高考数学复习、高中数学全称量词与存在量词附答案解析

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旧教材适用2023高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语第3讲简单逻辑联结词全称量词与存在量词

第3讲简单逻辑联结词、全称量词与存在量词1．全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给一个，用符号“□01∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“□02∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：□03∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：□04∃x0∈M，p(x0)．2．含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)□05∃x0∈M，¬p(x0)∃x0∈M，p(x0)□06∀x∈M，¬p(x)1．命题p∧q，p∨q，¬p的真假判定p q p∧q p∨q ¬p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2．确定p∧q，p∨q，¬p真假的记忆口诀如下：p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p 与¬p→真假相反．3．“p∨q”的否定是“(¬p)∧(¬q)”；“p∧q”的否定是“(¬p)∨(¬q)”．4．“且”“或”“非”三个逻辑联结词，对应着集合中的“交”“并”“补”，所以含有逻辑联结词的问题常常转化为集合问题处理．5．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．6．命题的否定和否命题的区别：命题“若p，则q”的否定是“若p，则¬q”，否命题是“若¬p，则¬q”．1．命题p ：“∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤12”的否定为( )A ．∀x ∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12B ．∀x ∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>12C ．∃x 0∉N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12D ．∃x 0∈N *，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0>12答案 D解析全称命题的否定为特称命题，方法是改量词，否结论，故选D.2．(2022·山西大同摸底)已知命题p ，q ，则“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析若¬p 为假命题，则p 为真命题，由于不知道q 的真假性，所以推不出p ∧q 是真命题，所以充分性不成立．p ∧q 是真命题，则p ，q 均为真命题，则¬p 为假命题，所以必要性成立．所以“¬p 为假命题”是“p ∧q 为真命题”的必要不充分条件．3．若命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A.[－1，3] B ．(－1，3)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) 答案 D解析因为命题“∃x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”等价于“x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个不等的实根”，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3.4．(2021·云南丽江模拟)命题p ：甲的数学成绩不低于100分，命题q ：乙的数学成绩低于100分，则p ∨(¬q )表示( )A ．甲、乙两人数学成绩都低于100分B ．甲、乙两人至少有一人数学成绩低于100分C ．甲、乙两人数学成绩都不低于100分D ．甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分答案 D解析因为命题q ：乙的数学成绩低于100分，所以命题¬q 表示乙的数学成绩不低于100分，所以命题p ∨(¬q )表示甲、乙两人至少有一人的数学成绩不低于100分．故选D.5．设有下面四个命题：p 1：∃n 0∈N ，n 20>2n 0；p 2：x ∈R ，“x >1”是“x >2”的充分不必要条件；p 3：命题“若x －312是有理数，则x 是无理数”的逆否命题；p 4：若“p ∨q ”是真命题，则p 一定是真命题．其中为真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4 D ．p 1，p 3 答案 D解析 ∵n 0＝3时，32>23，∴∃n 0∈N ，n 20>2n 0，∴p 1为真命题；∵(2，＋∞)(1，＋∞)，∴x >2能推出x >1，x >1不能推出x >2，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，∴p 2是假命题；根据逆否命题的定义可知p 3为真命题．根据复合命题的真假判断法则可知p 4为假命题．故选D.6．已知命题p ：不等式ax 2＋ax ＋1>0的解集为R ，则实数a ∈(0，4)，命题q ：“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A ．p ∧qB ．p ∧(¬q )C ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∧q答案 D解析命题p ：a ＝0时，可得1>0恒成立；a ≠0时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0，解得0<a <4.综上，可得实数a ∈[0，4)，因此p 是假命题，则¬p 是真命题；命题q ：由x 2－2x －8>0解得x >4或x <－2.因此“x 2－2x －8>0”是“x >5”的必要不充分条件，是真命题，故(¬p )∧q 是真命题．故选D.考向一含有逻辑联结词命题真假的判断例1 (2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面． p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行． p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是． ①p 1∧p 4，②p 1∧p 2，③¬p 2∨p 3，④¬p 3∨¬p 4. 答案 ①③④解析对于命题p 1，可设l 1与l 2相交，这两条直线确定的平面为α，设l 3与l 1，l 2的交点分别为A ，B (如图)，则A ∈α，B ∈α，所以AB ⊂α，即l 3⊂α，命题p 1为真命题；对于命题p 2，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题p 2为假命题；对于命题p 3，空间中两条直线的位置关系有相交、平行或异面，命题p 3为假命题；对于命题p 4，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，因为l ⊂平面α，所以m ⊥l ，命题p 4为真命题.综上可知，p 1∧p 4为真命题，p 1∧p 2为假命题，¬p 2∨p 3为真命题，¬p 3∨¬p 4为真命题．判断含有逻辑联结词的命题真假的一般步骤(1)定结构：先判断复合命题的结构形式．(2)辨真假：判断构成这个命题的每一个简单命题的真假性．(3)下结论：依据“有真或为真，有假且为假，p 和¬p 真假相反”，作出判断．1.设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是．①p 为真；②¬q 为假；③p ∧q 为假；④p ∨q 为真；⑤(¬p )∧(¬q )为真；⑥¬(p ∨q )为真．答案 ③⑤⑥解析 p ，q 均为假，故p ∧q 为假，p ∨q 为假，(¬p )∧(¬q )为真，¬(p ∨q )为真．精准设计考向，多角度探究突破考向二全称命题、特称命题角度全称命题、特称命题的否定例2 (1)(2021·安徽合肥质检)设命题p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，则¬p 为( )A.∃x0∈R，x2－x0＋1>0B．∀x∈R，x2－x＋1≤0C．∃x0∈R，x2－x0＋1≤0D．∀x∈R，x2－x＋1<0答案 C解析全称命题的否定是特称命题，同时否定结论．故选C.(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析根据特称命题的否定为全称命题，需先将存在量词改为全称量词，然后否定结论，故该命题的否定为“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．一般地，写含有一个量词的命题的否定，先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到其量词的位置及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词或把存在量词改成全称量词，同时否定结论．如果所给命题中省去了量词，则要结合命题的含义加上量词，再对量词进行否定．2.(2022·西安模拟)命题p：∀a≥0，关于x的方程x2＋ax＋1＝0有实数解，则¬p为( )A．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解B．∃a0<0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解C．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解D．∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0有实数解答案 C解析根据全称命题的否定可知，¬p为∃a0≥0，关于x的方程x2＋a0x＋1＝0没有实数解．故选C.3．命题“奇数的立方是奇数”的否定是．答案存在一个奇数，它的立方不是奇数解析此命题隐含了全称量词“所有”，故否定是特称命题，即“存在一个奇数，它的立方不是奇数”．角度全称命题、特称命题真假的判断例3 以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )A ．锐角三角形有一个内角是钝角B ．至少有一个实数x 0，使x 20≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x 0，使1x 0>2答案 B解析选项A 中，锐角三角形的所有内角都是锐角，所以A 是假命题；选项B 中，当x 0＝0时，x 20＝0，所以B 既是特称命题又是真命题；选项C 中，因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C 是假命题；选项D 中，对于任意一个负数x ，都有1x <0，不满足1x>2，所以D 是假命题．故选B.全称命题与特称命题真假性的两种判断方法不管是全称命题，还是特称命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假．命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象使命题真否定为假假存在一个对象使命题假否定为真特称命题真存在一个对象使命题真否定为假假所有对象使命题假否定为真4.(2021·江西师大附中模拟)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0) 答案 C解析设命题p ：∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，∵f (x )不是偶函数，∴p 是假命题，则¬p 是真命题，又¬p ：∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)，故选C.考向三利用复合命题的真假求参数范围例4 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x”；命题q ：“∃x 0∈R ，使得x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围为( )A ．[1，4]B ．[1，e]C ．[e ，4]D ．[4，＋∞) 答案 C解析若命题“p ∧q ”是真命题，那么命题p ，q 都是真命题．由∀x ∈[0，1]，a ≥e x，得a ≥e ；由∃x 0∈R ，使x 20＋4x 0＋a ＝0，知Δ＝16－4a ≥0，则a ≤4，因此e ≤a ≤4.则实数a 的取值范围为[e ，4].故选C.(2)命题p ：实数a 满足a 2＋a －6≥0；命题q ：函数y ＝ax 2－ax ＋1的定义域为R .若命题p ∧q 为假，p ∨q 为真，则实数a 的取值范围为．答案 (－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞)解析当命题p 为真时，即a 2＋a －6≥0，解得a ≥2或a ≤－3；当命题q 为真时，可得ax2－ax ＋1≥0对任意x ∈R 恒成立，若a ＝0，则满足题意；若a ≠0，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a ≤0，解得0<a ≤4，∴0≤a ≤4.∵p ∧q 为假，p ∨q 为真，∴“p 真q 假”或“p 假q 真”，①当p 真q假时，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－3，a >4或a <0，∴a >4或a ≤－3；②当p 假q真时，则⎩⎪⎨⎪⎧－3<a <2，0≤a ≤4，∴0≤a <2.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[0，2)∪(4，＋∞).根据命题真假求参数的方法步骤(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况，本例(2)中有两种情况).(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围． (3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.5.设命题p ：函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减；命题q ：函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R .如果命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．(－∞，－2]∪[2，3)C ．(2，3]D ．[3，＋∞)答案 B解析由函数f (x )＝x 3－ax －1在区间[－1，1]上单调递减，得f ′(x )＝3x 2－a ≤0在[－1，1]上恒成立，故a ≥(3x 2)max ＝3，即a ≥3；由函数y ＝ln (x 2＋ax ＋1)的值域是R ，得x2＋ax ＋1能取到全体正数，故Δ＝a 2－4≥0，解得a ≤－2或a ≥2.因为命题p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，所以p 和q 一真一假．当p 真q 假时，可得{a |a ≥3}∩{a |－2<a <2}＝∅；当p 假q 真时，可得{a |a <3}∩{a |a ≤－2或a ≥2}＝{a |a ≤－2或2≤a <3}．因此实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，3).故选B.1．(2021·山西阳泉高三阶段考试)设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A．∃x0∈A，2x0∈B B．∃x0∉A，2x0∈BC．∀x∉A，2x∉B D．∀x∉A，2x∈B答案 A解析“∀x∈A，2x∉B”即“所有x∈A，都有2x∉B”，它的否定应该是“存在x0∈A，使2x0∈B”，所以正确选项为A.2．下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，e x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，ln x0<1D．∃x0∈R，tan x0＝2答案 B解析因为当x＝1时，(x－1)2＝0，所以B为假命题，故选B.3．命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是( )A．∀x∈R，f(x)＝0且g(x)＝0B．∀x∈R，f(x)＝0或g(x)＝0C．∃x0∈R，f(x0)＝0且g(x0)＝0D．∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0答案 D解析根据全称命题与特称命题互为否定的关系可得，命题“∀x∈R，f(x)g(x)≠0”的否定是“∃x0∈R，f(x0)＝0或g(x0)＝0”．故选D.4．(2022·江西南昌摸底)下列命题的否定是真命题的是( )A．有些实数的绝对值是正数B．所有平行四边形都不是菱形C．任意两个等边三角形都是相似的D．3是方程x2－9＝0的一个根答案 B解析若命题的否定是真命题，则原命题是假命题，显然A，C，D是真命题，B是假命题．故选B.5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈PB．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈PD．∃x0∈P，使得x0∉Q答案 B解析因为P∩Q＝P，所以P⊆Q，所以∀x∉Q，有x∉P，故选B.6．(2021·全国乙卷)已知命题p：∃x∈R，sin x<1；命题q：∀x∈R，e|x|≥1，则下列命题中为真命题的是( )A．p∧q B．¬p∧qC．p∧¬q D．¬(p∨q)答案 A解析因为命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧q为真命题．故选A.7．关于命题“当m∈[1，2]时，方程x2－2x＋m＝0没有实数解”，下列说法正确的是( ) A．是全称命题，假命题B．是全称命题，真命题C．是特称命题，假命题D．是特称命题，真命题答案 A解析原命题的含义是“对于任意m∈[1，2]，方程x2－2x＋m＝0都没有实数解”，但当m＝1时，方程有实数解x＝1，故命题是全称命题，假命题，所以A正确．8．(2022·四川南充月考)下列命题中，是真命题的全称命题的是( )A．对于实数a，b∈R，有a2＋b2－2a－2b＋2<0B．梯形两条对角线相等C．有小于1的自然数D．函数y＝kx＋1的图象过定点(0，1)答案 D解析选项A是全称命题，a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0，故A是假命题；B是假命题；“存在小于1的自然数”，C是特称命题；D项，对于所有k∈R，函数y＝kx ＋1的图象过定点(0，1)，所以正确选项为D.9．(2021·河南济源、平顶山、许昌第二次质检)已知直线m，n和平面α，β.命题p：若m⊂α，n⊂β，α∥β，则直线m与直线n平行或异面；命题q：若m∥α，α∥β，则m∥β；命题s：若α⊥β，α∩β＝m，在平面α内作直线m的垂线n，则n⊥β.则下列为真命题的是( )A．p∨(¬q) B．(¬p)∧sC．q∧(¬s) D．(¬p)∧(¬q)答案 A解析若α∥β，m⊂α，n⊂β，由于平面α与平面β没有交点，所以直线m与直线n 平行或异面，即命题p 是真命题；若m ∥α，α∥β，则m ∥β或m ⊂β，即命题q 是假命题；若α⊥β，α∩β＝m ，在平面α内作直线m 的垂线n ，由面面垂直的性质定理，得n ⊥β，命题s 是真命题．对于A ，p ∨(¬q )是真命题；对于B ，p 是真命题，则¬p 是假命题，s 是真命题，则(¬p )∧s 是假命题；对于C ，s 是真命题，则¬s 是假命题，q 是假命题，则q ∧(¬s )是假命题；对于D ，p 是真命题，则¬p 是假命题，q 是假命题，则¬q 是真命题，则(¬p )∧(¬q )是假命题．故选A.10．命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角；命题q ：若cos αcos β＝1，则sin (α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨q答案 D解析若a ，b 共线且方向相反时，a ·b <0，但a 与b 夹角为π，故p 是假命题．若cosα·cos β＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝1，cos β＝1或⎩⎪⎨⎪⎧cos α＝－1，cos β＝－1，∴sin α＝sin β＝0，∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝0，故q 是真命题，∴p ，¬q ，p ∧q 均为假命题，p ∨q 为真命题，故选D.11．短道速滑队进行冬奥会选拔赛(6人决出第一～六名)，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p ∨q 是真命题，p ∧q 是假命题，(¬q )∧r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲第一、乙第二、丙第三B ．甲第二、乙第一、丙第三C ．甲第一、乙第三、丙第二D ．甲第一、乙没得第二名、丙第三答案 D解析 (¬q )∧r 是真命题意味着¬q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p ∨q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p ∧q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名．故选D.12．(2022·甘肃兰州模拟)已知f (x )＝ln (x 2＋1)，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－m ，若∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－12 答案 A解析当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时，g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.故选A.13．已知命题p ：∀x ∈R ，2x <3x，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＝2－x 0，则下述命题中所有真命题的序号是．①p ∧q ；②(¬p )∧q ；③p ∨(¬q )；④(¬p )∨(¬q ). 答案 ②④解析当x <0时，2x>3x，所以命题p 为假命题．解x 2＝2－x ，得x ＝－2或1，所以命题q 为真命题．所以p ∧q ，p ∨(¬q )为假命题，(¬p )∧q ，(¬p )∨(¬q )为真命题．14．若命题：“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围是．答案 [－3，3]解析命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1<0”是假命题，即“∀x ∈R ，3x 2＋2ax ＋1≥0”是真命题，故Δ＝4a 2－12≤0，解得－3≤a ≤ 3.即实数a 的取值范围为[－3，3].15．(2022·四川绵阳中学模拟)已知命题p ：∃x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，cos 2x ＋cos x －m ＝0为真命题，则实数m 的取值范围是．答案 [－1，2]解析 cos 2x ＋cos x －m ＝0可变形为cos 2x ＋cos x ＝m .令f (x )＝cos 2x ＋cos x ，则f (x )＝2cos 2x ＋cos x －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x ＋142－98.由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈[0，1].于是f (x )∈[－1，2].故实数m 的取值范围是[－1，2].16．(2021·南昌一中模拟)已知命题p ：关于x 的方程x 2－mx －2＝0在[0，1]上有解；命题q ：f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2mx ＋12在[1，＋∞)上单调递增．若“¬p ”为真命题，“p ∨q ”为真命题，则实数m 的取值范围为．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，34解析对于命题p ：令g (x )＝x 2－mx －2，则g (0)＝－2，∴g (1)＝－m －1≥0，解得m ≤－1，故命题p 为真命题时，m ≤－1.∴¬p 为真命题时，m >－1.对于命题q ：⎩⎪⎨⎪⎧m ≤1，1－2m ＋12＞0，解得m <34.又由题意可得p 假q 真，∴－1<m <34，即实数m 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－1，34.17．(2022·江西上饶高三摸底)已知m ∈R ，设p ：∀x ∈[－1，1]，x 2－2x －4m 2＋8m －2≥0成立；q ：∃x 0∈[1，2]，log 12(x 20－mx 0＋1)<－1成立．如果“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数m 的取值范围．解若p 为真，则∀x ∈[－1，1]，4m 2－8m ≤x 2－2x －2恒成立．设f (x )＝x 2－2x －2，配方得f (x )＝(x －1)2－3，∴f (x )在[－1，1]上的最小值为－3， ∴4m 2－8m ≤－3，解得12≤m ≤32，∴p 为真时，12≤m ≤32.若q 为真，则∃x 0∈[1，2]，x 20－mx 0＋1>2成立，即m <x 20－1x 0成立．设g (x )＝x 2－1x ＝x －1x ，则g (x )在[1，2]上是增函数，∴g (x )的最大值为g (2)＝32，∴m <32，∴q 为真时，m <32.∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 一真一假. 当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧12≤m ≤32，m ≥32，∴m ＝32；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <12或m >32，m <32，∴m <12.综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪⎪m <12或m ＝32.18．已知函数f (x )＝－(x －2m )(x ＋m ＋3)(其中m <－1)，g (x )＝2x－2.设命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，f (x )<0或g (x )<0；命题q ：∃x 0∈(－1，0)，f (x 0)·g (x 0)<0.若p ∧q 是真命题，求m 的取值范围．解 ∵p ∧q 是真命题，∴p 与q 都是真命题．当x >1时，g (x )＝2x－2>0，又p 是真命题，则f (x )<0. ∵m <－1，∴2m <－m －3，∴f (x )<0的解集为{x |x <2m 或x >－m －3}，∴－m－3≤1，解得m≥－4；当－1<x<0时，g(x)＝2x－2<0.∵q是真命题，则∃x0∈(－1，0)，使得f(x0)>0，由f(x0)>0得2m<x0<－m－3，则(2m，－m－3)∩(－1，0)≠∅，又m<－1，∴2m<－2，∴－m－3>－1，解得m<－2. ∴若p∧q是真命题，m的取值范围是－4≤m<－2.。

