第四章三角形测试题

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第4章相似三角形(压轴题45道)(原卷版)

第4单元相似三角形（压轴题45道）一．选择题（共14小题）1．如图，在矩形ABCD中，E、F分别在BC、CD上运动（不与端点重合），连接BF、AE，交于点P，且满足．连接CP，若AB＝4，BC＝6，则CP的最小值为（）A．2﹣3B．2﹣2C．5D．32．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB＝4，AD＝6，BM＝x，AN ＝y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．3．如图，正方形ABCD的边长是3，BP＝CQ，连接AQ，DP交于点O，并分别与边CD，BC交于点F，E，连接AE，下列结论：①AQ⊥DP；②OA2＝OE•OP ；③S △AOD ＝S 四边形OECF ；其中正确结论的个数（）A ．1B ．3C ．2D ．04．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE 、AF 于M 、N ，下列结论：①AF ⊥BG ；②；③S 四边形CGNF ＝S △ABN ；④．其中正确的有（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④5．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 、CE 分别是高和角平分线，已知△BEC 的面积是15，△CDE 的面积为3，则△ABC 的面积为（）A ．22.5或20B ．22.5C ．24或20D ．206．如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、DC 边上的两点，且∠EAF ＝45°，AE 、AF 分别交BD 于M 、N ．下列结论：①AB 2＝BN •DM ；②AF 平分∠DFE ；③AM •AE ＝AN •AF ；④．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．①②③D．①②③④7．如图，▱ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则▱ABCD的面积为（）A．9B．12C．15D．188．如图：把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中阴影部分）的面积是△ABC面积的一半，若AB＝，则此三角形移动的距离AA′是（）A．﹣1B．C．1D．9．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．1010．如图，正方形ABCD的边长为25，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则每个小正方形的边长为（）A．6B．5C．D．11．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝1：2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（）A．B．C．D．12．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（4，4），B（6，2），以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为（）A．（2，2），（3，2）B．（2，4），（3，1）C．（2，2），（3，1）D．（3，1），（2，2）13．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（）A．2.5B．2.8C．3D．3.214．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（共11小题）15．如图，△ABC中，AB＝8，AC＝6，点E在AB上且AE＝3，点F在AC上，连接EF，若△AEF与△ABC相似，则AF＝．16．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为．17．如图Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，点P为BC上任意一点，连接P A，以P A，PC为邻边作平行四边形P AQC，连接PQ，则PQ的最小值为．18．如图，四边形ABCD是平行四边形，E为BC边的中点，DE、AC相交于点F，若△CEF的面积为6，则△ADF的面积为．19．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，M为CD的中点，N为BC的中点，连接AM和DN交于点E，连接BE，作AH⊥BE于点H，延长AH与DN交于点F，连接BF并延长与CD交于点G，则MG的长度为．20．如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O）20米的A处，则小明的影子AM长为米．21．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连接BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△ABE≌△DCF；②＝；③DP2＝PH•PB；④＝．其中正确的是．（写出所有正确结论的序号）22．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，AD⊥BC，那么EH的长为．23．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于．24．如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A 和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是米．