电路相量法的基础
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电路相量法讲义
1. 正弦量与相量之间的联系和区别；
2. 元件电压相量和电流相量的关系、相量图。
. Im= 5∠45o A
45o
. Um= 100∠0o V
主要是相位关系 .
Z = U.m =20∠-45o W Im
与其它章节的联系 是学习第 9、10、11、12章的基础。 必须熟练掌握相量法的解析运算。
2024年7月17日星期三
qA
任意一个复数A=|A|ejqa乘以
ejq ，等于把A逆时针旋转q
qa
+1
角度，而模|A|保持不变。 o
ej
p
2
=j
-j p
e 2 = -j
e jp = -1
都是旋 转因子
A×j = jA，等于把 A 逆时针旋转90o。
A j
=
-jA，等于把
A
顺时针旋转90o。
2024年7月17日星期三
7
§8-2 正弦量
di dt
=wImcos(wt+fi
(2) i1(t) =10cos(100pt+30o)A
i2(t) =10cos(100pt-105o)A (2) j =30o-(-105o)=135o
(3) u1(t) =10cos(100pt+30o)V (3) w1≠w2，
u2(t) =10cos(200pt+45o)V 不能进行相位比较。
fi = 60o
由于最大值发生在计
o t1
t
时起点右侧 fi = - 60o
i(t) = 100cos(103t - 60o)
2. 当 103t = 60o = p3 时， 出现最大值
t1 =
电路原理(上)_ 相量法_
2U 2
e
j t
)
Re(
2U1
e
j t
2U
2
e
j
t
)
Re[
2(U1U 2) e
j t ]
相量关系为：
U
U U1 U2
结论： 同频正弦量的加减运算变为对应相量的加减运算。
8
相量法的基础
电路 原理
i1 i2= i3
I1 I2 I3
例3 u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
u2(t) 4 2cos(314t 60 o) V
u 311.1cos(314t 67) V
试用相量表示i, u。
解
I 100 50A, U 220 67V
例2 已知I 60 30 A , f 50Hz , 试写出电流的瞬时值表达式。
解
i 60 2cos(314t 30) A
6
相量法的基础
相量图
在复平面上用矢量表示相量的图。
u(t) 2Ucos( t θ) U U
j t
Re 2Ie dt Re 2
I j t e
j
dij
dt
IIi
+π
2
II idt j
i 2
11
相量法的基础
电路 原理
例4 用相量运算：
i(t)
+R
u(t)
L
-
C
i(t) 2I cos( t i)
u(t) Ri L di 1 idt dt C
| F |
a2 b2
b
或
θ
arctan( ) a
二. 复数运算
Im
b
F
电路原理 第八章_相量法
复数 复数
—
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法(续）
—
已知正弦量 220√ 2 cos ( ω t－35° ) 有效值相量 最大值相量 220/ －35° — 220√ 2 /－35°
已知 相量 10/45° and 正弦量的角频率ω 相应的正弦量 — 10 √ 2 cos( ωt + 45° )
0 ωt1
ωt2
ωt
φ
图8-5 用旋转矢量表示的正弦量
孙惠英 shy@
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第8章
4、正弦量的相量表示法 F = ⎪F⎪e j(ω t + ϕ )
ejθ = cosθ + jsinθ
设：有一复数
欧拉公式
F = ⎪F⎪ej(ωt + ϕ ) = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ) + j⎪F⎪sin(ωt +ϕ) Re [F] = ⎪F⎪cos(ωt + ϕ ) Im [F] = ⎪F⎪sin(ωt + ϕ )
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第8章
三、旋转因子
/ϕ 旋转因子: e jϕ = 1 — A = ⎪A⎪ejα Aejϕ = ⎪A⎪ejαejϕ = ⎪A⎪ej(α+ϕ ) ejπ/2 = j1 e－jπ/2 = − j1
+j
Aejϕ
ϕ α
0
A
+1
e－jπ = − 1
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第8章
ϕ 12 = ϕ 1－ ϕ 2 —— u1 超前于 u2 的相角 ϕ 21 = ϕ 2－ ϕ 1 —— u2 超前于 u1 的相角
电路PPT-相量法
I IΨi UL w LI Ψi π 2
jw L
相量關係：
U L
jwL I jXLI
相量模型
有效值關係： U=w L I 相位關係： u=i +90°
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感抗和感納
XL=wL=2fL，稱為感抗，單位為 (歐姆) BL=-1/w L =-1/2fL， 稱為感納，單位為 S
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I 0
u的所有正弦電流用相量表示
時仍滿足KCL；而任一回路所有支路正弦電壓用
相量表示時仍滿足KVL。
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例2 已知電流錶讀數： A1 ＝8A A2 ＝6A
週期性電流、電壓的暫態值隨時間而變，為 了衡量其平均效果工程上採用有效值來表示。
週期電流、電壓有效值定義
物 直流I R 理 意
義 W RI2T
交流 i R
W
T
0
Ri2 (t )dt
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均方根值
def
I
定義電壓有效值：
1 T
T
0
i2
(t )dt
def
U
1 T u2 (t)dt
T0
正弦電流、電壓的有效值
試用相量表示i, u .
