2017年成都市高三三诊考试(理)

10 1 1 911 0 2 5 5 612 6 813 7
14 2
8 19 3 62017年成都市高三三诊考试数学试题（理）
（1）设集合{0,1}A =，{|(2)(1)<0,}B x x x x =+-∈Z ，则A B =
（A ）{2,1,0,1}-- （B ）{1,0,1}- （C ） {0,1} （D ）{0} （2）已知复数126i z =+，22i z =-.若12z z ，在复平面内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C
对应的复数为z ，则z
=
（A ）
5 （B ）5 （C ）25 （D ）217 （3）在等比数列{}n a 中，1=2a ，公比2q =.若1234m a a a a a =（*m ∈N ），则m =
（A ）11 （B ）10 （C ）9 （D ）8
（4）AQI 是表示空气质量的指数，AQI 指数值 越小，表明空气质量越好，当AQI 指数值不大 于100时称空气质量为“优良”. 如图是某地 4月1日到12日AQI 指数值的统计数据，图中 点A 表示4月1日的AQI 指数值为201.则下列 叙述不正确的是
（A ）这12天中有6天空气质量为“优良” （B ）这12天中空气质量最好的是4月9日 （C ）这12天的AQI 指数值的中位数是90 （D ）从4日到9日，空气质量越来越好
（5）、已知双曲线22
22:1(0x y C a a b
-=>，0)b >，直线l ：22y x =-.若直线l 平行于双曲线C
的一条渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为
（A ）1 （B ）2 （C ）5 （D ）4
（6）、高三某班15名学生一次模拟考试 成绩用茎叶图表示如图1.执行图2所示的程序框图，若 输入的(1,2,,15)i a i
=分别为这15名学生的考试成绩，
则输出的结果为
（A ）6 （B ）7
（C ）8 （D ）9
图1 图2 （7）已知22={(,)|
+A x y x y ≤2}π，B 是曲线sin y x =与x 轴围成的封闭区域.若向区域A 内随机投入一点M ，则点M 落入区域B 的概率为 （）
（A ）2π （B ）4π （C ）32π （D ）34π
（8）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角 形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，且 AB BC CD ==，则异面直线AC 与BD 所成角的余弦值为
A
B
D
开始
否
是
输入1215,,,a a a 110?i a ≥ 0,1n i ==
1n n =+ 1i i =+
是 否
15?i ≤ 输出n 结束
A
日期
AQI 指数值
6
4
3
3
（A ）
12 （B ）12
- （C
）2 （D
）2-
（9）已知抛物线2
:(0)C y mx m =>的焦点为F
，点(0,A .若射线FA 与抛物线C 相交于点
M ，与其准线相交于点D ，且 :1:2FM MD =，则点M 的纵坐标为
（A ）13-
（B
）3- （C ）23
- （D
）3-
（10）已知函数
2()2cos 22f x x =-.给出下列命题：①β∃∈R ，()f x β+为奇函数；②
3(0,
)4
απ
∃∈，()(2)f x f x α=+对x ∈R 恒成立；③12,x x ∀∈R ，若12()()2f x f x -=，则
12min 4
x x π
-=；④12,x x ∀∈R ，若12()=()=0f x f x ，则12=x x k -π（k ∈Z ）.其中的真命
题有
（A ）①②
（B ）③④
（C ）②③ （D ）①④
（11）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形.若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 C
（A ）27π （B ）48π （C ）64π （D ）81π （12）设等差数列
{}n a 的前n 项和为n S ，若113m S -=，
m S =，
+115m S =-，其中*m ∈N 且m
≥2.则数列
11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
的前n 项和的最大值为 D （A ）1143 （B ）24143 （C ）2413 （D ）613
（13
）6
的展开式中，常数项为__________.（用数字作答） （14）若变量x 、y 满足约束条件0+3003x y x y x +≥⎧⎪
-≥⎨⎪≤≤⎩
，则3z x y =-的最小值为__________.3-
（15）从甲、乙等8名志愿者中选５人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天．若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数为_________．（用数字作答） （16）如图，计划将一块半径为2的半圆形纸板切割成 等腰梯形的形状，下底
AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在
半圆上，则所得梯形的最大面积为________．
（17）（本小题满分12分） ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=.
（Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若b ，求a c +的最大值．
A
（18）（本小题满分12分）
如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，2DE =．M 为线段BF 上一点，且DM ⊥平面ACE .
（Ⅰ）求BM 的长； 1
（Ⅱ）求二面角A DM B --的余弦值的大小. 1
4
（19）（本小题满分12分）
几个月前，成都街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题．比如，乱停乱放或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人
（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的2×2列联表；能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系？ 没有关系
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)，[20,25)的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为X ，求随机变量X 的分布列及数学期望．
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
（20）（本小题满分12分）
已知圆C ：2
2(1)
8x y ++=，点(1,0)A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹为曲线E ． （Ⅰ）求曲线E 的方程；
F B C
E E A
D M
（Ⅱ）若直线:l y kx m =+与曲线E 相交于,M N 两点，O 为坐标原点，
求MON ∆面积的最大值．
（21）（本小题满分12分）
已知函数
()ln 1a
f x x x
=+
-，. （Ⅰ）若关于x 的不等式()f x ≤1
12
x -在[)1,+∞上恒成立，求a 的取值范围；
（Ⅱ）设函数()()f x g x x
=，若()g x 在2
[1,e ]上存在极值，求a 的取值范围，并判断极值的正负.
（22）（本小题满分10分） 已知曲线C 的极坐标方程为2ρ
=，在以极点为直角坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立的平面
直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为22
x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）在平面直角坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1:2x x
y y
ϕ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩得到曲线C '，若(,)M x y 为曲
线C '上任意一点，求点M 到直线l 的最小距离．
（23）（本小题满分10分）
已知
()f x x a =-，a ∈R ．
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()25f x x +-≥6的解集；
（Ⅱ）若函数()()3g x f x x =
--的值域为A ，且[1,2]A -⊆，求a 的取值范围．
a ∈R
成都市高2014级三诊考试数学试题答案理科
（理科）
1.B ；
2.A ；
3. B ；
4.C ；
5.B ；
6. D ；
7.D ；
8.A ；
9.D ； 10.C ； 11.C ； 12.D.
13. 160-； 14. 3-； 15.5040; 16.
（理科）
17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=.…………………2分 ∵180()C
A B =-+，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=.
化简，得sin (2cos 1)0A B ⋅-=. …………………4分
∵sin 0A ≠，∴1
cos 2
B
=. ∵0B <<π，∴3
B π
=
. …………………6分 （Ⅱ）由已知及余弦定理，得2
212a c ac +-=. …………………8分
即2
()312a c ac +-=. …………………9分
∵0,0a
c >> ，
∴2
2
()3(
)2
a c a c ++-≤12，即2()a c +≤48. …………………11分
∴a c +≤a c == .
∴a c +的最大值为…………………12分
（理科） 18.解：（I ）底面
ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，
∴AC BD ⊥，且AC =2BD =. ················1分
四边形BDEF 是矩形，∴
DE BD ⊥.
平面BDEF ⊥平面ABCD ，且交线为BD ，
∴DE ⊥平面ABCD ，AC ⊥平面BDEF . ·
··················3分 记AC BD O =.取EF 中点H ，则OH DE .
OH
∴⊥平面ABCD .
如图，以O 为原点，分别以,,OB OC OH 的方向为
x 轴，y
轴，
z 轴的正方向建立坐标系
Oxyz . ·················4分
由题意，得(1,0,0)B
，C ，(1,0,0)D -，
(0,A ，(1,0,2)E -，(1,0,2)F .
(0,AC ∴=
，(2)AE =-.
M 为BF 上一点，设(1,0,)(0M t ≤t ≤2).