25．把标准纸一次又一次对开，可以得到均相似的“开纸”．现在我们在长为2、宽为1的矩形纸片中，画两个小矩形，使这两个小矩形的每条边都与原矩形纸的边平行，或小矩形的边在原矩形的边上，且每个小矩形均与原矩形纸相似，然后将它们剪下，则所剪得的两个小矩形纸片周长之和的最大值是．三．解答题（共20小题）26．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，且CD＞DA，DA＝2，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动．过点Q作AC的垂线段QR，使QR＝PQ，连接PR，当点Q到达点A时，点P、Q 同时停止运动、设PQ＝x，△PQR与△ABC重叠部分的面积为S，当x＝时，点R恰好在AB边上．（1）填空：点R恰好经过AB边时，S的值为；（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．27．在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC＝，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示）28．如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点F，延长BC到点E，使得四边形ACED是一个平行四边形，平行四边形对角线AE交BD、CD分别为点G和点H．（1）证明：DG2＝FG•BG；（2）若AB＝5，BC＝6，则线段GH的长度．29．如图，已知矩形OABC，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中A （2，0），C（0，3），点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线CO 上运动，连接BP，作BE⊥PB交x轴于点E，连接PE交AB于点F，设运动时间为t秒．（1）当t＝2时，求点E的坐标；（2）若AB平分∠EBP时，求t的值；（3）在运动的过程中，是否存在以P、O、E为顶点的三角形与△ABE相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．30．已知：如图边长为2的正方形ABCD中，∠MAN的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠MAN＝45°①求证：MN＝BM+DN；②若AM、AN交对角线BD于E、F两点．设BF＝y，DE＝x，求y与x的函数关系式．31．如图，已知ED∥BC，∠EAB＝∠BCF，（1）四边形ABCD为平行四边形；（2）求证：OB2＝OE•OF；（3）连接OD，若∠OBC＝∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．32．如图，在一块如图所示的三角形余料上裁剪下一个正方形，如果△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，正方形的四个顶点D、E、F、G分别在三角形的三条边上．求正方形的边长．33．一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．（1）求证：△AEF∽△ABC；（2）求这个正方形零件的边长；（3）如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？34．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm．动点M从点B 出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为t秒（0＜t＜），连接MN．（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．35．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC与BD交于点E，∠ADB＝∠ACB．（1）求证：＝；（2）若AB⊥AC，AE：EC＝1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形．36．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE•CA．（1）求证：BC＝CD；（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB＝OB，CD＝，求DF的长．37．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．（1）若AE＝CF；①求证：AF＝BE，并求∠APB的度数；②若AE＝2，试求AP•AF的值；（2）若AF＝BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．38．如图，已知在矩形ABCD中，AD＝8cm，CD＝4cm，点E从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动，同时点F从点C出发，沿射线CD方向以每秒2cm的速度移动，当B、E、F三点共线时，两点同时停止运动．设点E移动的时间为t（秒），（1）求证：△BCF∽△CDE；（2）求t的取值范围；（3）连接BE，当t为何值时，∠BEC＝∠BFC？39．如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交CA的延长线于点E，连接AD、DE．（1）求证：D是BC的中点；（2）若DE＝3，BD﹣AD＝2，求⊙O的半径；（3）在（2）的条件下，求弦AE的长．40．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．