电路相量法的基础

2
•
U
1
e
j
t
)
Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
Re(
2
•
U
1
e
j
t
2
•
U
2
e
j
t
)
Re[
2
•
(U
1
•
U
2
)e
j
t
]
相量关系为： U U1 U2
U
结论 同频正弦量的加减运算变为对应相量
的加减运算。
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i1 i2 = i3
例3-3
I1 I2 I3
u1(t) 6 2cos(314t 30 ) V
①把时域问题变为复数问题。
②把微积分方程的运算变为复数方程运算。 ③可以把直流电路的分析方法直接用于交流电路。
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注意 ① 正弦量
相量
时域 正弦波形图
频域 相量图
②相量法只适用于激励为同频正弦量的时不变
线性电路。
不
适
线
1 线
非
用
性 2 性
线性
③相量法用来分析正弦稳态电路。
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•
i(t) 2I cos( t ) I I
注意
①相量的模表示正弦量的有效值。 ②相量的幅角表示正弦量的初相位。
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同样可以建立正弦电压与相量的对应关系
•
u(t) 2U cos( t θ ) U U
例3-1 已知 i 141.4cos(314t 30o ) A
u 311.1cos(314t 60o ) V
2Ucos( t θ) U U
+j •
U
O
•
I
+1
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4. 相量法的应用
①同频率正弦量的加减
u1(t)
2 U1 cos( t 1) Re(
2
•
U
1
e
j
t
)
u2 (t)
2 U2 cos( t 2) Re(
2
•
U
2
e
j
t
)
u(t) u1(t) u2 (t) Re(
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借助相量图计算
U1 6 30 V U2 4 60 V
+j
U 2
60
U
U1 30 41.9
+j
O
+1
O
U
U 2
U1 60
30 41.9
+1
首尾相接
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②正弦量的微分、积分运算
i 2 I cos( t i ) I I i
微分运算 di d Re 2 Iej t Re 2I j ej t dt dt
u2 (t) 4 2cos(314t 60 ) V
U1 6 30 V U2 4 60 V
U U1 U2 6 30 4 60
5.19 j3 2 j3.46 7.19 j6.46
9.64 41.9 V
u(t) u1(t) u2(t) 9.64 2cos(314t 41.9 ) V
8-3 相量法的基础
1. 问题的提出
电路方程是微分方程
+ R iL L +
u
-
uC- C
LC
d2uC dt2
RC
duC dt
uC
u(t)
两个正弦量的相加，如KCL、KVL方程运算：
i1 2 I1 cos( t 1)
i2 2 I2 cos( t 2 )
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iu1, i
i2
i1
积分运算
idt Re
2Iej t
dt
Re
2
I
j
e j t
di dt
j
I
I
i
π
2
idt
I
j
I
i π 2
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例3-4
i(t)
+R
u(t)
L
-C
用相量运算：
i(t) 2 I cos( t i )
u(t)
Ri
L
di dt
1 C
idt
U RI jLI I
jC
相量法的优点
试用相量表示i, u。
•
•
解 I 100 30o A, U 220 60o V
•
例3-2 已知 I 50 15 A, f 50Hz , 试写出电流
的瞬时值表达式。
解 i 50 2cos(314t 15 ) A
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相量图
i(t)
u(t)
在复平面上用矢量表示相量的图。
2Icos(ω t ) I I
对 F(t) 取实部 Re[F(t)] 2Icos( t ) i(t)
结论
任意一个正弦时间函数都有唯一 与其对应的复数函数。
i 2Icos( t ) F(t)
是一个正弦量 有物理意义
j( t )
2Ie
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F(t) 还可以写成 复常数
F (t) 2Ie j e jt 2Ie jt F(t) 包含了三要素：I、 、， 正弦量对 复常数包含了两个要素：I , 。 应的相量
角频率
i2
有效值 I1 O
I2
初相位 1
2源自文库
i1+i2 i3
i3
It3 3
结论
同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，
只需确定初相位和有效值。因此采用
正弦量
复数
变换的思想
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3. 正弦量的相量表示
无物理意义
造一个复函数 F (t) 2Ie j( t )
2Icos(t ) j 2Isin(t )