数列求和和综合应用

数列求和及其综合应用
1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在
证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2
<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．
2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1
·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7
b 7＝________
3.若数列{a n }满足a 2
n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *
)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }
是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
4.已知函数f(x)＝x 2
＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________.
5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．
(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；
(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项
和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1
的值． 6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4
3
，a 1＞a 8，
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；
(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．
7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n
＝(b －1)S n .
(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1
}是等比数列；
(2) 求{a n }的通项公式．
8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n
－1(n≥2)，且a 4＝81， (1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；
(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 为等差数列，并求a n .
9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *
)，且{b n }是以q 为公比的等比数列．
(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2
；
(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1
a 2n
.
10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10 …
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n
b n S n －S 2n
＝1(n≥2)．
(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4
91时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的
前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *
)均在函数y ＝f(x)的图象上． (1) 求数列{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20
对所有n∈N *
都成立的最小正整数m.
13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.
14、设函数f(x)＝x
x ＋2
(x>0)，观察：
f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x
7x ＋8，
f 4(x)＝f(f 3(x))＝x
15x ＋16
，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N ＋
且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.
15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *
.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2
，当a n 为偶数时，
3a n ＋1，当a n 为奇数时.若a 6＝1，
则m 所有可能的取值为________.
17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *
.
(1) 证明：{a n －1}是等比数列；
(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>1
15
18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *
)．
(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；
(2) 求证：对k≥3且k∈N *
有0≤a k ＋1≤a k ≤43
.
19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n (n∈N *
)．
(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；
(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n
2n ＋1，求数列{c n }的前
n 项和．
20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1的离
心率e 等于________．
21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
(1) 写出这个命题的逆命题；
(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．
数列求和及其综合应用
1. 掌握数列的求和方法(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在
证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n －1)<n 2
<n(n ＋1)，能用函数的单调性(定义法)来求数列和的最值问题及恒成立问题．
2. 数列是特殊的函数，这部分容中蕴含的数学思想方法有：函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等，高考题中所涉及的知识综合性很强，既有较繁的运算又有一定的技巧，在解题时要注意从整体去把握．
1、 若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n －1
·(3n－2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________.
－15 解析：a 1＋a 2＝a 3＋a 4＝…＝a 9＋a 10＝－3，a 1＋a 2＋…＋a 10＝5×(－3)＝－15. 2.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋5n ＋3，则a 7
b 7
＝________.2.
6 解析：a 7b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝A 13B 13＝7×13＋5
13＋3
＝6.
3.若数列{a n }满足a 2
n ＋1a 2n ＝p(p 为正常数，n∈N *
)，则称{a n }为“等方比数列”．则“数列{a n }
是等方比数列”是“数列{a n }是等比数列”的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”) 3. 必要不充分
4.已知函数f(x)＝x 2
＋bx 的图象在点(1，f(1))处的切线与直线6x －2y ＋1＝0平行，若数列⎩⎨
⎧
⎭
⎬⎫
1f n 的前n 项和为S n ，则S 2 012＝________. 4. 2 0122 013 解析：f′(x)＝2x ＋b,2＋b ＝3，b ＝1，f(n)＝n 2＋n ＝n(n ＋1)，S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
n －1n ＋1＝n n ＋1
. 5、已知公差不为零的等差数列{a n }中a 1＝2，设a 1、a 3、a 7是公比为q 的等比数列{b n }的前三项．
(1) 求数列{a n b n }的前n 项和T n ；
(2) 将数列{a n }与{b n }中相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{c n }，设其前n 项
和为S n ，求S 2n －n －1－22n －1＋3·2n －1
的值．
解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则(2＋2d)2
＝2×(2＋6d)，又d≠0，∴ d＝1，
a n ＝n ＋1，
b n ＝2n ，a n b n ＝(n ＋1)·2n ，用错位相减法可求得T n ＝n·2n ＋1
.
(2) ∵ 新的数列{c n }的前2n －n －1项和为数列{a n }的前2n
－1项的和减去数列{b n }前n 项的和，
∴ S 2n －n －1＝2n
－1
2＋2
n
2
－
22n
－12－1
＝(2n －1)(2n －1
－1)．
∴ S 2n －n －1－2
2n －1
＋3·2n －1
＝1.
