定
n
n
a0 = e, an = aa"a , a−n = (a−1)n = a−1a−1 "a−1
一般的， ∀m, n ∈ Z , a0 = e, an+m = anam , anm = (an )m 乘法的指数律
= −(a + a + " + a
) = −(na)
n
n
Ⅱ群元素的阶定义
1.定义 1 设 G 为群， a ∈ G . 如果有整数 k，使 ak = e ，则称这个等式成立的最 小正整数 m 为 a 的阶，记为 a = m . 如果不存在这样的 m，则称 a 是无限阶的， 记为 a = +∞ .
关于数的乘法运算也作成群，
i =1
所有元素阶有限。

几种特殊的群：
所有元素阶有限的群称为周期群（(1),(4)）； 除 e 外所有元素阶无限的群称为无扭群(2)； 其他群称为混合群(3)。 Ⅲ群元素阶的性质
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定理 1 有限群中每个元素的阶均有限。 设 G 为群， a ∈ G,| a |= n
定理 2 am = e ⇔ n | m 定理 3 | ak |= n
(n, k) 推论 1 在群中 | a |= st ⇒| at |= s
推论 2 在群中，设 | a |= n 。则 | ak |= n ⇔ (k, n) = 1
定理 4 在 G 中 | a |= m,| b |= n, ab = ba, (m, n) = 1 ⇒| ab |= mn 。
N0te 1: 在定理 4 中， ab = ba, (m, n) = 1两个条件缺一不可。
(1) ab ≠ ba, (m, n) = 1
在 S 3中, a = (12), b = (123), ab ≠ ba, ab = (23).
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批注
左单位元素 0，每个元素 A 的左逆元素-A. 全体可逆方阵集合 GLn (F ) 关于矩阵乘法作成非交换群。 左单位元素 En ，每个元素 A 的左逆元素 A−1 . (4)特殊运算
G = Z, : a b = a + b + 4 ， (G, ) 是交换群。
一般的， d ∈ Z,G = Z, : a b = a + b + d ，则 (G, ) 是以 −d 为单位元素的交换群。
当群是加法群时，由于符号起了变化，所以有下列倍数律
•na = a + a +" + a
n Δ
•0a = 0
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批注
•na + ma = (n + m)a
•na + nb = n(a + b)
•m(na) = (mn)a
•(−n)a = − a − a − " − a
§1 群的定义和初步性质(2 课时)
教学目的和要求 群是一种只含一个具有特殊性质的代数运算(满足结合律、具有 单位元素、逆运算)的代数体系。比群条件弱一些的是“半群”和“monoid（幺半群）”。 本节要求深刻理解逆元(左逆元、右逆元)，单位元(左单位元、右单位元)和群、 元素的阶及其相互联系，理解群的等价定义。
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批注
第5讲
第二章 群 论
本章介绍群定义、例子、基本性质和一些特殊群类(循环群、置换群、变换 群)。学习这部分内容可以熟悉群的运算与性质，加深对群的理解。
具体要求： 1．深刻理解并熟练熟练掌握群的三个等价定义、有限群与无限群的定义及 群的例子，殊元素(左、右单位元及左、右可逆元)的定义及其基本性质，元素阶 的定义及其基本性质，半群定义、半群中乘法运算基本性质及例子；群的子群概 念、子群的例子、子群的判别法、生成子群概念。 2．深刻理解并熟练掌握循环群与变换群、循环群的概念及例子，循环群的 子群也是循环群的定理，由已知群判断一个带有运算的集合为群的定理，置换群 及其运算，陪集的概念及例子，左(右)陪集的关系，子群关于群的指数的定义， Lagrange 定理。 主要教学内容
，
i2 = j2 = k 2 = 1, (−x) y = x(− y) = −xy, −(−x) = x, x ∈{1, i, j, k} ，作成了 8 阶非交换群。
例 8 S3 = {(1), (23), (13), (12), (123), (132)} 关于映射的乘法作成了 6 阶非交换群。 (12)(13) = (132), (13)(12) = (123) 。
定理 3 群的单位元素和每个元素的逆元素均是唯一的。
推论 任何群中乘法消去律成立： ab = ab′ ⇒ b = b′ ∗ ca = c′a ⇒ c = c′ ∗∗
Ⅲ 半群和么半群 1.定义 2 设 S 为非空集合，若代数系统 (S, ) 满足结合律，则称 (S, ) 是一个半群； 若其中存在单位元素，则称 (S, ) 为么半群。同理可以定义左、右单位元素和逆 元素。
1. 群的定义和初步性质 2. 群中元素的阶 3. 子群
