高中数学教材必修二2.2.1-2.2.2《直线与平面_平面与平面平行的判定定理》ppt

故GE//平面ABC. 同理可证GF//平面ABC.
又GE∩GF=G，所以面GEF//面ABC. 又 EF 面GEF EF//面ABC.
练习
练2：在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC为正三角形， D是BC上的点，若AD⊥BC，求证：A1B//平面ADC1 .
解：依题意点D为边BC的中点.
C1
B1
C
B
同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1， 所以，平面AB1D1∥平面C1BD.
平行四边形对边平行是 常用的找平行线的方法.
练习
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1， A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证:平面AMN//平面EFDB.
P
D
CD1 平面AA1B1B
所以 PQ// 平面AA1B1B
A
C1 B1
C B
（2）AB1 = 2，PQ=
2 2
问：PQ// 平面DD1C1C？ ∵PQ//C1D
例 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M、 N分别是BC和 A1B1的中点，求证：MN∥平面AA1C1C
证明：取A1C1中点F，连结NF，FC．
a , a //
b


,
b
//




//

a b A
b 线不在多，
Pa
重在相交！

(2)该定理作用：“线面平行面面平行”
(3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一 平面内两条直线平行即可.
线线平行线面平行面面平行
例 正方体ABCD A1B1C1D1中，证明平面C1BD // 平面AB1D1.
C'
B'
直线的条数不是关键!
C
F
A
B
探究 (2)若内有两条直线a、b分别与 平行, 则 与 平行吗？
情况2.若a b P时，则与平行吗？
b

Pa
D'
C'
B'
D
C

A
B
直线相交才是关键！
2.平面与平面平行的判定定理
若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面， 则这两个平面平行.
(1)该定理中，“两条”，“相交”都是必要条件，缺一不可：
∴E、F、G、H四点共面.
HG 面EFGH
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD的中点.
A
(1)E、F、G、H四点是否共面？ (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
H E
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系
的所有情况吗？
解:（3）由EF∥HG∥AC，得
B
D G
例 求证：空间四边形相邻两边中点的连线，平行于经过 另外两边的平面.
已知:空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.
求证:EF//平面BCD.
A
分析：
EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要 证明EF和面BCD内一条直线平行即可.
EF和面BCD哪一条直线平行呢？ 直线BD
EF D
C
证明：连接BD，
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1
D1
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，
A1
∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴D1C1BA是平行四边形，
∴D1A∥C1B，
D
又因为D1A 平面C1BD，CB平面C1BDA.
由直线与平面平行的判定，可知 D1A∥平面C1BD，
连接BC1，则DE为△ABC1中位线，
A1
B1
所以EF//AB,
又EF 平面ABC ，AB 平面ABC，
C1
故EF//平面ABC.
E
F
法二：由面面平行判定线面平行 取CC1的中点G，连接GE和GF， 则GE为△ACC1中位线， 所以GE//AC,
AG C
B D
又GE 平面ABC ，AC 平面ABC，
∵N为A1B1中点， 又∵BC＝∥B1C1 ，
∴NF
＝∥
1 2
B1C1
M是BC的中点，
B
∴MC ＝∥
1 2 B1C1
即MC＝∥ NF
∴NFCM为平行四边形， 故MN∥CF
A
M
C
A1 NF
∴ MN∥平面AA1C1C.
B1
C1
练习
练1：三棱柱ABC-A1B1C1中，E是AC1上的点，F是CB1上的中点， 求证：A1B//平面ADC1 . 法一：线面平行判定定理
证明：取PD的中点H，连接HN，AH ， P
在三角形△PDC中，HN为三角形中位线， 所以HN//DC且 HN= 1 DC
H
2
D
又因为底面为正方形，且M为AB中点，
N C
G
所以AM//DC且
AM=
1 2
DC
A
M
B
∴ AM//HN且 AM=HN
即AMNH为平行四边形，故MN//AH
又AH 平面PAD ，MN 平面PAD，
练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分别是棱A1D1， A1B1，BC，CD的中点，求证：平面AMN//平面C1QP.
D1
N
A1
M
F
B1
C1
E
D1 M
A1
N
C1 B1
D A
C B
D
K
A
Q
C
P B
变式
例 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别为DD1，DB的中点.求证：EF//平面ABC1D1.
①问1：两个平面平行，那么其中一个平面的直线与另一 个平面的位置关系如何? 平行
②问2：如果一个平面内的所有直线，都与另一个平面 平行，那么这两个平面的位置关系如何? 平行
结论：两个平面平行的问题可以转化为一个平面内的直线与另一 个平面平行的问题.
③当然我们不需要证明所有直线都与另一平面平行，那 么需要几条直线才能说明问题呢？
的找平行线的方法.
练习
练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC， △ABD， △BCD的重心. (1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 S MNG : S ADC 的值.
解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F. B
因为M，N分别为对应三角形的重心，
故E，F为相应边的中点，且有
解：直线BD1//平面AEC，证明如下:
D1
C
如图，连接BD交AC于O，再连接OE
在△DBD1中，OE为三角形中位线，
A1
E
B1
所以OE//BD1，
D
C
又BD1 平面AEC，OE 平面AEC，
O
故BD1//平面AEC.
A
B
注意：在直观图中，线段平行关系不变，可利用此特性先直观 地找出平行线的可能所在.
2.2.1 直线与平面平行的判定定理 2.2.2平面与平面平行的判定定理
复习引入
1.空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
a a
a
A



a
a A
a //
a
2.如何判定一条直线和一个平面平行呢？
观察:
将课本的一边AB紧靠桌面，并绕AB转动，观察AB的对
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 则该直线与此平面平行.
(1)用该定理判断直线a和平面平行，须具备三个条件：
“面外、面内、平行”
a
a
即
b