•
•
解 I 10030o A, U 220 60o V
•
例2 已知 I 5015 A, f 50Hz .
試寫出電流的暫態值運算式。
解 i 50 2cos(314t 15) A
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相量圖
相量是一個複數，它在複平面上的
圖形稱為相量的圖。
i(t) 2Icos(ω t Ψ ) I IΨ
•
i(t) 2I cos(w t Ψ ) I IΨ
电工基础相量法基础
幅值
角频率
初相位
(1)幅值 (振幅、 最大值)Im
反映正弦量变化幅度的大小。
当 sin(? t ? ? i ) ? 1时，有i ? I m ? imax 当 sin(? t ? ? i ) ? ? 1时，有i ? ? I m ? ? imax
最大值与最小值之差 imax ? imin ? 2Im ,称为正弦量的峰--峰值
例6-1 设复数A1=4+j3，A2=6? 135?，计算A1+A2，A1? A2
本例说明进行复数的加减运算时 应先把极坐标形式转为 代数形式
例6-2 计算复数 220? 35? ? ?17 ? j9??4 ? j5?? ？
20.62? 14.04?
本例说明进行复数的乘除运算时 应先把代数形式转为 极坐标形式
6-1 复数
?代数形式
A = a +jb
复数的实部和虚部分别表示为： Re[A]=aIm[A]=b
?三角形式
A=|A|(cos?+jsin ?)
复数A的模 幅角
两种表示法的关系
??a ? A cos?
? ??
b
?
A sin?
? ?
A
?
a2 ? b2
?
b
?? ? arctg
?
a
6-1 复数
?指数形式 A=|A| ej?
6-2 正弦量
(2) 角频率?
相位变化的速度， 反映正弦量变化快慢。
? ? 2? f ? 2?
T
单位： rad/s ，即弧度 / 秒
我国电力系统的电压为正弦量，频率为 50Hz
(3) 初相位 ? i 反映正弦量的计时起点。
三个要素：幅值、 角频率、初 i T
电路分析课件第八章相量法
KVL：任意时刻，任一回路，U=0
三、受控源的相量形式
i1
I1
R
正弦电流
i 1 电路时：
R
1I1
本章小结：
所谓相量法，就是电压、电流用相量表示， RLC元件用阻抗、感抗、容抗表示，画出电路的相 量模型，利用KCL、KVL和欧姆定律的相量形式写 出未知电压、电流相量的代数方程加以求解，因此， 应用相量法应熟练掌握:
∴ i =46.2 2cos(314t–27º)A j I1
+1 I
相量图
I2
注意：
在分析正弦交流电路时字母的写法：
i — 瞬时值 I — 有效值 Im — 最大值 I — 有效值相量 Im— 最大值相量
三、不同频率的正弦量不能用相量法运算。
相量只含有正弦量的有效值(最大值)和初相 位的信息，不包含频率的信息，即：在运用相量 法分析正弦量时，默认为同频率。
将 I (或 U)定义为电流i (或电压u) 的相量，它含有 正弦量的振幅和相位的信息。
注意：
有一个正弦量便可以得到一个相量； 有一个相量也可以写出对应的正弦
量。两者是一一对应的关系，决不
是相等的关系。
u=220 2 cos(314t+45º)V
U=220 45ºV u U
I=50 –30ºA 一一对应 i =50 2 cos(ωt–30º)A i I
U 相量形式电路图
相量关系既反映了u、i 的有效 值关系又反映了相位的关系。
I U 相量图
2、电感
iL
u
若：i = 2 Icos(ωt+ψi )
则：u=L
di dt
=–
2 IωLsin(ωt+ψi )
电路分析相量法
量的相量乘以 jω ，即表示di/dt 的相量为
j I I( i 90o )
该相量的模为ωI ，辐角则超前原相量π/2 。