···················5分 (2,0,)DM t ∴=.
DM ⊥平面ACE ，DM AE ⊥.
∴2020.
DM
AE t ⋅=-++= 解得1t
=.
(1,0,1)M ∴.
1BM ∴=. ··················7分 （II ）由（I ），可知AC ⊥平面BDEF .AC ∴⊥平面DMB .
(AD =-
，(1,AM =.
设平面ADM 的法向量为(,,)x y z =n .
由00
AD x AM x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩n n ，取1y =
，则=-n . ······9分
∵21
cos ,4
||||4AC AC
AC ⋅<>=
==⨯n n n ，
∴二面角A DM B --的余弦值为
1
4
. ············12分 19.解：（I
…………………………2分 根据22⨯列联表中的数据，得到2
K 的观测值为
()
()()()()
2
503051052382706301055305105k ..⨯-⨯=≈<++++. ……………5分
∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下，年龄与是否支持发展共享单车没有关系.
z
O
……………6分 （II ）由题意，年龄在[15,20)的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在
[20,25)的6个受访人中，有5人支持发展共享单车.
∴随机变量
X
的所有可能取值为2,3,4. ………………7分
∵114522562(2)15C C P X C C ===，1221454522
567(3)15C C C C P X C C +===，6
(4)15P X ==， ∴随机变量X
的分布列为
…………………10分
∴随机变量X 的数学期望()27649
234
15151515E X =⨯+⨯+⨯=
.
……………12分 20.解：（Ⅰ）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =.
又
CP CQ QP =+=2CQ QR CA +=>=.
………………2分
∴曲线E 是以坐标原点为中心，(1,0)C -和(1,0)A 为焦点，长轴长为.
…………………3分
设曲线E 的方程为22
221(0)x y a b a b
+=>>.
∵1c =，a
=2211b =-=. …………………4分
∴曲线E 的方程为2
212
x y +=. ……………………5分 （Ⅱ）设11(,)M x y ，22(,)N x y .
联立22
12
y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y ，得222(12)4220k x kmx m +++-=.
此时有2216880k m ∆
=-+>.
由一元二次方程根与系数的关系，得122
412km
x x k -+=
+, 2122
22
12m x x k -=+. …………6分
∴||MN ==. ………7分
∵原点O 到直线l 的距离d
=
， …………………………………8分
∴ 1
||2
MON
S MN d ∆=
⋅=
由0∆
>，得22210k m -+>.又∵0m ≠，∴据基本不等式，得
MON S ∆≤2222
+(21)122m k m k -+⋅+=2
. 当且仅当22
21
=2
k m +时，不等式取等号. ………………………………………11分
∴MON ∆面积的最大值为2
． …………………………………12分
21.解：（Ⅰ）由
()f x ≤112x -，得ln 1a
x x +-≤112
x -..
即a ≤2
1ln 2
x x x -+在[1,)+∞上恒成立. ……………… 1分 设函数2
1()ln 2
m x x x x =-+，x ≥1.
则 ()ln 1m x x x '=-+-. ………………2分
设()ln 1n x x x =-+-.
则1
()1n x x
'=-
+，易知当x ≥1时，()n x '≥0. ∴()n x 在[1,)+∞上单调递增，且()n x ≥(1)0n =. 即()m x '≥(1)0m '=对[1,)x ∈+∞恒成立. ∴()m x 在[1,)+∞上单调递增. ∴当[1,)x ∈+∞时，()m x ≥min 1()(1)2
m x m ==
. ∴a ≤
12，即a 的取值范围是1
]2
∞(-，. …………… 4分 （Ⅱ）2ln 1
()x a g x x x x
=+-，2[1,e ].x ∈
∴2233
1ln 122ln 2().x a x x x a
g x x x x x ---'=
+-= 设()2ln 2h x x x x a =--，则()2(1ln )1ln .h x x x '=-+=- 由()0h x '=，得e x =.
当1≤e x <时，()0h x '>；当e x <≤2e 时，()0h x '<.
