§5-1 z变换的定义与收敛域讲解

z 1
与
Z u ( n)
《Signals & Systems》
1 z 1 z 1 z 1
比较一下。
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
下面根据序列形态不同，分别讨论其收敛域。
1、有限长序列。即
X ( z)
n2
j Im{z}
j
x(n) x(n) 0
z 1
大连海事大学信息科学技术学院
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
若有一个移位的单位阶跃序列：u(n-k)，它的z变换为：
Z u (n k )
同样，当|z|>1，
n
n n k ( k 1) u ( n k ) z z z z n k
《Signals & Systems》
3
0
nu(n)
1
2
3
4
n
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
同样，当|z|>1，
1 1 z 1 1 2 3 Z nu (n) ( z z z ) 1 1 1 z 1 z 1 1 z
大连海事大学信息科学技术学院
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
三、s域与z域的映射关系
上述信号x(t)经过理想抽样后的拉氏变换，与对应序列x(n)的z 变换，当令
e sTs z

后，它们是相等的。即
X s ( s)
n
x(nTs )e
z 1 z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
《Signals & Systems》
x ( n) z
z
n

n
b z
n n
1
n
a n z n
n0

其中

n
b
n
1
n
z zb
j Im{z}
当 zb
当 za
n1 n n2 other
1
1
Re{z}
n n1
n x ( n ) z z变换式是有限项之和。
j
⑴ n1 0, n2 0
x ( n)
⑵ n1 0, n2 0
x ( n)
⑶ n1 0, n2 0
x ( n)
n1
n2
n
n1
n2
n
n1
n2
n
z变换式中各 项z均为负的幂次 方，其收敛域应 该是|z|>0。
R1 z R2
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
R1 R2 Re{z}
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
例如：已知序列 x(n) bnu(n 1) a nu(n) , a b 试求z变换X(z)。
解：
X ( z)
n
u(n 1)
5 4 3 2 1
1
n
u ( n)
z n z n
n n 1
1

1
0
1 2
当|z|<1时，以上和式收敛
Z u ( n 1) z z 1 1 z z 1 1 z 1
z 1
3
4
n
z za
z a
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
4、单边正、余弦序列：cosω0nu(n)、 sinω0nu(n) 利用以上求指数序列的z变换的方法，可以求出当|z|>1时，
1 1 z cos0 ZT cos(0 n)u(n) 1 2 z 1 cos0 z 2 1 z sin 0 ZT sin(0 n)u(n) 1 2 z 1 cos0 z 2
snT s

n
x(nTs ) z

n

n
n x ( n ) z

X ( z)
关系式
所以
z z e j e sT s e( j)Ts eTs e jTs z e
Ts
f Ts 2 fs
-----归一化角频率
大连海事大学信息科学技术学院
j j Im{z}
j

1
1
Re{z}
j
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
j
3 Ts
j Im{z}
j
Ts
Ts
3 Ts

源自文库
1
1
Re{z}
j
⑸ s平面上
的带域，即映射到z平面的全平面。 Ts Ts
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
五、z变换的收敛域
序列z变换的收敛域，与序列的形态有关。反之，同一个z变换 的表达式，不同的收敛域，确定了不同序列形态。例如：序列
Z u ( n 1) u ( n 1) z n
n
0 z R2
大连海事大学信息科学技术学院
z lim n x( n) R2
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
4、双边序列。即 x(n) x(n)[u(n 1) u(n)]
X ( z)
n x ( n ) z n n x ( n ) z x ( n ) z n0 1
Z a u (n)
n n
a u ( n) z
n

n
a z
n n0

n

1 n ( az ) n0

当|z|>|a|时，
Z a u (n)
n
(az
n0

1 n
)

1 z 1 az 1 za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为
(t nT )
s

(1)
T 0
T 2T
t
n
x(nT )(t nT )

