数学物理方程第三章行波法与积分变换法word版
ch3 行波法与积分变换法
9 2 f1 (3 x ) x C 4 3 2 f2 ( x) x C 4
1 2 f ( x ) x C 1 4 f ( x) 3 x2 C 2 4
代入 u( x , y ) f1 (3 x y ) f 2 ( x y ) 得到所求的解为:
行波法与积分变换法
行波法只适用波动方程的初值问题.
积分变换法可用于任何方程类型，但主要用于
自变量为无限的情形，其主要思想：降维 使用积分变换法的两个困难： 1、选取哪一种积分变换 2、逆变换难求
(1)掌握一维波动方程初值问题的达朗贝尔公式；
(2)了解三维波动方程的泊松公式； (3)理解积分变换法在解微分方程中的应用。 重点：一维波动方程初值问题的达郎贝尔公式；
常数值f1(C1)，且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1，2) 的改变)而改变，所以波动实际上是沿特征 线传播的。
x at 变换 常称为特征变换，行波法也称为特征 x at 线法。
注：
容易看出, 一维波动方程的两族特征线xat=常数, 正好是常微分方程 (dx 1 ( x at ) 2 ( x at ) | | 1 ( x at ) 2 2 1 x at 2 ( x at ) | | 1 ( ) 2 ( ) | d 2a x at 1 1 x at d 2 2 2a x at 即: | u1 u2 | (1 t )
1 3 2 u( x , y ) (3 x y ) ( x y )2 3 x 2 y 2 4 4
2 u 2sin x u cos x u yy cos x u y 0 例2 求方程 xx xy
数学物理方程第三章_行波法和积分变换法
[x − at , x + at ] 上的值,而与其他点上的初始条件无关,这个区间称为点 (x, t ) 的依赖区间,
它是过 ( x, t ) 点分别作斜率为 ±
1 的直线与 x 轴相交所截得的区间,如图 3-2 所示. a
(x,t0)
y
x O x-at0 x+at0
图 3-1
初 始 时 刻 t = 0 时 , 取 x 轴 上 的 一 个 区 间 [x1 , x 2 ] , 过 点 x1 作 斜 率 为
同理可得
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ⎤ 2⎡∂ u = + a + 2 ⎢ 2 ∂ξ∂η ∂η 2 ⎥ ∂t 2 ⎣ ∂ξ ⎦
将其代入式(3.1.1),得
∂ 2u =0 ∂ξ∂η
对 ξ 积分,得
∂u = f (η ) ∂η
对此式再关于η 积分,得
u = ∫ f (η )dη + f1 (ξ ) = f1 (ξ ) + f 2 (η )
第三章 行波法与积分变换法 本章我们介绍两个常用的解题方法：行波法和积分变换法。行波法只用于求解无界区 域上的波动方程定解问题， 积分变换法不受方程类型的限制， 一般应用于无界区域的定界问 题，有时也应用于有界域的定解问题.