6、已知等差数列{a n }满足a 3＋a 6＝－13，a 1·a 8＝－4
3
，a 1＞a 8，
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 把数列{a n }的第1项、第4项、第7项、…、第3n －2项、…分别作为数列{b n }的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…，求数列{2b n }的前n 项之和；
(3) 设数列{c n }的通项为c n ＝n·2b n ，试比较(n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2与2n(n ＋2)c n ＋1的大小．
解： (1) {a n }为等差数列，a 3＋a 6＝a 1＋a 8＝－13，又a 1·a 8＝－4
3，且a 1＞a 8，求得a 1
＝1，a 8＝－43，公差d ＝a 8－a 18－1＝－1
3
，
∴ a n ＝1－13(n －1)＝－13n ＋43
(n∈N *
)．
(2) b 1＝a 1＝1，b 2＝a 4＝0, ∴ b n ＝a 3n －2＝－13(3n －2)＋4
3＝－n ＋2，
∴ 2b n ＋12b n ＝2－
n ＋1
＋2
2－n ＋2＝12， ∴ {2b n }是首项为2，公比为1
2
的等比数列，
∴ {2b n }的前n 项之和为2⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12
＝4－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2
.
(3)＝n·2b n ，
∴ (n ＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2－2n(n ＋2)c n ＋1
＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n ＋n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋2－2n(n ＋1)(n ＋2)·2b n ＋1 ＝n(n ＋1)(n ＋2)(2b n ＋2b n ＋2－2×2b n ＋1)
＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋2b n ＋2－b n －2×2b n ＋1－b n )
＝n(n ＋1)(n ＋2)·2b n (1＋2－2－2×2－1
) ＝n(n ＋1)(n ＋2)2b n (1＋1
4
－1)＞0，
其中b n ＋2－b n ＝－(n ＋2)＋2－(－n ＋2)＝－2，b n ＋1－b n ＝－(n ＋1)＋2－(－n ＋2)＝－1，∴ (n＋1)(n ＋2)c n ＋n(n ＋1)c n ＋2＞2n(n ＋2)c n ＋1.
7、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知ba n －2n
＝(b －1)S n .
(1) 证明：当b ＝2时，{a n －n·2n －1
}是等比数列； (2) 求{a n }的通项公式．
解：由题意知a 1＝2，且ba n －2n ＝(b －1)S n ，ba n ＋1－2n ＋1
＝(b －1)S n ＋1，
两式相减得b(a n ＋1－a n )－2n ＝(b －1)a n ＋1，即a n ＋1＝ba n ＋2n
.①
(1) 当b ＝2时，由①知a n ＋1＝2a n ＋2n
于是a n ＋1－(n ＋1)·2n ＝2a n ＋2n －(n ＋1)·2n ＝2(a n －n·2n －1
)， 又a 1－1·2
1－1
＝1≠0, ∴ a n －n·2
n －1
≠0, ∴ a n ＋1－n ＋1·2
n
a n －n·2
n －1
＝2， ∴ {a n －n·2n －1
}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2) 当b ＝2时，由(1)知a n －n·2n －1＝2n －1，即a n ＝(n ＋1)2n －1
， 当b≠2时，由①得a n ＋1－12－b ·2n ＋1＝ba n ＋2n －12－b ·2n ＋1＝ba n －b 2－b
·2n
＝b ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n －12－b ·2n . 因此a n ＋1－12－b ·2n ＋1
＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －12－b ·2n ，又a 1
－12－b ×2＝21－b 2－b ， 故a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2，n ＝1，12－b
[2n ＋21－b b n －1]，n≥2，n∈N *
.
∴ a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ＋12n －1
，b ＝2，12－b
[2n ＋21－b b n －1
]，b≠2.
8、已知数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n
－1(n≥2)，且a 4＝81，
(1) 求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；
(2) 求证：数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 为等差数列，并求a n .
解： (1) 由a n ＝2a n －1＋2n
－1(n≥2)，
得a 4＝2a 3＋24
－1＝81， ∴ a 3＝33.
同理a 2＝13，a 1＝5.
(2) 由a n ＝2a n －1＋2n
－1(n≥2)， 得a n －12n ＝2a n －1＋2n
－22n
＝a n －1－12n －1＋1， ∴ a n －12n －a n －1－1
2
n －1＝1，
∴ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫
a n －12n 是等差数列. ∵ ⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n －12n 的公差d ＝1， ∴ a n －12n ＝a 1－1
21＋(n －1)×1＝n ＋1，
∴ a n ＝(n ＋1)×2n
＋1.