41．【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN．求证：∠ABC＝∠ACN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC＝∠ACN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC．连接CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．42．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点O在BC上（与B，C不重合），连接AO，F是线段AO上的点（与A，O不重合），∠EAF＝90°，AE＝AF，连接FE，FC，BE，BF．（1）如图1，若AO⊥BC，求证：BE＝BF；（2）如图2，若将△AEF绕点A旋转，使边AF在∠BAC的内部，延长CF 交AB于点G，交BE于点K．①求证：△AGC∽△KGB；②当△BEF为等腰直角三角形时，请你直接写出AB：BF的值．43．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）如图①，若动点Q从点C出发，在对角线CA上以每秒3cm的速度向A 点匀速移动，同时动点P从点B出发，在BC上以每秒2cm的速度向点C匀速移动，运动时间为t秒（0≤t＜3），t取何值时，四边形ABPQ的面积最小？（2）如图②，若点Q在对角线CA上，CQ＝4cm，动点P从点B出发，以每秒1cm的速度沿BC运动至点C停止．设点P运动了t秒，当t为何值时，以Q、P、C为顶点的三角形是等腰三角形？44．数学课上，王老师出示问题：如图1，将边长为5的正方形纸片ABCD折叠，使顶点A落在边CD上的点P处（点P与C、D不重合），折痕为EF，折叠后AB边落在PQ的位置，PQ与BC交于点G．（1）观察操作结果，在图1中找到一个与△DEP相似的三角形，并证明你的结论；（2）当点P在边CD的什么位置时，△DEP与△CPG面积的比是9：25？请写出求解过程；（3）将正方形换成正三角形，如图2，将边长为5的正三角形纸片ABC折叠，使顶点A落在边BC上的点P处（点P与B、C不重合），折痕为EF，当点P在边BC的什么位置时，△BEP与△CPF面积的比是9：25？请写出求解过程．45．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF，（1）若AD2＝BD•DC，①求证：∠BAC＝90°．②AB＝4，DC＝6，求EF．（2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF．。

七年级数学下册第四章《三角形》测试卷(含答案)

七年级数学下册第四章《三角形》测试卷一、选择题（每题3分，共10小题）1.下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）A 、7cm 、5cm 、12cmB 、6cm 、8 cm 、15cmC 、8cm 、4cm 、3cmD 、4cm 、6 cm 、5cm2.下列各图中，作出AC 边上的高，正确的是（ C ）3．三角形的重心是三角形三条( )A ．中线的交点B ．高的交点C ．角平分线的交点D ．边的垂直平分线的交点4．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是（）A ．中线B ．角平分线C ．高线D ．三角形的角平分线5．尺规作图作的平分线方法如下：以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS6.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）A.带①去B. 带②去C. 带③去D. 带①和②去7.如图，△ABC ≌△EDF ，AF=20，EC=8，则AE 等于（）A.6B.8C.10D.12第5题图第6题图第7题图8.根据下列已知条件，能画出唯一△ABC 的是( )A ．AB ＝3，BC ＝4，CA ＝8 B ．AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30°C ．∠A ＝60°，∠B ＝45°，AB ＝4D ．∠C ＝90°，AB ＝69．如图，为了测量池塘两端点A ，B 间的距离，小亮先在平地上取一个可以直接到达点A 和点B 的点C ，连接AC 并延长到点D ，使CD ＝CA ，连接BC 并延长到点E ，使CE ＝CB ，连接DE ．现测得DE ＝30米，则AB 两点间的距离为（）米．A.15B.20C.30D.60AOB O OA OB C D C D 12CD P OP ，OCP ODP △≌△第9题图第10题图10.如图，已知AB＝AC，AE＝AF，BE与CF交于点D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③D在∠BAC的平分线上，其中正确的是( )A．① B．② C．①② D．①②③二、填空题（每题3分，共6小题）11.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是三角形具有。

第四章必刷小题8 解三角形