对 i 的高阶导数 dni/dtn ，其相量为 ( j )。n I
3)正弦量的积分
设 i 2I cos( t i )，则
idt Re[ 2Ie j t ] dt Re[ (
F1F2 | F1 | 1 | F2 | 2 | F1 || F2 | (1 2 )
可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便。
3)除法运算
a)代数形式
F1 F2
a1 a2
jb1 jb2
(a1 (a2
jb1 )(a2 jb2 )(a2
jb2 ) jb2 )
(a1a2
b1b2 ) j(a2b1 a22 b22
设 F1 a1 jb1 ， F2 a2 jb2 ，则
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形法则：
+j F1 +F2 F1
F2 o
+1
+j F1
F2 o
F1－F2 +1
2)乘法运算 a)代数形式
F1F2 (a1 jb1 )(a2 jb2 ) (a1a2 b1b2 ) j(a1b2 a2b1 )
di d Re[ 2Ie j t ] Re[ d ( 2Ie j t )] Re[ 2( j I)e j t ]
dt dt
dt
Re[ 2 Ie ] j( ti 90o ) 2 I cos( t i 90o )
上式表明：
复指数函数实部的导数等于复指数函数导数的实部；
电路原理课件 第8章 相量法
三. 相位差 ：
两个同频率正弦量相位角之差。
i(t) 0
Im um
设 u(t)=Umcos(w t+ u)
2
i(t)=Imcos(w t+ i)
0
wt
则 相位差j : j = (w t+ u)- (w t+ i)
u- i
同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差。 不同频率的两个正弦量之间的相位差不再是一个常数，而是 随时间变动。
j u与i正交; j u与i反相;
2
§8 - 3相量法的基础
1. 正弦量的相量表示
复函数 F F ej(wt)
没有物理意义
F cos(wt ) j F sin(wt Ψ )
若对F取实部：
Re[F] F cos(ωt Ψ ) 是一个正弦量，有物理意义。
对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的 复指数函数：
F e j
4、极坐标形式：
F F ej
=|F|
二 复数运算
(1)加减运算——代数形式
+j F2
若 F1=a1+jb1
F2=a2+jb2 O
则 F1±F2= (a1±a2) +j (b1±b2)
F= F1 +F1
F1 +1
+j
O - F2
F2 F1
F= F1 - F2 +1
(2) 乘除运算——指数形式或极坐标形式
⑶∫i2dt。
解： ⑴设 i i1 i2 2I cos(wt i ), 其相量为 I=I/Ψi
I I1 I2 10/600A+22/-1500A=（5+j8.66）A+（-19.05-j11）A
电路分析基础课件第6章 相量法
+j
设相量
相量 乘以 ，
将逆时针旋转 90， 得到
A
0ψ +1
相量 乘以
，
- A
将顺时针旋转 90，得到
应用举例
例： 6-5 在图示相量图中， 己知I1=10A， I2=5A, U=110V， f=50Hz，试分别写出 它们的 相量表达式和瞬时值表达式，并说明它们之间的相位关系。
解： 相量表达式为 I1 10 30 A I2 5 45 A
F2
(1) 加法运算：
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
F1 +1
F1 F2 F2
(2) 减法运算：
作图方法：首尾相连
F1 F2 (a1 a2 ) j(b1 b2 )
平行四边形
