2.1外测度与测度

G ( f ) {( x, y ) : x [a, b], 0 y f ( x)}
的面积．因此，积分的定义以及一个函数的可积性，是与相 应的下方图形面积如何确定以及面积是否存在密切相关．从 这一角度看问题，过去我们所说的不可积函数 f ，就反映在 平面点集 G ( f ) 的“面积”不存在的问题上．于是，如果我们 想要建立能够应用于更大函数类的新的积分理论，自然希望 把原有面积概念加以推广，以使更多的点集能够具有类似于 面积性质的新的度量． 总之，我们希望对于一般的 n 中的点集 E 给予一种度 量，它是长度、面积以及体积的概念的推广．如果记点集 E 的这种度量为 m( E ) ， 那么自然应要求它具有某些常见的性质 或满足一定的条件． 此时， 称度量 m( E ) 为 E 的测度， 以 1 为 例，我们提出条件： （1） m( E ) 0 ；
证毕． 例 1 设 E 为[0，1]中的全体有理数，则 m* E 0 ． 证明 因为 E 为可数集，故记 E {r1 , r2 ,..., rn ,...} ，现对任意
0， 取 I n rn n1 , rn n1 ，n 1, 2, ． 显然 E I n ， 2 2 n 1 n 1 n 1
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定义 1 设 E n ， I i 是 n 中覆盖 E 的任一列开长方体， 即 E Ii ，记 u I i （ u 可以取+ ） ，显然所有这样的 u
i 1 i 1
构成一个有下界的数集， 则它的下确界称为 E 的 Lebesgue 外 测度，记为 m * E ，即

m * E inf{u u I i ,
i 1
I
i 1

i
E , I i 为开长方体}．
注
① 根据外测度的定义可知，任意 E n 都有外测度；
② 定义 1 中并没有限制 E 是有界集，所以 m * E 可能取+ ． 二．外测度的性质 定理 1 外测度具有如下性质： 且m * 0 （非负性） ； （1）对任意 E n ，都有 m * E 0 ， （2）设 B A n ，则 m * B m * A （单调性） ； （3）设 Ai ，则 m * ( Ai ) m * Ai （次可加性） ；
(i ) 开长方体列 I m 使得


m 1
(i ) Im m * Ai

2i
,
i 1, 2,
显然
( I
i 1 m 1


(i ) m
) Ai ，
i 1

且
(i ) m i 1 (i ) m m 1
I
i 1 m 1
m * E m * ( E A) m * E m * A m * E ，
所以
m* ( E A) m* E ．
例 3 对任何区间 I n ，总有 m* I I ． 证明 Step1 证明 m* I I ．
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对任意 0 ，存在开矩形 I ，使得 I I * ，且有 | I * | | I |+ ，由外测度的定义知 m* I I * I ，再让
i 1 i 1

2
，由 Borel 有限覆盖定理知，
在{ I i }中存在有限多个开矩形，不妨设为 I1 ,, I k ，使得
I 0 I i ，所以 I 0 I i ，从而
i 1 i 1 k k
I I0

2
k
| Ii |
i 1

2
| Ii |
第二章 Lebesgue 测度
从本章开始，我们将逐步介绍实变函数理论的核心内容 ——Lebesgue 测度与积分． 19 世纪的数学家们已经意识到仅有连续函数与积分的 古典理论已经不足以解决数学分析中的许多问题．为克服 Riemann 积分在理论上的局限性，必须改造原有的积分定 义．大家知道，对于[a, b] 上的正值连续函数 f ( x ) ，其积分的 几何意义是平面曲边梯形
n 1 m m 1 n n1 m 1
k I


n n1 2
m * ( A B ) 2 ．
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由于 K m d , K m 中任何 K m 不可能同时含有 A, B 中的 点，所以把 K m 分为两类，含有 A 中点的 K m 作为一类记为
( I
) (m * Ai
i 1 (i ) m

2i

) m * Ai ，
i 1
所以
m * ( Ai )
i 1 i 1
I
m 1
m * Ai ．
i 1
（4） 仅在 1 上证明．对任意 0 ，存在开区间列 I n ，使 得 A B I n ，并且 I n m * ( A B ) ．根据已知条
教学目的 本节在集合外测度的基础之上， 结合 Caratheodory 条件， 构造出一个重要的测度， 即欧氏空间 n 上的 Lebesgue 测度．Lebesgue 测度的建立，为定义 Lebesgue 积分打下基 础． 本节要点 利用外测度的定义和 Caratheodory 条件，可以较 快的构造出 Lebesgue 测度．进过验证，Lebesgue 测度具有 基本的运算性质．同学们应利用较多的例题，习题和几何直 观逐步加深对 Lebesgue 测度的理解． 大家知道，用古典积分计算下方图形 G ( f ) 的面积，基 本上是从其内部小矩形的面积出发来逐步进行计算的．显 然，这种计算方法只是对具有内点的点集有效．为了对一般 点集也能度量出某种“面积”来，我们放弃从点集内部扩张 的做法，而从其外部挤压的方针，即用矩形去覆盖点集．然 后来计算这些矩形的面积总和．当然，这种覆盖方式多种多 样．一般说来，这样的覆盖所盖住的点集要比原点集的“面
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（2）可合同的点集具有相同的测度； （3）若 E1 , E2 , , En , 是互不相交的点集，则
i 1 i 1
m( Ei ) m( Ei ) ．
条件（3）称为可数可加性，正是这种可数可加性使建立在 测度论基础上的积分有了新的功能．
§2．1
外测度与可测集
n1 n 1
件 ( A, B ) d 0 ，若 I n d ，则 I n 保留；若 I n d ，则用分 点 将 I n 分 成 有 限 个 小 的 开 区 间 J1 , J 2 , J k ， 使 得
J i d (i 1,2 k ) ， 并且各分点再用 k 1个长度小于 d 的开区
0 ，于是得 m* I I ．
Step2 证明 m* I I ． 对任意 0 ，作闭矩形 I 0 ，使得 I 0 I ，且| I | | I 0 |+

