湖北省孝感市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷含解析

湖北省孝感市2019-2020学年高考数学第一次调研试卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x 与y 之间的一组数据：
若y 关于x 的线性回归方程为$ 2.10.25y x =-，则m 的值为（ ） A ．1.5 B ．2.5
C ．3.5
D ．4.5
【答案】D 【解析】 【分析】
利用表格中的数据，可求解得到 2.5,x =代入回归方程，可得5y =，再结合表格数据，即得解. 【详解】
利用表格中数据，可得 2.5,x = 又 2.10.25,5y x y =-∴=，
3.2
4.87.520m ∴+++=．
解得 4.5m = 故选：D 【点睛】
本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.
2．已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时，2
2()2
x
x x
f x e +=-，设
(ln (ln
a f
b f
c f ===，则（ ） A ．b a c >> B ．b a c >=
C ．a c b =>
D ．c a b >>
【答案】B 【解析】 【分析】
根据偶函数性质，可判断,a c 关系；由0x ≥时，22()2
x
x x
f x e +=-，求得导函数，并构造函数
()1x g x e x =--，由()g x '进而判断函数()f x 在0x ≥时的单调性，即可比较大小.
【详解】
()f x 为定义在R 上的偶函数，
所以(ln ln 22c f f f ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 所以a c =;
当0x ≥时，22()2
x
x x f x e +=-，
则)1(x
f x e x =--'，
令()1x
g x e x =--
则1()x g x e '=-，当0x ≥时，)0(1x
g x e =-≥'， 则()1x
g x e x =--在0x ≥时单调递增，
因为000)10(g e =--=，所以1(0)x
g x e x --=≥， 即)0(1x x f x e =--≥'，
则22()2
x
x x
f x e +=-在0x ≥时单调递增，
而0<<
(
f f
<，
综上可知，(ln 2f f f ⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝
⎭
即a c b =<， 故选：B. 【点睛】
本题考查了偶函数的性质应用，由导函数性质判断函数单调性的应用，根据单调性比较大小，属于中档题.
3．设12,x x 为()()cos 0f x x x ωωω->的两个零点，且12x x -的最小值为1，则ω=（ ） A ．π B ．
2
π
C ．
3
π D ．
4
π 【答案】A 【解析】 【分析】
先化简已知得()2sin()6
f x wx π
=-,再根据题意得出f （x ）的最小值正周期T 为1×2，再求出ω的值．
【详解】
由题得()2sin()6
f x wx π
=-
,
设x 1，x 2为f （x ）=2sin （ωx ﹣6
π）（ω＞0）的两个零点，且12x x -的最小值为1， ∴2T
=1，解得T=2； ∴
2π
ω
=2，
解得ω=π． 故选A ． 【点睛】
本题考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 4．函数()1cos f x x x x ⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】D 【解析】
因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x
-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则1
1
()()cos ()0f πππππ
π
=-
=--<，故选D.
考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.
5．定义在[]22-,
上的函数()f x 与其导函数()f x '的图象如图所示，设O 为坐标原点，A 、B 、C 、D 四点的横坐标依次为12-
、1
6-、1、43，则函数()x
f x y e
=的单调递减区间是（ ）
A ．14,63⎛⎫
-
⎪⎝
⎭ B ．1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
C ．11,26-
-⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．()1,2
【答案】B 【解析】 【分析】
先辨别出图象中实线部分为函数()y f x =的图象，虚线部分为其导函数的图象，求出函数()x
f x y e
=
的
导数为()()
x
f x f x y e
'=
'-，由0y '<，得出()()f x f x '<，只需在图中找出满足不等式()()f x f x '<对
应的x 的取值范围即可. 【详解】
若虚线部分为函数()y f x =的图象，则该函数只有一个极值点，但其导函数图象（实线）与x 轴有三个交点，不合乎题意；
若实线部分为函数()y f x =的图象，则该函数有两个极值点，则其导函数图象（虚线）与x 轴恰好也只有两个交点，合乎题意. 对函数()x
f x y e
=
求导得()()
x
f x f x y e
'=
'-，由0y '<得()()f x f x '<，
由图象可知，满足不等式()()f x f x '<的x 的取值范围是1,12⎛⎫
-
⎪⎝⎭
， 因此，函数()x
f x y e =的单调递减区间为1,12⎛⎫
- ⎪⎝⎭
.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用图象求函数的单调区间，同时也考查了利用图象辨别函数与其导函数的图象，考查推理能力，属于中等题. 6．设函数
'()f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当0x >时，1
'()ln ()<-
f x x f x x
，则使得2(1)()0x f x ->成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(1,0)(0,1)-U
B ．(,1)(1,)-∞-+∞U
C ．(1,0)(1,)-??