3.1 达朗贝尔公式及波的传播 在求解常微分方程的特解时,一般先求出方程的通解,然后利用所给的定解条件去解出 通解中含有的任意常数,最后得到了满足所给条件的特解.这个想法能否推广到求解偏微分方 程的过程中呢?一般情况下,随着自变量个数的增加,偏微分方程的通解非常难求,并且偏微分 方程的通解一般都含有任意函数,这种任意函数很难由定解条件确定为具体的函数.所以在求 解数学物理方程时,主要采用通过分析各类具体的定解问题,直接求出符合定解条件的特解的 方法.但事情没有绝对的,在有些情况下,我们可以先求出含任意函数的通解,然后根据定解条 件确定出符合要求的特解.本节我们研究一维波动方程的求解,就采用这种方式. 3.1.1 达朗贝尔公式 如果我们所考察的弦无限长,或者我们只研究弦振动刚一开始的阶段,且距弦的边界较远 的一段,此时可以认为弦的边界,对此端振动的弦不产生影响.这样,定解问题就归结为如下形 式
数学物理方法第3章行波法及积分变换法
e jat e jat ( ) e jat e jat ( ) 2 a 2j
1 1 ( ) jat ( ) jat jat jat ( )e ( )e e e 2 2a j j
x at 1 1 x at u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) ( ) d ( ) d 0 0 2 2a
f ( n 1) (0)
f '(x) pF ( p) f (0)
f ''(x) p2 F ( p) pf (0) f '(0)
偏微分方程变 常微分方程
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
例3 解定解问题 2 u 2 u , x 0, t 0 a 2 x t x0 u ( x,0) 0, u (0, t ) N , t0 解：对t求拉氏变换 2 d U ( x, p ) 2 pU ( x , p ) a , x0 2 dx N U (0, p ) p
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法
一 行波法
1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定 特解。这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐 次二阶偏微分方程。 3 适用范围： 无界域内波动方程，等…
u( x, t )的大小完全取决于
初始条件 ( x), ( x)在区间[ x at , x at ]的值
而与区间外面的 ( x), ( x)的值无关
决定区域
(哈工大)数学物理方程3-1
2)ux u yy , 则 B 2 4 AC 0 ，方程为 抛物 型； 3)uxx u yy 0，则 B 2 4 AC 0 ，方程为 椭圆 型。
注：行波法适应于一些双曲型方程。 例 求下面问题的解:
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | y0 3 x , u y | y 0 0
(3.1.2) 始值问题 (或 Cauchy问题)
我们可以求出方程 (3.1.1) 的通解,考虑自变量代换
x at , x at .
利用复合函数求导法则得
(3.1.3)
u u u u u x x x
解:先确定所给方程的特征曲线, 写出它的特征 方程：
dy
2
2dxdy 3 dx 0
2
或者
dy dy dx 2 dx 3 0.
2
3 x y C1 它的两族积分曲线为 x y C2
做特征变换 3 x y
2 u u u 2 u 2u 2u ( ) ( ) 2 2 2 2 x x x x x
(3.1.4)
同理可得
2 2 2 u2 u u u 2 a ( 2 2 2) 2 t
u( x0 , t0 ) 仅依赖于 [ x0 at0 , x0 at0 ] 上的初值，称
区间 [ x0 at0 , x0 at0 ] 为点 M ( x0 , t0 ) 的依赖区间.
t
(x,t)
依赖区间
过 ( x , t ) 点，两条斜率分别为 1 的直线在x轴上截得的区间 x a
O
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔
分离变量法常数变易法、行波法和积分变换法达朗贝尔设w=u+iV及z=x+iy分别是两个复平面上的点，复函数w=f(z)确定了这两个复平面之间的一个映射，当w=f(z))是一个目数不为零的解析函数时，所对应的映射称为保角映射。