2
． 又由外测度的定义知对上述 I 0 及 ， 存在开矩形列 I i 使

I 0 I i ，且 | I i | m * I 0
且 0 m * E In 思考题

2
n
，令 0 得 m* E 0 ，证毕．
若 E 为 n 中的可数点集，则 m* E ？
例 2 若 m* A 0 ，则对任意 E n ，总有 m* ( E A) m* E ． 证明 由外测度的性质（2） 、 （3）得
i 1
由于 B A ，所以 B I i ，从而有 m * B I i ，且 m * B
i * A ， A I i ．
i 1 i 1


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(3) 由外测度的定义知， 对任意给定的正数 ， 存在覆盖 Ai 的
n
i 1 i 1
（4）设 A, B n ，若 ( A, B ) 0 ，则
m * ( A B) m * A m * B （隔离性） ．
证明
（1）显然成立．下面只证（2） （3） （4） ．

（2） 因为对任意覆盖 A 的开长方体列 I i ，即 A I i ，
n1
② 对任意 0 ，存在 E 的一个开方体覆盖{I n }，使得

I
n 1
n
m E ．
这两条在证明点集的测度问题时常常用到，必须注意． 从例 3 中可以得知， 我们所定义的集合的外测度是 “体
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积”（ “长度” 、 “面积” ）的一种拓广，这种拓广是否为通常 意义下“体积”的拓广呢? 在通常意义下，有体积的集合有 这样一个性质:“对两个有体积的不交集合 A, B ，总有 A B 的体积= A 的体积+ B 的体积，即体积具有可加性” ，对外测度 而 言 ， 当 ( A, B ) 0 时 ， m* ( A B ) m* A m* B ， 但 仅 当 A B 且 ( A, B ) 0 时， 有例子可以说明 m* ( A B ) m* A
使得 Li / 2n ， 用上述得到的 J1 , J k 间 L1 , L2 Lk 1 盖住，
i 1
k 1
及 L1 , Lk 1 代替 I n ，显然
k
k 1

i 1
J i Li I n
i 1

2n
，把改造后
的开区间列记为 K m ，则 A B I n K m ，且
K ，含有 B 中点的 K
n
m
作为一类记为 K n ，则 A K n ，

B K n 所以

m A m B K n ' K n" K m m* ( A B ) 2 ，
* * m 1
再让 →0 得
m* A m* B m* ( A B) ，
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积”大．因此，在这里，取一切这种覆盖所求出矩形面积总 和的下确界来代表它的某种度量是很正常的．另外还有一个 问题：每次覆盖所用的矩形是多少个？若只允许有限个，则 由此建立的度量就是所谓的 Jordan 容度． 这种度量在数学史 上占有一定地位，但因有严重缺陷而被改造．也就是说，现 在采用的覆盖，允许有可数个矩形参加．这一革命性举措正 是 Lebesgue 所创， 使得由此所建立的点集的度量理论呈现崭 新的面貌，也使 Lebesgue 积分论称为进入现代分析的大门． 一． 外测度的定义 1. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度， 面积和 体积概念的推广， 因此我们先对 n 上的方体的体积作一些规 定． 设 I 是直线上的一个有界区间(开的， 闭的或半开半闭的)， 用 I 表示区间 I 的长度， 即 I 的右端点与左端点之差． 若 I 是无界区间，则规定 I ．又规定空集也是区间，并且
i 1

2
m * I0

2


2
m * I0 m * I ，
让 0 ，得 I m* I ，故 I m* I ，证毕． 思考题 若 I 为无穷区间，如何证明? 注 在例 3 的证明中， 根据外测度的定义， 用到了以下两条：

① 对于 E 的任一开方体覆盖{I n }，有 m E I n ．
0 ．设 I1 , I 2 , , I n 是直线上的 n 个区间．称 n 的子集
若 I1 , I 2 , , I n 都是开区 I I1 I 2 I n 为 n 中的一个方体． 间，则称 I 为 n 中的开方体．类似可定义 n 中的闭方体和 半开半闭方体． 设 I I1 I 2 I n 为 n 中的一个方体，称 I I1 I n 为 I 的体积． 2. 外测度