一、单项选择题1．(2024·楚雄模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝2b ，sin A ＝13，则sin B 等于( ) A.23 B.73 C.26 D.3462．(2023·沈阳模拟)在△ABC 中，若a ＝b cos C ，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形3．(2024·南京模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知9sin 2B ＝4sin 2A ，cos C ＝14，则c a等于( ) A.114 B.104 C.113 D.1034．(2023·咸阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ＝60°，b ＝1，b ＋c sin B ＋sin C＝233，则△ABC 的面积为( ) A.32 B.34 C.12 D.145．(2023·太原模拟)在△ABC 中，A ＝π4，BD ⊥AC ，D 为垂足，若AC ＝4BD ，则cos ∠ABC 等于( )A ．－55 B.55 C ．－255 D.2556．(2023·达州模拟)如图，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C ，D ，测得∠BCD ＝15°，∠CBD ＝30°，CD ＝10 2 m ，并在C 处测得塔顶A 的仰角为45°，则塔高AB 等于( )A ．30 2 mB ．20 3 mC ．30 mD ．20 m7．(2023·东莞模拟)我国油纸伞的制作工艺巧妙．如图(1)，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC ，且AB ＝AC ，从而保证伞圈D 能够沿着伞柄滑动．如图(2)，伞完全收拢时，伞圈D 已滑到D ′的位置，且A ，B ，D ′三点共线，AD ′＝40 cm ，B 为AD ′的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D 沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm ，则当伞完全张开时，∠BAC 的余弦值是( )A ．－1725B ．－42125C ．－35D ．－8258．(2023·郑州模拟)在锐角△ABC 中，B ＝60°，AB ＝1，则AB 边上的高的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫34，1 B.⎝⎛⎭⎫34，32 C.⎝⎛⎭⎫32，3 D.⎝⎛⎭⎫34，3 二、多项选择题9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列对△ABC 解的个数的判断中正确的是( )A ．a ＝7，b ＝14，A ＝30°，有一解B ．a ＝30，b ＝25，A ＝150°，有一解C ．a ＝3，b ＝6，A ＝60°，有一解D ．a ＝6，b ＝9，A ＝45°，有两解10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A ＝(3b －c )sin B ，且cos A ＝13，则下列结论正确的是( )A ．a ＋c ＝3bB ．tan A ＝2 2C ．△ABC 的周长为4cD ．a ＝c11．(2024·广州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .则下列命题正确的是( )A ．若a ＝33，b ＝3，B ＝30°，则A ＝60°B ．若A >B ，则sin A >sin BC ．若c b<cos A ，则△ABC 为钝角三角形 D ．若a ＝2，b ＝3，c 2＋ab ＝a 2＋b 2，则△ABC 的面积为312．(2023·沈阳模拟)在△ABC 中，已知a ＝2b ，且1tan A ＋1tan B ＝1sin C，则( ) A ．a ，c ，b 成等比数列B ．sin A ∶sin B ∶sinC ＝2∶1∶ 2C ．若a ＝4，则S △ABC ＝7D ．A ，B ，C 成等差数列三、填空题13．(2023·新乡模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，b ＝6，B ＝30°，a 2＋c 2＝33ac ，则△ABC 的面积为________．14．已知圆内接四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝6，AD ＝CD ＝4，则四边形ABCD 的面积为________．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2C ＝sin 2A ＋cos 2B －sin A sin C ，且b ＝6，则B ＝________，△ABC 外接圆的面积为________．16．(2023·安康模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(CA →＋CB →)·AB →＝35|AB →|2，则a cos B b cos A ＝________.。

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷及答案

2023年中考数学总复习第四章《三角形》综合测试卷一、选择题（每小题3分，共36分）1.将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A.85°B.75°C.65°D.60°（第1题图）（第2题图）2.如图，平行线AB，CD 被直线EF 所截，过点B 作BG⊥EF 于点G，已知∠1=50°，则∠B=（）A.20°B.30°C.40°D.50°3.如图，太阳光线与水平线成70°角，窗子高AB=2米，要在窗子外面上方0.2米的点D 处安装水平遮阳板DC，使光线不能直接射入室内，则遮阳板DC 的长度至少是（）A．米B．2sin70°米C．米D． 2.2cos70°米（第3题图）（第5题图）4.在Rt△ABC 中，∠C=90°，若斜边AB 是直角边BC 的3倍，则tanB 的值是（）A．B．3C．D．5.如图，每个小方格的边长为1，A，B 两点都在小方格的顶点上，点C 也是图中小方格的顶点，并且△ABC 是等腰三角形，那么点C 的个数为（）A.1B.2C.3D.46.已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（）A.2B.3C.5D.137.