(3) 乘法运算：
F1 F2 F1 F2 (1 2 )
试分别画出它们的波形图，求出它们的有效值、频率及相位差。
解：u 10 2sin(314t 30)
i、u
10 2cos(314t 120)
ui
i、u波形图如图所示。其有效值为
I 20 14.142Α 2
0 π 2π ωt
U 10V
i、u 的频率为 f ω 314 50Hz
2π 2 3.14
u、i 的相位差为：
ψu ψi 120 60 180
应用举例
例： 6-3已知正弦电压 u 311cos(314t 60)V，试求：(1)角频率ω、频率f、周期T、
最大值Um和初相位Ψu ；(2)在t=0和t=0.001s时，电压的瞬时值；(3)用交流电压 表去测量电压时，电压表的读数应为多少？
第五章相量法基础
u U m sin(t u )
i I m sin(t i )
一个正弦量可以用它的最大值 U m I m 角频率
u i
和初相角
三个要素唯一地确定。
（1）最大值 U m ，
量瞬时值中的最大量值，也就是 sin(t u ) 1
I m 是正弦量 u
和
i
的振幅。正弦 和
§5-6正弦电流电路中的电阻 在正弦电流电路中，电路仍然适用欧姆定律和基尔霍夫定律。 （1）电压和电流关系 关联参考方向下，设 u 2U sin( t ψu ) ,则电流为
2U sin( t ψu ) u 2U i sin( t ψ u ) 2 I sin( t ψ i ) R R R
§5-5正弦量的相量
欧拉公式
e j cos j sin
其虚部为 sin Im[e j ]
正弦电压 u (t ) 2U sin(t ) ，则
u (t ) 2U sin( t ) Im[ 2Ue j (t ) ] e jt ] 上式中， Im[ 2Ue j e jt ] Im[ 2U
1
2
A1 A2 A1 e j1 A2 e j2 A1 A2 e j (1 2 ) A1 A2 1 2
A1 e j1 A1 1 A1 j (1 2 ) A1 A1 e 1 2 j 2 A2 A2 2 A2 A2 A2 e
p R u R i 2U R sin t 2 I sin t
URI URI cos 2t 0
由于 cos 2t 1 ，所以 p U RI U RI cos 2 t 0 所以电阻是一个耗能元件。
相量法基础及其应用
相量法基础及其应用1. 相量法基础1.1相量定义1.1.1相量定义（国标中相量的定义）《GB/T 2009.1-2008 电工术语 基本术语》对相量作了如下定义：相量：表示正弦量的复数量，其辅角等于初相，其模值等于方均根值或振幅。
注1：)cos()cos(2)(00θωθω+=+=t A t A t a m 的相量为00m θθj j e A Ae 或注2：相量也可用相量图表示1.1.2 相量定义（旋转矢量）相量是按照角速度以逆时针方向旋转的旋转矢量，为区别于非旋转的矢量，将用大写字母上加“﹒”对相量进行标记。
如图所示，在将相量置于复数坐标系后，可以描述为（1）指数形式)(ϕω+•=t j Be B （2）极坐标形式ϕω+∠=•t B B（3）代数形式)sin()cos(ϕωϕω+++=•t jB t B B又称图1为相量•B 的相量图 图11.2相量的引入—正弦量的相量物理和工程领域中，常会使用到正弦信号（例如交流电路的分析），这时可以使用矢量来简化分析。
相量是振幅、相位和频率均为时不变的正弦波的一个复数，是更一般的概念解析表示法的一个特例。
