芝诺悖论无穷级数解释

芝诺（Zeno of Elea ）辩论（Argument ）

——从量子的角度能得到完善的解决。这里用无穷级数做些解释。

阿基里斯与乌龟赛跑问题：古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯和乌龟的赛跑，如果先让乌龟爬行1000米后，再让阿基里斯去追乌龟，那么阿基里斯不可能追上乌龟。

芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！

从逻辑上讲上述辩论没有任何问题，但显然不符合现实！

无穷级数分析：

设乌龟的出发点为1A , 阿基里斯的起跑点为0A ，两者的间距为1s ，乌龟的速度为v ，阿基里斯的速度是乌龟的100倍，即为100v .

因为乌龟爬行到2A 的时间与阿基里斯到达1A 的时间相等，所以

21100s s v v =，即12100

s s =. 以此类推，21100n n s s --=,1100

n n s s -=，所以 111100n n s s -⎛⎫= ⎪⎝⎭

阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为： 123n s s s s s =+++++

231111111111100100100100

n s s s s s -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 231111111100100100100n s -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦

11111100100lim .1991100

n n s s →∞⎡⎤⎛⎫⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==- 因此，从表面上看，阿基里斯在追赶乌龟的过程中总跑不完，但模型分析计算可知当阿基里

100 99s处时，已经追赶上了乌龟。

斯追到离起点

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