最新高数习题集(附答案)

第一章 最新高数习题集(附答案)

§1 函数

必作习题

P16－18 4 (5) (6) (8)，6，8，9，11，16，17

必交习题

一、一列火车以初速度0v ，等加速度a 出站，当速度达到1v 后，火车按等速运动前进；从

出站经过T 时间后，又以等减速度a 2进站，直至停止。

(1) 写出火车速度v 与时间t 的函数关系式；

(2) 作出函数)(t v v =的图形。

二、 证明函数1

2+=x x y 在),(+∞-∞内是有界的。

三、判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f 1sin )(2= ；

(2)1

212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f 。

四、 证明：若)(x f 为奇函数，且在0=x 有定义，则0)0(=f 。

§2 初等函数

必作习题

P31－33 1，8，9，10，16，17

必交习题

一、 设)(x f 的定义域是]1,0[，求下列函数的定义域：

(1))(x e f ；

(2))(ln x f ；

(3))(arcsin x f ；

(4))(cos x f 。

二、(1)设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e

f -； (2)设23)1(2+-=+x x x f ，求)(x f ；

(3)设x

x f -=

11)(，求)]([x f f ，})(1{x f f 。)1,0(≠≠x x 三、设)(x f 是x 的二次函数，且1)0(=f ，x x f x f 2)()1(=-+，求)(x f 。 四、设⎩⎨⎧>+≤-=0,20,2)(x x x x x f ，⎩⎨⎧>-≤=0

,0,)(2x x x x x g ，求)]([x g f 。

§3 数列的极限

必作习题

P42 3 (3) (4)，4，5，6

必交习题

一、 写出下列数列的前五项 (1)3sin 31n n

x n =

； (2)n

n n n x n ++++++=22212111 ； (3)n

x n x n

n n )1(1211122-=+++=-， 。 二、已知n x n

n )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x §4 函数的极限

必作习题

P50 1 (2) (4)，2(2)，3，4，7，9

必交习题 一、用极限的定义证明：41

22 lim 21=--→x x x 。 二、用极限的定义证明：656 lim =+∞→x

x x 。

三、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限： (1)x

x x f ||)(=； (2)⎪⎩

⎪⎨⎧<+=>-=0,10,

00,1)(2x x x x x x f 四、用极限的定义证明：2)106( lim 22

=+-→x x x §5 无穷大与无穷小 §6 极限运算法则

必作习题

P54-55 3，4，5； P63 1，2，3

必交习题

一、举例说明(当0→x 时)：(1)两个无穷小的商不一定是无穷小；(2)无界量不一定为无穷

大量。

二、求下列数列的极限： (1))121(

lim 222n

n n n n -+++∞→ = (2)n n n n n 6

565 lim 11++++∞→= (3))3)1(27191311( lim 11

--∞→-++-+-n n n =

三、求下列函数的极限： (1)1

1 lim 1--→x x x = (2)h

x h x h 3

30)( lim -+→= (3)))(( lim x a x x x -++∞

→= (4))1311(

lim 3

1x x x ---→= 四、设212)1( lim 2334-=-++++∞→x x bx x a x ，求b a ,。

§7 极限存在准则 ，两个重要极限 §8 无穷小的比较

必作习题

P 71 1，2，4； P 74 1，2，3，4

必交习题

一、 求下列极限： (1) x

x x 3sin

lim ∞→= (2)a

x a x a x --→22sin sin lim = (3)114sin lim 0-+→x x x = (4)114 lim +∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛++x x x x = (5)x

x x x 1011 lim ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+→= 二、用极限存在准则求证下列极限：

(1)设1(0=>i a i ～),m },,m ax {1m a a M =；证明：

(2)设31>x ，),2,1(3)1(31 =++=+n x x x n

n n 。证明此数列收敛，并求出它的极限。 三、确定k 的值，使下列函数与k x ，当0→x 时是同阶无穷小： (1)x x

+-+111； (2)53243x x -； (3)x x sin 1tg 1--+。 四、已知11 lim 21=-++→x b a x x ，求b a 和. 。

三、用极限定义证明：

(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ；

(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立；

(3) 若)(0||∞→→n x n ，则)(0∞→→n x n 。

四、 设数列}{n x 有界，又0 lim n =∞→n y ，证明0 lim n =∞

→n n y x 。 §9 函数的连续性与间断点

必作习题

P80 1，2，3

必交习题

一、当0=x 时下列函数)(x f 无定义，试定义)0(f 的值，使)(x f 在0=x 连续： (1)1

11

1)(3-+-+=x x x f ； (2)x

x x f 1sin sin )(⋅=。 二、指出下列函数的间断点并判定其类型： (1)311)(x

x x f ++=； (2))1(||)(22--=x x x x x f ； (3)⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-0

1)1ln(0)(1

1x x x e x f x 。 三、确定b a 和，使函数)

1)(()(---=x a x b e x f x 有无穷间断点0=x ；有可去间断点1=x 。 四、设函数)(x f 在),(+∞-∞上有定义，且对任何21,x x 有

)()()(2121x f x f x x f +=+，

证明：若0)(=x x f 在连续，则),()(+∞-∞在x f 上连续。

§10 连续函数的运算与初等函数的连续性