如果将正弦量的三个要素分别与相量的模值，初始角度，旋转角度一一对应起来，即用相量的模值表示正弦量的有效值或幅值、用相角的初始角度表示正弦量的初相位、用相量的旋转角速度标志正弦量的角频率，就实现了正弦量从时间域到相量域的映射：时间域的正弦量 相量域的正弦量)( )cos(2ϕωϕω+∠=⇔+=•t I I t I i需要指出的是：在同一个正弦交流电路中，各变量的频率（或角频率）是相同的，这时候正弦量的相量通常简化为：)(sin cos ϕωϕϕϕ+∠=+=∠=•••t I I jI I I I I 而不是或习惯上，用正弦量的有效值而不是幅值与相量的模相对应，这时候的相量称为有效值相量，或简称相量；如果对正弦量的幅值与相量的模相对应，则称最大值相量，并加下标“m ”进行标记。
第5章 正弦交流电路相量法
A B
a 1 b1 a 2 b 2
2 1
b
2 2
j
a 2 b1 a 1 b 2 b1 b 2
2 2
A B
A B
e
j ( a b )
( a b )
几何意义：
j
B A 1 A/B
8
二、正弦量的三要素
凡是按正弦规律变化的电压、电流等都称为正弦量。（即 能用sin或cos表示的电压、电流）。 i
1
i
（与t无关）。
（ 相位差）是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。
5.2 正弦量6
电压超前电流，即电压先达到最大值。
u
i
0,
u
i 0,
i
电流超前电压，即电流先达到最大值。 电压与电流同相。
u
0,
u
i
+
L
5.1 正弦量的基本概念
一、复数的几种表达形式
<一> 代数形式:
A a 1 ja 2
5.1 复数1
j 1
j
A
1
<二> 三角形式：
A A (cos j sin )
A
a1 a 2
2
2
为模（或幅值）；
tg
a2 a1
称为A的幅角。
<三> 指数形式：
A Ae
i 1 dt (Re
5.3 相量法的基础5
2 I 1 cos( t 1 )dt
j t
i1 I 1 I 1 e
j 1
a 1 b1 a 2 b 2
2 1
b
2 2
j
a 2 b1 a 1 b 2 b1 b 2
2 2
A B
A B
e
j ( a b )
( a b )
几何意义：
j
B A 1 A/B
8
二、正弦量的三要素
凡是按正弦规律变化的电压、电流等都称为正弦量。（即 能用sin或cos表示的电压、电流）。 i
1
i
（与t无关）。
（ 相位差）是区分两个同频率正弦量的重要标志之一。
5.2 正弦量6
电压超前电流，即电压先达到最大值。
u
i
0,
u
i 0,
i
电流超前电压，即电流先达到最大值。 电压与电流同相。
u
0,
u
i
+
L
5.1 正弦量的基本概念
一、复数的几种表达形式
<一> 代数形式:
A a 1 ja 2
5.1 复数1
j 1
j
A
1
<二> 三角形式：
A A (cos j sin )
A
a1 a 2
2
2
为模（或幅值）；
tg
a2 a1
称为A的幅角。
<三> 指数形式：
A Ae
i 1 dt (Re
5.3 相量法的基础5
2 I 1 cos( t 1 )dt
j t
i1 I 1 I 1 e
j 1
电路 8章 相量法
1 T 2 I= Im cos2 (ωt +φi )dt ∫0 T
第 1 章
静电场
四、正弦量之间的相位差、超前与滞后
i1 = 2I1 cos(ωt +φi1)
u2 = 2U2 cos(ωt +φu2 )
相位差
φ12 = (ωt +φi1) (ωt +φu2 ) = φi1 φu2
π
2 , 称1与 2正 ; i u 交
ω φi
ωt +φi
(ωt +φi ) t=0 = φi
正弦量的相角
i = f (Im,ω,φi )
第 1 章
静电场
二、正弦量的性质 正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同 频正弦量的代数和等运算，其结果仍为一个 同频率的正弦量。 三、正弦周期量的有效值
1 T 2 I= ∫0 i dt T
Im I= = 0.707Im 2
因此，电流表A和A4 的读数分别为7.07A和5A.
