26静电场边值问题与求解方法
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数，得到电位的解；再由 E得到电场强度E的分布。
例2.6.3 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正
方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两
导体之间接有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。
nxDn0
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
2
2
x2
2
y2
2(r)C r3 C 4
边界条件
1ra 2ra
1 r0 有限值
0r1 ra0r2 ra
2 r 0 参考点电位
1(r)
r2 60
C1
1 r
C2
解得
2 (r)
C3 r
C4
电位：
1(r)60(3a2r2)
C1 0 C4 0
C3
a2 20
,
C2
a3 30
0ra
2(r)3 a03 r
ar
2 ρ ε
2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
1 2
参考点电位
1
1
n
2
2
n
limr 有 限 值
r
第一类 边界条件
S
f1(s)
第二类 边界条件
n S f2(s)
第三类
边界条件
为什么说第二类
()
n S
f3(s)
边 与界导条体件上给定n S电荷f2分(s) 布或边界是电力线的条
2.6.3 唯一性定理 1、唯一性定理
在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或 拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理 (Uniquness heorem)。
2. 唯一性定理的重要意义 • 可判断静电场问题的解的正确性： • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。
件是等价的？
图2.6.2 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
积分法
分离变量法
解析法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
• • • •
有限差分法
有限元法
数值法
边界元法
矩量法
实测法 模拟法
模拟电荷法
• • • •
数学模拟法
定性 定量
物理模拟法
• • • •
图2.6.3 边值问题研究方法框图
n 1
n 1
由③式 a,y0,0yb
A 0 C 0 a yE n sk n h a sk in y n F n sk in a s n k n h y 0
n 1
n 1
上式对任意的 y 成立，必有 A0C0，0 ，En 0 ，kn即an
kn
n a
因此（3）式为
n 1Fnsinnaxshnay
n 1
n 1
上式对任意的x成立，只能是D0=D1n=D2n=0，代入(2)式
A 0 C 0 x yE n sk n h x sk in y n F n sk in x n sk n h y(3)
n 1
n 1
(En C1nA1n , Fn C2nA2n)
A 0 C 0 x yE n sk n h x sk in y n F n sk in x n sk n h y(3)
例2.6.2 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图 2.6.7 平板电容器外加电源U0
A、
1
U0 d
x2
B、
2
U0 d
x
U
0
C、
3
U0 d
x
U
0
答案：（ C ）
0
（阴影区域）
(xb,0yb及 yb,0xb)U
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2y2a2,x0,y0
x
0 (x0,bya)
y
0 (y0,bxa)
2.6.3 分离变量法
例2-11 一矩形截面的长直接地金属槽，尺寸如图所示，槽的侧壁和底面电
位均为零，槽壁与顶盖相互绝缘，顶盖电位为U。槽内真空且无电荷分布，
设l >>a和b，求槽内的电位分布。
y
解：在矩形槽中电位满足拉氏方程
=U
2x,y2x2 2y2 0
b
对应的边界条件
0,y0 0yb① a,y0 0yb③
0 =0
o =0 a
=0 x
x,00 0xa② x,bU 0xa④
设 x ,yX 代x 入Y 拉y氏方程，得
Y
d2 X dx2
X
d2Y d y2
为奇数） 为偶数）
可解得
Fn
n
4U
sh n b
a
（n 为奇数）
y =U
槽内电位
2n1π 2n1π
x,y4U π n1
sin
xsh
a
a
2n1sh2n1πb
y
a
0 b =0
o =0
a
=0 x
分离变量方法的基本步骤
① 提炼出定解问题的数学表达式 ② 选取适合变量分离的正交坐标系 ③ 把电位微分方程进行变量分离 ④ 求解分离后的常微分方程 ⑤ 由所有通解构造定解问题的解 ⑥ 利用边界条件确定系数，验证解
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nshknyD 2 nch kny （1） n 1
由①式 0,y0,0yb
B 0 C 0 y D 0 B 1 n C 1 n s i n k n y D 1 n c o s k n y B 2 n C 2 n s h n y D 2 n c h k n y 0
Y y C 1 n sk i n y n D 1 n ck o n ys X x A 2 n sk i n x n B 2 n ck o n xs
Y y C 2 n sk n h y D 2 n c k n y h （n =1,2,3,…)
应用叠加原理 ，得
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nsh knyD 2 nch kny n 1
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d2Y dy2
引入常数，上式分解成两个常微分方程
d2X dx2
X
0
d2Y dy2
Y
0
称为分离常数
d2X dx2
X
0
d2Y dy2
Y
0
当 0
XxA 0xB 0
YyC 0yD 0
当 kn2 0 当 kn2 0
X x A 1 n sk n h x B 1 n ck n x h