高考数学专题复习：全称量词命题与存在量词命题

高考数学专题复习：全称量词命题与存在量词命题一、单选题1．命题:p 已知1a >，0x ∃>，使得1ax x+≤，则该命题的否定为（） A ．已知1a ≤，0x ∀≤，1a x x +≥ B ．已知1a >，0x ∀>，1a x x +> C ．已知1a ≤，0x ∃>，1a x x+≥ D ．已知1a >，0x ∃≤，1a x x+> 2．下列命题中正确的个数是（） ①∃x ∈R ，x ≤0；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数； ③∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数． A ．0B ．1C ．2D ．33．命题“2000x R x ∃∈≤，”的否定是（） A ．2000x R x ∃∈>， B ．2000x R x ∃∈≥， C ．2000x R x ∀∈≤， D ．2000x R x ∀∈>， 4．设命题p ：2,3n N n n ∀∈>，则（） A ．:p n N ⌝∃∈，23n n ≤且p ⌝为假命题 B ．:p n N ⌝∃∉，23n n ≤且p ⌝为真命题 C ．:p n N ⌝∀∈，23n n ≤且p ⌝为假命题D ．:p n N ⌝∀∈，23n n ≤且p ⌝为真命题5．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（） A ．任意一个有理数，它的平方是有理数 B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数 C ．存在一个有理数，它的平方是有理数6．若p ：1x R x ∀∈≤，，则（） A ．⌝p ：1x R x ∃∈>，B ．⌝p ：1x R x ∀∈>，C ．⌝p ：1x R x ∃∈≥，D ．⌝p ：1x R x ∀∈≥， 7．下列命题中全称量词命题的个数为（） ①正方形的对角线互相平分； ②平行四边形有两组对边平行； ③存在一个菱形，它的四条边不相等.A ．0B ．1C ．2D ．38．已知命题p ： “[)1,x ∀∈+∞，20x a -≥”，命题q ： “0x R ∃∈，200220x ax a ++-=”，若命题p ，q 均为真命题，则实数a 的取值范围为（） A ．{}|2,1a a a ≤-=或 B ．{}|2,12a a a ≤-≤≤或 C ．{}1a a ≥ D ．{}21a a -≤≤二、多选题9．下列四个命题中，真命题的是（） A ．若a N ∈，则a N -∉B ．x N ∃∈xC ．集合{}2210x x x -+=中只有1个元素D ．对所有实数,a b ，关于x 的方程0ax b +=恰有一个解10．（多选）对下列命题进行否定，得到的新命题是全称量词命题且为真命题的有（）A ．21,04x R x x ∃∈-+< B ．所有的正方形都是矩形 C ．2,220x x x ∃∈++≤RD ．至少有一个实数x ，使210x +=11．下列四个命题中，是真命题的有（） A ．没有一个无理数不是实数 B ．空集是任何一个集合的真子集C ．112+≤D ．至少存在一个正数x ，使得21x x -+是正数12．(多选)若命题p :x R ∃∈，2240ax ax +-≥为假命题，则实数a 的值可以是（） A ．3- B ．0C ．4D ．2-三、填空题13．已知命题:[1,)p x ∀∈+∞，22x >.则p 的否定是________.14．若()0,x ∀∈+∞，241x m x +≥，则实数m 的取值范围为________.15．命题“x R ∃∈，2230x x -+=”的否定是________.16．若命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”是真命题，则实数a 的取值范围是________. 四、解答题17．已知{}11x x x ∀∈-<<，230ax a +->，求实数a 的取值范围.18．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ≠∅. （1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（2）若命题“x B ∀∈，则x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.19．指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．（1）x N ∀∈，21x +是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使101x =-.20．用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题并判断其真假：（1）自然数的平方大于零；（2）存在一对整数0x ，0y ，使00243x y +=；（3）存在一个无理数，它的立方是有理数．21．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. （1）末位数是偶数的整数能被2整除；（2）有的菱形是正方形；（3）存在实数x ，x >0；（4）对于任意实数x ，2x +1是奇数.22．已知命题:p 当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，1a x x ≤+恒成立；命题:q 对任意的x ∈R ，不等式20x ax a -+>恒成立，若命题p q ∧是真命题，求实数a 的取值范围.参考答案1．B 【分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案. 【详解】命题:p 已知1a >，0x ∃>，使得1ax x+≤为特称命题. 由特称命题的否定为全称命题可得：命题:p 已知1a >，0x ∃>，使得1a x x+≤的否定为：已知1a >，0x ∀>，1a x x +>故选：B 2．D 【分析】①由实数的性质即可判断出正误． ②取数1满足条件； ③取x ＝π即可判断出正误．【详解】解：①∃x ∈R ，x ≤0．正确；②至少有一个整数，它既不是合数也不是质数，正确，例如数1满足条件； ③∃x ∈{x |x 是无理数}，x 2是无理数，正确，例如x ＝π．综上可得：①②③都正确．故选：D ． 3．D 【分析】根据全称命题的否定书写规则得出结论【详解】根据全称命题的否定书写规则，条件中∃改写为∀，结论取反所以本题中选项D 正确，选项ABC 错误. 故选：D. 4．A根据全称命题与存在性命题的关系，以及含有量词的命题的真假判定方法，即可求解. 【详解】由全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“p ：2,3n N n n ∀∈>”的否定为“:p n N ⌝∃∈，23n n ≤”，其中根据指数函数与幂函数的图象与性质，可得命题p ：2,3n N n n ∀∈>为真命题，所以p ⌝为假命题. 故选：A. 5．B 【分析】根据特称命题的否定是变量词否结论即可求解. 【详解】量词“存在”改为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”，所以原命题的否定是：任意一个无理数，它的平方不是有理数，故选：B. 6．A 【分析】根据全称量词命题的否定直接改写即可. 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，1x R x ∀∈≤，的否定为：1x R x ∃∈>，，故选A ． 7．C 【分析】根据全称量词、存在量词构成命题的特点即可得出选项. 【详解】①②满足“对所有的…都成立”的特点，是全称量词命题， ③含有“存在”，是存在量词命题. 故选：C 8．A由p 命题可知可转化为：[)1,x ∀∈+∞，2x a ≥恒成立，只需求出2minx 即可，命题q 则是表示方式有解根据∆判断即可，然后p ，q 均为真命题，求两者的结果的交集即可求解. 【详解】由已知可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真命题，故[)1,x ∀∈+∞，2x a ≥恒成立，2minx =1，得1a ≤；由命题q 为真命题，知()24420a a ∆=--≥成立，得2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围为{}|2,1a a a ≤-=或. 故选：A. 9．BC 【分析】通过举例，结合相关知识即可判断命题真假. 【详解】对于A ，若0a N =∈，则0a N -=∈，故A 是假命题；对于B ，4x N ∃=∈24<，故B 是真命题；对于C ，方程2210x x -+=在实数范围内只有一个解1x =，即集合{}2210x x x -+=中只有1个元素，故C 是真命题；对于D ，当0a b 时，方程0ax b +=有无数个解，故D 是假命题. 故选：BC. 10．ACD 【分析】根据特称命题的否定为全称命题，再根据原命题与命题的否定真假性相反，即可判断其真假．【详解】命题的否定是全称量词命题，则原命题为存在量词命题，故排除B 项，命题的否定为真命题，则原命题为假命题.又选项,,A C D 中的命题为假命题，所以其命题的否定为真命题. 故选：ACD. 11．ACD根据命题的等价性可判断A ；由真子集的概念可判断B ；由“或”命题真假判断方法可判断C ；由特称命题的真假判断方法可判断D. 【详解】A,该命题等价于所有无理数都是实数，为真命题； B,该命题为假命题，空集是任何非空集合的真子集； C,该命题显然成立，为真命题；D,取1x =，能使21x x -+是正数，为真命题. 故选：ACD 12．ABD 【分析】由已知p ⌝:x R ∀∈，2240ax ax +-<为真命题.分0a =和0a ≠两种情况讨论求得实数a 的范围得选项. 【详解】因为命题p :x R ∃∈，2240ax ax +-≥为假命题，所以p ⌝:x R ∀∈，2240ax ax +-<为真命题. 当0a =时，40-<，符合题意，当0a ≠时，需满足20,4160,a a a <⎧⎨∆=+<⎩解得40a . 综上，当40a 时，p ⌝是真命题.即当40a时，命题p :x R ∃∈，2240ax ax +-≥为假命题. 故选：ABD.13．0[1,)x ∃∈+∞，22x ≤ 【分析】根据题意，由全称命题的否定方法分析可得答案．【详解】解：根据题意，命题:[1,)p x ∀∈+∞，22x >，是全称命题，则p 的否定是0[1,)x ∃∈+∞，202x ≤．故答案为：0[1,)x ∃∈+∞，202x ≤．14．(],4-∞ 【分析】利用基本不等式24114x x x x +=+的最小值，由此可得出实数m 的取值范围.【详解】()0,x ∀∈+∞，241x m x +≥，则2min41x m x ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，由基本不等式可得241144x x x x +=+≥，当且仅当14x x =即12x =时，等号成立，所以4m ≤，因此实数m 的取值范围是(],4-∞. 故答案为：(],4-∞. 15．x R ∀∈，2230x x -+≠ 【分析】特称命题的否定是全称命题，改量词，否结论，本题即可解决. 【详解】命题“x R ∃∈，2230x x -+=”的否定是x R ∀∈，2230x x -+≠. 故答案为：x R ∀∈，2230x x -+≠. 16．{1a a <-或}3a > 【分析】根据存在命题的定义，结合一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为命题“2000,(1)10x R x a x ∃∈+-+<”等价于200(1)10x a x +-+=有两个不等实数根，所以2(1)40a ∆=-->，即2230a a -->，解得1a <-或3a >.故答案为：{1a a <-或}3a >. 17．3a ≥ 【分析】根据已知条件可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围. 【详解】{}11x x x ∀∈-<<，230ax a +->，由题设有33030a a -≥⎧⎨-≥⎩，故3a ≥.18．（1）不存在；（2）[]2,3. 【分析】（1）根据题意得21112215m m m m -≥+⎧⎪+≤-⎨⎪-≥⎩,解不等式组即可求出结果. （2）根据命题为真知B ⊆A ，即12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，求解即可；【详解】（1）当A B ⊆时，此时B ≠∅，21112215m m m m -≥+⎧⎪∴+≤-⎨⎪-≥⎩，即233m m m ≥⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩，∴m ∈∅，即不存在实数m 使A B ⊆．（2）由于命题p ：“∀x ∈B ，x ∈A ”是真命题，所以B ⊆A ，又因为B ≠∅，所以12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得2≤m ≤3，故实数a 的取值范围为[]2,3.19．（1）全称量词命题，真；（2）存在量词命题，假. 【分析】（1）根据量词类型可判断命题的类型，并判断命题的真假；（2）根据量词类型可判断命题的类型，并判断命题的真假. 【详解】（1）是全称量词命题，因为，x N ∀∈，21x +都是奇数，所以该命题是真命题; （2）是存在量词命题．因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题． 20．答案见解析【分析】（1）利用全称量词表示，举x =0即可否定命题；（2）利用存在（特称）量词表示，根据00322x y +=，而0x ，0y Z ∈，可以判断其不成立；（3）利用存在（特称）量词表示，取0x 可以验证命题成立. 【详解】(1)x N ∀∈，20x >．因为0也是自然数，0的平方是0，所以，全称命题“自然数的平方大于零”是假命题．（2）0x ∃，0y Z ∈，00243x y +=．由00243x y +=，得00322x y +=，若0x ，0y Z ∈，则002x y +也是整数，不可能等于32，所以，存在性命题“存在一对整数0x ，0y ，使00243x y +=”是假命题．（3）0x ∃∈{无理数}，30x Q ∈．33=是有理数．所以，存在性命题“0x ∃∈{无理数}，30x Q ∈”是真命题．21．答案见解析【分析】利用全称命题和特称命题的定义判断，若符合条件的都成立，则全称命题为真命题，若符合条件的有一个成立，则特称命题为真命题【详解】（1）为全称命题，符号表示为：x Z ∀∈，且x 的末位数为偶数，则x 能被2整除，为真命题；（2）为特称命题，符号表示为：∃一个菱形，这个菱形为正方形，如当菱形的一个角为直角时，这个菱形为正方形，所以此命题为真命题；（3）为特称命题，符号表示为：x R ∃∈，0x >，如1x =，所以此命题为真命题；（4）为全称命题，符号表示为：x R ∀∈，21x +为奇数，如12x =时，212x +=为偶数，所以此命题为假命题. 22．(]0,2 【分析】利用基本不等式可求得当命题p 为真命题时，实数a 的取值范围，利用∆<0可求得当命题q 为真命题时实数a 的取值范围，由题意可知，命题p 、q 均为真命题，由此可求得实数a 的答案第11页，总11页取值范围.【详解】若p 真，则min 1a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，12x x ∴+≥=，当且仅当1x x =，即1x =时等号成立，2a ∴≤. 若q 真，则240a a ∆=-<，04a ∴<<.因为p q ∧是真命题，所以p 、q 均为真命题，204a a ≤⎧∴⎨<<⎩，02a ∴<≤. 因此，实数a 的取值范围是(]0,2.。

高三数学全称量词与存在性量词试题

高三数学全称量词与存在性量词试题1.已知命题，则为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D【考点】全称命题的否定.2.已知命题，命题，则( )A．命题是假命题B．命题是真命题C．命题是真命题D．命题是假命题【答案】C【解析】在直角坐标系中作出y=x-2与图像可得命题P是真命题,命题q是错误的(x=0),所以命题是真命题是真命题,故选C.【考点】全称命题特称命题逻辑连接词3.命题“对任意x∈R,都有x2≥0”的否定为()∈R,使得<0B．对任意x∈R,都有x2<0A．存在x∈R,使得≥0D．不存在x∈R,使得x2<0C．存在x【答案】A【解析】全称命题的否定是特称命题,x2≥0的否定为x<0.故选A.4.下列命题中是真命题的是()A．x∈R,使得sinxcosx=B．x∈(-∞,0),2x>1C．x∈R,x2≥x+1D．x∈(0,),tanx>sinx【答案】D【解析】当x∈(0,)时,0<cosx<1,0<sinx<1,∴>sinx,即tanx>sinx.5.“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】依题意知：Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1.6.命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是()．A．x∈R，x2－2x＝0B．∃x∈R，x2－2x≠0C．x∈R，x2－2x≠0D．∃x∈R，x2－2x>0【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＝0”的否定是“x∈R，x2－2x≠0”7.已知函数f(x)＝4|a|x－2a＋1.若命题：“∃x0∈(0,1)，使f(x)＝0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】由“∃x0∈(0,1)，使得f(x)＝0”是真命题，得f(0)·f(1)<0⇒(1－2a)(4|a|－2a＋1)<0⇔或⇒a>.8.已知命题；命题则下列命题中真命题是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】时，.p为假命题.结合图象可知，q为真命题.所以D为真命题.【考点】特称命题与全称命题.9.命题“，”的否定是（）A．不存在，使B．，使C．，使≤D．，使≤【答案】C【解析】命题“”的否定为“”，选C.【考点】全称命题和特称命题10.命题“”的否定是．【答案】【解析】全称命题“”的否定是“”，所以答案为“”.【考点】含有一个量词命题的否定.11.已知命题，，那么是（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由特称命题的否定知命题“，”的否定为“，”，故选A.【考点】特称命题的否定12.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是（）A．[2，6]B．[-6，-2]C．（2，6）D．（-6，-2）【答案】A【解析】需满足，解得.故选A.【考点】1.命题的真假；2.一元二次不等式.13.下列命题中，真命题是（）A．存在B．是的充分条件C．任意D．的充要条件是【答案】B【解析】A项：;B项：是的充分条件，正确；C项：；D项：，但，错误.故选B.【考点】1.命题的真假；2.充要条件；3.指、对函数单调性.14.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是（）A．[2，6]B．[-6，-2]C．（2，6）D．（-6，-2）【答案】A【解析】需满足，解得.故选A.【考点】1.命题的真假；2.一元二次不等式.15.已知命题：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】全称命题：“”的否定为“”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“”的否定是“”.故选C.【考点】全称命题的否定.16.已知，命题，则（）A．是假命题;B．是假命题;C．是真命题;D．是真命题【答案】D【解析】恒成立，所以在是减函数，所以，故是真命题，由全称命题的否定知，，选D.【考点】全称命题的否定、不等式恒成立.17.命题：“”的否定是________．【答案】，且．【解析】根据特称命题的否定为全称命题可得“，且”．【考点】常用逻辑用语（特称命题的否定）．18.已知命题：[0,l],，命题若命题“”是真命题，则实数的取值范围是．【答案】．【解析】由已知命题“”是真命题，都是真命题．由是真命题可得．是真命题，则有实数解，．综上．【考点】常用逻辑用语．19.命题“”的否定是__ _ ．【答案】【解析】全称命题的否定是存在性命题，注意变更逻辑联结词.命题“”的否定是.【考点】全称命题，存在性命题.20.已知命题那么是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是，故选B【考点】全称命题与特称命题的定义.21.命题“，”的否定是（）A．，B．，C．，D．，【答案】C【解析】根据特称命题的否定形式可知命题“，”的否定为“，”，答案为C【考点】全称命题与特称命题否定的转化22.设命题：实数满足，其中；命题：实数满足(1)若，且且为真，求实数的取值范围；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】若命题为真，则；若命题为真，则。

高中数学(必修一)第一章全称量词与存在量词练习题

高中数学（必修一）第一章全称量词与存在量词练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．下列命题中，是全称量词命题的是（）A ．R x ∃∈，20x ≤B ．当3a =时，函数()f x ax b =+是增函数C ．存在平行四边形的对边不平行D ．平行四边形都不是正方形2．下列命题中是全称量词命题的个数为（）①任意一个自然数都是正整数；①有的等差数列也是等比数列；①三角形的内角和是180︒．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题中是存在量词命题的是（）A ．①x ①R ，x 2＞0B ．①x ①R ，x 2≤0C ．平行四边形的对边平行D ．矩形的任一组对边相等4．下列命题是全称量词命题的是（）A ．有些平行四边形是菱形B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个三角形的内角和都是180°D ．x ∃∈R ，220x x ++=5．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）A ．实数都大于0B ．梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．三角形内角和为180度6．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，则下列命题正确的是（）A ．x P ∀∈，x Q ∈B ．∃∈x Q ，x P ∉C ．x P ∃∈，x Q ∉D ．x Q ∀∈，x P ∉7．给出下列命题:①若a b b c-=-，则-a ，b ，-c 成等比数列(abc ≠0)；①若b 2=ac ，则a ，b ，c 成等比数列；①若an+1=anq (q 为常数)，则{an }是等比数列.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题8．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为_______________.13+23＝（1+2）2，13+23+33＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，……9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，则m 的取值范围为______．10．若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．三、双空题11．下列命题中，是全称量词命题的是________,是存在量词命题的是________.（1）正方形的四条边相等；（2）所有两个角是45︒的三角形都是等腰直角三角形；（3）正数的平方根不等于零；（4）至少有一个正整数是偶数；（5）所有正数都是实数吗？四、解答题12．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：（1）任意的m ＞1方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根；（2）存在一对实数 x ，y ，使2x +3y +3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0.13．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180︒．14．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x①{x|x＞0}，x1x+＞2．15．ABC的三边长分别为a，b，c，试判断命题“若222a b c ab bc ca++=++，则ABC为等边三角形”是真命题还是假命题，并证明你的结论．参考答案与解析：1．D【分析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个. A C选项是特称命题，细化分析B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是存在命题. D选项是全称命题.【详解】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.A C选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是特称命题. D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题.故选：D.2．C【分析】利用含有全称量词的命题为全称量词命题对①①①逐个进行分析，即可得到结果.【详解】命题①含有全称量词，为全称量词命题；命题①含有存在量词，为存在量词命题；命题①可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，为全称量词命题．故有2个全称量词命题．故选:C．3．B【分析】判断每个命题的量词，即可判断选项.【详解】A含有全称量词①，为全称量词命题，B含有存在量词①，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D 省略了全称量词所有，为全称量词命题.故选：B ．4．C【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案.【详解】根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A ，B ，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题．故选：C.5．D【分析】利用全称量词的定义，分别判断选项.【详解】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D6．A【分析】由已知得P Q ⊆，再依次判断选项.【详解】因为非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，所以P Q ⊆，对于AC ，由子集的定义知P 中任意一个元素都是Q 中的元素，即x P ∀∈，x Q ∈，故A 正确，C 错误；对于BD ，由P Q ⊆，分类讨论：若P 是Q 的真子集，则∃∈x Q ，x P ∉；若P Q =，则x Q ∀∈，x P ∈；故 BD 错误．故选：A ．7．B【分析】根据等比数列定义结合对命题①，①，①的题设条件进行分析即可判断作答.【详解】对于①，题设条件与等比数列定义相一致，①正确；对于①，满足题设条件的a ，b ，c 值有a =b =0或c =b =0或a =b =c =0之一发生时, a ，b ，c 不成等比数列；对于①，满足题设条件的q=0时，{an }不是等比数列，即命题①，①，①中，只有①是正确的命题.故选：B8．∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n 个整数的三次方和等于其和的三次方.【详解】解：根据已知条件的规律结合13＝12可得：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2.故答案为：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）29．{}3m m ≤【分析】由题可得B A ⊆，然后分类讨论根据集合的包含关系即得.【详解】由于命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，所以B A ⊆,当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上，m 的取值范围是{}3m m ≤．故答案为：{}3m m ≤．10．3【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”，因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题，所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立，所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：311．（1）（2）（3）（4）【分析】利用全称量词命题和存在量词命题和定义判断即可【详解】（1）表示所有的正方形，所以是全称量词命题，（2）含有全称量词，所以是全称量词命题，（3）表示所有的正数，所以是全称量词命题，（4）含有存在量词，所以是存在量词命题，（5）不是命题，故答案为：（1）（2）（3），（4）12．（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x①R，x2≥0.【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行逐一求解即可.【详解】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x①R，x2≥0.13．（1）是全称命题；（2）不是命题；（3）是特称命题；（4）是特称命题．【分析】（1）根据题中包含的全称量词可确定为全称命题；（2）根据命题的概念即可确定答案；（3）根据题中的描述可确定为特称命题；（4）根据题中的描述可确定为特称命题.【详解】解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是判断句故不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180 ，是命题，是特称命题．14．(1)全称量词命题，且是真命题(2)是存在量词命题，是真命题(3)是全称量词命题，假命题【分析】（1）（2）（3）根据特称命题和全称命题的定义判断即可．（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，因为当x ＝1时，x 1x+=2，所以命题是假命题． 15．真命题，证明见解析【分析】直接配方化简即得解.【详解】解：是真命题，证明如下：因为222a b c ab bc ca ++=++，所以2220a b c ab bc ca +--+-=，所以()()()2220a b b c c a -+-+-=，所以0a b -=，0b c -=，0c a -=，即a b c ==．所以ABC 为等边三角形．所以原命题是真命题.。

