第二十一章 平行六面体的性质及应用答

第二十一章 平行六面体的性质及应用 习题A

1．连1AD ，AC ，设E 为OA 的中点，则11O E D O ∥，于是1EO B ∠即为1D O 与1BO 所成的角，且111

2

O E D O =．不妨设正方体棱长为1，

则11BO D O ==

，1O E =，

BE =

．在△1BO E 中15

cos 6

BO E =∠为所求． 2．问题的难度在于不易确定该平面与正方体的位置．由条件，设正方体1111ABCD A B C D -的棱AB ，AC ，AD 与所给平面的夹角相同，可知所给平面与面BCD 平行．进一步，面BCD

与此正方体的12条棱的夹角都相同，因而，只需求出棱AD 与面BCD 所成的角．为此，过A 作AH ⊥面BCD ，H 为在面BCD 上的射影，连DH ，就有ADH α=∠．注意到△BCD 为正三角形，可证H 为△BCD 的外心，重心．设正方体棱长为a ，

则2sin 603DH CD =

⋅⋅︒，而90AHD =︒∠，于

是cos cos DH ADH AD α===

∠，

故α=． 3．可以用一个平面截正方体得截面为凸五边形．设点I 为正方体1111ABCD A B C D -的棱1BB 延长线上一点，使得11

2

IB BB =

，E 为11A D 的中点，F 为1A A 上的点，

113AF A F =，则由△EAF ∽△11C B I ，知1EF C I ∥，从而1C ，E ，F ，I 共面．设此截面交AB 于G ，交BC

于H ，连GH ，则截面1C EFGH 为凸五边形．

用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形．若截面可以为一个正五边形，则

此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面，过相对的两个面的截线平行，而正五边形中没有平行的边．结论获证．

4．由第3题，知截面交棱1BB 的延长线于I ，则112BI BB =，可证1

2AG AF GB BI ==，

11113BH BI B C B I ==，于是23BG =，14BH =

，从而可求得GH =

1C H =，512FG =

，EF =

1C E =

512+． 5．将正方体PQRS P Q R S ''''-的各个面依次展开，从正方形PQQ P ''出发，依次为PP Q Q ''，

Q QRR ''，Q R S P ''''，R S SR ''，S SPP ''，PSRQ ．从上述展开图可知截面六边形的周长AA '≥，

而AA '=

6．作出正方体AS BC A SB C ''''-，则图中三棱锥S ABC -符合题设条件．连S C '''，则

EF SS '∥，EF 与SA 所成的角即为SS '与SA 所成的角，而45S SA '=︒∠，故异面直线EF 与SA 成45︒的角．

7．将题给直三棱柱补成正方体1111ABPC A B PC -．分别取BP ，1CF 的中点E ，H ，连1EF ，

CE ，EH ，则1BD EF ∥，故1EF H ∠为1BD 与1CF 所成的角．设正方体棱长为2

，则

11EF BD ==1F H =

且1EH CF ⊥，

故111cos F H EF H EF =∠为所求．

8．以正方体ABCD 为底面，GC 为棱，补作长方体ABCD A B GD '''-．由BD ∥面EFG ，则B 到面EFG 的距离等于直线BD 到面EFG 的距离，即ABCD 的中心O 到面EFG 的距离． 过O 作OK GH ⊥于K （H 为EF 与AC 的交点），则OK ⊥面EFG ，线段OK 是点O 到面

EFG 的距离．由题设有2GC =

，CH =

OH =

GH ==OK OH

GC GH

=

，故

OH GC OK GH ⋅=

=

． 9．作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为外接平行六面体的侧面对角线，由于四面体三对对棱相等，则此平行六面体为长方体．设长方体的长、宽、高分别为x ，y ，z ，则由

222

222

222

x x z a y z b y x y c z ⎧=⎪⎧+=⎪

⎪⎪+=⇒=⎨⎨⎪⎪+=⎩⎪

=⎪⎩

而V xyz =长方体，1

3

V V =四面体长方体

，故V =四面体

10．（Ⅰ）作四面体的外接平行六面体，使四面体的棱成为平行六面体的侧面对角线．设长

度分别为1m ，2m 的线段成α角，长度为i m 的线段所在直线与过相应对棱的两平行平面成i β角，则123V m m =⋅⋅ 33sin sin m αβ⋅⋅，故1233

33sin sin V

m m m V αβ⋅⋅=

⋅≥．

（Ⅱ）由四面体重心定义，知G 将1m ，2m ，3m 互相平分．设棱i j A A 的中点为ij B ，由三角

形中线长公式，有()2

222222

221

1241132121424132111111()224484

AG A B A B m A A A A A A A A m =+-=+---． 同理，22222

22232131242

111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 2222

223343242312

111()()484A G A A A A A A A A m =+---， 22222

24114313422

111()()484A G A A A A A A A A m =+---． 于是 4

2222221223344121

1()2i

i AG A A A A A A A A m ==+++-∑．