例2.6.1 设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程
a
21r12dd(rr2dd1r)0
(0ra)
22r12dd(rr2dd2r)0
(ar)
图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场
积分得通解 1 (r) 6 r0 2 C 11 r C 2
§2.6 静电场的边值问题与求解方法
2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程
推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：
E0
D
E
E E E
DE
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
常数
当 0时
2
泊松方程
2 0 拉普拉斯方程
2 ——拉普拉斯算子
2 x22 y22 z22
注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。
n 1
n 1
上式对任意的y成立，只能是B0=B1n=B2n=0，代入(1)式得
A0xC0yD0 A1nshknxC1nsiknnyD1ncoknsy n1
A2nsiknnxC2nshknyD2nch kny (2)
由②式 x,00,0xa
n1
D 0 A 0 x D 1 n A 1 n sk n h x D 2 n A 2 n sk i n x n 0
由④式 x,bU , 0xa
y =U
0
b =0
=0
n 1FnsinnaxshnabU
o =0 x
a
将上式两边同乘以 sin m，x并对x 积分，即
a
n 10 aF n sn a h b sn i a n x sm ia n x d x 0 aU sm ia n x d x
求解边值问题注意事项：
1．根据求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏
方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。
3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。
电场强度（球坐标梯度公式）：
E 1 ( r ) 1 r 1 e r 3 r 0 e r
0 r a
E 2(r) 2 r2er3 0 a r32er
Q
4 0r 2
er
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常 系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常
n 10 aF n sn a h b sn i a n x sm ia n x d x 0 aU sm ia n x d x
上式左边利用三角函数的正交性，有
0
上式右边直0a接F 积ns分hn，a 有bsinna xsinm axdx a 2Fnshna b
mn mn
0aU sinm axdx0aU sinna xdx 0 2naU（（nn
4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限 分布时，应有：
limr 有限值
r
即： 至少按一次方反比变化，通常可简单取
0 r
例2.4.1 列出求解区域的微分方程
21 0
22 0
23
3 3
图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场
2.6.2 静电场的边值问题
电位微分方程
边值问题
边界条件
例2.6.3 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为2b的正
方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常数为 ，并且在两
导体之间接有电源 U，试写出该电缆中静电场的边值问题。
nxDn0
解：根据场分布对称性，确定场域。
场的边值问题
2
2
x2
2
y2
2(r)C r3 C 4
边界条件
1ra 2ra
1 r0 有限值
0r1 ra0r2 ra
2 r 0 参考点电位
1(r)
r2 60
C1
1 r
C2
解得
2 (r)
C3 r
C4
电位：
1(r)60(3a2r2)
C1 0 C4 0
C3
a2 20
,
C2
a3 30
0ra
2(r)3 a03 r
ar
2 ρ ε
2 0
场域 边界条件
分界面 衔接条件
自然 边界条件
1 2
参考点电位
1
1
n
2
2
n
limr 有 限 值
r
第一类 边界条件
S
f1(s)
第二类 边界条件
n S f2(s)
第三类
边界条件
为什么说第二类
()
n S
f3(s)
边 与界导条体件上给定n S电荷f2分(s) 布或边界是电力线的条
2.6.3 唯一性定理 1、唯一性定理
在静电场中满足给定边界条件的电位微分方程（泊松方程或 拉普拉斯方程)的解是唯一的，称之为静电场的唯一性定理 (Uniquness heorem)。
2. 唯一性定理的重要意义 • 可判断静电场问题的解的正确性： • 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、 解析解等）提供了思路及理论根据。
件是等价的？
图2.6.2 边值问题框图
边值问题 研究方法
计算法
实验法 作图法
积分法
分离变量法
解析法
镜像法、电轴法
微分方程法
保角变换法
• • • •
有限差分法
有限元法
数值法
边界元法
矩量法
实测法 模拟法
模拟电荷法
• • • •
数学模拟法
定性 定量
物理模拟法
• • • •
图2.6.3 边值问题研究方法框图
n 1
n 1
由③式 a,y0,0yb
A 0 C 0 a yE n sk n h a sk in y n F n sk in a s n k n h y 0
n 1
n 1
上式对任意的 y 成立，必有 A0C0，0 ，En 0 ，kn即an
kn
n a
因此（3）式为
n 1Fnsinnaxshnay
n 1
n 1
上式对任意的x成立，只能是D0=D1n=D2n=0，代入(2)式
A 0 C 0 x yE n sk n h x sk in y n F n sk in x n sk n h y(3)
n 1
n 1
(En C1nA1n , Fn C2nA2n)
A 0 C 0 x yE n sk n h x sk in y n F n sk in x n sk n h y(3)