Hale Waihona Puke Baidu



a
//

a // b

b
a //
(2)该定理作用：“线线平行线面平行”——空间问题“平面
化(3)”应用该定理，关键是在平面内找到一条直线与已知直线a平行.
BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
∴MN//EF且MN=
2 3
EF.
M NG
A
F
D
E
H
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD
C
所以 MN// 平面ACD.
同理，连接BG交CD于中点H，可证NG//平面ACD且NG= 又因为MN∩NG=N，所以面MNG//面ACD.
2 3
FH.
练习
练 如图点B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC， △ABD， △BCD的重心. (1)求证：平面MNG//平面ACD. (2)求 S MNG : S ADC 的值.
H E
(3)你能说出图中满足线面平行位置关系
的所有情况吗？
解：(1)E、F、G、H四点共面.
B
D G
∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD的中点.
F
C
∴EH∥BD且 EH= 1 BD
同理GF∥BD且
2
GF=
1
BD
2
(2) AC ∥平面EFGH AC // HG
∴ EH∥GF且 EH＝GF
AC 面EFGH
故EF//平面PAD.
连接AC，且AC的中点为点F. EF是 CAP的中位线.EF//PA
例 如图，点B为△ACD所在平面外一点，M，N分别为△ABC， △ABD的重心. (1)求证：MN//平面ACD. (2)若底面边长为1为正三角形，求线段的MN的长度.
解:(1)分别连接BM，BF交AC，AD于点E，F. B 因为M，N分别为对应三角形的重心，
探究
(1)若内有一条直线a与平行，则与平行吗？
a
a

l

（两平面平行） D'

（两平面相交）
C'
A' D
B' C
A
B
探究 (2)若内有两条直线a、b分别与 平行, 则 与 平行吗？
情况1.若a // b时，则与平行吗？

a b

a
b
l

（两平面平行）
D' E
A'
D

（两平面相交）
B
解：(2)因为EF是△ACD的中位线，
所以，EF//CD且EF= 1 CD.
由(1)知MN= 2 EF. 2
3
M NG
∴MN=
1 3
CD且MN//CD
A
F
E
同理可证明NG= 1 AC且NG//AC， MG= 1AD且NG//AD C
连接A1C交AC1于E，连接DE. 在△ADC1中，DE为三角形中位线， 所以DE//A1B,
又DE 平面ADC1 ，A1B 平面ADC1
故A1B//平面ADC1
A1
C1
B1
E
A
C
D B
例 如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，M，N分别是 AB，PC的中点,求证：MN//平面PAD.
边CD在各个位置时，是不是都与桌面所在的平面平行？
C
D
①直线AB、CD与桌面分别是什么位置关系呢？
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一 条直线， 若CD ∥ AB ，则CD ∥桌面.
②从中你能得出什么结论？
A
B
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行， 那么这条直线和这个平面平行.
1.直线与平面平行的判定定理
B
∵在△ABD中，E、F分别是AB、AD的中点
∴EF∥BD
∩
又∵ EF 平面BCD，BD 平面BCD
∴EF∥平面BCD
三角形的中位线是常 用的找平行线的方法.
练习
1.如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，
AD的中点.
A
(1)E、F、G、H四点是否共面？ (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系；
练习
如图，已知P、Q是边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的面AA1DD1 , 面ABCD的中心.求证PQ// 平面AA1B1B,并求线段的PQ长.
解:（1）连接AB1，在△AB1D1中，
D1
显然P，Q分别是AD1，D1B1的中点，
Q
所以，PQ//AB1，且PQ=
1 2
CD1
A1
又因为PQ 平面AA1B1B
EF∥平面ACD，
F C
AC∥平面EFGH， HG∥平面ABC.
由BD∥EH∥FG，得
BD∥平面EFGH， EH∥平面BCD，FG∥平面ABD.
复习引入
1. 平面与平面有几种位置关系？
（1）平行
（2）相交
//
没有公共点
a
有一条公共直线
复习引入
2.问题：还可以怎样判定平面与平面平行呢？
故MN//平面PAD.
法二：取DC的中点G，连接GN，GM ， 往证面GMN//面PAD即可.
练习
练：如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，△PAD是正 三角形，E，F分别是PC，BD的中点，求证：EF//平面PAD.
证明：分别取PD，AD的中点G，H ，连接GE，HF ，GH
在△PDC中，GE为三角形中位线，
证明：如图，连接BD1 ，
D1
C1
在△DBD1中，EF为三角形中位线，
所以EF//BD1 ，
又EF
BD1
平平面面ABACB1CD11D，1
所以BD1//平面ABC1D1
A1 E
D
F A
B1 C
B
练习
P56 2 如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的 中点.试判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
所以GE//DC且 GE= 1 DC
同理，HF//AB且
2 HF=
1
AB
2
P E
G
又∵底面为正方形，∴AM//DC且 AM=DC
D
C
∴ GE//HF且 GE=HF
H
F
即HFEG为平行四边形，故EF//GH
A
法二：
B
又GH 平面PAD ，EF 平面PAD， 底面ABCD是正方形，F为BD中点，
故E，F为相应边的中点，且有
BM:ME=2:1，BN:NF=2:1
N
∴MN//EF且MN=
2 3
EF.
A
又因为MN 平面ACD，EF 平面ACD
M E
所以 MN// 平面ACD.
F C
D
(所2)以又，因E为F/在/C△D且ACEDF=中1，CEDF.是三角形的中位线，
2
1
1
线段成比例也是常用
∴MN= 3 ，CD= 3