如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A．2B．3C．4D．（第7题图）（第8题图）8.如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D，DE 是BC 的垂直平分线，点E 是垂足．已知DC=5，AD=2，则图中长为的线段有（）A．4条B．3条C．2条D．1条9.如图，在△ABC 外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是（）A．△ABC 与△DEF 是位似图形B．△ABC 与△DEF 是相似图形C．△ABC 与△DEF 的周长比为1∶2D．△ABC 与△DEF 的面积比为4∶1（第9题图）（第10题图）10.如图，在数轴上有A，B，C，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB=BC=3CD，若A，D 两点表示的数分别为-5和6，且AC 的中点为E，BD 的中点为M，BC 之间距点B 的距离为BC 的点为N，则该数轴的原点为（）A．点EB．点FC．点MD.点N 11.如图，将宽为1cm 的纸条沿BC 折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）（第11题图）（第12题图）12.如图，在△ABC 中，∠ABC=∠C，将△ABC 绕点B。

4.1认识三角形练习题

第四章认识三角形(A)一、选择题1．一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为 ( ) A ．10 B ．12 C ．142．在△ABC 中，AB ＝4a ，BC ＝14，AC ＝3a ．则a 的取值范围是 ( ) A ．a ＞2 B ．2＜a ＜14 C ．7＜a ＜14 D ．a ＜14 3．一个三角形的三个内角中，锐角的个数最少为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下面说法错误的是 ( )A ．三角形的三条角平分线交于一点B ．三角形的三条中线交于一点 ;C ．三角形的三条高交于一点D ．三角形的三条高所在的直线交于一点 5．能将一个三角形分成面积相等的两个三角形的一条线段是 ( ) A ．中线 B ．角平分线 C ．高线 D ．三角形的角平分线6．如图5—12，已知∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足是D ，则图中与∠A 相等的角是 ( )A.∠1 B ．∠2 C ．∠B D ．∠1、∠2和∠B7．点P 是△ABC 内任意一点，则∠APC 与∠B 的大小关系是 ( ) A ．∠APC ＞∠B B ．∠APC ＝∠B C ．∠APC ＜∠B D ．不能确定8．已知：a 、b 、c 是△ABC 三边长，且M ＝(a ＋b ＋c)(a ＋b －c)(a －b －c)，那么 ( ) A ．M ＞0 B ．M ＝0 C ．M ＜0 D ．不能确定9．周长为P 的三角形中，最长边m 的取值范围是 ( ) "A ．23P m P <≤B ．23P m P <<C ．23P m P ≤<D ．23Pm P ≤≤10．各边长均为整数且三边各不相等的三角形的周长小于13，这样的三角形个数共有( )A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个二、填空题1．五条线段的长分别为1，2，3，4，5，以其中任意三条线段为边长可以________个三角形． 2．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝10，那么BC 边的取值范围是________，周长的取值范围是___________．3．一个三角形的三个内角的度数的比是2：2：1，这个三角形是_________三角形． 4．一个等腰三角形两边的长分别是15cm 和7cm 则它的周长是__________．5．在△ABC 中，三边长分别为正整数a 、b 、c ，且c ≥b ≥a ＞0，如果b ＝4，则这样的三角形共有_________个．6．直角三角形中，两个锐角的差为40°，则这两个锐角的度数分别为_________． (7．在△ABC 中，∠A －∠B ＝30°、∠C ＝4∠B ，则∠C ＝________．8．如图5—13，在△ABC 中，AD ⊥BC ，GC ⊥BC ，CF ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、C 、F 、E ，则_______是△ABC 中BC 边上的高，_________是△ABC 中AB 边上的高，_________是△ABC 中AC 边上的高，CF 是△ABC 的高，也是△_______、△_______、△_______、△_________的高．9．如图5—14，△ABC 的两个外角的平分线相交于点D ，如果∠A ＝50°，那么∠D ＝_____．10．如图5—15，△ABC中，∠A＝60°，∠ABC、∠ACB的平分线BD、CD交于点D，则∠BDC ＝_____．11．如图5—16，该五角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________度．12．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是________．三、解答题1．如图5—17，点B、C、D、E共线，试问图中A、B、C、D、E五点可确定多少个三角形说明理由．》2．如图5—18，∠BAD＝∠CAD，则AD是△ABC的角平分线，对吗说明理由．3．一个飞机零件的形状如图5—19所示，按规定∠A应等于90°，∠B，∠D应分别是20°和30°，康师傅量得∠BCD＝143°，就能断定这个零件不合格，你能说出其中的道理吗4．如图5—20，在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多5cm，AB与AC的和为11cm，求AC的长．