必修4三角函数的图像与性质

§1.4.1正弦函数、余弦函数的图象

学习目标：1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象.

2.能熟练运用“五点法”作图.

学习重点：运用“五点法”作图

学习难点：借助于三角函数线画y=sinx的图象

学习过程：

一、情境设置

遇到一个新的函数，画出它的图象，通过观察图象获得对它的性质的直观认识是研究函数的基本方法，那么，一般采用什么方法画图象？

二、探究研究

问题1. 在直角坐标系内把单位圆十二等分，分别画出对应角的正弦线.

问题2. 在相应坐标系内，在x轴表示12个角（实数表示），把单位圆中12个角的正弦线进行右移. 问题 3. 通过刚才描点（x0,sinx0）,把一系列点用光滑曲线连结起来，能得到什么？

问题4. 观察所得函数的图象，五个点在确定形状是起关键作用，哪五个点？

问题5. 如何作y=sinx,x∈R的图象（即正弦曲线）？

问题6. 用诱导公式cosx=________（用正弦式表示），y=cosx的图象（即余弦曲线）怎样得到？问题7. 关键五个点.三、例题精讲

例1：用“五点法”画下列函数的简图

(1)y=1+sinx ，x∈[]π2,0 (2) y=-cosx， x∈[]π2,0

思考：（1）从函数图象变换的角度出发，由y=sinx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=1+sinx ，x∈[]π2,0的图像？由y=cosx,x∈[]π2,0的图象怎样得到y=-cosx，，x∈[]π2,0的图像？

四、巩固练习

1、在[0,2π]上,满足

1

sin

2

x≥的x取值范围是( ).

A. 0,

6

π

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

B.5,

66

ππ

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

C.2,

63

ππ

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

D.5,

6

π

π

⎡⎤

⎢⎥

⎣⎦

2、用五点法作) y=1-cosx， x∈[]π2,0的图象.

3、结合图象，判断方程x

sinx=的实数解的个数.

五、课堂小结

在区间]

2,0

[π上正、余弦函数图象上起关键作用的五个点分别是它的最值点及其与坐标轴的交点（平衡点）.函数的图象可通过描述、平移、对称等手段得到.

六、当堂检测

1、观察正弦函数的图象，以下4个命题：

（1）关于原点对称（2）关于x轴对称（3）关于y轴对称（4）有无数条对称轴其中正确的是

A、（1）、（2）

B、（1）、（3）

C、（1）、（4）

D、（2）、（3）（）

2、对于下列判断：

（1）正弦函数曲线与函数)2

3cos(

x y +=π

的图象是同一曲线； （2）向左、右平移π2个单位后，图象都不变的函数一定是正弦函数； （3）直线2

3π

-=x 是正弦函数图象的一条对称轴； （4）点)0,2

(π

-

是余弦函数的一个对称中心.

其中不正确的是 A 、（1） B 、（2） C 、（3） D 、（4） （ ） 3、（1）x y sin =的图象与x y sin -=的图象关于 对称； （2）x y cos =的图象与x y cos -=的图象关于 对称.

4、（1）把余弦曲线向 平移 个单位就可以得到正弦曲线；

（2）把正弦曲线向 平移 个单位就可以得到余弦曲线.

5、画出1cos 3+=x y 的简图，并说明它与余弦曲线的区别与联系.

七、课后作业

教材P46 A 组 第1题

)

6-x 21cos(2y π=)4

x 2x sin(y +-=2

π==)6

17f (1)3

f (ππ则

§1.4.2 正弦函数、余弦函数的周期性

学习目标：1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期.

学习重点：周期函数的定义，最小正周期的求法. 学习难点：周期函数的概念及应用. 学习过程： 一、情境设置

自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、探究研究

问题1：观察下列图表

问题1：.如何给周期函数下定义？

周期函数的定义

问题2：判断下列问题： （1）对于函数y=sinx x ∈R

有4sin )24sin(π

ππ=+成立，能说

2

π

是正弦函数y=sinx 的周期？

（2）2)(x x f =是周期函数吗？为什么？

（3）若T 为)(x f 的周期，则对于非零整数)(,Z k kT k ∈也是 )(x f 的周期吗？

问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？

问题4：最小正周期的含义；求x x f x x f cos )(,sin )(==的最小正周期？

三、例题精讲

例1: 求下列函数的最小正周期：

（1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin(2)(π

-=x

x g

变式训练: 1. ⑴求

)2cos()(x x f -=

⑵)6

2sin(2)(π--

=x x g 的周期

问题5：观察以上周期的值与解析式中x 的系数有何关系？

结论：函数ωϕω）（（）

（+=x sin x f A >0)的周期为 四、巩固练习

1、求下列函数的周期：

（1）函数sinx 3y =的周期是___________________________. （2）函数sinx 3y +=的周期是_________________________. （3）函数y cos2x =的周期是___________________________.

（4）.函数 的周期是______________________. （5）.函数 的周期是________________________. 2.函数y Asin(x )y Acos(x )ωϕωϕ=+=+或的周期与解析式中的____无关，其周期为_____.

3. 函数)04

x sin x f >+

=ωπ

ω）（（）（的周期是

3

2π

则ω=____________ 4.若函数f(x)是以 为周期的函数，且

5.画出函数x sin f (x)=的图像并判断是不是周期函数？若是，则它的周期是多少？

五、小结反思

对周期函数概念的理解注意以下几个方面：

(1))()(x f T x f =+是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个x 值，T x +仍在定义域内且使等

式成立. (2)周期T 是常数，且使函数值重复出现的自变量x 的增加值.