高等数学复习题及详细答案

中南大学现代远程教育课程考试复习题及参考答案

高等数学

一、填空题

1．设2

)(x

x a a x f -+=，则函数的图形关于 对称。

2．若⎩⎨⎧<≤+<<-=2

0102sin 2x x x x y ，则=)2(π

y .

3． 极限lim

sin

sin x x x x

→=0

21

。

4.已知22

lim 2

22=--++→x x b

ax x x ，则=a _____, =b _____。 5.已知0→x 时，1)1(3

12

-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数a = 6.设)(2

2y z y z x ϕ=+，其中ϕ可微，则

y

z

∂∂= 。 7.设2

e yz u x

=，其中),(y x z z =由0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则

=∂∂)

1,0(x

u 。

8.设ϕϕ,),()(1

f y x y xy f x

z ++=具有二阶连续导数，则=∂∂∂y x z 2 。 9.函数y x xy xy y x f 2

2),(--=的可能极值点为 和 。 10.设||)1(sin ),(22xy x y x y x f -+=则_____________)0,1('=y f . 11.=⎰

xdx x 2sin 2

.

12.之间所围图形的面积为上曲线在区间x y x y sin ,cos ],0[==π .

13．若

2

1

d e 0

=

⎰∞

+-x kx ，则_________=k 。 14.设Ｄ：122≤+y x ,则由估值不等式得 ⎰⎰≤++≤D

dxdy y x )14(2

2

15.设D 由22

,2,1,2y x y x y y ====围成（0x ≥），则

(),D

f x y d σ⎰⎰在直角坐标系下的

两种积分次序为_______________和_______________. 16.设D 为01,01y x x ≤≤-≤≤

，则D

f dxdy ⎰⎰的极坐标形式的二次积分为

____. 17.设级数

∑∞

=+1

21

n p

n

收敛，则常数p 的最大取值范围是 .

18.=+-+-

⎰1

0 6

42)!

3!2!11(dx x x x x . 19. 方程

0112

2

=-+

-y

dy x

dx 的通解为

20．微分方程025204=+'-''y y 的通解为 .

21.当n=_________时，方程n

y x q y x p y )()('=+ 为一阶线性微分方程。 22. 若44⨯阶矩阵A 的行列式为*

||3,A A =是A 的伴随矩阵,则*

||A =__________. 23.设A n n ⨯与B m m ⨯均可逆，则C =00⎛⎫

⎪

⎝⎭

A B 也可逆，且1

C -＝ . 24.设⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=3213A ，且X E AX 3=-，则X = .

25．矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 ．

26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1)αβ=--=-,其内积为____________.

27. n 阶方阵A 的列向量组线性无关的充要条件是 . 28. 给定向量组()()(),231,0,111321===αααb a

，若321,,ααα线性相关，

则a ，b 满足关系式 .

29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .

30 向量γ=(2,1)T 可以用α=(0,1)T 与 β=(1,3)T 线性表示为 . 31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b 有无穷组解的 条件. 32. 设A 为m ×n 矩阵,非齐次线性方程组=Ax b 有唯一解的充要条件是r(A)

r(A |b )= .

33.已知n 元线性方程组

AX b =有解，且n A r <)(，则该方程组的一般解中自由未知量的个

数为 ．

34.设0λ是方阵A 的一个特征值，则齐次线性方程组()0x =-A E 0λ的 都是A 的属于0λ的特征向量.

35.若3阶矩阵A 的特征值为1，2，-3，则1-A 的特征值为 .

36.设A 是n 阶方阵，|A|≠0,*A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵，若A 有特征值0λ,则

()

E A 23

*+必有特征值=λ.

37.α,β分别为实对称矩阵A 的两个不同特征值21,λλ所对应的特征向量,则α与β 的内积（α,β）= .

38.二次型32414321),,,(x x x x x x x x f +=的秩为 .

39. 矩阵4202401A λλ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

为正定矩阵,则λ的取值范围是_________.

40. 二次型222

1231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的,则t 的取值范围是_____.

41. A 、B 、C 代表三事件，事件“A 、B 、C 至少有二个发生”可表示为 . 42. 事件A 、B 相互独立，且知()()0.2,0.5P A P B ==则()P A

B = .

43. 若随机事件A 和B 都不发生的概率为p ，则A 和B 至少有一个发生的概率为 . 44. 在相同条件下，对目标独立地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6， 那么击中目标k 次的概率为 (05k ≤≤).

45. 设随机变量X 服从泊松分布，且{}{}P =1P =2,X X =则{}P =3X = .

46. 设随机变量X 的分布密度为01()120x

x f x a x

x ≤<⎧⎪

=-≤<⎨⎪⎩

其它，则a = . 47. 若二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律为

且X ，Y 相互独立，则常数a = ,b = .

48. 设X 的分布密度为()f x ，则3

Y X =的分布密度为 .