D ．(,1)(0,1)-∞-U
【答案】D 【解析】
构造函数，令()()()ln 0g x x f x x =⋅>，则()()()'ln 'f x g x xf x x
=+，
由()()1
'f x lnx f x x
<-
可得()'0g x <， 则()g x 是区间()0,∞+上的单调递减函数， 且()()1ln110g f =⨯=，
当x ∈(0,1)时,g(x)>0,∵lnx<0,f(x)<0,(x 2-1)f(x)>0; 当x ∈(1,+∞)时,g(x)<0,∵lnx>0,∴f(x)<0,(x 2-1)f(x)<0 ∵f(x)是奇函数,当x ∈(-1,0)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)<0 ∴当x ∈(-∞,-1)时,f(x)>0,(x 2-1)f(x)>0.
综上所述,使得(x 2-1)f(x)>0成立的x 的取值范围是()(),10,1-∞-⋃. 本题选择D 选项.
点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中．某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用．因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的．根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧．许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效． 7．若函数2sin(2)y x ϕ=+的图象过点(,1)6
π
，则它的一条对称轴方程可能是（ ）
A ．6
x π
=
B ．3
x π
=
C ．12
x π
=
D ．512
x π=
【答案】B 【解析】 【分析】
把已知点坐标代入求出ϕ，然后验证各选项．
【详解】
由题意2sin(
)13π
ϕ+=，1sin()32πϕ+=，26k πϕπ=-或22
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
不妨取6π
ϕ=-或2
ϕπ=，
若2
ϕπ
=，则函数为sin(2)cos 22y x x π=+=，四个选项都不合题意，
若6πϕ=-，则函数为2sin(2)6y x π=-，只有3x π=时，sin(2)136ππ⨯-=，即3
x π
=是对称轴．
故选：B ． 【点睛】
本题考查正弦型复合函数的对称轴，掌握正弦函数的性质是解题关键．
8．抛掷一枚质地均匀的硬币，每次正反面出现的概率相同，连续抛掷5次，至少连续出现3次正面朝上的概率是（ ） A ．
14
B ．
13
C ．
532
D ．
316
【答案】A 【解析】 【分析】
首先求出样本空间样本点为5232=个，再利用分类计数原理求出三个正面向上为连续的3个“1”的样本点个数，再求出重复数量，可得事件的样本点数，根据古典概型的概率计算公式即可求解. 【详解】
样本空间样本点为5232=个， 具体分析如下：
记正面向上为1，反面向上为0，三个正面向上为连续的3个“1”， 有以下3种位置1__ __，__1__，__ __1．
剩下2个空位可是0或1，这三种排列的所有可能分别都是224⨯=， 但合并计算时会有重复，重复数量为224+=， 事件的样本点数为：444228++--=个． 故不同的样本点数为8个，81
324
=. 故选：A 【点睛】
本题考查了分类计数原理与分步计数原理，古典概型的概率计算公式，属于基础题
9．很多关于整数规律的猜想都通俗易懂，吸引了大量的数学家和数学爱好者，有些猜想已经被数学家证明，如“费马大定理”，但大多猜想还未被证明，如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是：对于每一个正整数，如果它是奇数，则将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2；如此循环，最
终都能够得到1.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入n 的值为10，则输出i 的值为（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
【答案】B 【解析】 【分析】
根据程序框图列举出程序的每一步，即可得出输出结果. 【详解】
输入10n =，1n =不成立，n 是偶数成立，则10
52
n =
=，011i =+=； 1n =不成立，n 是偶数不成立，则35116n =⨯+=，112i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则16
82n =
=，213i =+=； 1n =不成立，n 是偶数成立，则8
42n ==，314i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则4
22n ==，415i =+=；
1n =不成立，n 是偶数成立，则2
12
n ==，516i =+=；
1n =成立，跳出循环，输出i 的值为6.