2024届高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语不等式第三讲全称量词与存在量词课件

考向 2 全称量词命题、存在量词命题的真假判断通性通法：全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法
命题名称真假
判断方法一
判断方法二
全称量词真
所有对象使命题为真
命题
假存在一个对象使命题为假
否定为假否定为真
存在量词真存在一个对象使命题为真
命题
假
所有对象使命题为假
否定为假否定为真
提醒：因为命题 p 与¬p 的真假性相反，因此不管是全称量词命题，还是存在量词命题，若其真假不容易正面判断时，可先判断其否定的真假.
又由题意可知，h(x)的值域是－13，6的子集，
h(－1)≤6，所以h－13＝－a2－2a－13≥－31，
h(1)≤6，
解得实数 a 的取值范围是[－2，0].
【反思感悟】理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是“等价转化”，即“函数 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集”从而利用包含关系求解.
存在量词命题存在 M 中的一个 x，使 p(x)成立 ∃x∈M，p(x)
3.命题的否定
(1)全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否
定是全称量词命题.
(2)p 或 q 的否定：非 p 且非 q；p 且 q 的否定：非 p 或非 q.
【名师点睛】命题的否定与否命题的区别否命题是对原命题“若 p，则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论；命题的否定即 “非 p”，只是否定命题 p 的结论.
①判断全称量词命题、存在量词命题的真假性；②全称量词命题、存
词名称
常见量词
全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等
存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等

高考数学专项：全称量词与存在量词(习题作业)解析版

1.5全称量词与存在量词一、单选题1．命题“R x ，0x x ．”的否定是（）A ．R x ，0x xB ．R x ，0x xC ．R x ，0x xD ．R x ，0x x 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，所以命题“R x ，0x x ．”的否定是“R x ，0x x ”.故选：B2．命题“0x ，2560x x ”的否定为（）A ．0x ，2560x x B ．0x ，2560x x C ．00x ，200560x x D ．00x ，200560x x 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定可得，命题“0x ，2560x x ”的否定为“00x ，200560x x ”.故选：C3．命题“ 21,3,320x x x ”的否定为（）A ． 20001,3,320x x x B ． 21,3,320x x x C ． 21,3,320x x x D ． 20001,3,320x x x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为 20001,3,320x x x .故选：A4．命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是（）A ． 0,a ，sin a aB ． 0,a ，sin a aC ． ,0a ，sin a aD ． ,0a ，sin a a【答案】A【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是 0,a ，sin a a .故选：A.5．命题 :15p x x x ，245x x ，则命题p 的否定是（）A ． 15x x x ，245x xB ． 15x x x ，245x xC ． 15x x x ，245x xD ． 15x x x ，245x x 【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题 15x x x ，245x x 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 15x x x ，245x x ，故选：B6．已知命题2:0,0p x x x ，则p 为（）A ．20,0x x xB ．20,0 x x xC ．20,0 x x xD ．20,0x x x 【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题2:0,0p x x x ，则p 为20,0 x x x .故选：C7．若命题“x R ，都有2410mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．40mB ．0mC ．4mD ．40m 【答案】C【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ，使得2410mx x ，当0m ，14x符合题意；当0m ，只要1640m 即可，解得4m ，综上：4m ．故选：C ．8．已知2:R,40p x x x a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． 0,4B ． ,4C ． ,0D ．4, 【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为2:R,40p x x x a 是真命题，所以方程240x x a 有实数根，所以2440a ，解得4a ，故实数a 的取值范围为 ,4 .故选：B.9．已知命题“200014(2)04R,x x a x”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ． 0,4C ． 4,D ．0,4【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“200014(2)04R,x x a x ”是假命题则该命题的否定“214(2)0R,4x x a x >”是真命题，所以2(2)40a <，解得04a ；故选：D.10．已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ． 3,6B ． ,36,C ． 3,6D ．,36, 【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是真命题，又因为12x ，所以336x ，要使3x m ，则需3m 或6m .所以实数m 的取值范围为 ,36, .故选：D.11．命题“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件是（）A ．[2,2]aB ．(2,1)aC ．[2,3]aD ．(2,3)a 【答案】C【分析】先将命题“R x ，210x ax ”为假命题转化“x R ，210x ax ”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.【详解】命题“R x ，210x ax ”为假命题，即命题“x R ，210x ax ”为真命题，则 2Δ=40a ，解得22a ，对于A ：[2,2]a 是命题“2R,+1<0x x ax ”为假命题的充要条件，即选项A 错误；对于B ：(2,1) 是[2,2] 的真子集，所以(2,1)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B 错误；对于C ：[2,2] 是[2,3] 的真子集，所以[2,3]a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：(2,3) 与[2,2] 无包含关系，所以(2,3)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D 错误.故选：C.12．若 :1,5p x ，240ax x 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．925aB ．116aC ．5aD ．5a 【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x ，当1,5x 时，求出241x x的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的 1,5x ，240ax x ，则241a x x，因为 1,5x ，则1115x，则2419,525x x ，5a .故选：C.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．22,2 B ．“R x ，210x x ”的否定是“R x ，210x x ”C ．“212x ”是“1x ”的充分不必要条件D ．“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据元素和集合的关系判断A ；根据全称量词命题的否定可判断B ；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C ，D.【详解】对于A ， 2,2的元素是 2,2，故 22,2 ，正确；对于B ，“R x ，210x x ”为全称量词命题，它的否定是“R x ，210x x ”，B 错误；对于C ，由212x ，可得312212,22x x ，则1x 成立，当1x 时，比如取2x ，推不出212x 成立，故“212x ”是“1x ”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当a b 时，若0c =，则22ac bc 不成立，当22ac bc 成立时，则0c ，则20c ，故a b ，故“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件，D 正确，故选：ACD14．下列命题中，是真命题的有（）A ．命题“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件B ．命题2:R,10p x x x ，则2:R,10p x x xC ．命题“1x ”是“210x -¹”的充分不必要条件D ．“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A ，C ，D ；根据全称命题的否定形式可判断B.【详解】对于A ，当1x 时，2320x x 成立，反之，当2320x x 时，解得1x 或2x ，不一定是1x ，故“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，A 正确；对于B ，命题2:R,10p x x x 为全称命题，其否定为特称命题，即2:R,10p x x x ，B 正确；对于C ，1x 推不出210x -¹，因为1x 时，210x -=，当210x -¹时，一定有1x 且1x ，故命题“1x ”是“210x -¹”的必要不充分条件，C 错误；对于D ，解2320x x 可得1x 或2x ，故2x 时，一定有2320x x 成立，当2320x x 时，也可能是1x ，不一定是2x ，故“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，D 正确，故选：ABD15．下列说法正确的是（）A ．命题2000:,220R p x x x ，则命题p 的否定是2R,220x x x B ．全称命题“2R,2x x x ”是真命题.C ．命题“2000,10R x x x ”是假命题D ．集合 28120A x x x .集合260C x ax x ，若A C C ，则a 的取值范围是124a【答案】AC【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B 选项，举出反例；C 选项，由根的判别式得到210x x 恒成立，C 错误；D 选项，根据交集结果得到C A ，分C 和C 两种情况，分类讨论，得到a 的取值范围.【详解】A 选项，命题p 的否定是2,220 R x x x ，A 正确；B 选项，当2x 时，22x x ，故B 错误；C 选项，对于21y x x ，2Δ(1)41130 ，故对任意的x ，210x x ，C 正确；D 选项，因为A C C ，所以C A ，又 2,6A ，当C 时，若6C ，则36660a ，解得0a ，此时 6C ，满足C A ，若2C Î，则4260a ，解得1a ，此时 3,2C ，不满足C A ，当C 时，Δ12400a a ，解得124a ，综上，a 的取值范围为0a 或124a ，D 错误.故选：AC16．下列命题为真命题的是（）A ．若2:,2n p n N n ，则2:,2n p n N n ；B ．若0,0a b c d ，则a b d c；C ．使不等式110x成立的一个充分不必要条件是1x 或1x D ．若,,(1,2)i i i a b c i 是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【分析】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B 选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C 选项：通过检验就可以判断；D 选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ,22n n .则p :N n ,22n n ，A 是假命题；B 选项：0,0c d a b ∵，0,0c d ac bd 0cd ∵又，,ac bd a b cd cd d c即，a b d c，B 是真命题；C 选项：若1x 或1x ，则110x 成立，故满足充分性；当110x时，1x 或0x ，不满足必要性，C 是真命题；D 选项：设1112220a b c m m a b c ，则121212,,a ma b mb c mc 所以不等式21110a x b x c 等价于22220m a x b x c .若0m ，此时 22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集相等；若0m ，此时22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集为，则两个不等式的系数没有关系.所以“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.17．下列命题是真命题的是（）A ．x R ，x xB ．x R ，x xC ．x R ，2350x xD ．x R ，2350x x 【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A 选项的正误；取0x ，可判断B 选项的正误；取0x ，可判断C 选项的正误；取5x ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：当0x 时，x x ；当0x 时，0x x x ；综上所述：x R ，x x ，故A 正确；对于B ：当0x 时，满足x x ，故B 正确；对于C ：当0x 时，23550x x ，故C 错误；对于D ：当5x 时，23550x x ，故D 正确；故选：ABD ．18．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ，x A 且xB B ．x A ，x BC ．x U ，x A 或x BD ．x U ，x A 且x B【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ，x A 且x B ，A 正确；因A B ，必有x A ，x B ，B 正确；若AU B ð，则()()U U A B 痧，此时x U ，[()()]U U x A B 痧，即x A 且x B ，C 不正确；因A B ，则不存在x U 满足x A 且x B ，D 不正确.故选：AB19．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04mB ．02mC ．14mD ．16m 【答案】BC【分析】对m 讨论：0m ；0m ，Δ0 ；0m ，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立，当0m 时，原不等式即为10 恒成立；当0m 时，不等式210mx mx 对R x 恒成立，可得Δ0 ，即240m m ，解得：04m .当0m 时，21y mx mx 的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为： 0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有02m 或14m .故选：BC.20．下列说法正确的是（）A ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 不成立”B ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 成立”C ．命题“ 12x x x ，x 为真命题的一个充分不必要条件是7aD ．已知a ，b R ，则“a b ”是成立的充要条件【答案】BC【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：利用存在命题的否定直接判断；对于C ：先求出4a ，即可判断；对于D ：由0,0a b .故D 错误即可判断.【详解】对于A 、B ：因为“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a成立”，所以A 错误，B 正确；对于C ：命题“ 12x x x ，x 为真命题，则4a ，所以7a 是一个充分不必要条件.故C 正确；对于D ：当0,0a b .故D 错误.故选：BC三、填空题21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数【分析】根据特称命题的否定即可得.【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．【答案】存在一个自然数小于或等于零【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．故答案为：存在一个自然数小于或等于零24．将“方程210x 无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．【答案】2R ,10x x 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．【详解】由已知，“方程210x 无实根”是全称量词命题，故可改写为：2R ,10x x ，故答案为：2R ,10x x ．25．命题“x R ，20x x ”的否定是______．【答案】R x ，20x x 【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.【详解】命题“x R ，20x x ”的否定是“R x ，20x x ”.故答案为：R x ，20x x 四、解答题26．已知命题22:,20p x x x a R ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合 231B am a m ∣，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 11A aa ∣；(2)01m ．【分析】(1)命题为真命题，即方程2220x x a 有根，则2Δ440a ，解出即可.(2)因为A 是B 的真子集，列不等式组解出即可.【详解】（1）由命题p 为真命题，得2Δ440a ，得11a11A a a ∣（2）A ∵是B 的真子集．23111231m m m m，解得01m ．27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数2,1n n 不是4的倍数，真命题【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数2,1n n 不是4的倍数”，当2,Z n k k 时，22141n k 不是4的倍数；当21,Z n k k 时，2214()2n k k 不是4的倍数，所以其为真命题.28．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)R x ，使43x x ；(3)R x ，有12x x .【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明43x x 不成立;对(3)举例说明12x x 成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：R x ，有43x x ．因为当2x 时，42352 ，所以“R x ，有43x x ”是假命题．（3）命题的否定：R x ，使12x x ．因为当2x 时，121322x ，所以“R x ，使12x x ”是真命题．29．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.30．已知全集U R ，集合{|13}A x x ，集合{|21}B x m x m ．(1)若A B B I ，求实数m 的范围；(2)若1x A ，2x B ，使得12x x ，求实数m 的范围．【答案】(1)1(,)3(2)(,2)【分析】（1）可先求出A B B ∩，即B A 时m 的范围，即可求解；（2）先得到A B ，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若A B B ∩，则B A ，当B 时，则21m m ³-，13m ，当B 时，则212113m m m m，则m 不存在，综上，13m ，A B B ∩，实数m 的范围为1(,)3 ．（2）1x A ∵，2x B ，使得12x x ，A B ，且A ，则2113m m ，2m ，实数m 的范围为(,2) ．31．已知集合 25A x x ， 121B x m x m ，且B .(1)若命题p ：“x B ，x A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ，x B ”是真命题，求m 的取值范围．【答案】(1)2,3(2)2,4【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到,B A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；（2）根据命题q 为真命题，得到A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）命题p ：“x B ，x A ”是真命题，故,B A B ，所以12112215m m m m，解得23m ，故m 的取值范围是 2,3.（2）由于命题q 为真命题，则A B ，因为B ，所以121m m ，所以2m ,当2m 时，一定有13m ，要想满足A B ，则要满足15m ，解得4m ，故A B 时，24m ，故m 的取值范围为 2,4.32．已知命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，(1)命题:p “ 2R,140x x a x ”，若命题,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.(2)命题:21p a x a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围.【答案】(1) 3a a 或 1a ；(2)1,2【分析】（1）先求出命题,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题,p q 都为假命题时a 的取值范围，进而即可求解；（2）记 1,8,2,1A B a a ，由题意可得BA ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】（1）命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，为真命题时，22a x x ，令 22,22f x x x x ，则 18f x ，所以18a ，所以命题q 为假时，则1a 或8a ，命题:p “ 2R,140x x a x ”，为真命题时，21440a ，解得3a 或5a ，所以命题q 为假时，则35a ，又因为命题,p q 都为假命题时，3518a a a或，即31a ，所以命题,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是 3a a 或 1a ；（2）由（1）可知：命题q 为真命题时，18a ，记1,8,2,1A B a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A ，当B 即21a a ，也即1a 时，满足条件；当B 时，212118a a a a ，解得112a ；综上可知：实数a 的范围是1,233．已知命题:p x R ，2210ax x +-=为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合 64242B x m x m ，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1)1A a a (2)3m 或m 1【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0 求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ，2210ax x 为真，0a 且Δ440a ，解得1a ．∴ 1A a a ．（2）解：由64242m x m 解得32m x m <<，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，则B A ，∴当B 时，即32m m ，解得m 1 ；当1m 时，21m ，解得3m ，综上：3m 或m 1 ．34．已知命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)若:44q m a 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1),1 (2),5 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.【详解】（1）命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题，则“x R ，使不等式220x x m 恒成立”是真命题，故440m ，解得1m ，故 ,1m ，即 ,1A .（2）由于命题：:44q m a ，整理得：44a m a ，由小问1得p ：1m ，由于q 是p 的充分不必要条件，所以41a ，解得5a ，故实数a 的取值范围为 ,5 .35．已知命题：“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a 的解集为B ，若x A 是x B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1A m m 或 3m ；(2)(,2][3,) ．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）命题“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ，即2430m m ，解之得1m £或3m ，所以实数m 的取值的集合 1A m m 或 3m ；；（2）不等式()(3)0x a x a 的解集为 3B x a x a ，因为x A 是x B 的必要不充分条件，所以B A ，则3a 或31a ，所以3a 或2a ，故实数a 的取值范围为(,2][3,) ．。

考点02 全称量词与存在量词、充要条件(解析版)

考点02 全称量词与存在量词、充要条件1、了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。

2、理解充分条件、必要条件、充分条件的意义，会判断充分条件、必要条件、充要条件。

从近几年江苏高考可以看出，高考对本章的考查主要体现在函数的恒成立和存在问题，这也是与函数知识点融合的热点问题，这就要引起考生的重视，另外一方面也要重点复习含有量词的否定等含有量词的简单问题以及两个命题的条件的问题。