例2.6.2 图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
图 2.6.7 平板电容器外加电源U0
A、
1
U0 d
x2
B、
2
U0 d
x
U
0
C、
3
U0 d
x
U
0
答案：（ C ）
0
（阴影区域）
(xb,0yb及 yb,0xb)U
图 2.6.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面
0 x2y2a2,x0,y0
x
0 (x0,bya)
y
0 (y0,bxa)
2.6.3 分离变量法
例2-11 一矩形截面的长直接地金属槽，尺寸如图所示，槽的侧壁和底面电
位均为零，槽壁与顶盖相互绝缘，顶盖电位为U。槽内真空且无电荷分布，
设l >>a和b，求槽内的电位分布。
y
解：在矩形槽中电位满足拉氏方程
=U
2x,y2x2 2y2 0
b
对应的边界条件
0,y0 0yb① a,y0 0yb③
0 =0
o =0 a
=0 x
x,00 0xa② x,bU 0xa④
设 x ,yX 代x 入Y 拉y氏方程，得
Y
d2 X dx2
X
d2Y d y2
为奇数） 为偶数）
可解得
Fn
n
4U
sh n b
a
（n 为奇数）
y =U
槽内电位
2n1π 2n1π
x,y4U π n1
sin
xsh
a
a
2n1sh2n1πb
y
a
0 b =0
o =0
a
=0 x
分离变量方法的基本步骤
① 提炼出定解问题的数学表达式 ② 选取适合变量分离的正交坐标系 ③ 把电位微分方程进行变量分离 ④ 求解分离后的常微分方程 ⑤ 由所有通解构造定解问题的解 ⑥ 利用边界条件确定系数，验证解
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nshknyD 2 nch kny （1） n 1
由①式 0,y0,0yb
B 0 C 0 y D 0 B 1 n C 1 n s i n k n y D 1 n c o s k n y B 2 n C 2 n s h n y D 2 n c h k n y 0
Y y C 1 n sk i n y n D 1 n ck o n ys X x A 2 n sk i n x n B 2 n ck o n xs
Y y C 2 n sk n h y D 2 n c k n y h （n =1,2,3,…)
应用叠加原理 ，得
A 0xB 0C 0yD 0 A 1nsh knxB 1nch knxC 1nsin knyD 1ncoskny n 1 A 2nsinknxB 2ncosknxC 2 nsh knyD 2 nch kny n 1
0
1 X
d2X dx2
1 Y
d2Y dy2
引入常数，上式分解成两个常微分方程
d2X dx2
X
0
d2Y dy2
Y
0
称为分离常数
d2X dx2
X
0
d2Y dy2
Y
0
当 0
XxA 0xB 0
YyC 0yD 0
当 kn2 0 当 kn2 0
X x A 1 n sk n h x B 1 n ck n x h
例2.6.1 设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中，电荷体密度
为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。
解: 采用球坐标系,分区域建立方程
a
21r12dd(rr2dd1r)0
(0ra)
22r12dd(rr2dd2r)0
(ar)
图 2.6.5 体电荷分布的球形域电场
积分得通解 1 (r) 6 r0 2 C 11 r C 2
§2.6 静电场的边值问题与求解方法
2.6.1 泊松方程与拉普拉斯方程
推导电位微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：
E0
D
E
E E E
DE
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
常数
当 0时
2
泊松方程
2 0 拉普拉斯方程
2 ——拉普拉斯算子
2 x22 y22 z22
注意：泊松方程与拉普拉斯方程只适用于各向同性、线性的均匀媒质。
n 1
n 1
上式对任意的y成立，只能是B0=B1n=B2n=0，代入(1)式得
A0xC0yD0 A1nshknxC1nsiknnyD1ncoknsy n1
A2nsiknnxC2nshknyD2nch kny (2)
由②式 x,00,0xa
n1
D 0 A 0 x D 1 n A 1 n sk n h x D 2 n A 2 n sk i n x n 0
由④式 x,bU , 0xa
y =U
0
b =0
=0
n 1FnsinnaxshnabU
o =0 x
a
将上式两边同乘以 sin m，x并对x 积分，即
a
n 10 aF n sn a h b sn i a n x sm ia n x d x 0 aU sm ia n x d x
求解边值问题注意事项：
1．根据求解场域内是否有 存在，决定电位满足泊松方程还是拉氏
方程，然后判断场域是否具有对称性，以便选择适当的坐标系。 2．正确表达边界条件，并利用它们确定通解的待定常数。
3．若所求解的场域内有两个（或以上）的均匀介质区域，应分区求 解。不能用一个电位函数表达两个区域的情况。这时会出现4个积分 常数，还需考虑介质分界面上的衔接条件来确定积分常数。
电场强度（球坐标梯度公式）：
E 1 ( r ) 1 r 1 e r 3 r 0 e r
0 r a
E 2(r) 2 r2er3 0 a r32er
Q
4 0r 2
er
ar
对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），只要对二阶常 系数微分方程积分两次，得到通解；然后利用边界条件求得积分常
n 10 aF n sn a h b sn i a n x sm ia n x d x 0 aU sm ia n x d x
上式左边利用三角函数的正交性，有
0
上式右边直0a接F 积ns分hn，a 有bsinna xsinm axdx a 2Fnshna b
mn mn
0aU sinm axdx0aU sinna xdx 0 2naU（（nn
4.对于开域问题，还需给出无限远处的自然边界条件。当场域有限 分布时，应有：
limr 有限值
r
即： 至少按一次方反比变化，通常可简单取
0 r
例2.4.1 列出求解区域的微分方程
21 0
22 0
23
3 3
图2.6.1 三个不同媒质区域的静电场
2.6.2 静电场的边值问题
电位微分方程
边值问题
边界条件