}5．如图5—21，△ABC中，∠B＝34°，∠ACB＝104°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线，求∠DAE的度数．】6．如图5—22，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AB＝13cm，BC＝12cm，AC＝5cm，求：(1)△ABC的面积；(2)CD的长．7．△ABC中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C＝7∠A，求∠A的度数．:8．已知：如图5—24，P是△ABC内任一点，求证：AB＋AC＞BP＋PC．】9．如图5—25，豫东有四个村庄A、B、C、D．现在要建造一个水塔P．请回答水塔P应建在何位置，才能使它到4村的距离之和最小，说明最节约材料的办法和理由．第四章认识三角形(B)1．一定在△ABC内部的线段是（）A．锐角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线B．钝角三角形的三条高、三条中线、一条角平分线C．任意三角形的一条中线、二条角平分线、三条高D．直角三角形的三条高、三条角平分线、三条中线2．下列说法中，正确的是（）》A．一个钝角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形B．一个等腰三角形一定是锐角三角形，或直角三角形C．一个直角三角形一定不是等腰三角形，也不是等边三角形D．一个等边三角形一定不是钝角三角形，也不是直角三角形3．如图，在△ABC中，D、E分别为BC上两点，且BD＝DE＝EC，则图中面积相等的三角形有（）A．4对B．5对C．6对D．7对（注意考虑完全，不要漏掉某些情况）4．如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．无法确定5．下列各题中给出的三条线段不能组成三角形的是（）A．a＋1，a＋2，a＋3（a＞0）B．三条线段的比为4∶6∶10\C．3cm，8cm，10cm D．3a，5a，2a＋1（a＞0）6．若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（）A．18 B．15 C．18或15 D．无法确定7．两根木棒分别为5cm和7cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒长为偶数，那么第三根木棒的取值情况有（）种A．3 B．4 C．5 D．68．△ABC的三边a、b、c都是正整数，且满足a≤b≤c，如果b＝4，那么这样的三角形共有（）个A．4 B．6 C．8 D．109．各边长均为整数的不等边三角形的周长小于13，这样的三角形有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．三角形所有外角的和是（）A．180°B．360°C．720°D．540°}11．锐角三角形中，最大角α的取值范围是（）A．0°＜α＜90°; B．60°＜α＜180°; C．60°＜α＜90°; D．60°≤α＜90°12．如果三角形的一个外角不大于和它相邻的内角，那么这个三角形为（）A ．锐角或直角三角形;B ．钝角或锐角三角形;C ．直角三角形;D ．钝角或直角三角形 13．已知△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（） A ．小于直角; B ．等于直角; C ．大于直角; D ．大于或等于直角 14．如图:（1）AD ⊥BC ，垂足为D ，则AD 是________的高， ∠________＝∠________＝90°；（2）AE 平分∠BAC ，交BC 于点E ，则AE 叫________， ∠________＝∠________＝21∠________，AH 叫________；。

第四章三角形章节测试同步练习2022-2023学年北师大版七年级数学下册

北师大版七下三角形章节测试一、选择题（共11小题）1. 下列各图中a，b，c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是( )A. 甲和乙B. 乙和丙C. 甲和丙D. 只有丙2. 如果过三角形重心的一条直线将该三角形分成两个直角三角形，则该三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形3. 已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )A. 2B. 3C. 5D. 134. 用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图所示，则说明∠CAD=∠DAB的依据是( )A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5. 一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④6. 根据下列条件，能唯一画出△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，AC=8B. AB=4，BC=3，∠A=30∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，AB=67. 根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是( )A. AB=3，BC=4，CA=8B. AB=4，BC=3，∠A=60∘C. ∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4D. ∠C=90∘，∠B=30∘，∠A=60∘8. 下列长度的三条线段，不能组成三角形的是( )A. 3，8，4B. 4，9，6C. 15，20，8D. 9，15，89. 下列说法中错误的是( )A. 