保角映射这种映射必定是一对一的，且具有:(l)伸缩率的不变性，即在某一点Z0上沿不同的方向的曲线微元ds与映射后所得的象ds′的比值都是f′(z0);(2)旋转角的不变性并且保持角的定向，即若把z平面与w平面迭放在一起，且使ZO与W0=f(z0)重合，则过Z0的任一条曲线C到它的象C′的转角为定值。
如果X轴与U轴及y轴与V轴方向相同，这个转角就是Argf'(z0)，因此交手Z0的任意两条曲线C1，C2的夹角与它们的象C1，C2的夹角相等且转向不变。
保角变换方法(conformaltransformationmethod)保角变换是利用复变量解析函数实部和虚部都满足拉普拉斯(Laplace)方程的特点，及通过复平面变换以简化求解二维拉普拉斯方程边值问题的一种方法。
由于在没有电荷分布的空间中静电势满足拉普拉斯方程，故此法可用来求解二维的静电势问题。
通过一适当的解析复变函数f(z)，将复变数平面z=x+iy变换成另一复变数平面z′=f(z)=x′+iy′或z=g(z′)将z平面上位形复杂的边值问题，变换至z′平面上位形简单的相应边值问题，以便容易求出静电势的解φ′(x′,y′)。
由此在z′平面中构成解析的复变函数W′(z′)=φ′+i Ψ′。
最后再由z′平面换回z平面W(z)=W′(f(z))=φ(x,y)+iΨ(x,y)，从而得到欲求的二维拉普拉斯方程边值问题的解。
由于通过解析函数变换时，分别在二复平面中任意二曲线元之间的夹角不变，故此种变换称为保角变换。
保角映射英文术语名:conformaltransformation【保角映射的定义】设f(z)是区域D到G的双射(既是单射又是满射)，且在D内的每一点都具有保角性质，则称f(z)是区域D到G的保角映射，也称为保角变换或者共形映射。
数学物理方程-3
其中ϕ(x, y, z) 和 ψ (x, y, z) 均为已知函数。
u
3-3 高维波动方程的初值问题
平均值法：不考虑函数 平均值法：不考虑函数 u(x, y, z, t) 本 身，而是研究u(x, y, z, t)在以点 M(x, y, z) 为球心，以r 为球心，以r为半径的球面上的平 均值 u ，当暂时选定 M(x, y, z) 后， u 就是关于r 就是关于r，t的函数。当我们很方 便地求出 u (r, t) 后，令 r →0 则 u(r, t) →u(x, y, z, t) ，问题就得到了 解决。
第3章 行波法与积分变换法
原柯西问题的通解为 u = f1 (x + at) + f2 (x − at) 初始条件代入其中，有 ϕ(x) = f1 (x) + f 2 (x) ′ ψ (x) = af1′(x) − af 2 (x) 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 无界弦振动的柯西问题的解（达朗贝尔解 ） 1 1 x+at 为： u(x, t) = [ϕ(x + at) +ϕ(x − at)] + ∫ ψ (ξ )dξ
3-2 延拓法求解半无限长振动问题
延拓后的定解问题：
2 ∂2v 2 ∂ v + F(x, t) (−∞ < x < +∞, t > 0) 2 =a 2 ∂x ∂t ∂v v(x,0) = Φ(x), |t=0 = Ψ(x) ∂t v(0, t) = 0
x >0 ϕ(x), Φ(x) = −ϕ(−x), x < 0
x >0 ψ (x), Ψ(x) = −ψ (−x), x < 0
x >0 f (x, t), F(x, t) = − f (−x, t), x < 0
Chapter3.1 行波法
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 例2 − 3 2 = 0, y > 0,−∞ < x < +∞ 2 +2 ∂x ∂x∂y ∂y − x 2 ∂u ( x,0) u ( x,0) = e , = 0, − ∞ < x < +∞ ∂y 解 dy 2 − 2dxdy − 3dx 2 = (dy − 3dx)(dy + dx) = 0 ∂ 2u =0 η 令 ξ = y − 3 x， = y + x ∂ξ∂η
结论：从D`Alembert公式可以看出，前半部分表示由初始 位移激发的行波，t=0时的波形为 ϕ ( x), 以后分成两部 分，独立地以速率a向左右传播；后半部分表示由位移 速度激发的行波， t=0时的速度为ψ ( x), t时刻它将左右 扩散到 [x-at, x+at]的范围，速率为a.
