3道经典例题冲激函数匹配法

经典例题1
教材第65页例题2-9的姐妹题： 设描述系统的微分方程式为)(2)()()(3)(4)(2
222t e dt t de dt t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。

用第三版教材65页的解法，不能解答此题
解：
（一）0-至0+期间系统的微分方程是：
)(2)()()(3)(4)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(22t u d t c dt t d b dt
t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得32,11,3,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
3)0(-=+r ，11)0('=+r
（二）0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
22()()43()0d r t dr t r t dt dt
++= 设系统的齐次解（特解为零）为：3()()()t t r t Ae u t Be u t --=+
则： 3-=+B A , 113=--B A ，从而可以知道4-=A ， 1=B )()(4)(3t u e t u e t r t t --+-=
（三）在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为：)()()(4)(3t t u e t u e t r t t δ++-=--
经典例题2 给定系统的微分方程)(3)()()(2)(3)(2222t e t e dt d t e dt
d t r t r dt d t r dt d ++=++ ，若激励信号为)()(t u t
e =, 起始状态为2)0(,1)0(='=--r r ，在初始状态不为零、输入为阶跃信号的情况下，求系统的响应)(t r
解：（一）将)()(t u t e =代入方程式,求得t=0-到0+期间系统的微分方程为 )(3)()()(2)(3)('22t u t t t r t r dt d t r dt
d ∆++=++δδ （1） )(t u ∆为0-到+0相对单位跳变函数，方程(2)右端自由项中含有δ(t),故从-0到+0状态发生跳变。

方程(1)右端的冲激函数项最高阶次是)('t δ,因而可以设
⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧∆=∆+=∆++=)()()()()()()()()('22
t u a t r t u b t a t r dt d t u c t b t a t r dt d δδδ (0-<t<0+) （2） 代入式(1)得：
)(3)()()(2)(3)(3)()()(''t u t t t u a t u b t a t u c t b t a ∆++=∆+∆++∆++δδδδδ 可以得到： ⎩⎨⎧=+=131a b a
⎩⎨⎧-==2
1b a 因而有 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=--+-+2)0()0(1)0()0(r dt d r dt
d r r +0状态为
⎪⎩
⎪⎨⎧=+-==+=-+-+0)0(2)0(21)0()0(r dt d r dt d r r
（二）0+之后系统的微分方程为
)(3)(2)(3)(22t u t r t r dt d t r dt
d =++ )(2
3)()()(2t u t u Be t u Ae t r t t ++=-- （三）考虑（2）式中没有冲激函数，也没有冲激函数的高阶导数，所以系统的完全响应是：
)(2
3)(21)()(2t u t u e t u e t r t t +-=--
经典例题3
设描述系统的微分方程式为)(2)()()(2)(3)(2222t e dt t de dt
t e d t r dt t dr dt t r d ++=++，试求其冲激响应。

用第三版教材65页的解法，不能解答此题
0-至0+时刻系统的微分方程是：
)(2)()()(2)(3)(2222t dt t d dt
t d t r dt t dr dt t r d δδδ++=++ …………………（1） 根据方程两边奇异信号平衡的原则，可以假设：
22()d r t dt =)()()()(2
2t u d t c dt t d b dt t d a ∆+++δδδ ()dr t dt =)()()(t u c t b dt
t d a ∆++δδ )()()(t u b t a t r ∆+=δ (2)
将上述3式代入（1）式，可得14,6,2,1-==-==d c b a
系统的初始状态为零，也就是'(0)0,(0)0r r --==，所以
2)0(-=+r ，6)0('=+r
0+时刻以后系统处于零输入状态，系统的微分方程是：
0)(2)(3)(22=++t r dt t dr dt
t r d 设系统的齐次解（特解为零）为： )()()(2t u Be t u Ae t r t t --+=
则： 2-=+B A , 62=--B A ，从而可以知道4-=A ， 2=B
在考虑2式可以知道系统的冲激响应包含奇异函数，所以系统的冲激响应为： )()(2)(4)(2t t u e t u e t r t t δ++-=--。