函数奇偶性练习题及答案

函数的奇偶性练习题

1、判断下列函数的奇偶性。

（1）x x

x x f -+-=11)1()(（非奇非偶）

（2） 2|2|)

1lg()(2---=x x x f （奇）

（3）

33)(22-+-=x x x f （奇偶） （4）2||)(2

+--=a x x x f （a=0，偶；a ≠0，非奇非偶） （5）1

212)(-+=x x x f （奇） （6）

)1lg(2x x y ++=（奇） （7）1cos sin ()1cos sin x x f x x x

-+=++ （8

）1

()x f x +-=(奇)

2、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，对于R x ∈∀，都有)2

3()23(x f x f --=+成立。

（1）证明：)(x f 是周期函数，并指出周期。

)()()]2

3(23[]23)23[()3()()(),23()23(x f x f x f x f x f x f x f x f x f =--=+--=++=+∴=---=+ 所以，

)(x f 是周期函数，且3=T （2）若2)1(=f ，求)3()2(f f +的值。-2

3．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（ A ）

A ．-3

B ．-1

C ．１

D ．３

4．函数)(x f 的定义域为()()+∞⋃∞-,11,，且)1(+x f 为奇函数，当1>x 时，

16122)(2+-=x x x f ，则直线2=y 与函数)(x f 图象的所有交点的横坐标之和是（ D ）

A ．1

B ．2

C ．4

D ．5

解：

f(x+1)是奇函数

所以 f(x+1)的图像关于(0,0)对称，且f(0+1)=0

f(x+1)的图像向右平移1个单位，得到f(x)

所以 f(x)的图像关于(1,0)对称, f(1)=0

则当 x>1时

（1） 2x²-12x+16=2

x²-6x+7=0

x=3±√2 两根都大于1

即x>1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为3±√2

（2） 2x²-12x+16=-2

x²-6x+9=0

x=3

所以 x=3时，y=-2

(3,-2)关于(1,0)的对称点为（-1,2）

即 x<1时，y=2与函数f(x)图像交点的横坐标为-1

所以 ，直线y=2与函数f(x)图象的所有交点的横坐标之和是

3+√2+3-√2+(-1)=5

5.下面四个结论中，正确命题的个数是 ( A )

①偶函数的图象一定与y 轴相交

②奇函数的图象一定通过原点

③偶函数的图象关于y 轴对称

④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f （x ）=0（x ∈R ）

A.1

B.2

C.3

D.4

6.设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，)1(log )(2

1x x f -=，则函数f (x )在(1,2)上( D )

A ．是增函数，且f (x )<0

B ．是增函数，且f (x )>0

C ．是减函数，且f (x )<0

D ．是减函数，且f (x )>0

7．已知函数)(x f y =，R x ∈，有下列4个命题：

①若)

=

+，则)

f的图象关于直线1

x

(x

f-

f

2

)

1(

1(x

2

x对称；

=

②)2

f-的图象关于直线2

2(x

f与)

x

(-

x对称；

=

③若)

=

+，则)

f-

f的图象关于直线2

x

(x

)

f为偶函数，且)

(

f

2(x

(x

x对称；

=

④若)

x

f，则)

(x

f的图象关于直线1

=x

f

-

(x

(

f为奇函数，且)2

)

(-

x对称.

=其中正确命题的个数为（C ）.

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

分析：①先用换元法将f（1+2x）=f（1-2x）转化，再由转化后的形式判断对称轴的方程．

②y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称可转化为证明y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线

x=0对称的问题，再结合图象的平移知识进行判断．

③用-x换x，由题设条件和偶函数的性质得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x），故f（x）的图象关于直线x=2对称．

④用-x换x，由题设条件和奇函数的性质得，f（-x）=f（x-2），故y=f（x）的图象关于直线x=-1对称．解答：解：①令t=1+2x，可得2x=t-1，代入f（1+2x）=f（1-2x）得f（t ）=f（2-t）

由于|t-1|=|2-t-1|，故可知函数y=f（x）图象关于直线x=1对称

即y=f（x）的图象关于直线x=1对称，故①是真命题．

②由题设知y=f（2-x）=f[-（x-2）]

由于函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称，

又y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象可由函数y=f（x）与y=f（-x）的图象右移动2个单位而得到，

∴y=f（x-2）与y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称，故②是真命题．

③f（x）为偶函数，且f（2+x）=-f（x），用-x换x得，f（2-x）=-f（-x）=-f（x）=f（2+x）

∴f（x）的图象关于直线x=2对称，故③是真命题．

④∵y=f（x）为奇函数，且f（x）=f（-x-2），用-x换x得，f（-x）=f（x-2），

∴y=f（x）的图象关于直线x=-1对称，故④是假命题．

故选C．