故选：B. 【点睛】
本题考查利用程序框图计算输出结果，考查计算能力，属于基础题.
10．若23455
012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（ ）
A ．
54
B ．
58
C ．
516
D ．
532
【答案】C 【解析】 【分析】 根据5
51
[(21)1]32
x x =-+，再根据二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】 因为551
[(21)1]32
x x =
-+，所以二项式5[(21)1]x -+的展开式的通项公式为：55155(21)1(21)r r r r r r T C x C x --+=⋅-⋅=⋅-，令3r =，所以2235(21)T C x =⋅-，因此有
3
2255111545323232216
C C a ⨯=
⋅=⋅=⨯=. 故选：C 【点睛】
本题考查了二项式定理的应用，考查了二项式展开式通项公式的应用，考查了数学运算能力 11．复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则z =( )
A ．i
B ．﹣2i
C ．2i
D ．﹣i
【答案】B 【解析】 【分析】
复数()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出a ，即得z .
【详解】
∵()
()()2
11z a a i a R =-+-∈为纯虚数，
∴21010
a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得1a =-. 2z i ∴=-. 故选：B . 【点睛】
本题考查复数的分类，属于基础题.
12．设()ln f x x =，若函数()()g x f x ax =-在区间(
)2
0,e 上有三个零点，
则实数a 的取值范围是( ) A ．10,
e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭
B ．211,e e ⎛⎫
⎪⎝
⎭ C ．2
22,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．221,e e ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 【答案】D
令()()0g x f x ax =-=，可得()f x ax =.
在坐标系内画出函数()ln f
x x =的图象（如图所示）.
当1x >时，()ln f x x =.由ln y x =得1y x
'=
. 设过原点的直线y ax =与函数y x ln =的图象切于点00(,ln )A x x ，
则有000ln 1x ax a x =⎧⎪⎨=⎪⎩
，解得01x e a e =⎧⎪
⎨=⎪⎩. 所以当直线y ax =与函数y x ln =的图象切时1
a e
=
. 又当直线y ax =经过点()
2
B ,2e 时，有22a e =⋅，解得2
2a e =
. 结合图象可得当直线y ax =与函数()ln f x x =的图象有3个交点时，实数a 的取值范围是221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 即函数()()g x f x ax =-在区间(
)2
0,e
上有三个零点时，实数a 的取值范围是2
21,e e ⎛⎫
⎪⎝⎭
.选D.
点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法 (1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于一些比较复杂的函数的零点问题常用此方法求解. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有010
1101
2n
n
a n S -=-，则1a =___ 【答案】1- 【解析】 【分析】
利用行列式定义，得到n a 与n S 的关系，赋值1n =，即可求出结果。

由01
1101
011(2)102121
2n n n n n n
a a a S n n S n
n S -=-=++=---，令1n =，
得11(2)10a a ++=，解得11a =-。

【点睛】
本题主要考查行列式定义的应用。

14．在平面直角坐标系xOy 中，直角三角形ABC 的三个顶点都在椭圆()2
2211x y a a
+=＞上，其中A （0，
1）为直角顶点．若该三角形的面积的最大值为27
8
，则实数a 的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】
设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1k =-x+1，（k≠0），联立方程得到B （222
21a k
a k -+，2
2
2211a k a k -+），故S 442221
211a k k
a a k k +
=⎛⎫+++ ⎪⎝
⎭，令t 1k k =+，得S 4
2222(1)a a a t t =-+，利用均值不等式得到答案. 【详解】
设直线AB 的方程为y ＝kx+1，则直线AC 的方程可设为y 1
k
=-
x+1，（k≠0） 由22211
y kx x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩
消去y ，得（1+a 2k 2）x 2+2a 2
kx ＝0，所以x ＝0或x 222
21a k a k -=+ ∵A 的坐标（0，1），∴B 的坐标为（22221a k a k -+，k•22221a k a k -++1）
，即B （22221a k a k -+，2222
11a k a k -+）， 因此
AB ==2
22
21a k a k
+， 同理可得：
AC =•
2
2
2
21a k
a
k
+.