T 0
xs (t )
对以上信号求拉氏变换
n
T 2T
t
X s (s) ℒ {xs (t )} ℒ { x(nTs )(t nTs )}

n
x(nTs ) ℒ {(t nTs )}
R1 z
大连海事大学信息科学技术学院
z lim n x(n) R1
n
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
x(n) n n2 3、左边序列。即 x(n) other 0
X ( z)
n
x ( n) z


u (n 2)
n
Z u(n k ) z
n k
z k 1 z 1

1
0
1 2
3
4
n
3、单位斜变序列：nu(n)
Z nu(n)
n
nu(n) z

n
1 2 3 nz n z 2 z 3z
n0
z 1 z 2 z 3 z 2 z 3 z
《Signals & Systems》
z变换式中各 项z均为正的幂次 方，其收敛域应 该是|z|<∞。
z变换式中各 项z均为正的幂次 方，其收敛域应 该是0<|z|<∞。
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
x(n) 2、右边序列。即 x(n) 0
Z a u ( n 1)
n n
a
1

n
u ( n 1) z
1
n

n
a
z)
n
1
n
z n
当|a-1z|<1，即|z|<|a| 时，
《Signals & Systems》

n
(a
z)
n

(a
n 1

1
a 1 z 1 a 1 z

二、Z变换的定义
设有序列x(n)，定义它的z变换为
xs (t )
X ( z)
n
n x ( n ) z

T 0
T 2T
t
x ( n)
定义它的单边z变换为
X ( z ) x ( n) z n
n0

1 0
1
2
n
记为
X ( z ) Z{x(n)}
ZT x(n) X ( z)
n n1 other
X ( z)
n n1
n x ( n ) z z变换式是无限项之和。

⑴
n1 0
x ( n)
⑵
n1 0
x ( n)
j Im{z}
n1
n
n1
n
R1
Re{z}
由根值判别法：
n
lim n x(n) z n 1
此时相当于增加了一 个n1<0的有限长序列， 还应除去∞点：
每一个这样的平行带域，均全映射至z平面上一次。 因此，s平面至z平面上的映射是多对一的映射。
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
四、常见序列的z变换
根据的z变换的定义，可以求得常用信号的z变换。 1、单位样值信号：δ(n)
(n)
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
第五章 离散时间系统的Z变换分析
§5-1 Z变换的定义及其收敛域
§5-2
§5-3 §5-4 §5-5 §5-6 §5-7 §5-8
反Z变换
Z变换的基本性质 LTI系统Z变换分析法 离散时间系统的系统函数 离散时间傅里叶变换----DTFT 离散时间系统的频率响应 线性时不变系统的信号流图表示
x ( n)
n
j Im{z}
n
n
n x ( n ) z 的收敛域设为： z R1 n0 1 n 的收敛域设为： z R2 x ( n ) z
R2 R1 Re{z}
n
j Im{z}
当R1>R2，序列z变换不收敛，因而不存在。
当R1<R2，序列z变换的收敛域为：
x ( n)
n2
n

n n2
n z变换式仍是无限项之和。 x ( n ) z

⑴
n2 0
⑵
n2 0
x ( n)
j Im{z}
n2
n
n2
n
R2 Re{z}
由根值判别法：
n
lim n x(n) z n 1
n
此时相当于增加了一 个n2>0的有限长序列， 还应除去原点：

n
snT s x ( nT ) e s
大连海事大学信息科学技术学院

《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
上式中，令esT=z，于是
X s ( s)
n
snT s x ( nT ) e s

n
n x ( nT ) z s
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
z eTs
Ts
⑴ σ=0，s平面上的虚轴，映射到z平面上的单位园。
⑵ Ω=0，s平面上的实轴，映射到z平面上的正实轴。 ⑶ Re{s}>0，s平面上的右半平面，映射到z平面上的单位园外。 ⑷ Re{s}<0，s平面上的左半平面，映射到z平面上的单位园内。
n
Z (n)
n
(n) z


1
1
0
n
u ( n)
2、单位阶跃序列：u(n)
Z u (n)
当式中|z|>1，
n
u(n) z
n
n
z n
n0

1
0
1 2
3
4
n
Z u (n) z
n0
1 z 1 1 z z 1
z 1 (1 z 1 ) 2
4、单边指数
序列：anu(n)
1
z 1
x ( n)
1
x ( n)
0
1
2
3
4
n
0
1
2
3
4
n
1
0
x ( n)
1
1 2
x ( n)
1
3
4
n
3
2 4
0
n
《Signals & Systems》
大连海事大学信息科学技术学院
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
不管a为何值，按照定义，单位指数序列的z变换为
大连海事大学信息科学技术学院
《Signals & Systems》
《信号与系统》
§5-1 z变换的定义与收敛域
x(t )
§5-1
Z变换的定义及其收敛域
0
一、抽样信号的拉普拉斯变换
理想抽样信号
t
T (t )
xs (t ) x(t ) T (t ) x(t )

s s
n