如果改用代数形式呢？
F 1
F 1 F 2
θ2
F 1 F 2
模先缩小 F 倍； 2 幅角再顺时针旋转 θ2
θ1
θ2
F 2
第 1 章
静电场
三、两个复数相等
F =F 1 2
且 且
Re[F ] = Re[F2 ] 1
或
Im[F ] = Im[F ] 1 2
arg F = arg F 1 2
jθ
F1 = F 2
复数的加减法运算采用其代数形式进行！
+j
F 2
F +F 1 2
F 1
+1
O
第 1 章
静电场
《电路原理相量法》课件
05 相量法的实验验证
CHAPTER
实验设备与器材
电源
提供稳定的交流电，模拟真实 电路中的电源。
电阻、电容和电感
用于构建各种电路，验证相量 法的理论。
示波器
用于观察和记录实验中的电压 和电流波形。
数据采集器和计算机
用于实时采集和处理实验数据 。
实验步骤与操作
3. 开启电源
2. 设置测量参数
设定示波器的采样率、电压范围 等参数，确保能够准确记录波形 。
音频处理
相量法用于分析声音信号的频率和相位，以进行 音频处理和编辑。
谢谢
THANKS
电阻元件的相量模型
总结词
描述电阻元件在相量法中的数学 模型和特性。
详细描述
电阻元件的相量模型是一个实数 ，表示其纯实部的阻抗。在相量 图中，电阻元件的相量位于实轴 上。
04 相量法的电路分析
CHAPTER
简单电路的相量分析
总结词：简单明了
详细描述：对于简单的电阻、电容、电感电路，可以使用相量法进行直观分析， 通过相量图和公式计算得出结果。
《电路原理相量法》ppt课件
目录
CONTENTS
• 相量法简介 • 相量法的数学基础 • 电路元件的相量模型 • 相量法的电路分析 • 相量法的实验验证 • 相量法在日常生活中的应用
01 相量法简介
CHAPTER
相量法的定义
相量法是一种分析正弦稳态电路的方 法，通过引入相量来描述正弦量，将 时域中的正弦稳态电路转换为复平面 上的向量图，从而简化计算过程。
CHAPTER
复数及其运算
复数的定义
由实部和虚部组成的数，表示为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是 虚数单位。
6相量法基础资料
I 1 0.707A 2
频率： 1000 rad/s f 1000159Hz 2 2
初相位： 30 90 60
20
例2 计算下列两正弦量的相位差。
(1) i1(t) 20cos(100π t 3π 4) i2(t) 20cos(100π t π 2)
解 135 (90) 225 225 360 135
u1(t) 2 U1 cos(t 1),u2(t) 2 U2 cos(t 2)
u(t) u1(t) u2(t)
U U1 U 2
（2） 正弦量的微分，积分运算
i I
i I
di jI
dt
idt
1
j
I
31
§3 相量形式元件VCR关系 一. 电阻电路
根据 欧姆定律 u iR
i
u
R
设 u 2U cos( t )
定义： 用复常数表示正弦量，记为
U Ue j (有效值电压相量)
ψ
u0
x
23
※相量与正弦量之间的关系
• (复常数)相量：
A = U e j
• 正弦量： u = Um cos( t+) 表示
•将相量(r e j )乘上一个旋转因子(e j t)，
得到复数圆的轨迹，对其取实部的结果就 是正弦量的瞬时值。
3
Im (I1m cos 1 I2m cos 2 )2
i
(I1m sin 1 I2m sin 2 )2
1 2
arctg ( I1m sin 1 I2m sin 2 ) I1m cos 1 I2m cos 2
i2 i1
由此，代入数据I m1=100A, I m2=60A, 1=45,2= –30
第九章相量法基础知识
相量法（基础知识复习）
一、正弦量的复数表示
相量式：
u=2202sin(ωt+300)
i=102sin(ωt - 600)
二、复数形式的欧姆定律
1、公式形式
2、复阻抗的幅角范围
3、复阻抗是一个复数的计算量，相量。
4、电阻的复数形式是，感抗的复数形式是，容抗的复数
形式是。
1、有三个负载串联，各负载的电阻和电抗分别是：R1=3.16，XL1=6；R2=2.5，XC2=4；R3=3，XL3=3。
u=2202sin(ωt+300)V，求电路中的电流和各负载两端电压的解析式。
正弦交流电的基本概念（基础知识复习）
一、 相关概念
1、交流电：
2、正弦交流电：
3、产生正弦交流电的条件：
4、中性面：
二、 表征交流电的物理量
通常所说的照明电压 V 和动力电压 V 均是指 值；（2）、各种电气设备上所标 和 值，也都是 值；
（3）、一般 表和 表测量的值，都是 值；
（4）、规定正弦交流电的初相位和相位差的范围是 ；
（5）、只有 频率的正弦量才可以比较相位；
（6）、相位差是一个 数值，不随时间变化而变化。
三、交流电的表示法：
u=311sin(ωt+300)V
1、解析式表示法（瞬时值表示法）（略）
2、波形图表示（正弦曲线表示法）
3、相量图表示法（旋转矢量表示法）
4、相量表示法（复数表示法、符号表示法）。
高等教育出版社第六版《电路》第8章_相量法讲解
定义：随时间按正弦规律变化的电压和电流，称为正弦量。 i
&#， i(t) Im cos(t i )
注意：方向是随时间在周期性的变化，所以更要标定参考方向。 5
1、变化的快慢： ①频率f：每秒变化的次数。单位：Hz ②周期T：变化一次所需的时间。单位：s ③角频率ω：每秒变化的弧度数。单位：rad/s
一般地 i 2I cos(t i )A
可用相量表示为： I I e ji I iA
9
二、相量和正弦量的比较：
①联系： 实数范围的正弦时间函数和复数范围的复指数常数一一对应。