u ( x, t ) = f1 ( x + at ) + f 2 ( x − at ) f1 ( x + at )表示一个以速度a沿x轴负方向传播的行波，称为左行波 f 2 ( x − at )表示一个以速度a沿x轴正方向传播的行波，称为右行波
f1 (3 x) 由第二式积分可得 − + f 2 ( x) = C 3 9x2 3x2 从 而 可 得 f1 (3 x ) = − C ', f2 ( x) = + C '. 4 4
3x2 x2 即 f1 ( x ) = − C ' , f2 ( x) = + C '. 4 4
1 3 2 从而 u ( x, y ) = (3x − y ) + ( x + y ) 2 =3x 2 + y 2 4 4
第三章 行波法与积分变换法
第三章行波法与积分变换法在第二章中，讨论了分离变量法，它是求解有限区域内定解问题的一个常用方法，只要求解的区域很规则（其边界在某种坐标系中的方程能用若干个只含有一个坐标变量的方程表示），对三种典型的方程均可运用。
本章介绍另外两个求解定解问题的方法，一是行波法，一是积分变化法。
行波法只能用于求解无界域内波动方程的定解问题，积分变换法不受方程类型的限制，主要用于无界域，但对有界域也能应用。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D’Alembert）要求一个常微分方程的特解，惯用的方法是先求出它的通解，然后利用初始条件确定通解中的任意常数得到特解。
对于偏微分方程能否采用类似的方法呢？一般来说是不行的，原因之一是在偏微分方程中很难定义通解的概念，原因之二是即使对某些方程能够定义并求出它的通解，但此通解中包含有任意函数，要由定解条件确定出这些任意函数是会遇到很大困难的。
但事情不是绝对得，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的通解（指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。
本节就一维波动方程来建立它的通解公式，然后由它得到初值问题解的表达式。
对于一维波动方程22222u u a t x ∂∂=∂∂ （3.1） 作如下代换：x at x at ξη=+⎧⎨=-⎩（3.2） 利用复合函数微分法则，得u u u u u x x x ξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 2222222()()2u u u u u x x xu u u ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂ （3.3）同理有2222222222()()[2]u u u u u a a t u u u a ξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂=---∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+∂∂∂∂ （3.4）将（3.3）及（3.4）代入（3.1）得20u ξη∂=∂∂ （3.5） 将（3.5）式对η积分得()u f ξξ∂=∂，（()f ξ是ξ的任意可微函数） 在对此式对ξ积分得212(,)()()()()u x t f d f f x at f x at ξξη=+=++-⎰ （3.6）其中1f ，2f 都是任意二次连续可微函数。
第三章-行波法与积分变换法
第三章 行波法与积分变换法分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx atx dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4）此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
数学物理方法3-4积分变换法
§3.4.1
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
直线上的初值问题
例3.4.1求解热传导 问题
dU(, t) 2 2 a U(, t), t 0 解：利用傅立 dt 叶变换的性质 U(, 0) (), t a22 a22t C () U(, t) e C F(, ) e d
思考 利用积分变换方法求解问题的好处是什么？
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
傅立叶变换的定义
U ( , t ) u ( x, t )e
j x
1 dx , u ( x , t ) 2
U ( , t )e j x d
傅立叶变换的性质 微分性 位移性 f ( n ) (x) ( j ) n F ( )
e
d d
1 2a
t
( )e
2 x
4 a 2t
d
第三章 偏微分方程的定解问题 第四节 积分变换法
§3.4.2
半无界直线上的问题
半无界区域上的热传导（扩散）问题 2 u 2 u 0 x , t 0 t a x 2 0, 例3.4.4 求解 t 0 u (0, t ) u0 , u ( x, 0) 0, 0 x 做代换 u ( x, t ) v( x, t ) u0 转化为直线上热传导方程 2 v v 2 对称延拓法（奇延拓） a , 0 x , t 0 2 x t x0 u0 , v(0, t ) 0, t0 ( x) u0 , x0 v( x, 0) u0 , 0 x 考虑与无界区域上 波传播问题的差别