∴Rt△ABC的面积为S
1
2
=AB•AC2
2
1
2k
k
=++
•
4
4
422422
22
1
2
2
11
11
a k
a k
a a k a a k
k k
+
=
⎛⎫⎛⎫
++++++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
令t
1
k
k
=+，得S()
44
22
422
2
22
(1)
12
a t a
a
a a t a t
t
==
-
++-+.
∵t
1
k
k
=+≥2，∴S△ABC
44
2
22
2
(1)
(1)
2
a
a a
a
a t
t
≤=
-
-
⨯
.
当且仅当
2
a t
t
=，即t
21
a
a
-
=时，△ABC的面积S有最大值为
4
2
27
(1)8
a
a a
=
-
.
解之得a＝3或a
3297
+
=.
∵a
3297
+
=时，t
21
a
a
-
=＜2不符合题意，∴a＝3.
故答案为：3.
【点睛】
本题考查了椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.
15．在ABC
∆中，90
C=o
∠，2
CM MB
=
u u u u v u u u v
．若
1
sin
5
BAM
∠=，则tan BAC
∠=_________．6
【解析】
分析：首先设出相应的直角边长，利用余弦勾股定理得到相应的斜边长，之后应用余弦定理得到直角边长之间的关系，从而应用正切函数的定义，对边比临边，求得对应角的正切值，即可得结果.
详解：根据题意，设,3
AC m BC n
==，则2,
CM n BM n
==，根据1
sin
5
BAM
∠=，
得26
cos BAM ∠=
，由勾股定理可得22224,9AM m n AB m n =+=+ 222222222
26
5
249m n m n =
++， 化简整理得422412360m m n n -+=，即2
22
(6)0m n -=，解得6m n =，
所以36tan 26n BAC m n
∠=
==
，故答案是6
2点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，注意分析要求对应角的正切值，需要求谁，而题中所给的条件与对应的结果之间有什么样的连线，设出直角边长，利用所给的角的余弦值，利用余弦定理得到相应的等量关系，求得最后的结果.
16．（5分）有一道描述有关等差与等比数列的问题:有四个和尚在做法事之前按身高从低到高站成一列，已知前三个和尚的身高依次成等差数列，后三个和尚的身高依次成等比数列，且前三个和尚的身高之和为
450cm ，中间两个和尚的身高之和为315cm ，则最高的和尚的身高是____________ cm ．
【答案】181.5 【解析】 【分析】 【详解】
依题意设前三个和尚的身高依次为123cm,cm,cm a a a ，第四个(最高)和尚的身高为4cm a ，则
12323450++==a a a a ，解得2150=a ，又23315+=a a ，解得3165=a ，又因为234,,a a a 成等比数列,则公
比32165
1.1150
=
==a q a ，故43165 1.1181.5==⨯=a a q . 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数f （x ）2
12
x =
-ax ﹣lnx （a ∈R ）. （1）若a ＝2时，求函数f （x ）的单调区间；
（2）设g （x ）＝f （x ）232x +
+1，若函数g （x ）在1e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，上有两个零点，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）单调递减区间为（01）1，+∞）（2）（3，2e] 【解析】 【分析】
（1）当a ＝2时，求出()f x '
，求解()0,()0f x f x '
'
><，即可得出结论； （2）函数223()()121ln 2g x f x x x ax x =+
+=-+-在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两个零点等价于a ＝2x 1lnx x x +-在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两解，构造函数1()2lnx h x x x x =+-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，利用导数，可分析求得实数a 的取值范围. 【详解】
（1）当a ＝2时，2
1()2ln 2
f x x x x =
--定义域为(0,)+∞， 则212()21
x x x x
f x x '=----=，令()0f x '=，
解得x =
1，或x =1（舍去）
，
所以当1)x ∈时，()0,()f x f x '
<单调递减；
当1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '
>单调递增；
故函数的单调递减区间为1)，单调递增区间为1,)+∞， （2）设2
23()()121ln 2
g x f x x x ax x =+
+=-+-， 函数g （x ）在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有两个零点等价于1
2lnx
a x x x =+-在1
,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有两解