欧拉公式：e j cos jsin，
i 2I cos(t i ) Re[ Re[ 2 I eji ejt ] Re[
F
其中 F ： 模、§幅8值-1 复数： 幅角
b
四者之间有： a F cos b F sin
F a2 b2
arctan b
a
a
请注意：上式与教材P202倒数第二行的差别。
为正确判定θ所在的象限，我们将a、b的正负号分别
保留在分母分子中，而不用小括号。
例：
F
4
j4，
arctan
4 4
45
(第四象限)。
意
②正弦量的一个重要性质：
正弦量乘以常数，正弦量的微分、积分，同频 正弦量的代数和等，结果均为同频正弦量。
8
§8 - 3 相量法的基础(****)
§8 - 3 相量法的基础
一、相量定义：
表示正弦量的复常数称为相量。 例如：
正弦量 i 220 2 cos(314t 30 )A
可用相量I 220 ej30 A表示。
例 u(t) Um sin(t u )
电路相量法基础知识讲解
7.19 j6.46 9.6441.9o V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9o ) V
也可借助相量图计算
Im
U 2
U
U 1
41.9
60 30
Re
首尾相接
U
Im
U 2
U 1
60
41.9
30
Re
2 . 正弦量的微分，积分运算
i 2 I cos(w t y i ) I Iy i
例
i
100
50
0 t1
已知正弦电流波形如图，w＝103rad/s，（1） 写出i(t)表达式； （2）求最大值发生的时间t1
t 解 i(t) 100cos(103 t )
t 0 50 100cos
由于最大值发生在计时起点之后
i(t) 100cos(103 t )
3 当 103 t1 3 有最大值
20 j5
解
原式
180.2
j126.2
19.2427.9 7.21156.3 20.6214.04
180.2 j126.2 6.72870.16
180.2 j126.2 2.238 j6.329 182.5 j132.5 225.536 Im
A• ej
(3) 旋转因子：
复数 ej =cos +jsin =1∠
② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。
N
线性
w1
w2
N
线性
w非
线性
不适用 ③ 相量法用来分析正弦稳态电路。
8.3 电路定理的相量形式
1. 电阻元件VCR的相量形式
i(t)
电路第8章相量法
注意
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 o u 311.1cos(314t 60 )V
jX L j4 5 j20
1 jX C j j10Ω 5 0.02
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U U U I IR IL IC R j X L jX C
微分运算 积分运算
di d e j t Re 2 I j e j t Re 2 I dt dt I j t j t idt Re 2 Ie dt Re 2 e j
di dt
j I I i π
I2
4. Z 2 jX C , I 0 I1 8A, I 2 16A
返 回
例3 已知 u(t ) 120 2 cos(5t ), 求 : i(t )
i +
15
4H
0.02F 相量模型
_ u
U _
I 15 -j10 +
j20
I1
I2
I3
解
12000 U
返 回 上 页 下 页
4、线性受控源
ik 0
Ik 0
uk
ij
uj
Uk
Uj
Ij
VCCS（电压控制的电流源）
相量模型
i j guk
相量的模表示正弦量的有效值
相量的幅角表示正弦量的初相位
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系：
u(t ) 2U cos( t θ ) U Uθ
例1
i 141.4 cos(314t 30o )A 已知 o u 311.1cos(314t 60 )V
jX L j4 5 j20
1 jX C j j10Ω 5 0.02
返 回 上 页 下 页
U U U I IR IL IC R j X L jX C
微分运算 积分运算
di d e j t Re 2 I j e j t Re 2 I dt dt I j t j t idt Re 2 Ie dt Re 2 e j
di dt
j I I i π
I2
4. Z 2 jX C , I 0 I1 8A, I 2 16A
返 回
例3 已知 u(t ) 120 2 cos(5t ), 求 : i(t )
i +
15
4H
0.02F 相量模型
_ u
U _
I 15 -j10 +
j20
I1
I2
I3
解
12000 U
返 回 上 页 下 页
4、线性受控源
ik 0
Ik 0
uk
ij
uj
Uk
Uj
Ij
VCCS（电压控制的电流源）
相量模型
i j guk
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角频率
i2
有效值 I1 O
I2
初相位 1
2
i1+i2 i3
i3
It3 3
结论
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，
只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 F (t) 2Ie j( t )
2Icos(t ) j 2Isin(t )
2Ucos( t θ) U U
+j •
U
O
•
I
