第二十一章 平行六面体的性质及应用答

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第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A
1.连1AD ,AC ,设E 为OA 的中点,则11O E D O ∥,于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角,且111
2
O E D O =.不妨设正方体棱长为1,
则11BO D O ==
,1O E =,
BE =
.在△1BO E 中15
cos 6
BO E =∠为所求. 2.问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置.由条件,设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ,AC ,AD 与所给平面的夹角相同,可知所给平面与面BCD 平行.进一步,面BCD
与此正方体的12条棱的夹角都相同,因而,只需求出棱AD 与面BCD 所成的角.为此,过A 作AH ⊥面BCD ,H 为在面BCD 上的射影,连DH ,就有ADH α=∠.注意到△BCD 为正三角形,可证H 为△BCD 的外心,重心.设正方体棱长为a ,
则2sin 603DH CD =
⋅⋅︒,而90AHD =︒∠,于
是cos cos DH ADH AD α===
∠,
故α=. 3.可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形.设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点,使得11
2
IB BB =
,E 为11A D 的中点,F 为1A A 上的点,
113AF A F =,则由△EAF ∽△11C B I ,知1EF C I ∥,从而1C ,E ,F ,I 共面.设此截面交AB 于G ,交BC
于H ,连GH ,则截面1C EFGH 为凸五边形.
用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.若截面可以为一个正五边形,则
此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面,过相对的两个面的截线平行,而正五边形中没有平行的边.结论获证.
4.由第3题,知截面交棱1BB 的延长线于I ,则112BI BB =,可证1
2AG AF GB BI ==,
11113BH BI B C B I ==,于是23BG =,14BH =
,从而可求得GH =
1C H =,512FG =
,EF =
1C E =
512+. 5.将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开,从正方形PQQ P ''出发,依次为PP Q Q '',
Q QRR '',Q R S P '''',R S SR '',S SPP '',PSRQ .从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥,
而AA '=
6.作出正方体AS BC A SB C ''''-,则图中三棱锥S ABC -符合题设条件.连S C ''',则
EF SS '∥,EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角,而45S SA '=︒∠,故异面直线EF 与SA 成45︒的角.
7.将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -.分别取BP ,1CF 的中点E ,H ,连1EF ,
CE ,EH ,则1BD EF ∥,故1EF H ∠为1BD 与1CF 所成的角.设正方体棱长为2
,则
11EF BD ==1F H =
且1EH CF ⊥,
故111cos F H EF H EF =∠为所求.
8.以正方体ABCD 为底面,GC 为棱,补作长方体ABCD A B GD '''-.由BD ∥面EFG ,则B 到面EFG 的距离等于直线BD 到面EFG 的距离,即ABCD 的中心O 到面EFG 的距离. 过O 作OK GH ⊥于K (H 为EF 与AC 的交点),则OK ⊥面EFG ,线段OK 是点O 到面
EFG 的距离.由题设有2GC =
,CH =
OH =
GH ==OK OH
GC GH
=
,故
OH GC OK GH ⋅=
=
. 9.作四面体的外接平行六面体,使四面体的棱成为外接平行六面体的侧面对角线,由于四面体三对对棱相等,则此平行六面体为长方体.设长方体的长、宽、高分别为x ,y ,z ,则由
222
222
222
x x z a y z b y x y c z ⎧=⎪⎧+=⎪
⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪
=⎪⎩
而V xyz =长方体,1
3
V V =四面体长方体
,故V =四面体
10.(Ⅰ)作四面体的外接平行六面体,使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线.设长
度分别为1m ,2m 的线段成α角,长度为i m 的线段所在直线与过相应对棱的两平行平面成i β角,则123V m m =⋅⋅ 33sin sin m αβ⋅⋅,故1233
33sin sin V
m m m V αβ⋅⋅=
⋅≥.
(Ⅱ)由四面体重心定义,知G 将1m ,2m ,3m 互相平分.设棱i j A A 的中点为ij B ,由三角
形中线长公式,有()2
222222
221
1241132121424132111111()224484
AG A B A B m A A A A A A A A m =+-=+---. 同理,22222
22232131242