本节内容是高考的要求掌握的内容，本节内容在江苏高考中很少直接考查，往往是以本节内容的知识点为依托考查函数、立体几何、解析几何等有关内容。

以两种形式考查，一是简单的填空题形式出现，如四种命题、含有量词的否定，集合的充分条件、必要条件、充要条件的判断。

而是中档题或者解答题中的考查，主要以存在量词和全称量词在函数中的考查，主要是研究函数的值域的关系，恒成立问题，存在问题等形式出现。

在高考复习中要特别注意以下几点：①、判断命题时要分清命题的条件与结论，进而根据命题的关系写出其它命题。

②、判断命题之间P 是q 的什么条件，要从两个方面入手：一是P 能否推出q ，另一方面是q能否推出p 。

若不能推出可以举出一个反例即可，否则就要进行简单的证明。

对于证明命题的充要条件要从充分性和必要性两个方面加以证明。

③、对于含义存在于任意的问题，要充分理解题意，分清是函数中的值域问题还是恒成立问题或者是最值问题或者构造函数问题1、【2020年高考北京】.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）．A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件. 故选：C.2、【2020年高考天津】.设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.A. α内有无数条直线与β平行B. α内有两条相交直线与β平行C. α，β平行于同一条直线D. α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内两条相交直线都与β平行是//αβ的充分条件，由面面平行性质定理知，若//αβ，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内两条相交直线都与β平行是//αβ的必要条件，故选B ．4、【2019年高考浙江】已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线，当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ⋂=⋂=⋂=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而,B m C n αα∈⊂∈⊂，根据公理1可知，直线BC 即l α⊂，所以,,m n l 在同一平面. 综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件. 故选：B5、【2019年高考浙江】若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 故选A.6、【2019年高考天津理数】设x ∈R ，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由250x x -<可得05x <<，由|1|1x -<可得02x <<，易知由05x <<推不出02x <<，由02x <<能推出05x <<，故05x <<是02x <<的必要而不充分条件，即“250x x -<”是“|1|1x -<”的必要而不充分条件. 故选B.7、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是 A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行. 故选B ．8、【2019年高考北京理数】设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】∵A ､B ､C 三点不共线，∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AC -AB |故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件.9、【2018年高考浙江】已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】因为，所以根据线面平行的判定定理得.由不能得出与内任一直线平行，所以是的充分不必要条件.故选A.10、【2018年高考天津理数】设x ∈R ，则“11||22x -<”是“31x <”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】绝对值不等式，由.据此可知是的充分而不必要条件.故选A.11、【2018年高考北京理数】设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】2222223333699+6-=+⇔-=+⇔-⋅+=⋅+a b a b a b a b a a b b a a b b ，因为a ，b 均为单位向量，所以2222699+60=-⋅+=⋅+⇔⋅⇔a a b b a a b b a b ⊥a b ，即“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的充分必要条件.12、【2019年江苏试卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”. （1）已知等比数列{an}满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{an}为“M －数列”；（2）已知数列{bn}满足: 111221,n n n b S b b +==-，其中Sn 为数列{bn}的前n 项和． ①求数列{bn}的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{cn}θ，对任意正整数k ，当k≤m 时，都有1k k k c b c +成立，求m 的最大值．【详解】（1）设等比数列{an}的公比为q ，所以a1≠0，q≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”. （2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠．由1111,b S b ==得212211b =-，则22b =.由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-，当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{bn}的通项公式为bn=n ()*n N ∈. ②由①知，bk=k ，*k N ∈.因为数列{cn}为“M–数列”，设公比为q ，所以c1=1，q>0.因为ck≤bk≤ck+1，所以1k k q k q -≤≤，其中k=1，2，3，…，m.当k=1时，有q≥1；当k=2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-．设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x -=．令()0f 'x =，得x=e.列表如下： x(1,e) e (e ，+∞) ()f 'x+0 –f （x ）极大值因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==．取33q =，当k=1，2，3，4，5时，ln ln k q k，即kk q ≤，经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5． 13、【2018年江苏试卷】设是首项为，公差为d 的等差数列，是首项为，公比为q的等比数列．（1）设，若对均成立，求d 的取值范围；（2）若，证明：存在，使得对均成立，并求的取值范围（用表示）．解析：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件. 详解：解：（1）由条件知：．因为对n=1，2，3，4均成立，即对n=1，2，3，4均成立，即11，1d3，32d5，73d9，得．因此，d的取值范围为．（2）由条件知：．即，即当时，d满足．因为，则，从而，，对均成立．因此，取d=0时，对均成立．下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，，当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增，故数列的最大值为．②设，当x>0时，，所以单调递减，从而<f（0）=1．当时，，因此，当时，数列单调递减，故数列的最小值为．因此，d 的取值范围为．题型一全称量词与存在问题例1、【2020届江苏四校期中联考】“R x ∀∈，2210x x ++>”的否定是____________．【答案】0R x ∃∈，使得200210x x ++≤【解析】“R x ∀∈，2210x x ++>”的否定是：“0R x ∃∈，使得200210x x ++≤”．变式1、【2020届江苏六校联盟第三次联考】若命题“存在2,40x R ax x a ∈++≤”为假命题，则实数a 的取值范围是．【答案】(2,)+∞【解析】因为命题“存在2,40x R ax x a ∈++≤”的否定是“对任意2,40x R ax x a ∈++>”．命题的否定是真命题，则20{21640a a a >∴>∆=-<．变式2、【2020届江苏泰州中学、宜兴中学、江都中学12月联考】若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________．【答案】(,1]-∞二年模拟试题【解析】“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈，都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥，即21x +的最小值为1，要使“21k x ≤+恒成立”，只需()2min 1k x ≤+，即1k ≤．故答案为：(,1]-∞．变式3、【2018常州期末】命题“∃x ∈[0，1]，x 2－1≥0”是________命题(选填“真”或“假”)．【答案】真【解析】取x ＝1，则x 2－1＝0，所以为真命题．变式4、【2018泰州期末】若命题“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (2，＋∞)【解析】“存在x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“对任意x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0,4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎨⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0，解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞)．易错警示转为真命题来处理，二次项系数为参数的不等式恒成立问题，要注意讨论二次项系数为0时能否成立．变式5、【2020届江苏盐城中学高三月考】若命题“20t t a ∃∈-<R ,t ∈R ，t 2﹣a ＜0”是真命题，则实数a 的取值范围是_____．【答案】0,+∞（）【解析】命题“20t t a ∃∈-<R ,”是真命题，()040a ∴∆=-->．0a ∴＞，则实数a 的取值范围是0+∞（，）．故答案为∞（0，+）．变式6、【2020江苏扬州高邮开学考试】已知命题p ：关于x 的不等式2420x x m -+<无解；命题q ：指数函数()(21)x f x m =-是R 上的增函数． (1)若命题p q ∧为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若满足p 为假命题且q 为真命题的实数m 取值范围是集合A ，集合{}2|2113B x t x t =-<<-，且A B ⊆，求实数t 的取值范围．【解析】(1)由p 为真命题知，1680m ∆=-解得2m ≥，所以m 的范围是[2,)+∞，由q 为真命题知，211m ->，1m ，取交集得到[2,)+∞．综上，m 的范围是[2,)+∞．(2)由(1)可知，当p 为假命题时，2m <；q 为真命题，则211m ->解得：1m则m 的取值范围是(1,2)即{|12}A m m =<<，而A B ⊆，可得，2211132t t -≤⎧⎨-≥⎩，解得：1t ≤≤，所以，t 的取值范围是⎡⎤⎣⎦．变式7、【2020沭阳修远中学月考】设命题p ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的定义域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对任意x ∈R 恒成立． (Ⅰ)如果p 是真命题，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)如果命题“p 或q”为真命题且“p 且q”为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】(Ⅰ)实数a 的取值范围是2a > ．(Ⅱ)实数a 的取值范围是124a <≤．【解析】(1)命题p 是真命题，则有0a >，∆<0，a 的取值范围为2a >．(2)命题q 是真命题，不等式39x x a -<对一切x ∈R 均成立，设39x x y =-，令30x t =>，则2y t t =-，0t >，当12t =时，max 111244y =-=，所以14a >．命题“p q ∨”为真命题，“p q ∧”为假命题，则p ，q 一真一假． ①p 真q 假，2a >，且14a ≤，则得a 不存在；②若p 假q 真，则得124a <≤．综上，实数a 的取值范围124a <≤．方法总结：利用含逻辑联结词命题的真假求参数范围问题，可先求出各命题为真时参数的范围，再利用逻辑联结词的含义求参数范围．题型二：充分必要条件例1、【成都石室中学高2020届三诊模拟考试】“43k =-”是“直线1y kx =+与圆()2221x y -+=相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【解析】因为直线1y kx =+与圆()2221x y -+=相切，则1d r ===所以43k =-或0，“43k =-”是“直线1y kx =+与圆()2221x y -+=相切”的充分不必要条件。

高中数学高考考点专项复习及答案2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词

考点规范练2 充分条件与必要条件、全称量词与存在量词1.(多选)下列不等式中可以作为x 2<1的一个充分不必要条件的有( )A.x<1B.0<x<1C.-1<x<0D.-1<x<1答案BC解析解不等式x 2<1,可得-1<x<1,由于{x|-1<x<1}⫋{x|x<1},{x|-1<x<1}⫌{x|0<x<1},{x|-1<x<1}⫌{x|-1<x<0},因此,是x 2<1成立的一个充分不必要条件的有0<x<1,-1<x<0.2.(多选)下列命题的否定中,是全称量词命题且是真命题的是( )A.∃x ∈R ,x 2-x+14<0B.所有正方形都是矩形C.∃x ∈R ,x 2+2x+2=0D.至少有一个实数x ,使x 3+1=0答案AC解析由题意可知,符合题意的命题为存在量词命题且为假命题.选项A 中,命题为存在量词命题,x 2-x+14=(x-12)2≥0,所以命题为假命题,所以选项A 满足题意; 选项B 中,命题是全称量词命题,所以选项B 不满足题意;选项C 中,命题为存在量词命题,在方程x 2+2x+2=0中,Δ=4-4×2<0,即方程无实数根,所以命题为假命题,所以选项C 满足题意;选项D 中,当x=-1时,命题成立.所以命题为存在量词命题且是真命题,所以选项D 不满足题意.3.“a=2”是“函数f (x )=x 2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析“a=2”⇒“函数f (x )=x 2-2ax-3在区间[2,+∞)内单调递增”,但反之不成立.4.已知命题p :∀x ∈R ,x 3<x 4;命题q :∃x ∈R ,sin x-cos x=-√2.则下列说法正确的是( )A.p 真,q 真B.p 真,q 假C.p 假,q 真D.p 假,q 假答案C解析若x 3<x 4,则x<0或x>1,故命题p 为假命题;若sin x-cos x=√2sin (x -π4)=-√2,则x-π4=3π2+2k π(k ∈Z ),即x=7π4+2k π(k ∈Z ),故命题q 为真命题. 5.已知空间中不过同一点的三条直线l ,m ,n.“l ,m ,n 共面”是“l ,m ,n 两两相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案B解析由条件可知,当m ,n ,l 在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m ,n ,l 两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m ,n ,l 在同一平面内,所以“m ,n ,l 共面”是“m ,n ,l 两两相交”的必要不充分条件.故选B .6.下列命题的否定为假命题的是( )A.∃x ∈R ,x 2+2x+2≤0B.任意一个四边形的四个顶点共圆C.所有能被3整除的整数都是奇数D.∀x ∈R ,sin 2x+cos 2x=1答案D解析选项A 中,命题的否定是“∀x ∈R ,x 2+2x+2>0”.由于x 2+2x+2=(x+1)2+1>0对∀x ∈R 恒成立,故为真命题;选项B,C 中的命题都是假命题,故其否定都为真命题;而选项D 中的命题是真命题,故其否定为假命题,故选D .7.(多选)“关于x 的不等式x 2-2ax+a>0对∀x ∈R 恒成立”的一个必要不充分条件是( )A.0<a<1B.0≤a ≤1C.0<a<12D.a ≥0答案BD解析关于x 的不等式x 2-2ax+a>0对∀x ∈R 恒成立,则Δ=4a 2-4a<0,解得0<a<1.A 选项是充要条件;B 选项是必要不充分条件;C 选项是充分不必要条件;D 选项是必要不充分条件.8.若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数,则下列命题一定为真命题的是( )A.∀x ∈R ,f (-x )≠f (x )B.∀x ∈R ,f (-x )=-f (x )C.∃x ∈R ,f (-x )≠f (x )D.∃x ∈R ,f (-x )=-f (x )答案C解析根据题意知,定义域为R 的函数f (x )是偶函数即为∀x ∈R ,f (-x )=f (x ),这是一个全称量词命题,且是假命题,故它的否定为存在量词命题,为∃x ∈R ,f (-x )≠f (x ),是真命题,故选C .9.(2021全国Ⅱ,理7)等比数列{a n }的公比为q ,前n 项和为S n .设甲:q>0,乙:{S n }是递增数列,则 ( )A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当数列{a n }满足q=1>0,a 1=-1时,a n =-1,S n =-n ,{S n }不是递增数列;当{S n }是递增数列,n ≥2时,a n =S n -S n-1>0,q>0,所以甲是乙的必要条件但不是充分条件.10.若∃x ∈[12,2],使得2x 2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是( )A.(-∞,2√2]B.(2√2,3]C.[2√2,92]D.{3} 答案A解析因为∃x ∈[12,2],使得2x 2-λx+1<0成立是假命题,所以∀x ∈[12,2],使得2x 2-λx+1≥0恒成立是真命题,即∀x ∈[12,2],λ≤2x+1x 恒成立.令f (x )=2x+1x ,则f'(x )=2-1x 2.当x ∈[12,√22)时,f'(x )<0;当x ∈(√22,2]时,f'(x )>0,所以f (x )≥f (√22)=2√2.故λ≤2√2. 11.设p :实数x 满足x 2-4ax+3a 2<0,其中a ≠0,q :实数x 满足{x 2-x -6≤0,x 2+2x -8>0,若p 是q 的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .答案(1,2]解析∵p 是q 的必要不充分条件,∴q ⇒p ,且p q.设A={x|p (x )},B={x|q (x )},则B ⫋A.又B={x|2<x ≤3},当a>0时,A={x|a<x<3a };当a<0时,A={x|3a<x<a }.故当a>0时,有{a ≤2,3<3a ,解得1<a ≤2; 当a<0时,显然A ∩B=⌀,不合题意.综上所述,实数a 的取值范围是(1,2].12.能说明“若f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,则f (x )在区间[0,2]上单调递增”为假命题的一个函数是 .答案f (x )=sin x (答案不唯一)解析设f (x )=sin x ,则f (x )在区间[0,π2]上单调递增,在区间[π2,2]上单调递减.由正弦函数图象知,当x ∈(0,2]时,f (x )>f (0)=sin0=0,故f (x )=sin x 满足条件f (x )>f (0)对任意的x ∈(0,2]都成立,但f (x )在区间[0,2]上不是单调递增的.。

高三数学全称量词与存在性量词试题

高三数学全称量词与存在性量词试题1.已知命题，则为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D【考点】全称命题的否定.2.已知命题，那么是A．B．C．D．【答案】D【解析】命题的否定，就是把命题的结论否定，条件不变，但条件中的存在量词必须作相应的改变，因此是．选D．【考点】命题的否定．3.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】特称命题的否定是全称命题, 选C.【考点】命题的否定.4.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则()A．p:∃x∈A,2x∈B B．p:∃x∉A,2x∈BC．p:∃x∈A,2x∉B D．p:∀x∉A,2x∉B【答案】C【解析】全称命题的否定为特称命题,2x∈B的否定为2x∉B.故选C.5.已知命题p:∃n∈N,2n>1000,则p为()A．∀n∈N,2n≤1000B．∀n∈N,2n>1000C．∃n∈N,2n≤1000D．∃n∈N,2n<1000【答案】A【解析】由于特称命题的否定为全称命题,所以p为∀n∈N,2n≤1000.故选A.6.下列命题中,真命题是()A．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是偶函数B．∃m∈R,使函数f(x)=x2+mx(x∈R)是奇函数C．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是偶函数D．∀m∈R,函数f(x)=x2+mx(x∈R)都是奇函数【答案】A【解析】∵当m=0时,f(x)=x2(x∈R),∴f(x)是偶函数.又∵当m=1时,f(x)=x2+x(x∈R),∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数.C、D错.当x≠0,x∈R时,f(-x)=x2-mx≠-(x2+mx)=-f(x),∴B不成立.故选A.7.设命题p：∀a＞0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a有零点．则¬p： ________________.【答案】∃a＞0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a没有零点【解析】全称命题的否定为特称命题，¬p：∃a＞0，a≠1，函数f(x)＝a x－x－a没有零点．8.命题“∈R，x<l"的否定是．【答案】【解析】全称命题的否定为特称命题，故其否定为。

高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析

高三数学全称量词与存在性量词试题答案及解析1.已知命题，则为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题，以及否命题的特征，可知选D【考点】全称命题的否定.2.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________．【答案】[－8,0]【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知得－8≤a<0.综上，－8≤a≤0.3.下列命题中是假命题的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由任意角的三角函数可知，，所以是真命题；由指数函数的性质，是真命题；由知，是真命题；事实上，由，是假命题.故选B.【考点】全称命题与存在性命题4.已知命题:，则是____________________．【答案】【解析】因为命题:的否定为“”，所以是【考点】存在性命题的否定5.命题“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】全称命题：“”的否定为“”，据此可知，选A.【考点】简单逻辑，全称命题的否定.6.下列命题中是真命题的是()A．x∈R,使得sinxcosx=B．x∈(-∞,0),2x>1C．x∈R,x2≥x+1D．x∈(0,),tanx>sinx【答案】D【解析】当x∈(0,)时,0<cosx<1,0<sinx<1,∴>sinx,即tanx>sinx.7.以下正确命题的个数为（）①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内；③函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.A．B．C．D．【答案】D【解析】命题“存在，”的否定是：“，”，所以①是假命题；由函数零点存在定理知②是真命题；由得，，所以③是真命题；线性回归直线恒过样本中心，但不一定经过样本点，所以是假命题④；综上知正确命题的个数为2，故选D.【考点】全称命题与存在性命题，函数的零点存在定理，回归直线方程，导数的几何意义，基本不等式.8.命题，则是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题“”.【考点】含有一个量词的命题的否定.9.若命题“使得”为假命题，则实数的取值范围是（）A．[2，6]B．[-6，-2]C．（2，6）D．（-6，-2）【答案】A【解析】需满足，解得.故选A.【考点】1.命题的真假；2.一元二次不等式.10.已知命题：（）A．B．C．D．【答案】C【解析】全称命题：“”的否定为“”，否定原命题结论的同时要把量词做相应改变，所以“”的否定是“”.故选C.【考点】全称命题的否定.11.已知，命题，则（）A．是假命题;B．是假命题;C．是真命题;D．是真命题【答案】D【解析】恒成立，所以在是减函数，所以，故是真命题，由全称命题的否定知，，选D.【考点】全称命题的否定、不等式恒成立.12.已知命题那么是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是，故选B【考点】全称命题与特称命题的定义.13.已知命题那么是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定是，故选B【考点】全称命题与特称命题的定义.14.已知，函数，向量与向量垂直时，则下列选项的命题中为假命题的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵量与向量垂直，∴，∴=0，又，∴，由一元二次函数的图象可知，命题：为假命题，故选C【考点】本题考查了数量积的运算及一元二次函数点评：数量积的坐标运算是常考题型，判断最值及范围命题的真假一般利用函数单调性或图像15.是的A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据题意，由于，因此条件可以推出结论，反之，不成立，因此说条件是结论成立的充分而不必要条件，选B.【考点】充分条件的判定点评：解决的关键是理解结论表示的角集合，然后结合集合的思想来确定结论，属于基础题。

1.5 全称量词与存在量词(解析版).pdf

1.5 全称量词与存在量词A 组-[应知应会]1．（2019秋•埇桥区期末）将命题“”改写成全称命题为 222x y xy +…()A ．对任意,,都有成立x y R ∈222x y xy +…B ．存在,,使成立x y R ∈222x y xy +…C ．对任意,,都有成立0x >0y >222x y xy +…D ．存在,,使成立0x <0y <222x y xy +…【分析】直接把命题改写成含有全称量词的命题即可．【解答】解：命题“”是指对任意,,都有成立,222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故命题“”改写成全称命题为：对任意,,都有成立．222x y xy +…x y R ∈222x y xy +…故选：．A 2．下列全称命题的否定形式中,假命题的个数是 ()（1）所有能被3整除的数能被6整除（2）所有实数的绝对值是正数（3）,的个位数不是2．x Z ∀∈2x A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】（1）写出原命题的否定形式,再举例判断即可；（2）写出原命题的否定形式,再举例,,不是正数,判断即可；00x R =∈|0|0=（3）由,,,,,,,,,,可知,的个位数不是2,写出其否定形式,可判断（3）．200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=x Z ∀∈2x 【解答】解：（1）“所有能被3整除的数能被6整除”的否定形式为“能被3整除的数不能被6整除”正确,如3,是能被3整除,不能被6整除的数,故（1）的否定∃形式正确；（2）所有实数的绝对值是正数,其否定为：,,不是正数,故（2）的否定形式正确；00x R ∃=∈|0|0=（3）因为,,,,,,,,,,200=211=224=239=2416=2525=2636=2749=2864=2981=所以,的个位数不是2的否定形式为：,的个位数是2,错误．x Z ∀∈2x x Z ∃∈2x综上所述,以上全称命题的否定形式中,假命题的个数是1个,故选：．B3．下列特称命题中假命题的个数是 ()①有的实数是无限不循环小数；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形．A ．0B ．1C ．2D ．3【分析】①从实数的组成可知②从三角形的类型入手③正方形是特殊的菱形,一一进行判断即可．【解答】解：在①中若,是无限不循环小数,故真；x π=在②中若边长为3.4.5的三角形不是等腰三角形,故真；在③中有一个内角为90度的菱形是正方形,故真；其中①②③全是真命题．故选：．A 4．（2020•广元模拟）已知集合,,,下列命题为假命题的是 2{|28}A x x x =-…{2B =-0}()A ．,B ．,C ．,D ．,0x A ∃∈0x B ∈0x B ∃∈0x A ∈x A ∀∈x B ∈x B ∀∈x A∈【分析】先求出集合,再根据,之间的关系即可求解结论．A AB 【解答】解：因为集合；2{|28}{|24}A x x x x x =-=-………,,{2B =- 0}A ⊆,；x A ∴∀∈x B ∈故选：．C 5．命题“对任何,”的否定是．x R ∈|2||4|3x x -+->【分析】利用全称命题的否定是特称命题,可求命题的否定．【解答】解：因为命题为全称命题,根据全称命题的否定是特称命题得到命题“对任何,”的否定是：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+->x R ∈|2||4|3x x -+-…故参考答案为：存在,使得．x R ∈|2||4|3x x -+-…6．（2019秋•长宁区期末）命题“若,则”是真命题,则实数的范围是．1x >x a >a 【分析】根据命题是真命题,转化为两个集合之间的关系建立条件关系即可得到结论．【解答】解：“若,则”是真命题,1x >x a >则,,,(1)(a +∞⊆)+∞,1a ∴…即实数的取值范围是,a 1a …故参考答案为：．1a …7．用符号“”与“”表示下列含有量词的命题,并判断真假：∀∃（1）任意实数的平方大于或等于0；（2）对任意实数,二次函数的图象关于轴对称；a 2y x a =+y （3）存在整数,,使得；x y 243x y +=（4）存在一个无理数,它的立方是有理数．【分析】利用全称量词、存在量词的意义即可得出命题．【解答】解：（1）,则,为真命题；x R ∀∈20x …（2）,则二次函数的图象关于轴对称,为真命题；a R ∀∈2y x a =+y （3）,,使得,为假命题；x ∃y Z ∈243x y +=（4）,使得,为真命题．0R x Q ∃∈ð30x Q ∈8．判断下列命题是全称命题还是存在性命题,并写出它们的否定：（1）：对任意的,都成立；p x R ∈210x x ++=（2）,．:p x R ∃∈2250x x ++>【分析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断,然后写出它们的否定．【解答】解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”,因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”,因此,：存在一个,使成立,即“,使成立”；p ⌝x R ∈210x x ++≠x R ∃∈210x x ++≠（2）由于“”表示存在一个实数,即命题中含有存在量词“存在一个”,x R ∃∈x 因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”,因此,：对任意一个都有,即“,”．p ⌝x 2250x x ++…x R ∀∈2250x x ++…9．（2019秋•怀仁市校级期末）写出下列命题的否定,并判断其真假：（1）,方程必有实根；:p x R ∀∈20x x m +-=（2）,使得．:q x R ∃∈210x x ++…【分析】命题的否定即命题的对立面．可根据如下规则书写：“全称量词”与“存在量词”正好组成了意义相反的表述．如“对所有的都成立”与“至少有一个⋯不成立”；“都是”与“不都是”等,所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”,“存在性命题”的否定一定是“全称命题”．⋯【解答】解：（1）．方程无实数根；:p m R ⌝∃∈20x x m +-=由于当时,方程的根的判别式△,1m =-20x x m +-=0<方程无实数根,故其是真命题．∴20x x m +-=（2）,使得；:q x R ⌝∀∈210x x ++>由于,22131(024x x x ++=++>故其是真命题．B 组-[素养提升]（2019秋•沈阳期末）设,,若是真命题,则实数的取值范围是．:p x R ∀∈20x x a ++…p a 【分析】由含参不等式恒成立问题,得：,等价于△,解不等式即可得的取值范围．x R ∀∈20x x a ++…0…a 【解答】解：若,,是真命题,则△,解得；:p x R ∀∈20x x a ++...140a =- (1)4a …故的取值范围是：；a 14a …故参考答案为：．14a …知识改变命运。