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批注
4. 循环群 5. 变换群 6. 置换群 7. 陪集、指数和 Lagrange 定理 教学重点内容 群的等价定义；群中元素的阶；子群；循环群分类；Cayley 定理； 置换群及其表示；陪集、指数和 Lagrange 定理 教学难点内容 置换群；陪集；Lagrange 定理
*在半群中消去律与元的可逆性之间的关系。在半群中，消去律成立是每一 个元可逆的必要条件，但不是充分条件，对于一个有限半群来说，消去律成立则 是每个元可逆的充要条件。
教学重点 群的定义、基本性质、判定方法，特殊元素； 教学难点 群的定义、基本性质、判定方法，利用群的定义证明性质；
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全体元素：ε k
= e2
kπ n
i
=
cos
2kπ n
+ i sin
2kπ n
(k
= 0,1,…, n −1) ，单位元素
1，ε k
的逆元素 εk
。
例 7 ( 四 元 数 群 ) G = {±1, ±i, ± j, ±k} ， 关 于 乘 法 运 算 ：
ij = k = − ji, jk = i = −kj, ki = j = −ik
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批注
4．群的分类
(1) (23) (13) (12) (123) (132)
(1) (23) (13) (12) (123) (132) (1) (23) (13) (12) (123) (132) (23) (1) (123) (132) (13) (12) (13) (132) (1) (123) (12) (23) (12) (123) (132) (1) (23) (13) (123) (12) (23) (13) (132) (1) (132) (13) (12) (23) (1) (123)
2.例子
(1) G = {−1,1, −i,i} 。1 的阶为 1，其余元素的阶均为 2。
(2) (Q+ ,×) 中，1 的阶为 1，其余元素的阶均为无穷大。
(3) (Q*,×) 中，1 的阶为 1, -1 的阶为 2，其余元素的阶均为无穷大。
(4)
(Un ,⋅) 中，所有元素阶为有限。 U
∪∞
= Ui
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批注
2.例子 (1) (N, +), (F,×), (M n (F ),×)(F = Z , R,Q,C,…) 是么半群，(N + , +) 是半群但不是么
半群。 (2) S ≠ φ, a b = a, (S, ) 为半群。但是 | S |> 1时只有右单位元素，没有左单位元
⇔ ∀a ∈ G, aG = G = Ga
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批注
⇔ 乘法每行每列元素互不相同。 Note: 如果交换群的运算符号用+，则称交换群为加法群。 群的等价定义 等价定义 1 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足: (1)结合律；(2)G 中有右单位元素；(3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个 右逆元。 则称则称 (G, ) 为一个群。 等价定义 2 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足: (1)结合律；(2)G 中有单位元素；(3)对 G 中每个元素 a，在 G 中都有一个逆 元。 则称 (G, ) 为一个群。 等价定义 3 G 是一个非空集合， 是它的一个代数运算，如果满足: (1)结合律；(2) ∀a,b ∈ G, ax = b, ya = b 在 G 中都有解。 则称 (G, ) 为一个群。 小结： 1.命题 有限半群 (G, ) 作成群的充要条件。 2.群的等价定义 3.简单性质
(5) G = Z + , : a b = ab ， (G, ) 不是群。
3．群的阶
如果群 (G, ) 含有限个元素，则称群 (G, ) 为有限群；否则称为无限群。
若有限群群 (G, ) 含有 n 个元素，则称 n 为群 (G, ) 的阶：记 | G |= n 。
前面均为无限群的例子。
例 6 (n 次单位根群)Un = {x ∈ C | xn = 1} 关于数的乘法运算作成了 n 阶交换群。
群
⎧ ⎪有限群 ⎪ ⎨ ⎪⎪无限群 ⎩
⎧⎪⎨⎪⎩有有限限交非换交群换：群n：次四单元位数根群群，(US3n ⎧⎪无限交换群： (F, +) ⎨⎪⎩无限非交换群: (GLn (F ),×)
,
×)
Ⅱ 群的基本性质
定理 1 群的任一元素的左逆元素也是该元素的右逆元素。称为该元素的逆
元素。
定理 2 群的左单位元素也是群的右单位元素。称为群的单位元素。