第二十一章 平行六面体的性质及应用答

第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A
1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且111
2
O E D O =．不妨设正方体棱长为1，
则11BO D O ==
，1O E =，
BE =
．在△1BO E 中15
cos 6
BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD
与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ，
则2sin 603DH CD =
⋅⋅︒，而90AHD =︒∠，于
是cos cos DH ADH AD α===
∠，
故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得11
2
IB BB =
，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点，
113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC
于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形．
用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则
此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证．
4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证1
2AG AF GB BI ==，
11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH =
，从而可求得GH =
1C H =，512FG =
，EF =
1C E =
512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''，
Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥，
而AA '=
6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则
EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=︒∠，故异面直线EF 与SA 成45︒的角．
7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，
CE ，EH ，则1BD EF ∥，故1EF H ∠为1BD 与1CF 所成的角．设正方体棱长为2
，则
11EF BD ==1F H =
且1EH CF ⊥，
故111cos F H EF H EF =∠为所求．
8．以正方体ABCD 为底面，GC 为棱，补作长方体ABCD A B GD '''-．由BD ∥面EFG ，则B 到面EFG 的距离等于直线BD 到面EFG 的距离，即ABCD 的中心O 到面EFG 的距离． 过O 作OK GH ⊥于K （H 为EF 与AC 的交点），则OK ⊥面EFG ，线段OK 是点O 到面
EFG 的距离．由题设有2GC =
，CH =
OH =
GH ==OK OH
GC GH
=
，故
OH GC OK GH ⋅=
=
． 9．作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为外接平行六面体的侧面对角线，由于四面体三对对棱相等，则此平行六面体为长方体．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则由
222
222
222
x x z a y z b y x y c z ⎧=⎪⎧+=⎪
⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪
=⎪⎩
而V xyz =长方体，1
3
V V =四面体长方体
，故V =四面体
10．（Ⅰ）作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线．设长
度分别为1m ，2m 的线段成α角，长度为i m 的线段所在直线与过相应对棱的两平行平面成i β角，则123V m m =⋅⋅ 33sin sin m αβ⋅⋅，故1233
33sin sin V
m m m V αβ⋅⋅=
⋅≥．
（Ⅱ）由四面体重心定义，知G 将1m ，2m ，3m 互相平分．设棱i j A A 的中点为ij B ，由三角
形中线长公式，有()2
222222
221
1241132121424132111111()224484
AG A B A B m A A A A A A A A m =+-=+---． 同理，22222
22232131242
111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222
223343242312
111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 22222
24114313422
111()()484A G A A A A A A A A m =+---． 于是 4
2222221223344121
1()2i
i AG A A A A A A A A m ==+++-∑．
同理，4
222222
1334422131
1()2i
i AG A A A A A A A A m ==+++-∑， 4
2
22
2221442233111
1()2
i i AG
A A A A A A A A m ==+++-∑． 故 4
222
1231
14
3()i i j i i j G A A A m m m =<=
-++∑∑
≤≤
，而222123m m m ++≥3
4
i
i i
AG AG =，由此即证．
（Ⅲ）由斯特瓦尔特定理，有
2222
1112134234122339AG A A A B A B =
+- 222222212141334232434121112111332249224A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222222
1213142324341139
A A A A A A A A A A A A =
++-++． 同理，()()22222
2222324213431411139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++， ()()2222222
333431324142121139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++， ()()2
2222
22444142431213231139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++．
于是，2
141414
224399i i i j i j i j
i j i j i j AG A A A A A A <<<=-=∑∑∑∑≤≤≤≤≤≤． 11．作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．令AB a =，
BC b =，1B B c =．
（Ⅰ）由1tan AD AB α=
111tan B D B B β==，221tan D C a c BC b
γ+==，有
tan tan tan αβγ⋅⋅=． （Ⅱ）在三面角1B AD C -中，有π2ABC αγ+>=
∠．同理ππ
22
αββγ+>+>，故3π
4
αβγ<++． 在三面角1O ACD -中，112πAOD COD AOC ++<∠∠∠，即2222παβγ++<，故
παβγ++<．由此结论获证．
注：若令1π2αα=
-，1π2ββ=-，1π
2
γγ=-，则知1α，1β，1γ均为锐角，且222111sin sin sin 1αβγ++=，有
111π3
π24
αβγ<++<． 12．设2cos a α=，2cos b β=，2cos c γ=，且α，β，γ为锐角．
作长方体1111ABCD A B C D -，使1ABD α=∠，11B BD β=∠，1CBD γ=∠．
令AB x =，BC y =，1B B z =，1BD l =，则cos x l α=，cos z l β=，cos y
l
γ=． 由α，β，γ均为锐角，则cos 0α>，cos 0β>，cos 0γ>，于
是cos cos cos αβγ+=++=
x y z
l
++==
注：由上可知α，β，γ均为锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=，则
有0cos cos cos αβγ<++
习题B
1．因x 表示立方体的棱长，则题中所说的体积差为 322
3
3,0,(),0,()(),
,,.abc x x a abc x a x ax x b f x x ab c x abx b x c x abc c x ⎧-<⎪+--<⎪=⎨+--<⎪⎪-<⎩
当≤时当≤时当≤时当时
注意到当0x >时，函数()f x 是连续的，且它的系数为 22
2
23,0,34,0,()32,,3,x x a x ax x b f x x ab b x c x x c ⎧-<<⎪-<<⎪'=⎨-<<⎪⎪>⎩
当时当时当时当时.
因此，当0x a <<时，函数()f x 是递减的．当x b >时，则是逆增的，而在区间(,)a b 上，
因为2234340x ax b ab -<-≤，所以如果43b a <，则()f x 是递减的；如果43a
b >，则()f x 在
43a x =
处有极小值．于是，函数()f x 的最小值要么在x b =处取到（当43
a
b ≤时），要么在43a x =处取到（当43a b >时），从而所求的min x 为4,3a b ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭．
2．过给定的立方体123412
34A A A A A A A A ''''-的中心O 作垂直于对角线13A A '的平面，它分别过棱14
A A ''，22A A '，34A A 的中点1
B ，2B ，3B ．又点1B ，2B ，3B 到顶点1A 与3A '的距离相等，都
是
，且123B O B O B O ==
，122311B B B B B B ===>，所以正棱锥1123A B B B 及3
123A B B B '
1
3AO A O '==，而其底面12
3B B B '''△与△123B B B 关于中心O 是位似的．最后，所求的正四面体分别在1123A B B B '''与
3
123A B B B ''''1<，从而其
棱长即为a ．。