111()()484A G A A A A A A A A m =+---, 2222
223343242312
111()()484A G A A A A A A A A m =+---, 22222
24114313422
111()()484A G A A A A A A A A m =+---. 于是 4
2222221223344121
1()2i
i AG A A A A A A A A m ==+++-∑.
同理,4
222222
1334422131
1()2i
i AG A A A A A A A A m ==+++-∑, 4
2
22
2221442233111
1()2
i i AG
A A A A A A A A m ==+++-∑. 故 4
222
1231
14
3()i i j i i j G A A A m m m =<=
-++∑∑
≤≤
,而222123m m m ++≥3
4
i
i i
AG AG =,由此即证.
(Ⅲ)由斯特瓦尔特定理,有
2222
1112134234122339AG A A A B A B =
+- 222222212141334232434121112111332249224A A A A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎛⎫=++--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()()222222
1213142324341139
A A A A A A A A A A A A =
++-++. 同理,()()22222
2222324213431411139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++, ()()2222222
333431324142121139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++, ()()2
2222
22444142431213231139
A G A A A A A A A A A A A A =
++-++.
于是,2
141414
224399i i i j i j i j
i j i j i j AG A A A A A A <<<=-=∑∑∑∑≤≤≤≤≤≤. 11.作长方体1111ABCD A B C D -,使1ABD α=∠,11B BD β=∠,1CBD γ=∠.令AB a =,
BC b =,1B B c =.
(Ⅰ)由1tan AD AB α=
111tan B D B B β==,221tan D C a c BC b
γ+==,有
tan tan tan αβγ⋅⋅=. (Ⅱ)在三面角1B AD C -中,有π2ABC αγ+>=
∠.同理ππ
22
αββγ+>+>,故3π
4
αβγ<++. 在三面角1O ACD -中,112πAOD COD AOC ++<∠∠∠,即2222παβγ++<,故
παβγ++<.由此结论获证.
注:若令1π2αα=
-,1π2ββ=-,1π
2
γγ=-,则知1α,1β,1γ均为锐角,且222111sin sin sin 1αβγ++=,有
111π3
π24
αβγ<++<. 12.设2cos a α=,2cos b β=,2cos c γ=,且α,β,γ为锐角.
作长方体1111ABCD A B C D -,使1ABD α=∠,11B BD β=∠,1CBD γ=∠.
令AB x =,BC y =,1B B z =,1BD l =,则cos x l α=,cos z l β=,cos y
l
γ=. 由α,β,γ均为锐角,则cos 0α>,cos 0β>,cos 0γ>,于
是cos cos cos αβγ+=++=
x y z
l
++==
注:由上可知α,β,γ均为锐角,且222cos cos cos 1αβγ++=,则
有0cos cos cos αβγ<++
习题B
1.因x 表示立方体的棱长,则题中所说的体积差为 322
3
3,0,(),0,()(),
,,.abc x x a abc x a x ax x b f x x ab c x abx b x c x abc c x ⎧-<⎪+--<⎪=⎨+--<⎪⎪-<⎩
当≤时当≤时当≤时当时
注意到当0x >时,函数()f x 是连续的,且它的系数为 22
2
23,0,34,0,()32,,3,x x a x ax x b f x x ab b x c x x c ⎧-<<⎪-<<⎪'=⎨-<<⎪⎪>⎩
当时当时当时当时.
因此,当0x a <<时,函数()f x 是递减的.当x b >时,则是逆增的,而在区间(,)a b 上,
因为2234340x ax b ab -<-≤,所以如果43b a <,则()f x 是递减的;如果43a
b >,则()f x 在
43a x =
处有极小值.于是,函数()f x 的最小值要么在x b =处取到(当43
a
b ≤时),要么在43a x =处取到(当43a b >时),从而所求的min x 为4,3a b ⎧
⎫⎨⎬⎩⎭.
2.过给定的立方体123412
34A A A A A A A A ''''-的中心O 作垂直于对角线13A A '的平面,它分别过棱14
A A '',22A A ',34A A 的中点1
B ,2B ,3B .又点1B ,2B ,3B 到顶点1A 与3A '的距离相等,都

,且123B O B O B O ==
,122311B B B B B B ===>,所以正棱锥1123A B B B 及3
123A B B B '
1
3AO A O '==,而其底面12
3B B B '''△与△123B B B 关于中心O 是位似的.最后,所求的正四面体分别在1123A B B B '''与
3
123A B B B ''''1<,从而其
棱长即为a .。

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