9、已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝1，a 2＝2，a n >0，b n ＝a n a n ＋1(n∈N *
)，且{b n }是以q 为公
比的等比数列．
(1) 证明：a n ＋2＝a n q 2
；
(2) 若c n ＝a 2n －1＋2a 2n ，证明：数列{c n }是等比数列； (3) 求和：1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＋…＋1a 2n －1＋1
a 2n .
(解法1)(1) 证明：由b n ＋1b n ＝q ，有a n ＋1a n ＋2
a n a n ＋1
＝
a n ＋2a n
＝q, ∴ a n ＋2＝a n q 2(n∈N *
) . (2) 证明：∵ a n ＝a n －2q 2
，∴ a 2n －1＝a 2n －3q 2
＝…＝a 1q 2n －2
，a 2n ＝a 2n －2q 2
＝…＝a 2q
2n －2
，
∴＝a 2n －1＋2a 2n ＝a 1q 2n －2＋2a 2q 2n －2＝(a 1＋2a 2)q 2n －2＝5q 2n －2
.
∴ {c n }是首项为5，以q 2
为公比的等比数列． (3) 解：由(2)得1a 2n －1＝1a 1q 2－2n ，1a 2n ＝1a 2
q 2－2n
，于是
1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1
a 3＋…＋1a 2n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1a 4＋…＋1a 2n
＝1a 1⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＋1a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2
＝32⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2.
由题知q>0，
当q ＝1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2＝32n.
当q≠1时，1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝32⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1q 2＋1q 4＋…＋1q 2n －2
＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－q －2n
1－q －2＝32⎣⎢⎡⎦⎥⎤q 2n
－1q 2n －2q 2－1.
故1a 1
＋1a 2
＋…＋1a 2n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
3
2
n ，q ＝1，32⎣⎢⎡
⎦
⎥⎤q 2n
－1q 2n －2
q 2
－1
，q≠1.
(解法2) (1) 同解法1(1)．
(2) 证明：c n ＋1c n ＝a 2n ＋1＋2a 2n ＋2a 2n －1＋2a 2n ＝q 2
a 2n －1＋2q 2
a 2n a 2n －1＋2a 2n
＝q 2(n∈N *
)，又c 1＝a 1＋2a 2＝5，∴ {c n }
是首项为5，以q 2
为公比的等比数列．
(3) 解：由(2)的类似方法得a 2n －1＋a 2n ＝(a 1＋a 2)q 2n －2＝3q 2n －2
，
1a 1＋1a 2＋…＋1a 2n ＝a 1＋a 2a 1a 2＋a 3＋a 4a 3a 4＋…＋a 2n －1＋a 2n a 2n －1a 2n ，∵ a 2k －1＋a 2k a 2k －1a 2k ＝3q 2k －2
2q 4k －4＝32q －2k ＋2，k ＝1,2，…，n. ∴ 1a 1＋1a 2＋…＋1a 2k ＝32(1＋q －2＋q －4…＋q －2n ＋2
)(下面同上)．
10、将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：
a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6
a 7 a 8 a 9 a 10 …
记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为{b n }，b 1＝a 1＝1. S n 为数列{b n }的前n 项和，且满足2b n
b n S n －S 2n
＝1(n≥2)．
(1) 证明数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列，并求数列{b n }的通项公式；
(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a 81＝－4
91
时，求上表中第k(k≥3)行所有项的和．
(1) 证明：由已知，2b n
b n S n －S 2n
＝1，
又S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ，n≥2，b n ＝S n －S n －1，
∴ 2b n b n S n －S 2n ＝1即2(S n －S n －1)＝S n (S n －S n －1)－S 2
n ，2S n －1－2S n ＝S n S n －1， 又S 1＝1≠0，∴ S n S n －1≠0，∴ 1S n －1S n －1＝1
2
，
∴ 数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 成等差数列，且1S n ＝1＋(n －1)·12，S n ＝2
n ＋1，
∴ b n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
1，n ＝1，－2n n ＋1
，n≥2，n∈N *
.