高考数学复习典型题型专题讲解与练习5 全称量词与存在量词

高考数学复习典型题型专题讲解与练习专题5 全称量词与存在量词题型一根据全称命题的真假求参数1．若“任意x ∈13|22x x ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为（） A ．-12 B ．-32 C ．12 D ．32【答案】D 【解析】因为“任意x ∈1322x x ⎧⎫⎪⎪≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭，x ≤m ”是真命题，所以m ≥32，所以实数m 的最小值为32. 故选：D 2．已知命题p :“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，则实数m 的最大值是____.【答案】【解析】当3x ≥时，26215x x ≥⇒-≥，因为“3x ∀≥，使得21x m -≥”是真命题，所以5m ≤.故答案为：53．对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】a ≤3【解析】对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，∴{}{}3x x x x a ⊆，∴a ≤3.4．是否存在整数m ，使得命题“14x ∀≥-，5341m x -<-<+”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存，说明理由【答案】存在整数1m =，使得命题“14x ∀≥-，5341m x -<-<+”是真命题【解析】假设存在整数m ，使得命题“14x ∀≥-，5341m x -<-<+”是真命题．因为当14x ≥-时，314x +≥，所以35344m -<-<，解得9216m <<．又m 为整数，所以1m =，故存在整数1m =，使得命题“14x ∀≥-，5341m x -<-<+”是真命题．5．若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.6．已知命题:13p x ∀≤≤，都有m x ≥，命题:13q x ∃≤≤，使m x ≥，若命题p 为真命题，q ⌝为假命题，求实数m 的取值范围．【答案】3m ≥【解析】解：因为q ⌝为假命题，所以q 为真命题，命题:13p x ∀≤≤，都有m x ≥，为真命题，则max m x ≥，即3m ≥命题:13q x ∃≤≤，使m x ≥，为真命题，则min m x ≥，即m 1≥因为命题p 、q 同时为真命题，所以31m m ≥⎧⎨≥⎩，解得3m ≥ 题型二根据特称（存在性）命题的真假求参数1．命题:p 存在实数x M ∈，使得x ，3，4能成为三角形的三边长．若命题p 为假命题，则x 的取值集合M =______．【答案】1x ≤或7x ≥【解析】当命题p 为真命题时，则存在实数x M ∈，使得x ，3，4能成为三角形的三边长，可得4334x -<<+，即17x <<．所以当命题p 为假命题时，可得1x ≤或7x ≥．2．“m A ∃∈，使得方程2210mx x -+=有两个不同的实数解”是真命题，则集合A =_________；【答案】{|10}m m m <≠且【解析】方程2210mx x -+=有两个不同的实数解，当0m =时，方程只有一个解，不符合条件，所以0m ≠且440m ∆=->，解得10m m <≠且，所以答案为{|10}m m m <≠且.3．已知下列三个方程：24430x ax a +-+=，()2210x a x a +-+=，2220x ax a +-=至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．【答案】32a ≤-或1a >-【解析】先求使三个方程都没有实根的实数a 的取值范围：由()()()()()21222234443014024120a a a a a a ⎧∆=--+<⎪⎪∆=--<⎨⎪∆=-⨯⨯-<⎪⎩得2224430321020a a a a a a ⎧+-<⎪+->⎨⎪+<⎩ 解得：312a -<<-∴至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围：32a ≤-或1a >- 4．已知集合{|0}A x x a =≤≤，集合22{|34}B x m x m =+≤≤+，如果命题“m R ∃∈，使得A B ⋂≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围.【答案】3a <【解析】命题“m ∃∈R ，使得A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定命题“m R ∀∈，A B =∅”为真命题当0a <时，集合{|0}A x x a =≤≤=∅，符合A B =∅当0a ≥时，因为230m +>，所以m R ∀∈，A B =∅得23a m <+对于m R ∀∈恒成立所以()233min a m <+=，则03a ≤<综上，实数a 的取值范围为3a <.题型三含有一个量词的命题的否定的应用1．命题“∀a ，b ∈R ，使方程ax =b 都有唯一解”的否定是( )A ．∀a ，b ∈R ，使方程ax =b 的解不唯一B ．∃a ，b ∈R ，使方程ax =b 的解不唯一C ．∀a ，b ∈R ，使方程ax =b 的解不唯一或不存在D ．∃a ，b ∈R ，使方程ax =b 的解不唯一或不存在【答案】D【解析】选D .该命题的否定：∃a ，b ∈R ，使方程ax =b 的解不唯一或不存在.【误区警示】解答本题，在否定结论时容易出现考虑不全面而出错的情况.故选：D2．“对于任意a >0，关于x 的方程x 3+ax +1=0至多有三个实数根”的否定是( )A ．对于任意a ≤0，关于x 的方程x 3+ax +1=0至多有三个实数根B ．对于任意a >0，关于x 的方程x 3+ax +1=0至少有四个实数根C ．存在a >0，关于x 的方程x 3+ax +1=0至多有三个实数根D ．存在a >0，关于x 的方程x 3+ax +1=0至少有四个实数根【答案】D 【解析】选D .全称量词“任意”改为存在量词“存在”，另一方面“至多有三个”的否定是“至少有四个”.故选：D3．命题p ：“存在实数m ，使方程210x mx ++=有实数根”则“p ⌝”形式的命题是（）A ．存在实数m ，使方程210x mx ++=无实数根B ．不存在实数m ，使方程210x mx ++=无实数根C ．对任意的实数m ，方程210x mx ++=无实数根D ．至多有一个实数m ，使方程210x mx ++=有实数根【答案】C 【解析】命题p 是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即:p ⌝对任意的实数m ，方程210x mx ++=无实数根.故选：C.4．写出下列命题的否定:(1),||x Z x N ∀∈∈;(2)所有可以被5整除的整数,末位数字都是0;(3),10x R x ∃∈+;(4)存在一个四边形,它的对角线互相垂直.【答案】(1)00,x Z x N ∃∈∉;(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;(3),10x R x ∀∈+<;(4)任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.【解析】(1)“,||x Z x N ∀∈∈”为全称命题,故否定为：“00,x Z x N ∃∈∉”;(2)“所有可以被5整除的整数,末位数字都是0”为全称命题, 故否定为：“存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0”(3)“,10x R x ∃∈+”为特称命题,故否定为：“,10x R x ∀∈+<”;(4) “存在一个四边形,它的对角线互相垂直”为特称命题, 故否定为：“任意一个四边形,它的对角线都不互相垂直.”。

高考数学专题《全称量词与存在量词、充要条件》习题含答案解析

专题1.2 全称量词与存在量词、充要条件1．（全国高考真题（理））设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（） A ．2,2nn N n ∀∈> B ．2,2nn N n ∃∈≤ C ．2,2nn N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=【答案】C 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.2．（2021·四川高三三模（理））命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”的否定p ⌝为（） A ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x > B ．0(0,)x ∃∈+∞，00sin x x ≤ C ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x > D ．00],(x ∃∈-∞，00sin x x ≥【答案】B 【解析】由含有一个量词的命题的否定的定义判断. 【详解】因为命题p “(0,)x ∀∈+∞，sin x x >”是全称量词命题,所以其否定是存在量词命题，即0:(0,)p x ⌝∃∈+∞，00sin x x ≤．故选：B3．（2021·上海高三二模）设α：x >1且y >2，β：x +y >3，则α是β成立的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】练基础解：若“1x >且2y >”则“3x y +>”成立，当5x =，1y =时，满足3x y +>，但1x >且2y >不成立，故1x >且2y >”是“3x y +>”的充分非必要条件．故选：A ．4．（2021·江西高三三模（理））设x ∈R ，则"22x -<<"是"12x <<"的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】用集合法判断即可. 【详解】因为集合{|12}x x <<是集合{|22}x x -<<的真子集，所以“22x -<<”是“12x <<”的必要不充分条件．故选：B.5．（2021·浙江绍兴市·高三三模）已知z 是复数，i 是虚数单位，则“z i =-”是“21z =-”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据复数的运算及充分必要条件的判断即可求得结果. 【详解】∵z i =-，∴()221z i =-=-； ∵21z =-，∴z i =±.故“z i =-”是“21z =-”的充分而非必要条件. 故选：A.6．（2021·四川高三二模（文））若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据线线、线面的平行关系，结合条件间的推出关系，判断“//l m ”、“//l α”之间的充分、必要关系. 【详解】∵l ，m 是平面α外的两条不同的直线，//m α，∴若//l m ，则推出“//l α”；若//l α，则//l m 或l 与m 相交；∴若l ，m 是平面α外的两条不同直线，且//m α，则“//l m ”是“//l α”的充分不必要条件. 故选：A.7.（2021·北京高三二模）“0a ≤是”“函数ln ,0()2,0xx x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩有且只有一个零点”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据函数零点的性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】当0x >时，令()0f x =，则ln 0x =，1x ∴=，当0x >时，()f x 有一个零点为1，函数()f x 只有一个零点，∴当0x ≤时，()2x f x a =-+无零点，即2x a >或2x a <， ∴当0x ≤时，(]20,1x ∈，1a ∴>或0a ≤，0a ∴≤是函数()f x 只有一个零点的充分不必要条件，故选：A.8．（2021·四川泸州市·高三三模（理））“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】根据双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2求出对应的m 值即可判断.【详解】若双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2，则当0m >且40m -<时，即4m >时，2=，解得5m =，当0m <且40m ->时，即0m <时，2=，解得1m =-，所以“双曲线C ：2214x y m m +=-的虚轴长为2”对应的m 值为5m =或1m =-，故“5m =”是“双曲线C ：2214x y m m+=-的虚轴长为2”的充分但不必要条件.故选：A.9．（2021·上海高三二模）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（）条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2cos2f x x =，根据奇偶性的定义判断为偶函数，反之当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，从而可得结果.【详解】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.10．（2021·四川高三三模（理））已知数列{}n a 为等比数列，“650a a >>”是“数列{}n a 为递增数列”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据等比数列的通项公式、数列的单调性，结合充分必要条件的定义分析可得答案. 【详解】当650a a >>，则651a q a =>，且5140aa q=>，则数列{}n a 为递增数列；反之，当数列{}n a 为递增数列时，也有可能出现650a a >>，故为充分不必要条件. 故选：B1.（2021·陕西汉中市·高三二模（文））直线:0l x y a -+=，圆C ：222x y +=，则“2a =”是“l 与圆C 相切”的（） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】根据充分条件和必要条件的判断方法，分别判断充分性和必要性，即可的到答案．【详解】圆C 的方程222x y +=，其圆心坐标为()0,0，半径为r =当2a =时，直线20l x y -+=:，圆心到直线的距离d r ===，此时，直线l 与圆C 相切，故充分性成立；当直线l 与圆C 相切时，圆心到直线的距离d ==所以2a =±，故必要性不成立，所以，“2a =”是“直线l 与圆C 相切”的充分不必要条件．故选：B ．练提升2.（2021·江西高三其他模拟（文））“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】先求出方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线对应的n 的范围，再结合两者的关系可得两者之间的条件关系. 【详解】当0n <时，方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的双曲线；当0n >时，221x ny +=可化为2211y x n+=，因为椭圆的焦点在x 轴上，所以11n>即1n >，故方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线时，0n <或1n >，故“1n >”是“方程221x ny +=表示焦点在x 轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·湖南高三三模）设a ，b ，m 为实数，给出下列三个条件：①33a b >：②22am bm >；③11a b<，其中使a b >成立的充分不必要条件是（） A ．① B ．②C ．③D ．①②③【答案】B 【解析】利用充分条件和必要条件的定义逐个分析判断即可【详解】解：对于①，当33a b >时，a b >成立，而当a b >时，33a b >成立，所以33a b >是a b >的充要条件，所以①不合题意；对于②，当22am bm >时，由不等式的性质可知a b >成立，而当a b >，0m =时，22am bm >不成立，所以22am bm >是a b >的充分不必要条件，所以②符合题意；对于③，当1,1a b =-=时，11a b <成立，而a b >不成立，当1,1a b ==-时，a b >成立，而11a b<不成立，所以11a b<是a b >的既不充分也不必要条件，所以③不合题意，故选：B4．（2021·浙江高三月考）在ABC 中，“ABC 为钝角三角形”是“cos cos A B +>的（）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】考虑两个条件之间的推出关系后可判断两者之间的条件关系. 【详解】取2,63A C B ππ===，则121cos cos 22A B -+=<<故“ABC 为钝角三角形”推不出“cos cos A B +>若cos cos A B +>若A 为钝角或直角，则cos cos B A >≥A 为锐角，同理B 为锐角. 若2A B π+≥，则022B A ππ<-≤<，故cos cos sin 2A B B π⎛⎫≤-=⎪⎝⎭，所以sin cos cos cos B B A B +≥+>4B π⎛⎫+> ⎪⎝⎭.故2A B π+<即C 为钝角.故“cos cos A B +>能推出“ABC 为钝角三角形”，故选：B.5．（2021·江西上饶市·高三其他模拟（理））将函数()cos(2)6f x x π=-向左平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像的对应函数为()g x ，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的（）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要条件D ．既不充分也不必要【答案】A 【解析】分别从3πϕ=及()g x 为奇函数出发，证明对方是否成立，从而验证二者的关系.【详解】当3πϕ=时，()cos[2()]sin 236g x x x ππ=+-=-，易知()g x 为奇函数，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的充分条件；当 “()g x 为奇函数”时，()cos[2()]cos(22)66g x x x ππϕϕ=+-=+-，则必有26232k k ππππϕπϕ-=+⇒=+，k Z ∈，故3πϕ=只是其中一个值，则“3πϕ=”是“()g x 为奇函数”的不必要条件；故选：A6．【多选题】（2020·全国高一课时练习）下列命题是真命题的为（） A ．2,10x R x ∀∈--< B ．,,n Z m Z nm m ∀∈∃∈=C ．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D ．存在实数x ，使得213234x x =-+ 【答案】ABC 【解析】根据题意，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A ，2,0x R x ∀∈-≤，所以210x --<，故A 选项是真命题；对于B ，当0m =时，nm m =恒成立，故B 选项是真命题；对于C ，任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C 选项是真命题. 对于D ，因为()2223122-+=-+≥x x x ，所以21132324x x ≤<-+.故D 选项是假命题. 故选：ABC.7．【多选题】（2021·湖南常德市·高三一模）下列说法正确的是（）A ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-B ．二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为32C ．已知直线a ⊂平面α，则“l a //”是//l α”的必要不充分条件D ．函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称【答案】AD 【解析】根据特称命题的否定求解方法可判断A ；令1x =代入二项式即可求得各项的系数和，可判断B ；由于直线l 与α的关系不确定故能判断C ；判断()f x π-是否等于()f x ，就能判断D 是否正确．【详解】解：对于A ：命题:0,1∃<->xp x e x 的否定¬:0,1x p x e x ∀<-≤，故A 正确；对于B ：二项式5(12)x +的展开式的各项的系数和为55(12)3+=，故B 错误；对于C ：已知直线a ⊂平面α，由于直线l 与α的关系不确定，故“l a //”是//l α”的既不必要不充分条件，故C 错误；对于D ：由于x 关于2x π=的对称点为x π-，故1()sin sin f x x x=+，满足11()sin()sin ()sin()sin f x x x f x x x πππ-=-+=+=-，故函数1sin sin y x x=+的图象关于直线2x π=对称，故D 正确.故选：AD ．8．【多选题】（2021·湖南高三月考）下列“若p ，则q ”形式的命题中，p 是q 的必要条件的是（） A ．若两直线的斜率相等，则两直线平行 B ．若5x >，则10x >C ．已知a →是直线a 的方向向量，n →是平面α的法向量，若a α⊥，则a n →→⊥ D ．已知可导函数()f x ，若0()0f x '=，则()f x 在0x x =处取得极值【答案】BD 【解析】只需判断必要性是否成立即可.【详解】对于A ，两直线平行时，两直线的斜率相等或斜率都不存在，所以必要性不成立; 对于B ，x > 10时，x > 5,所以必要性成立;对于C ，若a n →→⊥，则a //a 或a ⊂a ，所以必要性不成立;对于D ，f (x )在0x x =处取得极值时，必有0()0f x '=，必要性成立. 故选： BD9.（2021·四川高三三模（文））已知函数2()2f x x ax b =-+，()x R ∈.下列四个命题： ①a R ∃∈，使()f x 为偶函数；②若(0)(2)f f =，则()f x 的图象关于直线1x =对称； ③若20a b -≤，则()f x 在区间[,)a +∞上是增函数； ④若220a b -->，则函数()()2h x f x =-有两个零点. 其中所有真命题的序号是___________. 【答案】①③ 【解析】根据一元二次函数及绝对值函数的性质，结合奇偶性，对称性，单调性对每一项进行分析即可. 【详解】若()f x 为偶函数，则22()2()2f x x ax b f x x ax b -=++==-+，则22222224()0x ax b x ax b ax x b ++=-+⇒+=对x R ∀∈恒成立，则0a =，故①正确；(0)f b =，(2)44f a b =-+，若(0)(2)f f =，即44b a b =-+，则441b a b a =-+⇔=或4422b a b a b -=-+⇔-=，若取0,2a b ==-，则2()2f x x =-关于0x =对称，②错误；若20a b -≤，函数22y x ax b =-+的判别式2440a b ∆=-≤，即220y x ax b =-+≥，22()22f x x ax b x ax b =-+=-+，由二次函数性质，知()f x 在区间[,)a +∞上是增函数，③正确；取0,4a b ==-，满足220a b -->，则22()4242f x x x =-=⇔-=或2-，解得x =，即()()2h x f x =-有4个零点，④错误；故答案为：①③10．（2021·浙江高一期末）命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是_______________；设a ，b ，c 分别是ABC 的三条边，且a b c ≤≤．我们知道ABC 为直角三角形，那么222+=a b c ．反过来，如果222+=a b c ，那么ABC 为直角三角形．由此可知，ABC 为直角三角形的充要条件是222+=a b c ．请利用边长a ，b ，c 给出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是______________．【答案】x R ∃∈，210x x ++≤ 222a b c +>【解析】根据全称量词命题的否定直接写出即可；根据勾股定理，充要条件及反证法得出ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>.【详解】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，命题“x R ∀∈，210x x ++>”的否定是x R ∃∈，210x x ++≤；设a ，b ，c 是ABC 的三条边，且a b c ≤≤，ABC 为锐角三角形的一个充要条件是222a b c +>. 证明如下：必要性：在ABC 中，C ∠是锐角，过点A 作AD BC ⊥于点D ，如下图：根据图象可知()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-+- 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-++-⋅=+-⋅<+，即222AB AC BC <+，222a b c +>可得证.充分性：在ABC 中，222a b c +>，所以C ∠不是直角.假设C ∠是钝角，如下图：过点A 作AD BC ⊥，交BC 延长线于点D ，则()222222AB AD BD AC CD BC CD =+=-++ 2222222222AC CD BC CD BC CD AC BC BC CD AC BC =-+++⋅=++⋅>+，即222AB AC BC >+，222a b c +<，与222a b c +>矛盾.故C ∠为锐角，即ABC 为锐角三角形.1．(2019年高考全国Ⅱ卷理)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( )A ．α内有无数条直线与β平行B ．α内有两条相交直线与β平行C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面【答案】B【解析】由面面平行的判定定理知：α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的充分条件；由面面平行的性质定理知，若αβ∥，则α内任意一条直线都与β平行，所以α内有两条相交直线都与β平行是αβ∥的必要条件.故α∥β的充要条件是α内有两条相交直线与β平行.故选B ．2．（2019·天津高考真题（文））设x ∈R ，则“05x <<”是“11x -<”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件练真题D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】11x -<等价于02x <<，故05x <<推不出11x -<；由11x -<能推出05x <<．故“05x <<”是“|1|1x -<”的必要不充分条件．故选B ．3．（2019年高考浙江）若a >0，b >0，则“a +b ≤4”是 “ab ≤4”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.故选A.4．（2020·北京高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦； 0, 0a >b>a b +≥4a b +≤4a b ≤+≤4ab ≤=1, =4a b 4ab ≤=5>4a+b 4a b +≤4ab ≤(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12kk k m απβ=+-=或()()121k k k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.5．（2018·浙江省高考真题）已知两条直线,a b 和平面α，若b α⊂，则//a b 是//a α的（）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】当b α⊂时，若//a b 时，a 与α的关系可能是//a α，也可能是a α⊂，即//a α不一定成立，故////a b a α⇒为假命题；若//a α时，a 与b 的关系可能是//a b ，也可能是a 与b 异面，即//a b 不一定成立，故////a a b α⇒也为假命题；故//a b 是//a α的既不充分又不必要条件故选：D6．（2020·全国高考真题（理））设有下列四个命题：p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.p 4：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l .则下述命题中所有真命题的序号是__________.①14p p ∧②12p p ∧③23p p ⌝∨④34p p ⌝∨⌝【答案】①③④【解析】利用两交线直线确定一个平面可判断命题1p 的真假；利用三点共线可判断命题2p 的真假；利用异面直线可判断命题3p 的真假，利用线面垂直的定义可判断命题4p 的真假.再利用复合命题的真假可得出结论.【详解】对于命题1p ，可设1l 与2l 相交，这两条直线确定的平面为α；若3l 与1l 相交，则交点A 在平面α内，同理，3l 与2l 的交点B 也在平面α内，所以，AB α⊂，即3l α⊂，命题1p 为真命题；对于命题2p ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题2p 为假命题；对于命题3p ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题3p 为假命题；对于命题4p ，若直线m ⊥平面α，则m 垂直于平面α内所有直线，直线l ⊂平面α，∴直线m ⊥直线l ，命题4p 为真命题.综上可知，，为真命题，，为假命题， 14p p ∧为真命题，12p p ∧为假命题，23p p ⌝∨为真命题，34p p ⌝∨⌝为真命题. 故答案为：①③④.。