数学物理方程chpt3_行波法
由达朗贝尔公式（11）可见，解在( x, t )这一点的数值仅仅依赖于 x轴上的区间[x-at,x at]内的初始条件，而与其它点上的初始条件 无关。这个区间[x-at,x at]称为点(x,t)的依赖区间。它是由过(x,t) 的两条斜率分别为 1 的直线在x轴上所围成的区间。如图3所示。
a
t
(x,t)
1
x at
( )d
⑾
2
2a xat
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
三、依赖区间与影响区域
u(x, t) 1 [(x at) (x at)]
1
x at
( )d
2
2a xat
⑾
问题：定解问题(Ⅰ)的解在点(x,t)上的值跟初始条件在x轴上哪些点有关？
在此区域之外的波动不受区间[x1, x2 ]上初始扰动的影响(仍为静止状态)，称这个不等式 确定的区域为区间[x1, x2 ]的影响区域。如图4所示。 在上面的讨论中，平面上的直线x at c(常数)对波动方程的研究起着重要的作用，称
它们为波动方程(Ⅰ)的特征线。 t
影响区域
x=x0-at
x=x0+at x
• 齐次波动方程反映了介质经过扰动后，激 发的波一直向前传播，形成行波，故使用
这种原理的方法称为行波法。 • 本章将要介绍的行波法（Travelling wave
method）是求解波动方程初值问题的一种 有效方法，它只能够求解无界区域波动方 程的定解问题。
本章主要内容
• 能够导出并且记住一维波动方程的通解 （达朗贝尔公式）；
§3.2 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
数学物理方程行波法与积分变换
常见数学物理方程
波动方程
描述波动现象的数学模型，如声波、光波和水波 等。
热传导方程
描述热量传递过程的数学模型，如温度场的变化 和热传导等。
弹性力学方程
描述弹性物体变形的数学模型，如物体的应力和 应变等。
数学物理方程的解法
行波法
通过将方程转化为行波方程，利用行波的特性求解原 方程。
分离变量法
将多变量问题转化为单变量问题，通过求解单变量方 程得到原问题的解。
拉普拉斯变换
01
拉普拉斯变换的定 义
将一个时域函数转换为复平面上 的函数。
02
拉普拉斯变换的性 质
线性、时移、复频移、微分、积 分等。
03
拉普拉斯变换的应 用
控制系统分析、电路分析等领域。
积分变换的性质和应用
积分变换的性质
线性性质、时移性质、频移性质、微 分性质等。
积分变换的应用
求解偏微分方程、求解常微分方程、 求解积分方程等。
应用
一维波动方程的行波法广泛应用于求解一维波动问题，如弦振动、 波动传播等。
高维波动方程的行波法
方法
转化
应用
对于高维波动方程，行波法同样适用。 设解为多个行波的叠加形式，利用波 的传播性质和叠加原理，将高维波动 方程转化为多个一维或低维的常微分 方程或代数方程。
通过行波变换，将高维波动方程分解 为多个一维或低维的方程，简化求解 过程。
。
03
对于某些问题，可能需要复杂的积分变换和逆变换计
算。
行波法与积分变换的联系
行波法和积分变换都是求解数学物理方程的方法，它们之间存在一定的联 系。
在某些情况下，行波法可以通过适当的变量替换转化为积分变换的形式。
数学物理方程第三章 行波法
(1.7)
f 1 ( ), f 2 ( )是待定的任意二次连续 可微函数 .
u( x,0) f 1 ( x) f 2 ( x) ( x)
u ( x) - x (1.2) t t 0
x
1 f ( x ) f ( x ) ( )d 1 2 u( x ,0) a0 af 1( x ) af 2( x ) ( x ) t x 1 1 x f 1 ( x ) ( x ) ( )d 1 2 2a 0 f 1 ( x ) f 2 ( x ) ( )d
第三章 行波法
• • • • • 主要内容 掌握一维弦振动的解 掌握类比方法求三维、二维问题的解 了解偏微分方程的分类 会求偏微分方程的特征线
§1 弦振动的初值问题
无限长均匀细杆的振动问题，就可以表达成如下形式
2 2u 2 u x , t 0 (1.1) 2 a 2 x t u ( x ) - x (1.2) u(0, x ) ( x ), t t 0
(1.8)
（1.8）称作达朗贝尔公式。这种求解方法也称达朗贝尔解法或行波法（特征线法）。 这种方法对一般的偏微分方程来说是十分困难的。因此只适合波动方程定解问题的求解。
1.2 达朗贝尔公式的物理意义
达朗贝尔公式的物理意义
u( x, t ) f 1 ( x at) f 2 ( x at) (1.7) 先考察 u2 ( x, t ) f 2 ( x at) 的意义
2 2u u 2 a 波 动 方 程 ， 双 曲 型 方 .程 2 2 t x 2 u u 2 a 热 传 导 方 程 ， 抛 物 型程 方. 2 t x
行波法与积分变换法-3-0
（一）达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 达朗贝尔公式（一维波动方程的解） 但事情往往并不是绝对的， 但事情往往并不是绝对的，在少数情况下不仅可以求出偏微分方程的 通解(指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 通解 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解。 指包含有任意函数的解），而且可以由通解求出特解 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式， 本节我们就一维波动方程，来建立它的通解公式，然后由它得到初值 问题解得表达式。 问题解得表达式。