令1()2lnx h x x x x =+-，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则22
22()x lnx
h x x -+'=， 令2
()22ln t x x x =-+，1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
， 显然，()t x 在区间1,e e
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递增，又(1)0t =， 所以当11x e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
，时，有()0t x <，即()0h x '<， 当(1,]x e ∈时，有()0t x >，即()0h x '>，
所以()h x 在区间11e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
，
上单调递减，在区间(1,]e 上单调递增， 1x ∴=时，()h x 取得极小值，也是最小值，
即min 12
()(1)3,()2,()2h x h h e h e e e e
===+=， 由方程12lnx a x x x =+
-在1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上有两解及1()()h h e e >， 可得实数a 的取值范围是(3,2]e . 【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力，属于中档题. 18． [选修4
5：不等式选讲]
已知a b c d ,,,都是正实数，且1a b c d +++=，求证: 22221
11115
a b c d a b c d +++++++…．
【答案】见解析 【解析】
试题分析：把不等式的左边写成()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
形式，
利用柯西不等式即证．
试题解析：证明：∵()()()()222211111111a b c d a b c d a b c d ⎛⎫
⎡⎤++++++++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭
2
1?1?1?1?1111a b c d a b c d a b c d ≥+++++++++
()2
1a b c d =+++=，
又()()()()11115a b c d +++++++=，
∴22221
11115
a b c d a b c d +++≥++++ 考点：柯西不等式
19．已知函数()123f x x x =--+. （1）求不等式
()1f x <的解集；
（2）若存在实数x ，使得不等式()2
30m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）()(),62,-∞--+∞U ；（2）()1,4-. 【解析】 【分析】
（1）将函数()y f x =的解析式表示为分段函数，然后分3x ≤-、31x -<<、1x ≥三段求解不等式
()1f x <，综合可得出不等式()1f x <的解集；
（2）求出函数()y f x =的最大值()max f x ，由题意得出()2
max 3m m f x -<，解此不等式即可得出实数
m 的取值范围.
【详解】
()7,3
12335,317,1x x f x x x x x x x +≤-⎧⎪
=--+=---<<⎨⎪--≥⎩
Q .
（1）当3x ≤-时，由()71f x x =+<，解得6x <-，此时6x <-； 当31x -<<时，由()351f x x =--<，解得2x >-，此时21x -<<； 当1x ≥时，由()71f x x =--<，解得8x >-，此时1x ≥. 综上所述，不等式
()1f x <的解集()(),62,-∞--+∞U ；
（2）当3x ≤-时，函数()7f x x =+单调递增，则()()34f x f ≤-=；
当31x -<<时，函数()35f x x =--单调递减，则()()()13f f x f <<-，即()84f x -<<； 当1x ≥时，函数()7f x x =--单调递减，则()()18f x f ≤-=-. 综上所述，函数()y f x =的最大值为()()max 34f x f =-=， 由题知，()2
max 34m m f x -<=，解得14-<<m .
因此，实数m 的取值范围是()1,4-. 【点睛】
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
20．改革开放40年，我国经济取得飞速发展，城市汽车保有量在不断增加，人们的交通安全意识也需要不断加强.为了解某城市不同性别驾驶员的交通安全意识，某小组利用假期进行一次全市驾驶员交通安全意识调查.随机抽取男女驾驶员各50人，进行问卷测评，所得分数的频率分布直方图如图所示.规定得分在80分以上为交通安全意识强.
安全意识强 安全意识不强 合计
男性 女性 合计
（Ⅰ）求a 的值，并估计该城市驾驶员交通安全意识强的概率；
（Ⅱ）已知交通安全意识强的样本中男女比例为4:1，完成2×2列联表，并判断有多大把握认为交通安全意识与性别有关；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，从交通安全意识强的驾驶员中随机抽取2人，求抽到的女性人数X 的分布列及期望.