全称量词与存在量词附答案

1.4 全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词情景设计: 已知2():20p x x x +-=，():sin cos q x x x >，（1）语句()p x ，()q x 是命题吗？为什么？（2）如果在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”，它们是命题吗？为什么？点拔提示：（1）在x 未赋值之前，语句()p x ，()q x 不能判断其真假，所以它们不是命题；（2）在语句()p x 或()q x 前面加上“对所有x R ∈”或“存在一个x R ∈”后，()p x ，()q x 的真假就能确定，所以它们是命题.阅读与积累:1．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为全称量词，并用符号“_____” 表示。

对所有的对任意一个 ∀ 2．短语“__________”、“____________” 逻辑中称为存在量词，并用符号“_____” 表示。

存在一个至少有一个 ∃3．含有全称量词的命题称为____________；含有存在量词的命题称为___________.全称命题特称命题4．全称命题形式：_____________；特称命题形式：____________ 。

其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。

,()x M p x ∀∈ ,()x M p x ∃∈问题与思考:题1：判断下列命题是全称命题还是特称命题.（1）对任意的n ∈Z, 2n +1 是奇数（2）所有的正方形都是矩形（3）有的平行四边形是菱形（4）有一个素数不是奇数答案：（1）（2）都是全称命题；（3）（4）都是特称命题题2：判断下列命题的真假吗？（1）4,1x N x ∀∈≥有（2）2,10x R x x ∀∈-+>有（3）1,2=+∈∃x x R x 使（4）5,2=∈∃x Z x 使答案：(1) 假命题（2）真命题 (3) 真命题 (4) 假命题[合作学习与问题探究] [难点·疑点·方法]问题1: 你能用符号“∀”与“∃”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零_______________________________________②圆221x y +=上存在一个点到直线1y x =+的距离等于圆的半径____________________________________________________________________ ③基本不等式：________________________________________________④对于数列1n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭，总存在正整数n ,使得n a 与1之差的绝对值小于0.01：解： ①2,0x N x ∀∈≥; ②(){}22(,),/11x y x y x y ∃∈+==③,,2a b a b R ++∀∈≥; ④,10.01n n N a +∃∈-<名师讲析: 一般地，全称命题写成“,()x M p x ∀∈”，特称命题写成“,()x M p x ∃∈”，其中M 为给定的集合，p (x )是一个关于x 的命题。

2025高考数学一轮复习-第3讲-全称量词和存在量词【课件】

C．∃n∈Z，n∈Q
D．∃n∈Z，n∉Q
变式 (2)设命题p：∃x＞0，sin x＞1＋cos x，则¬p为 ( C )
A．∀x≤0，sin x＞1＋cos x B．∀x＞0，sin x＜1＋cos x
C．∀x＞0，sin x≤1＋cos x D．∀x≤0，sin x≤1＋cos x
结合命题真假确定参数
(D )
3．在运动会中，甲、乙、丙参加了跑步、铅球、标枪三个项目，每人参加的
比赛项目不同．已知：①乙没有参加跑步；②若甲参加铅球，则丙参加标枪；③
若丙没有参加铅球，则甲参加铅球. 下列说法正确的为
(A)
A．丙参加了铅球
B．乙参加了铅球
C．丙参加了标枪
D．甲参加了标枪
【解析】由①乙没有参加跑步，知乙参加铅球或标枪．若乙参加铅球，则丙就没有参加铅球，由③可知甲参加铅球，故矛盾，所以乙参加标枪．显然丙没有参加标枪，则丙参加铅球，甲参加跑步．综上可得，甲参加跑步，乙参加标枪，丙参加铅球．
变式 (1) 已知命题 p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0，命题 q：∀x＞0，x＋1x＞a.若 p 假 q
真，则实数 a 的取值范围为 A．(1，＋∞) C．(1，2)
B．(－∞，2] D．(－1，2]
(C )
【解析】因为命题p：∃x∈R，x2＋2x＋a≤0为假命题，所以∀x∈R，x2＋2x＋a＞0为
②当 x∈[0，3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当 x∈[1，2]时，g(x)max＝g(1)＝12－m.对任意的 x1 ∈[0，3]，任意 x2∈[1，2]，有 f(x1)≥g(x2)，等价于 f(x1)min≥g(x2)max，即 0≥12－m，所以 m≥12.
【答案】 14，＋∞

2023年新高考数学一轮复习1-2 全称量词与存在量词、充要条件(真题测试)解析版

专题1.1集合（真题测试）一、单选题1．（2021·天津·高考真题）已知a ∈R ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.2．（2021·北京·高考真题）已知()f x 是定义在上[0,1]的函数，那么“函数()f x 在[0,1]上单调递增”是“函数()f x 在[0,1]上的最大值为(1)f ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系.【详解】若函数()f x 在[]0,1上单调递增，则()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，若()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ，比如()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，但()213f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数，在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数，故()f x 在[]0,1上的最大值为()1f 推不出()f x 在[]0,1上单调递增，故“函数()f x 在[]0,1上单调递增”是“()f x 在[]0,1上的最大值为()1f ”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量,,a b c ，则“a c b c ⋅=⋅”是“a b =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,,,OA a OB b OC c BA a b ====-,当AB OC ⊥时，a b -与c 垂直，，所以成立，此时a b ≠，∴不是a b =的充分条件，当a b =时，0a b -=，∴()00a b c c -⋅=⋅=,∴成立，∴是a b =的必要条件，综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.4．（2021·全国·高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【分析】当0q >时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{}n S 是递增数列时，必有0n a >成立即可说明0q >成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．【详解】由题，当数列为2,4,8,---时，满足0q >，但是{}n S 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{}n S 是递增数列，则必有0n a >成立，若0q >不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则0q >成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B ．5．（2021·全国·高考真题（理））已知命题:,sin 1p x x ∃∈<R ﹔命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p 的真假性，由指数函数的知识确定命题q 的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin0=0，所以命题p 为真命题；由于x y e =在R 上为增函数，0x ≥，所以||01x e e ≥=，所以命题q 为真命题；所以p q ∧为真命题，p q ⌝∧、p q ∧⌝、()p q ⌝∨为假命题.故选：A ．6．（2020·天津·高考真题）设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.求解二次不等式2a a >可得：1a >或0a <，据此可知：1a >是2a a >的充分不必要条件.故选：A.7．（2020·北京·高考真题）已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（）． A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件，必要条件的定义，以及诱导公式分类讨论即可判断.【详解】(1)当存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-时，若k 为偶数，则()sin sin sin k απββ=+=；若k 为奇数，则()()()sin sin sin 1sin sin k k απβππβπββ=-=-+-=-=⎡⎤⎣⎦；(2)当sin sin αβ=时，2m αβπ=+或2m αβππ+=+，m Z ∈，即()()12k k k m απβ=+-=或()()121kk k m απβ=+-=+，亦即存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-．所以，“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的充要条件.故选：C.8．（2018·北京·高考真题（理））设向量,a b 均为单位向量，则“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】因为向量,a b 均为单位向量所以|3||3|a b a b -=+⇔()()2233a b a b -=+ ⇔22226996a a b b a a b b -⋅+=+⋅+⇔169961a b a b -⋅+=+⋅+⇔0a b ⋅=⇔a b ⊥所以“|3||3|a b a b -=+”是“a b ⊥”的充要条件故选：C9．（2019·北京·高考真题（文））设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -进行判断.【详解】 0b = 时，()cos sin cos f x x b x x =+=, ()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-cos sin cos sin x b x x b x +=- ，得0bsinx =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.10．（2019·浙江·高考真题）若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 11．（2019·北京·高考真题（理））设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“AB AC BC +>”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】由题意结合向量的减法公式和向量的运算法则考查充分性和必要性是否成立即可.【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.12．（2007·山东·高考真题（理））命题“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是A ．不存在x ∈R ，3210x x -+≤B ．存在x ∈R ，3210x x -+≤C ．存在x ∈R ，3210x x -+>D ．对任意的x ∈R ，3210x x -+> 【答案】C【解析】【详解】注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．“对任意的x ∈R ，3210x x -+≤”的否定是:存在x ∈R ，3210x x -+>选C.13．（2018·北京·高考真题（理））设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈ B ．对任意实数a ，（2,1）A ∉C ．当且仅当a <0时,（2,1）A ∉D ．当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 【答案】D【解析】【详解】分析：求出(2,1)A ∈及(2,1)A ∉所对应的集合，利用集合之间的包含关系进行求解.详解：若(2,1)A ∈，则32a >且0a ≥，即若(2,1)A ∈，则32a >，此命题的逆否命题为：若32a ≤，则有(2,1)A ∉，故选D. 点睛：此题主要结合充分与必要条件考查线性规划的应用，集合法是判断充分条件与必要条件的一种非常有效的方法，根据,p q 成立时对应的集合之间的包含关系进行判断. 设{|()},{|()}A x p x B x q x ==，若A B ⊆，则p q ⇒；若A B =，则p q =，当一个问题从正面思考很难入手时，可以考虑其逆否命题形式. 14．（2018·浙江·高考真题）已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【详解】 m α⊄，n ⊂α，所以当//m n 时，//m α成立，即充分性成立；当//m α时， //m n 不一定成立，可能是异面直线，故必要性不成立；所以//m n 是//m α的充分不必要条件，故选：A15．（2018·天津·高考真题（理））设R x ∈，则“11||22x -<”是“31x <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【详解】分析：首先求解绝对值不等式，然后求解三次不等式即可确定两者之间的关系. 详解：绝对值不等式1122x -<⇔111222x -<-<⇔01x <<，由31x <⇔1x <. 据此可知1122x -<是31x <的充分而不必要条件. 本题选择A 选项.二、填空题16．（2022·江苏省天一中学高二期中）下列命题正确的是（）A ．命题“2R,10x x x ∃∈++≥”的否定是“2R,10x x x ∀∈++<”B ．0a b +=的充要条件是1b a=- C ．2R,0x x ∀∈> D ．11a b >>，是1ab >的充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据含量词的命题的否定方法判断A ，根据充分条件和必要条件的定义判断B ，D ，根据全称量词命题的真假的判断方法判断C.【详解】命题“2R,10x x x ∃∈++≥”的否定是“2R,10x x x ∀∈++<”，A 对，当0a b 时，0a b +=但b a 不存在，所以0a b +=不是1b a=-的充分条件，B 错，当0x =时，20x =，C 错，由11a b >>，可得1ab >，所以11a b >>，是1ab >的充分条件，D 对，故选：AD.17．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）给定命题:p x m ∀>，都有28x >.若命题p 为假命题，则实数m 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】AB【解析】【分析】命题p 的否定：x m ∃>，28x ≤是真命题. 再把选项取值代入检验即得解.【详解】解：由于命题p 为假命题，所以命题p 的否定：x m ∃>，28x ≤是真命题.当1m =时，则1x >，令22,28x =<，所以选项A 正确；当2m =时，则2x >，令22.5,2.58x =<，所以选项B 正确；当3m =时，则3x >，29x >，28x ≤不成立，所以选项C 错误；当4m =时，则4x >，216x >，28x ≤不成立，所以选项D 错误.故选：AB18．（2022·山东省实验中学模拟预测）已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，则（）A ．若l 与m 不垂直，则l 与α一定不垂直B ．若l 与m 所成的角为30，则l 与α所成的角也为30C ．//l m 是//l α的充分不必要条件D ．若l 与α相交，则l 与m 一定是异面直线【答案】AC【解析】【分析】利用反证法可判断A 选项；利用线面角的定义可判断B 选项；利用线面平行的判定定理和性质可判断C 选项；根据已知条件直接判断l 与m 的位置关系，可判断D 选项.【详解】对于A ，当l 与m 不垂直时，假设l α⊥，因为m α⊂，则l m ⊥，这与已知条件矛盾，因此l 与α一定不垂直，A 正确；对于B 选项，由线面角的定义可知，l 与α所成的角是直线l 与平面α内所有直线所成角中最小的角，若l 与m 所成的角为30，则l 与α所成的角θ满足030θ≤≤，B 错；对于C 选项，若//l m ，m α⊂，l α⊄，则//l α，即l m l α⇒////，若//l α，因为m α⊂，则l 与m 平行或异面，即l m l α⇐/////.所以，//l m 是//l α的充分不必要条件，C 对；对于D 选项，若l 与α相交，则l 与m 相交或异面，D 错.故选：AC.三、填空题19．（2021·江西·丰城九中高二阶段练习）命题“1x ∀>，20x x ->”的否定是_______【答案】1x ∃>,20x x -≤,【解析】【分析】根据全称量词命题的否定即可求解.【详解】“1x ∀>，20x x ->”的否定是:1x ∃>,20x x -≤,故答案为：1x ∃>,20x x -≤,20．（2022·北京·人大附中三模）能够说明“若,,a b m 均为正数，则b m b a m a+>+”是真命题的充分必要条件为___________.【答案】a b >【解析】【分析】利用充分必要条件的定义判断.【详解】解：()()0a b m b m b a m a a a m -+-=>++，因为,,a b m 均为正数，所以a b >，反之也成立，故“若,,a b m 均为正数，则b m b a m a +>+”是真命题的充分必要条件为a b >，故答案为：a b >21．（2022·上海市奉贤中学高二阶段练习）已知n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线，则“l n ⊥”是“l α∥”的________条件（填充分性和必要性）【答案】必要性【解析】【分析】根据l n l α⊥⇒∥或l α⊂，l l n α→⇒⊥∥得出结果.【详解】 n 为平面α的一个法向量，l 为一条直线， l n l α∴⊥⇒∥或l α⊂，l l n α→⇒⊥∥， ∴“l n ⊥”是“l α∥”的必要性.故答案为：必要性四、双空题22．（2021·江苏省天一中学高一期中）已知命题p ：01,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x x λ-+<，则命题p 的否定为___________；若命题p 为真命题，则λ的取值范围为___________.【答案】 1,22x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x x λ-+≥ ()+∞【解析】【分析】利用特称命题的否定为全称命题可写出命题p的否定；命题p为真，将已知变形为1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得12xxλ>+成立，即min12xxλ⎛⎫+⎪⎝⎭>，利用基本不等式求得最小值即可得解.【详解】命题p：01 ,2 2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x xλ-+<为特称命题，特称命题的否定为全称命题，所以命题p的否定为1,22x⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x xλ-+≥命题p为真，即01 ,2 2x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，200210x xλ-+<成立，则1,22x⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，使得12xxλ>+成立，所以min12xxλ⎛⎫+⎪⎝⎭>又12xx+≥=12xx=，即x=min12xx⎛⎫∴+=⎪⎝⎭λ>所以λ的取值范围为()+∞故答案为：1,22x⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，2210x xλ-+≥；λ>。