下面， 条件： 下面，我们将利用初始 条件：
( 3.7 )
u( x ,0) = ϕ ( x ) , ut ( x ,0) = ψ ( x )
来确定（ 从而得到它的解。 来确定（3.6）式中的任意函数 f 1 、f 2 , 从而得到它的解。
由 u( x , t )
t =0
= ϕ ( x ) ，得
f1 ( x) + f2 ( x) = ϕ ( x)
方程
2 ∂ 2u 2 ∂ u =a 2 ∂t ∂ x2
，在条件 u( x ,0) = ϕ
和 ut ( x ,0) = ψ
下的解
u( x , t ) = [ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at )] +
1 2
1 2a
∫
x + at
x − at
ψ (ξ )dξ
( 3.11)
为什么这里的积分限会是如此？ 为什么这里的积分限会是如此？
然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数， 然后，利用初始条件，确定通解中的任意常数，
从而得到特解。 从而得到特解。
对于偏微分方程， 一般说来是不行的， 对于偏微分方程，能否采用类似的方法呢 ？一般说来是不行的， 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之一：在偏微分方程中，相对而言较难定义通解的概念。 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解， 原因之二：即使对某些方程能够定义并求出通解，但此通解中包含有任意 函数，要由定解条件确定出这些任意函数， 函数，要由定解条件确定出这些任意函数，往往会遇到很大的 困难。 困难。
行波法-3-2(E)
y
2) 求出 u ( r , t ) 的通解
基于前面的考虑，以下 将证明 ( ru ) 满足一维波动方程： 基于前面的考虑， 满足一维波动方程：
2 ∂ 2 [ru ( r , t )] 2 ∂ [r u ( r , t ) ] =a 2 ∂t ∂ r2 描写一种球面波， 上也果真如此。 出这点， 首先可以预料 u( r , t ) 描写一种球面波，事实 上也果真如此。为了看 出这点，
0
r
∫
0
r
u ( ρ , t ) ρ 2 dρ
∂2 为何跑得如此利索？！ 为何跑得如此利索？！ ∂t 2
S rM
详见附录推证
= a 2 ∫∫
S rM
∂u ∂u 2 ∂ dS = a 2 ∫∫ r dΩ = 4πa 2 r 2 u (r , t ) ∂n ∂n ∂r S rM
将上述两个结果代入（ ），得到 将上述两个结果代入（ 3.25），得到
2 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 2 ∂ u ) =a ( 2 + + ∂ t2 ∂x ∂ y2 ∂ z2
S rM
( 3.21)
M ′(ξ ,η , ζ )
θ
M ( x, y, z )
r
u
∂u ∂t
t =0
= ϕ ( x, y, z )
( 3.22)
ϕ
z x o
t −0
= ψ ( x, y, z )
经过这样一捣鼓
⇒
2 ∂ 2 ( ru) 2 ∂ ( ru ) =a 2 ∂ r2 ∂t
2
的一维波动方程！ 这是一个关于 (ru)ห้องสมุดไป่ตู้的一维波动方程！其通 解为
∂ 2 ( ru) ∂ 2 ( ru) 上式可变型为 a − =0 ∂ r2 ∂ t2
《数学物理方程》第3章 行波法与积分变换法
2 2 dS 1 dd
M Cat : ( x ) 2 ( y) 2 ( at ) 2 at dd
(at ) 2 ( x ) 2 ( y ) 2
sin( x at ) sin( x at ) 1 x at cos d sin( x at ) 解 u( x , t ) 2 2 x at
u( x ,0) f ( x ) g ( x ) 3 x 2 u ( x ,0) 1 f ( x ) g ( x ) 0 1 f ( x ) g ( x ) C y 3 3 9 2 3 2 解 出f ( x ) x C , g( x ) x C 4 4
2 2
2a t
wtt a 2 w xx ( t , x ) 设w( x , t , )是 的解 w( x , , ) 0, wt ( x , , ) f ( x , ) t x a( t ) 1 t f (,)d 则 u( x, t ) w( x, t , )d d 0 x a ( t ) 2a 0 2
x at uxx u 2u u 变换 u 0 2 x at utt a (u 2u u ) u h( )d g() f ( ) g() 方程通解 u( x , t ) f ( x at ) g( x at )
M Sat
0
0
积分中x y z是常数
2 ( x at sin cos ) ( y at sin sin ) ( z at cos ) 2 d ( at ) sin d 0 t 0 4a at
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第三章 行波法与积分变换法(第十三讲)分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。