(2) 解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ，且q ＞0. 因为1＋2＋…＋12＝12×13
2
＝78，
所以表中第1行至第12行共含有数列{a n }的前78项，故a 81在表中第13行第三列，因此a 81＝b 13·q 2
＝－491.又b 13＝－213×14
，所以q ＝2.记表中第k(k≥3)行所有项的和为S ，
则S ＝
b k
1－q k
1－q
＝－2k k ＋1·1－2k
1－2
＝2k
k ＋1
(1－2k
)(k≥3)． 12、已知二次函数y ＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f′(x)＝6x －2，数列{a n }的
前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n∈N *
)均在函数y ＝f(x)的图象上．
(1) 求数列{a n }的通项公式；
(2) 设b n ＝
3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n ＜m 20
对所有n∈N *
都成立的最小正整数m.
解： (1) 设这二次函数f(x)＝ax 2
＋bx (a≠0) ，则f′(x)＝2ax ＋b ，由于f′(x)
＝6x －2，得a ＝3 , b ＝－2, 所以f(x)＝3x 2
－2x.
又因为点(n ，S n )(n∈N *)均在函数y ＝f(x)的图象上，所以S n ＝3n 2
－2n.
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n)－[3(n －1)2
－2(n －1)]＝6n －5.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 (n∈N *
)．
(2) 由(1)得知b n ＝3
a n a n ＋1＝
3
6n －5
[6n ＋1－5]
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫16n －5－16n ＋1，
故T n ＝∑n
i ＝1
b i ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－17＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－113＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16n －5－16n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－16n ＋1.
因此，要使12(1－16n ＋1)＜m 20(n∈N *
)成立的m ，必须且仅须满足12≤m 20，即m≥10，所以
满足要求的最小正整数m 为10.
13、已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝________.
1 解析：S n ＋S 1＝S n ＋1，a n ＋1＝a 1. 14、设函数f(x)＝x
x ＋2
(x>0)，观察：
f 1(x)＝f(x)＝x x ＋2，f 2(x)＝f(f 1(x))＝x 3x ＋4，f 3(x)＝f(f 2(x))＝x
7x ＋8，
f 4(x)＝f(f 3(x))＝x
15x ＋16
，…
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N ＋
且n≥2时，f n (x)＝f(f n －1(x))＝________.
x 2n －1x ＋2
n
15、函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a k 2)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k∈N *
.若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．
3．21 16、已知数列{a n }满足：a 1＝m(m 为正整数)，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧
a n 2
，当a n 为偶数时，
3a n ＋1，当a n 为奇数时.
若a 6＝1，
则m 所有可能的取值为________.
4,5,32 解析：显然，a n 为正整数，a 6＝1，故a 5＝2，a 4＝4，若a 3为奇数，则4＝3a 3
＋1，a 3＝1，若a 3为偶数，则a 3＝8，若a 3＝1，则a 2＝2，a 1＝4，若a 3＝8，则a 2＝16，a 1＝5或32.
17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －5a n －85，n∈N *
.
(1) 证明：{a n －1}是等比数列；
(2) 求数列{S n }的通项公式，并求出使得S n ＋1>S n 成立的最小正整数n.5615<115，5614>1
15
(1) 证明：当n ＝1时，a 1＝－14；当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－5a n ＋5a n －1＋1，所以a n
－1＝56(a n －1－1)，又a 1－1＝－15≠0，a n －1a n －1－1＝56
，
所以数列{a n －1}是等比数列；
(2) 解：由(1)知：a n －1＝－15·⎝ ⎛⎭⎪⎫56n －1，得a n ＝1－15·⎝ ⎛⎭⎪
⎫56n －1，从而S n ＝n －90＋90×⎝ ⎛⎭
⎪⎫56n
(n∈N *
)；
由S n ＋1>S n ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫56n ＜115，∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫5615<115，⎝ ⎛⎭⎪⎫5614>1
15
，∴ 使s n ＋1>s n 成立的最小正整数n ＝15.
18、设实数数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＋1＝a n ＋1S n (n∈N *
)．
(1) 若a 1，S 2，－2a 2成等比数列，求S 2和a 3；
(2) 求证：对k≥3且k∈N *
有0≤a k ＋1≤a k ≤43.