2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《全称量词与存在量词》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）命题“∃x ∈R ,1<y ≤2”的否定形式是（）A. ∀x ∈R ，1＜y ≤2B. ∃x ∈R ，1＜y ≤2C. ∃x ∈R ，y ≤1或y ＞2D. ∀x ∈R ，y ≤1或y >;22.（5分）分析下列四个命题并给出判断，其中正确的命题个数是( ) ①若a →//b →，则a →=b →； ②若|a →|=|b →|，则a →=b →； ③若|a →|=|b →|，则a →//b →：④若a →=b →，则|a →|=|b →|.A. 0B. 1C. 2D. 33.（5分）如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，D 为B 1C 1的中点，则下列说法正确的是( )A. CC 1与BD 是异面直线B. 几何体A 1DC 1−ABC 为棱台且体积为原棱柱体积的56 C. AC 1//面A 1BD D. CD ⊥平面A 1BD4.（5分）下列说法错误的是( )A. “x >0”是“x ⩾0”的充分不必要条件B. 命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为：“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”C. 若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题D. 命题p ：∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0，则￢p ：∀x ∈R ，均有x 2+x +1⩾0 5.（5分）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题∀x ∈A ，2x ∉B ”的否定是( )A. ∃x ∈A ，2x ∈BB. ∃x ∉A ，2x ∈BC. ∀x ∉A ，2x ∉BD. ∀x ∉A ，2x ∈B6.（5分）{a n }是等比数列，若“m +n =p +q(m,n,p,q ∈N +)”是“a m a n =a p a q ”成立的充分必要条件，则数列{a n }可以是( )①递增数列；②递减数列；③常值数列；④摆动数列A. ①①B. ①①①C. ①①①D. ①①①①7.（5分）有以下几种说法：(l 1、l 2不重合) ①若直线l 1，l 2都有斜率且斜率相等，则l 1//l 2； ②若直线l 1⊥l 2，则它们的斜率互为负倒数； ③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行； ④只有斜率相等的两条直线才一定平行．以上说法中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 08.（5分）下列有关命题的说法错误的是( )A. 若“p ∨q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；B. 若α,β是两个不同平面，m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β；C. “sin x =12”的必要不充分条件是“x =π6”；D. 若命题p ：∃x 0∈R,x 02⩾0，则命题：¬p:∀x ∈R,x 2<0；9.（5分）命题“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是()A. ∃x ∈R ，(x −2)3⩾1B. ∃x ∈R ，(x −2)3<1C. ∀x ∉R ，(x −2)3<1D. ∀x ∈R ，(x −2)3<110.（5分）下列四个命题中正确命题的个数是( ) ①“函数y =sin2x 的最小正周期为π2”为真命题； ②∃x ∈R ，e x ⩽0；③“若a =π4，则tan a =1”的逆否命题是“若tan a ≠1，则a ≠π4”； ④“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x >1”．A. 0B. 1C. 2D. 311.（5分）下列选项中不正确的是( )A. ΔABC 中，A >B ，则sin A >sin B 的逆否命题为真命题；B. 若am 2<bm 2，则a <b 的逆命题为真命题；C. 若p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，则q 是p 充分不必要条件；D. 若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1 12.（5分）下列命题正确的个数为“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02⩽0”；“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题( ) A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）已知命题p ：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0，则命题￢p 为： ______ ． 14.（5分）命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是 ______ ．15.（5分）命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为______．16.（5分）已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；①p是q的充分条件而不是必要条件；①r是q的必要条件而不是充分条件；①￢p是￢q的必要条件而不是充分条件；①r是s的充分条件而不是必要条件．则正确命题序号是______．17.（5分）现有下列四个结论，其中所有正确结论的编号是______．①若0<x<1，则lgx+logx10的最大值为−2；②若a，3a−1，a−1是等差数列{a n}的前3项，则a4=−1；③“2x>3”的一个必要不充分条件是“x>log23”；④若x−y⩽0且x+y⩾4，则x+2y⩾6．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知c>0且c≠1，设命题p：函数y=c x在R上单调递减，命题q：不等式x2−√2x+c>0的解集为R，如果命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数c的取值范围．19.（12分）设命题p：实数m满足使方程x2a−m +y23a−m=1，其中a>0为双曲线：命题q：实数m满足m−3m−2⩽0．(1)若a=1且p∧q为真，求实数m的取值范围；(2)若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．20.（12分）已知命题p：∃x∈R，x2+mx+m+1<0；命题q：已知f(x)=2x，g(x)=x2+1，对∀x1，x2∈[1,2]，使得f(x1)⩽g(x2)+m恒成立．(1)若命题p为真命题，求实数m的取值范围；(2)若“￢p且q”为真命题，求实数m的取值范围21.（12分）已知m∈R，命题p:方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，命题q:∃x∈R,x2+mx+m<0.(1)若命题p为真命题，求m取值范围；(2)若命题p∧q为真命题，求m取值范围．22.（12分）若集合M={x|−3≤x≤4}，集合P={x|2m−1≤x≤m+1}.证明：集合M与P不可能相等.23.（12分）已知命题p:∃x∈(−1,1)，使x2−x−m=0成立，命题q:关于x的方程x2+(m−3)x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1.(1)分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；(2)若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围．四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）下列命题中正确的是()A. “x>1”是“x2+x−2>0”的必要不充分条件B. “x>0”是“x>sin x”的充要条件C. “∀x∈R，(12)x+1>0”是真命题D. “∃x∈R，x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R，x2−x+1<0”25.（5分）下列命题为真命题的是()A. 若p:∃n∈N,n2>2n，则¬p:∀n∈N,n2<2n；B. 若a>b>0,c<d<0，则ad <bc；C. 使不等式1+1x>0成立的一个充分不必要条件是：x<−1或x>1；D. 若a i,b i,b i(i=1,2)是全不为0的实数，则“a1a2=b1b2=c1c2”是“不等式a1x2+b1x+c1>0和a2x2+b2x+c2>0解集相等”的充分不必要条件26.（5分）下列四种说法中正确的有()A. 命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定是“∃x∈R，3x<x2+1”；B. 若不等式ax2+bx+1>0的解集为\left{ x|−1<x<3}，则不等式3a x2+6bx+5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)；C. 复数z满足|z−2i|=1，z在复平面对应的点为(x,y)，则x2+(y−2)2=1D. 已知p：12⩽x⩽3，q：x2-(a+1a)x+1①0(a>0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)27.（5分）下列四个结论，其中错误的是()A. 若点P(a,2a)(a≠0)为角α终边上一点，则sinα=2√55；B. 命题“存在x0∈R,x02−x0>0”的否定是“∀x∈R，x2−x⩽0；C. 若函数f(x)在(2019,2020)上有零点，则f(2019).f(2020)<0；D. “lo g a b>0(a>0且a≠1)”是“a>1,b>1”的必要不充分条件．28.（5分）下列命题中真命题是()A. “∃x0∈R，2x0⩽0”的否定B. ∀x∈R，lg(x2+1)⩾0C. 若x>0，则x2>xD. 若x<y，则x2<y2答案和解析1.【答案】D; 【解析】略2.【答案】B;【解析】解：对于选项①若a →//b →，则a →=b →；向量的共线不等于向量相等，但向量相等向量一定共线．故错误．对于选项 ②若|a →|=|b →|，则a →=b →；向量的模长相等，但向量不一定相等，故错误，对于选项③若|a →|=|b →|，则a →//b →：向量的模长相等，向量不一定共线．故错误．对于选项④若a →=b →，则|a →|=|b →|.向量相等，向量的模长一定相等．故：④正确．故选：B ．直接利用向量的摸．向量的共线之间的关系求出结果．该题考查的知识要点：向量的共线和向量的模的定义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．3.【答案】C;【解析】解：对于A ，由D 为B 1C 1的中点，延长CC 1与BD ，交于一点O ，如图1所示；所以CC 1与BD 不是异面直线，A 错误；对于B ，几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台，因为它们的侧棱不能都交于一点，B 错误；对于C ，连接AB 1，交A 1B 于点M ，连接DM ，如图所2示，则DM//C 1A ，所以AC 1//面A 1BD ，C 正确；对于D ，若CD ⊥平面A 1BD ，则CD ⊥DB ，由题意知，CD ⊥BD 不一定成立，D 错误．故选：C ．A ，延长CC 1与BD 交于一点，CC 1与BD 是共面直线；B ，由题意知几何体A 1DC 1−ABC 不是棱台；C，连接AB1交A1B于点M，连接DM，由DM//C1A证明AC1//面A1BD；D，CD⊥DB不一定成立，不能得出CD⊥平面A1BD．此题主要考查了空间中的平行与垂直关系应用问题，是综合题．4.【答案】C;【解析】这道题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，考查学生的运算和推理能力，为基础题．A.根据充分条件和必要条件的定义进行判断，B.根据逆否命题的定义进行判断，C.根据复合命题真假关系进行判断，D.根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．解：A.“x>0”是“x⩾0”的充分不必要条件，正确，故A正确，B.命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2−3x+2≠0”，故B正确，C.若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，故C错误，D.命题p：∃x∈R，使得x2+x+1<0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1⩾0，故D正确，故错误的是C，故选C．5.【答案】A;【解析】解：全称命题的否定是特称命题，则命题的否定是∃x∈A，2x∈B，故选：A．根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．这道题主要考查含有量词的命题的否定，结合全称命题的否定是特称命题是解决本题的关键．6.【答案】C;【解析】解：数列{a n}是等比数列，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则一定有a m a n=a p a q；即对于任意等比数列，一定有“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分条件，反之，在等比数列{a n}中，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的必要条件，即由a m a n=a p a q，一定得到m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)，则等比数列的公比不等于1，如数列2，2，2，…，由a2a3=a5a6=4，不能得到2+3=5+6．∴数列{a n}可以是①递增数列；②递减数列；④摆动数列；不能是③常值数列．故选：C．由等比数列的性质结合充分必要条件的判定可知，若“m+n=p+q(m,n,p,q∈N+)”是“a m a n=a p a q”成立的充分必要条件，则数列{a n}不可以是常值数列．该题考查充分必要条件的判断及应用，考查等比数列的性质，是中档题．7.【答案】B;【解析】解：①若直线l1，l2都有斜率且斜率相等，l1//l2；所以①正确；②若直线l1⊥l2，则它们的斜率互为负倒数；显然必须两条直线的斜率存在的前提下是正确的；所以②不正确；③两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；正确；④只有斜率相等的两条直线才一定平行．不正确；当两条直线的倾斜角是90°时，直线没有斜率，但是平行．故选：B．利用直线的平行于斜率截距的关系判断命题的真假即可．该题考查直线的斜率与直线平行的关系，明确两条直线是指两条直线不重合的情况，考查命题的真假的判断．8.【答案】C;【解析】此题主要考查的知识点是命题的真假判断与应用，复合命题，充要条件，特称命题的否定，难度不大，属于基础题．根据复合命题真假判断的真值表，可判断A；根据面面垂直的判定定理，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；根据特称命题的否定，可判断D.解：若“p ∨q ”为假命题，则p ，q 均为假命题，故A 正确；根据面面垂直的判定定理可得B 正确；“sin x =12”时，“x =π6”不一定成立，“x =π6”时，“sin x =12”成立，故“sin x =12”的充分不必要条件是“x =π6”，故C 错误；若命题p ：∃x 0∈R ，x 02⩾0，则命题¬p ：∀x ∈R ，x 2<0，故D 正确；故选C.9.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R ，(x −2)3⩾1”的否定是∃x ∈R ，(x −2)3<1. 故选：B.任意改存在，将结论取反，即可求解．此题主要考查全称命题的否定，属于基础题．10.【答案】B;【解析】解：对于①，函数y =sin2x 的最小正周期是T =π，∴命题①错误；对于②，∀x ∈R ，e x >0是真命题，∴该命题的否定是假命题，∴命题②错误；对于③，根据“若p ，则q ”的逆否命题是“若￢q ，则￢p”判定命题③正确；对于④，“∃x ∈R ，x >1”的否定是“∀x ∈R ，x ⩽1”，∴命题④错误． ∴正确的命题的序号是③；故选：B ．①中，求出函数y =sin2x 的最小正周期，判定命题①是否正确； ②中，由命题与命题的否定必一真一假，可以判定命题②是否正确； ③中，根据逆否命题的书写，判定③是否正确；④中，根据特称命题的否定是全称命题，判定④是否正确．本题通过命题真假的判定，考查了正弦函数的周期性，命题的否定，逆否命题等问题，解题时应对每一个选项仔细分析，以便作出正确的选择．11.【答案】B; 【解析】此题主要考查了命题的逆命题、逆否命题、全称量词命题的否定、充分条件、必要条件的判断，属于基础题.解题时根据命题的关系、充分条件、必要条件的定义、全称量词命题的否定的定义，逐一判断即可确定结论.解：因为ΔABC 中，A >B ⇒a >b ⇒sin A >sin B ，所以其逆否命题为真命题，A 正确; “若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，当m =0时am 2<bm 2不成立，所以B 不正确；因为p:x ≠2或y ≠6，q:x +y ≠8，所以¬p:x =2且y =6，¬q:x +y =8，因此¬p 是¬q 的充分不必要条件，从而q 是p 充分不必要条件，C 正确；若p ：∀x ∈R ，cos x ⩽1，则¬p ：∃x ∈R ，cos x >1，D 正确. 故选B.12.【答案】B;【解析】解：“∀x ∈R 都有x 2⩾0”的否定是“∃x 0∈R 使得x 02<0”，故第一个命题错误；由x ≠3⇔x ≠3，故“x ≠3”是“x ≠3”成立的充要条件，故命题“x ≠3”是“x ≠3”成立的充分条件错误；命题“若m ⩽12，则方程mx 2+2x +2=0有实数根”的否命题为：“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”．∵方程mx 2+2x +2=0的判别式Δ=4−8m ，当m >12时，Δ<0，方程无实根，故命题“若m >12，则方程mx 2+2x +2=0无实数根”为真命题．∴正确命题的个数是1个．故选：B ．写出全程命题的否定判断第一个命题的真假；由互为充要条件的判定方法判断第二个命题的真假；写出命题的否命题判断第三个命题的真假．该题考查命题的真假判断与应用，考查了命题的否定与否命题，考查充分必要条件的判断方法，是基础题．13.【答案】∃x ∈R ，x 2+x +1<0;【解析】解：命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，否定时将量词对任意的x ∈R 变为∃x ∈R ，再将不等号⩾变为<即可．故答案为：∃x ∈R ，x 2+x +1<0命题“：∀x ∈R ，x 2+x +1⩾0”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．该题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属基本知识的考查．注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．14.【答案】∀x ∈R ，x >1;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x ∈R ，x ⩽1”的否定是：∀x ∈R ，x >1．故答案为：∀x ∈R ，x >1．特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．15.【答案】任意实数x ，都有x 2+x+1≥0;【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R ，x 02+x 0+1<0”的否定为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0．故答案为：任意实数x ，都有x 2+x +1⩾0．利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．该题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．16.【答案】①②④;【解析】解：根据传递性(如图)可得：对于①，s 是q 的充要条件，故正确；对于，①p 是q 的充分条件而不是必要条件，故正确；对于，①r 是q 的充要分条件，故错；对于④，q 是p 的必要条件而不是充分条件，可得￢p 是￢q 的必要条件而不是充分条件，故正确；对于⑤，r 是s 的充要条件，故错．故答案为：①①①．画出关系图，根据传递性可得答案．该题考查了充分条件、充要条件的传递性，属于中档题，17.【答案】①④;【解析】解：若0<x <1，则lgx <0，lgx +lo g x 10=lgx +1lgx =−(−lgx +1−lgx )⩽−2，当且仅当x =110时，等号成立，所以①正确；若a ，3a −1，a −1是等差数列{a n }的前3项，则a +a −1=2(3a −1)⇒a =14， a 4=2(a −1)−(3a −1)=−54，所以②不正确；因为lo g 23=lo g 49>lo g 48=32，所以③不正确；作出不等式组{x −y ⩽0,x +y ⩾4，表示的可行域，由图可知，当直线z =x +2y 经过点(2,2)时，z 取得最小值6，故z ⩾6.所以④也正确．故所有正确结论的编号是①①．故答案为：①①．利用基本不等式判断①；等差数列的通项公式求解判断②；充要条件判断③；线性规划判断④，推出结果．本题以命题的真假判断为载体，考查了线性规划以及充要条件，基本不等式以及数列的应用，难度不大，属于中档题．18.【答案】解：若命题p：函数y=c x在R上单调递减，是真命题，则有0＜c＜1；若命题q：不等式x2−√2x+c＞0的解集为R，是真命题，则有△=2-4c＜0，得c＞12∵命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴两命题必为一真一假若p真q假，则有0＜c≤12若p假q真，则有c＞1综上，实数c的取值范围是0＜c≤12或c＞1;【解析】此题是由命题的真假求参数的题目，可先求出每个命题为真时的参数的取值范围，再根据命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，判断出两个命题的真假关系，从而确定出实数c的取值范围该题考查命题的真假判断与应用，解答该题的关键是理解“命题“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题”，进行正确转化，求出实数c的取值范围，解答过程中能正确对两个命题中c的范围正确求解也很关键，本题涉及到了指数的单调性，一元二次不等式的解的情况，或命题，且命题等，综合性较强19.【答案】解：（1）由方程x2a−m +y23a−m=1，其中a＞0为双曲线，得（3a-m）（a-m）＜0，又a＞0，所以a＜m＜3a，当a=1时，1＜m＜3，即p为真时，实数m的取值范围是1＜m＜3；q为真时实数m满足m−3m−2≤0．即q为真时实数m的取值范围是2＜m≤3；若p∧q为真，则p真且q真，所以实数m的取值范围是2＜m＜3．（2）若￢p是￢q的的充分不必要条件，即q是p的的充分不必要条件，即等价于q⇒p，p推不出q；设A={m|a＜m＜3a}，B={m|2＜m≤3}，则B⫋A；则a≤2，且3a＞3，所以实数a的取值范围是：{a|1＜a≤2}．;【解析】(1)若a=1，则p：1<m<3.q为真时实数m的取值范围是2<m⩽3；根据p∧q为真，可得实数m的取值范围．(2)利用￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．这道题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用逆否命题的等价性将￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件是解决本题的关键，属于中档题．20.【答案】解：（1）因为p为真命题，所以△=m2-4（m+1）＞0，解得m＞2+2√2或m＜2-2√2；（2）若q为真命题，则f（x）max≤g（x）min+m，即4≤2+m，所以m≥2，若￢p为真命题，所以2-2√2≤m≤2+2√2，综上m∈[2，2+2√2]．;【解析】(1)∃x∈R，x2+mx+m+1<0⇔Δ=m2−4(m+1)>0，解不等式即可；(2)若q为真命题，则f(x)max⩽g(x)min+m，求出m⩾2，若￢p为真命题，所以2−2√2⩽m⩽2+2√2，取交集即可．该题考查命题真假判断与应用，属于中档题．21.【答案】解：(1)若方程S=ab=2表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即−1<m<1，即p：−1<m<1.(2)若命题q为真命题，则判别式Δ=m2−4m>0，即m>4或m<0，由(1)知p：−1<m<1.若命题{(y=kx+mx2 4+y2=1)为真命题，则命题p,q都为真命题，即{(−1<m<1m>4或m<0)，得−1<m<0，即m取值范围是(−1,0).;【解析】此题主要考查复合命题的真假应用，求出命题的等价条件是解决本题的关键．(1)根据方程x2m+1+y2m−1=1表示双曲线，则(m+1)(m−1)<0，即可求解m范围．(2)求出q为真时m的范围，若命题p∧q为真命题，则命题p，q都为真命题，建立关于m的不等式组，求解即可．22.【答案】证明：假设集合M=P ，则-3=2m-1，且4=m+1，即m=-1，且m=3，这不可能.故假设不成立，即集合与P 不可能相等.;【解析】略23.【答案】解：(1)当命题p 为真时，方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，当x ∈(−1,1)时，(x 2−x)∈[−14,2),∴m ∈[−14,2)；当命题q 为真时，f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，即2m −2<0，解得m <1.(2)若命题p 为真，同时命题q 为假，则{−14⩽m <2m ⩾1，若命题p 为假，同时命题q 为真，则{m <−14或m ⩾2m <1，所以当命题p 与命题q 一真一假时，m ∈[1,2)∪(−∞,−14).;【解析】此题主要考查命题的真假判断，考查二次函数的图象及性质，考查分析问题解决问题的能力及分类讨论的数学思想，属基础题．(1)命题p 为真时，该命题等价于方程m =x 2−x 在(−1,1)有解，进而得到m 的取值范围，命题q 为真时，该命题等价于f(x)=x 2+(m −3)x +m 满足f(1)<0，进而得解；(2)命题p 与命题q 一真一假，则分命题p 为真，同时命题q 为假，及命题p 为假，同时命题q 为两种情况讨论即可．24.【答案】BC;【解析】此题主要考查不等式，充分、必要、充要条件，命题真假判断，存在命题的否定，基础题型.由不等式及充分、必要条件判断A ，利用导数研究单调性判断B ，由指数函数性质判断C ，由存在命题的否定判断D.【解析】解：A.由“x 2+x −2>0”解得x <−2，或x >1，∴“x >1”是“x 2+x −2>0”的充分不必要条件，A 错误；B.令f (x )=x −sin x ，则f′(x )=1−cos x ⩾0，即f (x )=x −sin x 在R 内单调递增，所以，当x >0时，f (x )=x −sin x >f(0)=0，即x >sin x ；同理，当x >sin x 时，则f (x )=x −sin x >0，又f (0)=0，则x >0，∴“x>0”是“x>sin x”的充要条件，B正确.C.由指数函数性质知(12)x恒大于0，∴(12)x+1恒大于0，即对任意x，均成立.∴C正确.D.“∃x∈R,x2−x+1>0”的否定是：“∀x∈R,x2−x+1⩽0”，D错误.故选BC25.【答案】BC;【解析】此题主要考查了命题的真假判断，包含存在性命题的否定、不等式大小比较、充要条件等，知识的覆盖面比较广，考查了学生综合运用知识的能力和推理论证能力，属于中档题．由存在性命题的否定可判断A；由不等式的性质及作差法可判断B；根据不等式解集和充分必要条件，即可判断C；找反例，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，当m<0时，充分性不成立，即可判断D.解：对于A，命题p：∃n∈N，n2>2n的否定为∀n∈N，n2⩽2n，即A错误；对于B，因为c<d<0，所以−c>−d>0，又a>b>0，所以−ac>−bd>0，即ac<bd.所以ad −bc=ac−bddc<0，即B正确;对于C，不等式的解集为{ x|x<−1或x>0}⫌{ x|x<−1或x>1}，故C正确.对于D，设a1a2=b1b2=c1c2=m(m≠0)，则a1=ma2，b1=mb2，c1=mc2，所以不等式a1x2+b1x+c1>0等价为m(a2x2+b2x+c2)>0，当m<0时，有a2x2+b2x+c2<0，显然与a2x2+b2x+c2>0的解集不相同，所以不是充分条件，即D错误.故选BC.26.【答案】BCD;【解析】此题主要考查命题的否定，考查充分条件的应用，考查复数的模和几何意义，属于中档题．选项A：根据全称命题的否定的概念可判断选项A的正误．选项B：由一元二次不等式与相应方程的关系可求出a，b，即可求解出不等式3a x2+6bx+5<0的解集．选项C：运用复数的模，复数的几何意义即可求解．选项D：化简条件p和q，由条件列出不等式组，即可解出实数a的取值范围．解：选项A：命题“∀x∈R，3x>x2+1”的否定应该是“∃x0∈R，3x0⩽x02+1”，故选项A错误；选项B ：因为不等式ax 2+bx +1>0的解集为{ x |−1<x <3}，所以方程ax 2+bx +1=0的两个根为−1和3，且a <0，则{−b a =21a =−3，解得{a =−13b =23，所以不等式3a x 2+6bx +5<0可化为：−x 2+4x +5<0，即x 2−4x −5>0，解得x <−1或x >5，所以不等式3a x 2+6bx +5<0的解集为(−∞,−1)∪(5,+∞)，故选项B 正确；选项C ：∵z 在复平面对应的点为(x,y )，∴z =x +yi ，∴z −2i =x +(y −2)i ，∴|z −2i |=√x 2+(y −2)2=1，即x 2+(y −2)2=1，故C 正确；由x 2−(a +1a )x +1⩽0(a >0)得到：(x −a)(x −1a )⩽0，当a ⩾1时，a >1a ，所以有q:1a ⩽x ⩽a ，由题意可得：{1a ⩽12a ⩾3，解得a ⩾3；当0<a <1时，a <1a ，所以有q:a ⩽x ⩽1a ，由题意可得：{a ⩽121a⩾3，解得0<a ⩽13，因此，实数a 的取值范围是(0,13]∪[3,+∞)，故选项D 正确．故选BCD .27.【答案】AC;【解析】此题主要考查三角函数、全称量词与存在量词、函数与方程以及充分条件与必要条件.逐一分析选项即可得解.解：A.当a <0时，sinα=√a 2+(2a )2=−√5a =−2√55，A 错误； B.带量词命题的否定需要将命题的结论进行否定，且将存在量词和全称量词互换，所以B 正确；C.例如函数f(x)=(x −2019.1)(x −2019.9)，此时f(x)在(2019,2020)上有两个零点x 1=2019.1,x 2=2019.9，但f(2019).f(2020)>0，故C 错误；D.对充分性和必要性分别进行考虑：充分性：取a =0.5，b =0.5，则log a b >0，但此时“a >1，b >1"不成立，所以充分性不成立，必要性：当a >1，b >1时，log a b >0，所以必要性成立，D 正确.故错误的为AC ，故答案为AC.28.【答案】AB;【解析】此题主要考查了命题的真假，考查了推理能力，属于基础题.根据题意，逐项判断，即可得答案.解：对于A，“∃x0∈R，2x0⩽0”为假命题，故“∃x0∈R，2x0⩽0”的否定为真命题；对于B，lg(x2+1)⩾lg1=0，故“∀x∈R，lg(x2+1)⩾0”为真命题；对于C，当0<x<1时，x2<x，故“若x>0，则x2>x”为假命题；对于D，取x=−1,y=0，则x2>y2，故“若x<y，则x2<y2”为假命题．故选AB.。