行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。
积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。
§3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式一、达朗贝尔公式考察如下Cauchy 问题：.- ),(u ),(u 0,,- ,0t 022222+∞<<∞==>+∞<<∞∂∂=∂∂==x x x t x x u a t u t t ψϕ （1） 作如下代换;⎩⎨⎧-=+=at x at x ηξ,（2） 利用复合函数求导法则可得22222222))((,ηηξξηξηξηξηηξξ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂+∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂uu u u u x u uu x u x u x u同理可得),2(22222222ηηξξ∂∂+∂∂∂-∂∂=∂∂u u u a t u 代入（1）可得ηξ∂∂∂u2＝0。
先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式)()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ这里G F ,为二阶连续可微的函数。
再由初始条件可知).()()(),()()(''x x aG x aF x x G x F ψϕ=-=+ （3）由（3）第二式积分可得C dt t a x G x F x+=-⎰0)(1)()(ψ，利用(3)第一式可得.2)(21)(21)(,2)(21)(21)(00Cdt t a x x G Cdt t a x x F x x --=++=⎰⎰ψϕψϕ所以，我们有⎰+-+-++=atx at x dt t aat x at x t x u )(21)]()([21),(ψϕϕ （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。
例 求解柯西问题：⎪⎩⎪⎨⎧+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202x u x u x y u u u y y y yy xy xx解：其特征方程为0)(32)(22=--dx dxdy dy由此可得特征线方程为dy x cy x =+=-3因此作变换⎩⎨⎧+=-=yx y x μξ,3 从而可得ηξ∂∂∂u2＝0 从而有)()3(),(y x G y x F y x u ++-=由初始条件可得)()3(3)()3(''2=+-=+x G x F x x G x F所以有C x G x F =-)(3)3(，从而可得Cxx G Cx x F +=-=43)(49)3(22故而可知223)()3(),(y x y x G y x F y x u +=++-=。
二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx称下常微分方程为其特征方程0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。
由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。
已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。
称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。
注：此方法可以推广的其他类型的问题。
（第十四讲）三、公式的物理意义 由)()(),(at x G at x F t x u -++=其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波，)(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。
达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向传播出去，其传播速度为a 。
因此此法称为行波法。
四、依赖区间、决定区域、影响区域由方程的解（4）可以看出，解在（x,t ）点的数值由x 轴上区间[x-at,x+at]内的初始条件的值唯一确定，而与其他点上的初始条件的值无关。
区间[x-at,x+at]称为点（x,t ）的依赖区间对初始直线t=0上的一个区间[x1,x2]，过x1作直线x=x1+at,过x2作直线x=x2-at,它们与[x1,x2]合成一个三角形区域，如图则此三角形中任一点(x,t)的依赖区间都落在[x1,x2]中，因此解在此三角形区域中的数值完全由区间[x1,x2]上的初始条件决定，与[x1,x2]之外的初始条件值无关。
故称此三角形区域为[x1,x2]的决定区域。
因此，在区间[x1,x2]上给定初始条件，就能在其决定区域中决定初值问题的解。
另一方面，过点x1，x2分别作直线x=x1-at,x=x2+at, 如图（） 则经过时间t 后，受到区间[x1,x2]上初始扰动影响的区域为0,21>+≤≤-t at x x at x而此区域之外的波动不受[x1,x2]上初始扰动的影响，称上不等式确定的区域为[x1,x2]的影响区域。