∴()h x 在[1,e)上单调递增，在
(2
e,e ⎤⎦上单调递减.
且(1)22h a =-，(e)e 2h a =-，2
(e )2h a =-. ………………5分
显然 2(1)
(e )h h >.
结合函数图象可知，若()g x 在2
[1,e ]上存在极值，
则(e)0(1)0h h >⎧⎨
<⎩或2
(1)0
(e )0
h h ≥⎧⎨<⎩. ………………7分 （ⅰ）当(e)0(1)0
h h >⎧⎨
<⎩，即e
12a <<时，
则必定212
,[1,e ]x x ∃∈，使得12()()0h x h x ==，且2121e e .
x x <<<<
当x 变化时，(),(),()h x g x g x '的变化情况如下表：
()x ()g x
∴当e 12
a <
<
时，()g x 在2
[1,e ]上的极值为1()g x ，2()g x ，且12()()g x g x <. ∵1111122
1111ln ln 1()
.x x x x a
a g x x x x x -+=
+-= 设()ln x x x x a ϕ=-+，其中e
12
a <<
，1≤ e.x < ∵()ln 0x x ϕ'=>，∴()x ϕ在(1,e)上单调递增，()x ϕ≥(1)10a ϕ=->，当且仅当
1x =时取等号.
∵11e x <
<，∴1()0g x >.
∴当e 12
a <<
时，()g x 在2
[1,e ]上的极值21()()0g x g x >>. ………………10分 （ⅱ）当2
(1)0
(e )0
h h ≥⎧⎨
<⎩，即0a <≤1时， 则必定2
3(1,e )x ∃∈，使得3()0.
h x =
易知()g x 在3(1,)x 上单调递增，在
()2
3
,e x 上单调递减.
此时，()g x 在2
[1,e ]上的极大值是3()g x ，且2
2
34
e ()(e )0e a g x g +>=>.
∴当0a <≤1时，()g x 在2
[1,e
]上的极值为正数. ………………12分
综上所述：当e 02a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，时，()g x 在2
[1,e
]上存在极值，且极值都为正数.
注：也可由()0g x '=，得22ln a x x x =-.设函数()2ln h x x x x =-后再研究()g x 在
2[1,e ]上的极值问题.
22.解：
（Ⅰ）由x y ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去参数t
，得到y x =+ 即直线l
的普通方程为0x y -+=. ……………………………………2分
∵cos ,sin x
y ρθρθ==，∴2224x y ρ+==.
即曲线C 的直角坐标方程为2
24x y +=. ……………………………………5分
（Ⅱ）由1
2x x
y y
⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，得2x x y y '=⎧⎨
'=⎩. 代入方程2
2
4x y +=，得2
2
14
y x ''+=. ……………………………7分 已知(,)M x y 为曲线C '上任意一点，故可设(cos ,2sin ),M αα其中α为参数. 则点M 到直线l 的距离
d =
=
tan 2.β=
∴点M 到直线l
=……………………………10分
11
23.解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为
125x x -+-≥6. 当x ≤1时，不等式可化为()()125x x -
---≥6，∴x ≤0； ………………1分 当512
x <<时，不等式可化为()()125x x ---≥6， x ∴∈∅； ………………2分 当x ≥52
时，不等式可化为()()125x x -+-≥6，∴x ≥4. .………………3分 综上所述：原不等式的解集为{|x x ≤0或x ≥4}. ………………5分
（Ⅱ）∵
()33f x x x a x --=---≤3=3x a x a ----（）， ∴ ()333,3f x x x a x a a --=---∈⎡---⎤⎣⎦.
∴函数()g x 的值域=3,3A a a ⎡---⎤⎣⎦. ………………7分
[1,2]A -⊆，3132
a a ⎧--≤-⎪∴⎨-≥⎪⎩. ………………8分 解得
a ≤1或a ≥5. ∴a 的取值范围是(][),15,-∞+∞． ………………10分。