高考数学专项：全称量词与存在量词(讲义)原卷版

1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ，x p 读作：对任意x 属于M ，有 x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y 是无理数}，3x 是无理数.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ，11 x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ，x p 读法：存在M 中的元素x ，使得 x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ．例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x R ；（2）N x ，14 x （3）3,1x x Z ；（4）2,3x x Q ．变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x R ；（2）2,x x x R ；（3）2,80x x Q ；（4）2,20x x R ．3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p （2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ”的否定是（）A ．01xB ．01xC ．01xD ．01x 变式5-1命题“(0,1),x 20x x ”的否定是（）A ．0(0,1),x 2000x x B ．0(0,1),x 2000x x C ．0(0,1),x 2000x x D ．0(0,1),x 2000x x 变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数例6命题“0R x ，20010x x ”的否定是（）A ．R x ，210x x B ．R x ，210x x C ．R x ，210x x D ．R x ，210x x变式6-1已知命题:N,21000n P n ，则P 为（）A ．N,2100n n B ．N,21000n n C ．N,21000n n D ．N,21000n n 变式6-2若命题 2000:3,3,210p x x x ，则命题p 的否定为（）A ． 23,3,210x x x B ． 2,33,,210x x x C ． 2,33,,210x x x D ． 20003,3,210x x x 变式6-3写出下列各题中的p ：（1）:,10p x Z x ；（2）:,20p x Q x ；（3）2:,10p x R x ；（4）2:,10p x R x .考点4.全称量词命题和存在量词命题的综合问题例7是否存在整数m ，使得命题“x R ，221m m x x ”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．例8已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ，使不等式2220x ax a 成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．变式8-1命题p ：任意x R ,2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x R ,2x +410mx +<成立.（1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;变式8-2命题:p 存在实数x R ，使得方程2210ax x +-=成立。

专题05 全称量词与存在量词(讲)(解析版)

专题05全称量词与存在量词（讲）1．全称量词与全称命题(1)短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题．(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：∀x∈M，p(x)．(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义．3．存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题．(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，∃x0∈M，p(x0)．(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示个别或一部分的含义．4．命题的否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0)，全称命题的否定是特称命题．(2)特称命题p：∃x0∈M，p(x0)，它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x)，特称命题的否定是全称命题．5．常见的命题的否定形式有：1．命题“对任意x∈R，都有221+<”的否定是（）x xA．对任意x∈R，都有221+≥x x+>B．对任意x∈R，都有221x xC．存在x∈R，使得221+≥x xx x+>D．存在x∈R，使得221【答案】D【解析】解：命题“对任意x∈R，都有221+≥.x xx x+<”的否定是存在x∈R，使得221故选：D.2．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）A ． x R ∀∈，0x >B ． x R ∃∈，0x >C ．x R ∀∈，0x ≤D ．x R ∃∈，0x ≤【答案】C 【解析】命题“有些实数的绝对值是正数”的否定应该是“所有实数的绝对值都不是正数”，所以正确选项为C. 3．下列命题含有全称量词的是（ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.4．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（） A ．斜三角形的内角是锐角或钝角 B ．至少有一个实数x ，使30x > C ．任一无理数的平方必是无理数 D ．存在一个负数x ，使12x> 【答案】B【解析】选项A ，C 中的命题是全称命题,选项D 中的命题是特称命题，但是假命题．只有B 既是特称命题又是真命题,选B.5．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．13a ≤≤B ．13a ≤≤－C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－【答案】B【解析】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B.重要考点一：全称命题与特称命题的判定【典型例题】判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)对所有的实数a ，b ，关于x 的方程ax ＋b ＝0恰有唯一解． (2)存在实数x ，使得213234x x =-+ . 【答案】（1）假命题；（2）假命题.【解析】(1)该命题是全称命题．当a ＝0，b≠0时方程无解，故该命题为假命题． (2)该命题是特称命题．∵x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2≥2，∴21132324x x ≤<-+. 故该命题是假命题．【题型强化】把下列定理表示的命题写成含有量词的命题: (1)勾股定理; (2)三角形内角和定理.【答案】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和; (2)所有三角形的内角和都是180°. 【解析】(1)任意一个直角三角形,它的斜边的平方都等于两直角边的平方和； (2)所有三角形的内角和都是180°.【收官验收】用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】 (1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.【名师点睛】1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．重要考点二：全称命题与特称命题的真假判断【典型例题】写出下列命题的否定，并判断所得命题的真假：（1）任意实数都存在倒数；（2）存在一个平行四边形，它的对角线不相等；（3）{|x x x ∀∈是三角形},x 的内角和是180︒. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.【解析】（1）存在一个实数不存在倒数，例如:实数0,故此命题为真命题；（2）所有平行四边形的对角线相等，例如：边长为1,一个内角为60的菱形,其对角线分别为,故此命题为假命题；（3）{|x x x ∃∈是三角形},x 的内角和不是180︒，由三角形的内角和定理知,任意三角形内角和均为180︒,故此命题为假命题.【题型强化】判断下列存在量词命题的真假：（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；（2）至少有一个整数n ，使得2n n +为奇数；（3）{|x y y ∃∈是无理数}，2x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）真命题【解析】（1）真命题，因为正方形的两条对角线互相垂直；（2）假命题，因为若n 为整数，则(1)n n +必为偶数；（3）真命题，因为π是无理数，2π是无理数. 【收官验收】判断下列全称量词命题的真假：（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数. 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题【解析】（1）真命题.连接一条对角线，将一个四边形分成两个三角形，而一个三角形的内角和180°，所以四边形的内角和都是360°是真命题；（2）假命题.因为负数没有算术平方根，所以任何实数都有算术平方根是假命题；（3）假命题，因为x =3x 2=是有理数，所以{|x y y ∀∈是无理数}，3x 是无理数是假命题. 【名师点睛】 1.全称命题的真假判断要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M 中的每个元素x 验证p (x )成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M 中的一个x ＝x 0，使得p (x 0)不成立即可． 2．特称命题的真假判断要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M 中，找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．重要考点三：利用全称命题和特称命题的真假求参数范围【典型例题】若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .【题型强化】若“x ∃∈R ，220x x a +-<”是真命题，则实数a 的取值范围是____．【答案】{|1}a a【解析】若“∃x ∈R ，x 2+2x ﹣a ＜0”是真命题，则△＞0，即4+4a ＞0，解得a ＞﹣1．故答案为{}1a a -【收官验收】已知命题:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++.若p 与q 均为假命题，求实数a 的取值范围. 【答案】[0,1] 【解析】:p x R ∀∈，2210ax x ++≠，:q x R ∃∈，210ax ax ++，:p x R ∴⌝∃∈，2210ax x ++=，:q x R ⌝∀∈，210ax ax ++>.因为p 与q 均为假命题，所以p ⌝与q ⌝都是真命题.由p ⌝为真命题得0a =或0,440,a a ≠⎧⎨-≥⎩，故1a ≤.由q ⌝为真命题得0a =或20,40,a a a >⎧⎨-<⎩，故04a ≤<.1,04,a a ⎧∴⎨<⎩解得01a ≤≤. 故实数a 的取值范围是[0,1].重要考点四：全称命题、特称命题的否定【典型例题】命题“0x ∀>，20x >”的否定是（） A ．20,0x x ∀>≤ B ．20,0x x ∃>≤ C ．20,0x x ∀≤≤ D ．20,0x x ∃≤≤【答案】B【解析】命题“0x ∀>，20x >”的否定是: 20,0x x ∃>≤,故选B【题型强化】命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠【解析】根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“x R ∃∈，210x x -+=”的否定是“”.【收官验收】写出下列命题的否定：（1）分数是有理数；（2）三角形的内角和是180°. 【答案】（1）存在一个分数不是有理数；（2）有些三角形的内角和不是180°. 【解析】（1）原命题省略了全称量词“所有"，所以该命题的否定：存在一个分数不是有理数. （2）原命题省略了全称量词“任何一个”，所以该命题的否定：有些三角形的内角和不是180°. 【名师点睛】1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．重要考点五：利用全称命题与特称命题求参数的取值范围【典型例题】已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．【答案】(3,)-+∞【解析】由题意知，命题p 为真命题，即2220x ax a ++->在[1,2]上有解，令222y x a a x ++=-，所以max 0y >，又因为最大值在1x =或2x =时取到，∴只需1x =或2x =时，0y >即可，∴1220a a ++->或4420a a ++->，解得3a >-或2a >-，即3a >-．故实数a 的取值范围为(3,)-+∞．【题型强化】若命题“12x ∀≤≤，一次函数y x m =+的图象在x 轴上方”为真命题，求实数m 的取值范围．【答案】{}1m m >-【解析】当12x ≤≤时，12m x m m +≤+≤+．因为一次函数y x m =+的图象在x 轴上方，所以10m +>，即1m >-，所以实数m 的取值范围是{}1m m >-．故得解.【收官验收】已知命题:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立. （1）若命题P 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）命题:q 任意实数[]1,2x ∈，使2210x ax -+≤恒成立.如果p ，q 都是假命题，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(][),22,-∞-+∞；（2）52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】解：（1）:p 存在实数x ∈R ，使210x ax -+≤成立2402a a ≥⇔=-⇔≤∆-或2a ≥，∴实数a 的取值范围为(][),22,-∞-+∞；（2）:q 任意实数[]1,2x ∈，使12a x x ≥+恒成立，[]1,2x ∈，1522x x ∴≤+≤，55224a a ≥∴⇒≥，由题p ，q 都是假命题，那它们的补集取交集()552,2,2,44⎛⎫⎛⎫--∞=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴实数a 的取值范围52,4⎛⎫- ⎪⎝⎭.【名师点睛】(1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．。

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第3节全称量词与存在量词
基础巩固题组
（建议用时：30分钟）
一、单项选择题
1．下列命题是真命题的是（）
A ．
3x x x ∀∈R ，…B ．
2+12x x x ∃∈<R ，
C ．(0)x y x y ∀∈+∞+>，，，
D ．
sin()sin sin x y x y x y ∃∈+=-R ，，2．以下四个命题，既是存在量词命题又是真命题的是（
） A ．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B ．至少有一个实数，使
x 20x …C ．两个无理数和必是无理数
D ．存在一个负数，使
x 1
2x >3．命题“”的否定是（）
000(0)ln 1x x x ∃∈+∞=-，，A ．
(0)ln 1x x x ∀∈+∞≠-，，B ．
(0)ln 1x x x ∀∉+∞=-，，C ．
000(0)ln 1x x x ∃∈+∞≠-，，D ．
000(0)ln 1x x x ∃∉+∞=-，，4．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是（
）
A ．所有不能被2整除的数都是偶数
B ．所有能被2整除的数都不是偶数
C ．存在一个不能被2整除的数是偶数
D ．存在一个能被2整除的数不是偶数
5．命题，若命题的否定是真命题，则实数的取值范围是210p x ax ax ∀∈++R ：，…p a （）
A ．
B ． (04]，
[04]，C ．D ． (0][4)-∞+∞ ，
，(0)(4)-∞+∞ ，，6．若对于函数有意义，则实数的取值范围是x ∀∈R ，2lg(43)y mx mx m =-++m （）
A ．
B ． (01)，
(01]，C ．D ． [01)，
[01]，二、多项选择题
7．下列存在量词命题中假命题是（）
A ．有的有理数是无限不循环小数
B ．有的等比数列的公比是常数数列
C ．有些圆的内接四边形的对角不互补
D ．有些不相似的三角形面积相等
8．已知函数，则下列命题是真命题的是（） ln ()x f x x
=A ．
00()1x f x ∃∈>R ，B ． [1)()0x f x ∀∈+∞，
，…C ． 121212
()()(1e)0f x f x x x x x -∃∈<-，，，D ．
1212(e )(1e)()()x x f x f x ∀∈+∞∃∈=，，，，三、填空题
9．已知命题，则命题的否定为________________． p x ∃∈R ：
，(1)e 1x x +>p 10．若命题“”为假命题，则实数的取值范围是________．
2(1)10x x a x ∃∈+-+<R ，a 11．若命题“”为真命题，则实数的取值范围是
2[11](1)20a x a x a ∀∈--++>，，x ________．
12．已知函数，，对任意的有2()23f x x x =-+2()log g x x m =+12[14]x x ∈，，12()()
f x
g x >恒成立，则实数的取值范围是________．
m
能力提升题组
（建议用时：10分钟）
13．已知命题不等式；命题不等式
[11]p m ∀∈-：，，253a a --…q x ∃∈R ：，，若是真命题，是假命题，求实数的取值范围．
220x ax ++<p q a
14．已知命题方程有两个不相等的负实根；命题不等式
p ：210x mx ++=q ：的解集为．若命题和有且只有一个是真命题，求实数244(2)10x m x +-+>R p q m 的取值范围．
15．已知命题与命题都是21[12]ln 02
p x x x a ∀∈--：，，…20002860q x x ax a ∃∈+--=R ：，真命题，求实数的取值范围．
a
16．设函数，若对任意，总存在，使得22()f x ax x
=-1(,0)x ∈-∞2[2,)x ∈+∞，求实数a 的取值范围．
21()()f x f x …
第3节全称量词与存在量词
1．D 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．AC 8．BD
9．(1)e 1x x x ∀∈+R ，
… 10．13a -……【解析】2(1)10x x a x ∀∈+-+R ，…为真命题，所以2(1)40a ∆=--…，解得13a -……．
11．()-∞-+∞ ，【解析】令2()(2)f a x a x x =-+-，则对于
[11]()0a f a ∀∈->，，，只要22(1)20(1)220
f x f x x ⎧-=->⎪⎨=-+>⎪⎩，解得x <或x >． 12．0m <【解析】因为对任意的12[14]x x ∈，
，有12()()f x g x >恒成立，所以min max ()()f x g x >．2()(1)2f x x =-+在[14]，递增，min ()(1)2f x f ==；
2()log g x x m =+在[14]，
递增，max ()(4)2g x g m ==+，由22m >+，得0m <．
13．解：因为[11]m ∈-，3]，由253a a --…3，得0a …或5a …．因为q 是假命题，所以220q x x ax ⌝∀∈++R ：
，…，280a ∆=-…，解得
a -…．
综上，实数a 的取值范围是[0]-． 14．解：若p 为真命题，则2400m m ⎧∆=->⎨-<⎩
，解得2m >；若q 为真命题，则216(2)160m ∆=--<，解得13m <<；因为命题p 和q 有且只有一个是真命题，若
p 真q 假，则213m m m >⎧⎨⎩
或……，所以3m …；若p 假q 真，则213
m m ⎧⎨<<⎩…，所以12m <…．综上，实数m 的取值范围为(12][3)+∞ ，，． 15．解：命题p 为真命题，令21()ln 2
f x x x a =--，则211'()x f x x x x -=-=，'()0f x …在[12]x ∈，恒成立，所以()f x 在[12]，上递增，min 1()(1)02f x f a ==-…，所以12
a …．命题q 为真命题，则244(86)0a a ∆=++…，所以4a -…或2a -…．综上，实数a 的取值范围为1(4][2]2
-∞-- ，，． 16．解：（1）当a ＝0时，2()f x x
=为偶函数，()f x 在(0)-∞，递增，在(0)+∞，递减，
对任意1(,0)x ∈-∞，总存在2[2,)x ∈+∞，使得21()()f x f x …显然成立．
（2）当a ＜0时，22()0f x ax x
=-=，得唯一的零点0x =<，而2[2,)x ∈+∞时，总有2()0f x >，所以21()()f x f x …不是总成立的，故不符合；
（3）当a ＞0时，()f x 有唯一的零点：0x =>，
① 2，即104
a <…时，显然符合题意；
② 当0＜＜2，即14a >时，因x>2或x ＜0时，都有220ax x
->，所以22()f x ax x =-
，显然()f x 在［2，＋∞）递增，所以，f （x 2）≥f （2）＝4a －1；
x ＜0时，2222'()'2f x ax ax x x ⎛⎫=-=+ ⎪⎝
⎭＝0，得x =，1()f x f ≥=，
所以，41a ≥-，t =，则3341t t ≥-，即333310t t t -+-≤，
即2(1)(441)0t t t -++≤，所以，1t ≤1≤，解得：1a ≤，故有114
a <≤ 综上，实数a 的取值范围[01]，。

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