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++
()2P K k ≥ 0.010 0.005
0.001 k
6.635
7.879
10.828
【答案】（Ⅰ）0.016a =.0.2（Ⅱ）见解析，有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关（Ⅲ）见解析，
25
【解析】 【分析】
（Ⅰ）直接根据频率和为1计算得到答案.
（Ⅱ）完善列联表，计算297.879K =>，对比临界值表得到答案. （Ⅲ）X 的取值为0,1,2,，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】
（Ⅰ）10(0.00420.0080.0220.028)1a ⨯+++⨯+= ，解得0.016a =.
所以该城市驾驶员交通安全意识强的概率0.160.040.2P =+=. （Ⅱ）
22
(1646434)10097.87920805050
K ⨯-⨯⨯==>⨯⨯⨯，
所以有99.5%的把握认为交通安全意识与性别有关 （Ⅲ）X 的取值为0,1,2,
21622060(0),95C P X C ===1116422032(
1),95C C P X C ===242203
(2),95
C P X C ===
所以X 的分布列为
期望()95955
E X =+=. 【点睛】
本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21．已知函数()()()ln 11f x x ax a a R =+-+-∈．
（1）若()0f x ≤对任意1x >-恒成立，求实数a 的取值范围； （2）求证： ()1
ln 110x x xe
x --++-+≥
【答案】（1）1a ≥；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）将问题转化为()ln 11
1
x a x ++≥
+对任意1x >-恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得()1
12ln 111x x x xe
x xe x ---+≥--+++，令()()1211x h x xe x x --=+>-，求导
后证明其导函数单调递增，结合()10h '=，即可得函数()h x 的单调区间和最小值，即可得证. 【详解】
（1）()0f x ≤对任意1x >-恒成立等价于()ln 11
1
x a x ++≥+对任意1x >-恒成立，
令()10t x t =+>，()ln 1t g t t +=
，则()2ln t
g t t
-'=， ∴当()0,1t ∈时，()0g t '>，()g t 单调递增；
当()1,t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减；
∴()g t 有最大值()11g =， ∴1a ≥.
（2）证明：由（1）知，当1a =时，()ln 10x x +-≤即()ln 1x x ≤+，
∴()ln 1x x -+≥-，∴()112ln 111x x x xe x xe x ---+≥--+++，
令()()1
211x h x xe
x x --=+>-，则()()112x h x x e -'+-=，
令()()()1
121x p x x e
x -=+->-，则()()120x p x x e -'+>=，
∴()h x '在()1,-+∞上是增函数，又()10h '=，
∴当()1,1x ∈-时，()0h x '<；当()1,x ∈+∞时，()0h x '>， ∴()h x 在()1,1-上是减函数，在()1,+∞上是增函数，
∴()()10h x h ≥=，即1210x xe x +-≥﹣，
∴()1ln 110x x xe x ---+++≥．
【点睛】
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
22．已知函数()ln f x x =．
（1）求函数()()1g x f x x =-+的零点； （2）设函数()f x 的图象与函数1
a y x x
=+
-的图象交于()11A x y ，，()()1112B x y x x <，两点，求证：121a x x x <-；
（3）若0k >，且不等式()()()2
2
11x f x k x --≥对一切正实数x 恒成立，求k 的取值范围．
【答案】 (1)x=1 (2)证明见解析 (3) 02k <… 【解析】 【分析】
（1）令()1g x lnx x =-+，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解； （2）转化思想，要证1a x < 21x x -，即证1x 212121(1)lnx lnx x x x x --<-g 21x x -，即证2112
()1x x
ln x x >-，构造
函数进而求证；
（3）不等式22(1)()x lnx k x --… 对一切正实数x 恒成立，222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--+Q ，设(1)
()1
k x h x lnx x -=-
+，分类讨论进而求解． 【详解】
解：（1）令()1g x lnx x =-+，所以11()1x
g x x x
-'=
-=， 当(0,1)x ∈时，()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 在(1,)+∞单调递减； 所以()()10min g x g ==，所以()g x 的零点为1x =．
（2）由题意Q 111
22211
a lnx x x a lnx x x ⎧
=+-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩
， 211221
(1)lnx lnx a x x x x -∴=-
-g ， 要证121a x x x <- 21x x -，即证21
1212121
(1)lnx lnx x x x x x x x --<--g
，即证2112()1x x ln x x >-，
令2