+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos( t 1) Re(
2
•
U
1
e
j
t
)
u2 (t)
2 U2 cos( t 2) Re(
2•U2来自ejt
)
u(t) u1(t) u2 (t) Re(
u2 (t) 4 2cos(314t 60 ) V
U1 6 30 V U2 4 60 V
U U1 U2 6 30 4 60
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.64 41.9 V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9 ) V
①把时域问题变为复数问题。
②把微积分方程的运算变为复数方程运算。 ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
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注意 ① 正弦量
相量
时域 正弦波形图
频域 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的时不变
线性电路。
不
适
线
1 线
非
用
性 2 性
线性
③相量法用来分析正弦稳态电路。
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积分运算
idt Re
2Iej t
dt
Re
2
I
j
e j t
di dt
j
I
I
i
π
2
idt
I
j
I
i π 2
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例3-4
i(t)
+R
u(t)
L
-C
用相量运算：
i(t) 2 I cos( t i )
u(t)
Ri
L
di dt
1 C
idt
U RI jLI I
jC
相量法的优点
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借助相量图计算
U1 6 30 V U2 4 60 V
+j
U 2
60
U
U1 30 41.9
+j
O
+1
O
U
U 2
U1 60
30 41.9
+1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos( t i ) I I i
微分运算 di d Re 2 Iej t Re 2I j ej t dt dt
2
•
U
1
e
j
t
)
Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
Re(
2
•
U
1
e
j
t
2
•
U
2
e
j
t
)
Re[
2
•
(U
1
•
U
2
)e
j
t
]
相量关系为： U U1 U2
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
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i1 i2 = i3
例3-3
I1 I2 I3
u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
对 F(t) 取实部 Re[F(t)] 2Icos( t ) i(t)
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一 与其对应的复数函数。
i 2Icos( t ) F(t)
是一个正弦量 有物理意义
j( t )
2Ie
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F(t) 还可以写成 复常数
F (t) 2Ie j e jt 2Ie jt F(t) 包含了三要素：I、 、， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
•
i(t) 2I cos( t ) I I
注意
①相量的模表示正弦量的有效值。 ②相量的幅角表示正弦量的初相位。
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系
•
u(t) 2U cos( t θ ) U U
例3-1 已知 i 141.4cos(314t 30o ) A
u 311.1cos(314t 60o ) V
试用相量表示i, u。
•
•
解 I 100 30o A, U 220 60o V
•
例3-2 已知 I 50 15 A, f 50Hz , 试写出电流
的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15 ) A
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相量图
i(t)
u(t)
在复平面上用矢量表示相量的图。
2Icos(ω t ) I I
8-3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程
+ R iL L +
u
-
uC- C
LC
d2uC dt2
RC
duC dt
uC
u(t)
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos( t 1)
i2 2 I2 cos( t 2 )
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iu1, i
i2
i1