注:通过例子说明影响区域，比如初始条件在区间[x1,x2]内有扰动时，讨论一下解在那些区域有影响，哪些没影响。
补充：Fourier 变换一、定义设)(x f 为定义在),(+∞-∞，若积分⎰+∞∞--=dx e x f s F isx )()(存在，称)(s F 为)(x f 的Fourier 变换。
⎰+∞∞-=ds e s F x f isx )(21)(π称为)(s F 的逆Fourier变换。
记⎰⎰∞+∞--+∞∞--====dse s F s F F xf dxe xf s F x f F isxisx )(21)]([)()()()]([1π二、性质 1．线性性质若已知),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则有).()()]()([2121s bF s aF x bf x af F +=+ 2．对称性若)()]([s F x f F =，则)(2)]([s f x F F -=π。
3．相似性若)()]([s F x f F =，则)(1)]([as F a ax f F = 4．延迟性若)()]([s F x f F =，则若0)()]([0isx e s F x x f F -=- 5．频移性若)()]([s F x f F =，则)(])([00s s F e x f F x is -=，)(])([00s s F e x f F x is +=-。
6．微分性若)()]([s F x f F =，则)()](['s isF x f F =，特别)()()]([)(s F is x f F n n =。
7．积分性若)()]([s F x f F =，则)(1])([s F isdx x f F =⎰。
8．卷积性若),()]([),()]([2211s F x f F s F x f F == 则)()()](*)([2121s F s F x f x f F =。
第十五讲§3.3 积分变换法举例例1、 无界杆上的热传导问题设有一根无限长的杆，杆上具有强度为),(t x F 的热源，杆的初温为)(x ϕ，求t>0时杆上温度分别情况。
解：由题意可知上问题可归结为求下定解问题：.- ),(u 0,,- ),,(0222+∞<<∞=>+∞<<∞+∂∂=∂∂=x x t x t x f x u a t u t ϕ 很容易看出，上定解问题为无界域上的求解问题，直接用分离变量法比较复杂。
下面我们用Fourier 变换法求解。
用),(),,(t s G t s U 表示),(),,(t x f t x u 的Fourier 变换，关于x 对上方程作Fourier 变换可得G U s a dtt s dU +-=22),( 此为一阶ODE ，在由原问题的初始条件作Fourier 变换可得上常微分方程的定解条件)(0s U t Φ==从而可得τττd e s G e s U t sa t s a )(2222),()(---⎰+Φ=再利用Fourier 逆变换可得原问题的解。
由Fourier 变换表知ta x t s a eta e F 22224121][---=π再由Fourier 变换的卷积性质知⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞----+=tt a x ta x d et f d a d et at x u 0)(4)(4)(2222),(21)(21),(ξττξτπξξϕπτξξ。
总结：积分变换法解定解问题的一般过程1．根据自变量的变化范围及定解条件，选取适当的积分变换公式，通过对方程进行积分变换把问题简化； 2．对所得简化问题求解；3．运用逆变换，求得原问题的解。
例2．一条无限长的杆，端点温度情况已知，初温为0C 0 ，求杆上温度分布规律。
解：由题意可知，等价于求下定解问题),(u .0,0u 0,,0 ,00222t f x t x x u a t u x t =+∞<<=>+∞<<∂∂=∂∂== 此问题不能用Fourier 变换法（？）。
要用Laplace 变换法求解。
若关于x 作Laplace 变换，则需要有u 关于x 的一阶偏导的边界值，但方程没有给出，所以只能作关于t 的Laplace 变换。
记)}({)()},,({),(t f L p F t x u L p x U ==，则作Laplace 变换可得)(0222p F U dx Ud apU x ==-从而可得xapxa p BeAeU +=-由定解条件知，当∞→x 时，U 有界，从而可得Ｂ＝０．又)(0p F U x =-，故xa pe p F U -=)(为求原问题的解，下用Laplace 逆变换，查表可知)0(1)}2({2)(2≥==-+∞-⎰k e p tkerfc L dte y erfc pkyt π令axk =，则知 ⎰⎰∞+---+∞-===ta xy paxyt dye ta x erfc e pL dte y erfc 222412)2(}1{2)(ππ再由Laplace 变换的微分性质知ta x ta xy pax pax eta x dy edt d epp L eL 222242/341122[}1{}{-∞+-----===⎰ππ最后，由Laplace 变换卷积性知⎰---=tt a x d et f a x t x u 0)(42/322)(1)(2),(τττπτ。