11x t x =
>，则11lnt t >-，由（1）知1lnx x -…，当且仅当1x =时等号成立，所以111ln t t
<-， 即1
1lnt t
>-，所以原不等式成立．
（3）不等式22(1)()x lnx k x --…
对一切正实数x 恒成立， 222(1)
(1)(1)(1)[]1
k x x lnx k x x lnx x ----=--
+Q ， 设(1)
()1k x h x lnx x -=-+，222122(1)1()(1)(1)k x k x h x x x x x +-+'=-=++，
记2()2(1)1x x k ϕ=+-+，△24(1)44(2)k k k =--=-，
①当△0…时，即02k <…时，()0h x '…
恒成立，故()h x 单调递增． 于是当01x <<时，()()10h x h <=，又210x -<，故22(1)(1)x lnx k x ->-， 当1x >时，()()10h x h >=，又210x ->，故22(1)(1)x lnx k x ->-，
又当1x =时，22(1)(1)x ln k x -=-，
因此，当02k <…时，22(1)(1)x lnx k x --…
， ②当△0>，即2k >时，设22(1)10x k x +-+=的两个不等实根分别为3x ，434()x x x <， 又()1420k ϕ=-<，于是3411x k x <<-<，
故当(1,1)x k ∈-时，()0h x '<，从而()h x 在(1,1)k -单调递减；
当(1,1)x k ∈-时，()()10h x h <=，此时210x ->，于是2(1)()0x h x -<， 即22(1)(1)x lnx k x -<- 舍去， 综上，k 的取值范围是02k <…． 【点睛】
（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.
23．超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n （n *∈N ）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式： （1）逐份检验，则需要检验n 次；
（2）混合检验，将其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为1k +次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p （01p <<）.
（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；
（2）现取其中k （k *∈N 且2k ≥）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ.
（i ）试运用概率统计的知识，若12E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式()p f k =； （ii ）若
1p =，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期
望值更少，求k 的最大值.
参考数据：ln 20.6931≈，ln3 1.0986≈，ln 4 1.3863≈，ln5 1.6094≈，ln6 1.7918≈
【答案】（1）110（2）（i ）()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ，且2k ≥）.（ii ）最大值为4. 【解析】
【分析】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,利用古典概型、排列组合求解即可； （2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +,则可求得()21P ξ=,()21P k ξ=+,即可得到()2E ξ,进而由()()12E E ξξ=可得到p 关于k 的函数关系式；
（ii ）由()()12E E ξξ>可得()11k p k
<-,推导出1ln 3k k >,设()1ln 3f x x x =-（0x >）,利用导函数判断()f x 的单调性,由单调性可求出k 的最大值
【详解】
（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,
则()232355
A A 1A 10P A ==, ∴恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为
110
（2）（i ）由已知得1E k ξ=,2ξ的所有可能取值为1,1k +, ()()211k P p ξ∴==-,()()2111k
P k p ξ=+=--,
()()()()()2111111k k k E p k p k k p ξ⎡⎤∴=-++--=+--⎣⎦, 若()()12E E ξξ=,则()11k k k k p =+--,则()11k p k
-=, 111k p k ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,111k
p k ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭
,
∴p 关于k 的函数关系式为()111k p f k k ⎛⎫==- ⎪⎝⎭
（k *∈N ,且2k ≥） （ii ）由题意知()()12E E ξξ>,得
()11k p k <-
, 1p =Q
,1k k ∴<,1ln 3k k ∴>, 设()1ln 3
f x x x =-（0x >）,
则()113
f x x '=-,令()0f x '=,则13x =, ∴当3x >时,()0f x '<,即()f x 在()3,+∞上单调增减, 又ln 4 1.3863≈,4 1.33333
≈, 4ln 43
∴>, 又ln5 1.6094≈,
5 1.66673≈, 5ln 53
∴<, ∴k 的最大值为4
【点睛】
本题考查古典概型的概率公式的应用,考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性。