(1) 解：由题意⎩⎪⎨
⎪
⎧
S 2
2＝－2a 1a 2，S 2＝a 2S 1＝a 1a 2，
得S 2
2＝－2S 2，
由S 2是等比中项知S 2≠0，因此S 2＝－2， 由S 2＋a 3＝S 3＝a 3S 2，解得a 3＝
S 2S 2－1＝2
3
. (2) 证明：由题设条件有a n ＋1S n ＝a n ＋1＋S n ， 故S n ≠1，a n ＋1≠1，且a n ＋1＝
S n S n －1，S n ＝a n ＋1
a n ＋1－1
， 从而对k≥3有a k ＝S k －1S k －1－1＝a k －1＋S k －2
a k －1＋S k －2－1＝a k －1＋
a k －1
a k －1－1a k －1＋a k －1
a k －1－1－1
，①
因a 2k －1－a k －1＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a k －1－122＋34＞0，且a 2
k －1≥0，
要证a k ≤43，由①知只要证a 2
k －1a 2k －1－a k －1＋1≤4
3
，
即证3a 2
k －1≤4(a 2
k －1－a k －1＋1)，即(a k －1－2)2
≥0，此式明显成立， 因此a k ≤4
3
(k≥3)．
最后证a k ＋1≤a k ，若不然，a k ＋1＝a 2
k a 2k －a k ＋1＞a k ，又a k ≥0，故a k
a 2k －a k ＋1＞1，
即(a k －1)2
＜0，矛盾，所以a k ＋1≤a k (k≥3，k∈N )．
19、数列{a n }、{b n }是各项均为正数的等比数列，设c n ＝b n a n
(n∈N *
)．
(1) 数列{c n }是否为等比数列？证明你的结论；
(2) 设数列{lna n }、{lnb n }的前n 项和分别为S n ，T n .若a 1＝2，S n T n ＝n
2n ＋1，求数列{c n }
的前n 项和．
解：(1) {c n }是等比数列．(2分)
证明：设{a n }的公比为q 1(q 1>0)，{b n }的公比为q 2(q 2>0)，则
c n ＋1c n ＝b n ＋1a n ＋1·a n b n ＝b n ＋1b n ·a n a n ＋1＝q 2
q 1
≠0，故{c n }为等比数列．(5分) (2) 数列{lna n }和{lnb n }分别是公差为lnq 1和lnq 2的等差数列．
由条件得nlna 1＋n n －1
2lnq 1
nlnb 1＋n n －12lnq 2
＝n 2n ＋1，即2lna 1＋n －1lnq 12lnb 1＋n －1lnq 2＝n
2n ＋1
.
(7分)
即(2lnq 1－lnq 2)n 2
＋(4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2)n ＋(2lna 1－lnq 1)＝0. 上式对n∈N *
恒成立．于是⎩⎪⎨⎪⎧
2lnq 1－lnq 2＝0，4lna 1－lnq 1－2lnb 1＋lnq 2＝0，
2lna 1－lnq 1＝0.
将a 1＝2代入得q 1＝4，q 2＝16，b 1＝8.(10分) 从而有c n ＝8·16n －12·4
n －1＝4n
.
所以数列|c n |的前n 项和为4＋42＋ (4)
＝43(4n －1)．(12分)
20、两个正数a 、b 的等差中项是52，一个等比中项是6，且a ＞b ，则双曲线x 2
a 2－y
2
b 2＝1的离
心率e 等于________．
【答案】 13
3 解析：由题有⎩
⎪⎨⎪⎧
a ＋
b ＝5，ab ＝6
⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝3，
b ＝2或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝3(舍)，e ＝c
a
＝
32
＋22
3＝13
3
. 21、在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列，则a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列．
(1) 写出这个命题的逆命题；
(2) 判断逆命题是否为真？并给出证明．
解： (1)在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m ，a m ＋2，a m ＋1成等差数列，则S m ，S m ＋2，S m ＋1成等差数列．
(2) 数列{a n }的首项为a 1，公比为q.由题意知：2a m ＋2＝a m ＋a m ＋1，
即2a 1q m ＋1＝a 1q m －1＋a 1q m
，
∵ a 1≠0，q≠0, ∴ 2q 2
－q －1＝0, ∴ q＝1或q ＝－12，
当q ＝1时，有S m ＝ma 1，S m ＋2＝(m ＋2)a 1，S m ＋1＝(m ＋1)a 1， 显然：2S m ＋2≠S m ＋S m ＋1.此时逆命题为假．
当q ＝－12时，有2S m ＋2＝2a 1⎣⎢⎡⎦⎥
⎤1－⎝ ⎛⎦⎥⎤－12m ＋21＋12＝43a 1⎣⎢⎡⎦
⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，
S m ＋S m ＋1＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 1＋12＋2a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋11＋12
＝43a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m ＋2，
∴ 2S m ＋2＝S m ＋S m ＋1，此时逆命题为真．。