三角形的三个内角中，最多有一个钝角B. 三角形三个内角中，至少有两个锐角C. 直角三角形中有两个锐角互余D. 三角形中两个内角和必大于90∘10. 两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图所示的图形，用两种不同的计算方法计算这个图形的面积，则可得等式为( )A. (a+b)2=c2B. (a−b)2=c2C. a2+b2=c2D. a2−b2=c211. 如图，点B，C分别在AE，AD上，BD与CE相交于点O，如果AB=AC，AD=AE，那么图中的全等三角形共有( )A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对二、填空题（共8小题）12. 已知△ABC的两条中线AD，BE相交于点F．如果AF=10，那么AD的长为．13. 请完善本课的知识结构图：14. 如图是5×5的正方形网络，以点D，E为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出个．15. 如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，以AB为一边画一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，点C的个数．16. 在△ABC中，如果∠A−∠B=90∘，则△ABC是三角形．17. 若直角三角形的一个锐角为15∘，则另一个锐角等于．18. 如图，一块三角形玻璃碎成了Ⅰ、Ⅱ两块，现需购买同样大小的一块三角形玻璃，为方便起见，只需带上第块玻璃碎片．19. 如图所示，图中有个三角形，其中以AB为边的三角形为，含∠OCB的三角形为．在△BOC中，OC的对角是，∠OCB的对边是．三、解答题（共5小题）20. 如图所示的每个图形中各有多少个三角形?21. 如图，已知 A ，D ，C ，F 在同一条直线上，AC =FD ，AB =FE ，∠A =∠F ，请说明 △ABC 与△FED 全等的理由．22. 一个三角形的三个内角度数之比为 1:1:2．求这个三角形三个内角的度数，并说明该三角形的形状．23. 如图，AB 与 CD 相交于点 O ，如果 ∠A =∠C ，OA =OC ，那么 △AOD 与 △COB 全等吗?为什么?解：在 △AOD 和 △COB 中，{ ( ), ( ),∠AOD =∠COB ( ), 所以 △AOD ≌△COB ( )．24. 如图①，在 Rt △ABC 中，∠C =90∘，BC =9 cm ，AC =12 cm ，AB =15 cm ，现有一动点 P ，从点 A 出发，沿着三角形的边 AC →CB →BA 运动，回到点 A 停止，速度为 3 cm/s ，设运动时间为 t s ．（1）如图①，当t=时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图②，在△DEF中，∠E=90∘，DE=4cm，DF=5cm，∠D=∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好使△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．答案1. B2. C【解析】∵三角形重心是三角形三边中线的交点，过这一点的直线恰好分三角形为两个直角三角形，则这条线在三角形内部的线段是高，利用三角形“三线合一”的性质，即可推断这是等腰三角形．3. B4. A【解析】从角平分线的作法得出，△AFD与△AED的三边对应相等，则△AFD≌△AED(SSS)，所以∠CAD=∠DAB．5. C【解析】因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA易证三角形全等，故应带第3块．故选：C．6. C7. C【解析】A. ∵AB=3，BC=4，CA=8，AB+BC<CA，∴不能画出三角形，故本选项不合题意；B. AB=4，BC=3，∠A=60∘，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；C.当∠A=60∘，∠B=45∘，AB=4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；D.已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意．8. A9. D【解析】A、三角形的三个内角中，最多有一个钝角，正确．B 、三角形三个内角中，至少有两个锐角，正确．C、直角三角形中有两个锐角互余，正确，D、三角形中两个内角和必大于90∘，错误，比如钝角三角形的两个锐角的和小于90∘．10. C【解析】根据题意得：S=12(a+b)(a+b)，S=12ab+12ab+12c2，∴12(a+b)(a+b)=12ab+12ab+12c2，即(a+b)(a+b)=ab+ab+c2，整理得：a2+b2=c2．11. C12. 1513. 不在同一直线上，首尾顺次联结，三角形任意两边的和大于第三边，三角形任意两边的差小于第三边，AD，AD，BC，ADB，ADC，AE，BE，CE，BC，BC，BE，CE，AF，∠BAF，∠CAF，∠BAC，∠BAC，∠BAF，∠CAF14. 415. 7【解析】16. 钝角【解析】因为 ∠A −∠B =90∘，所以 ∠A =90∘+∠B ，所以 ∠A 是钝角，所以 △ABC 是钝角三角形．17. 75∘【解析】∵ 直角三角形的一个锐角为 15∘，∴ 另一个锐角 =90∘−15∘=75∘．18. Ⅰ19. 8，△ABO ；△ABC ；△ABD ，△BOC ；△ABC ，△OBC ，OB【解析】题图中有 8 个三角形，分别是 △ABO ，△ABD ，△ABC ，△BOC ，△ODC ，△BDC ，△ADO ，△ADC ，其中以 AB 为边的三角形为 △ABO ，△ABC ，△ABD ；含 ∠OCB 的三角形为 △BOC ，△ABC ．在 △BOC 中，OC 的对角是 ∠OBC ，∠OCB 的对边是 OB ．20. 如图所示，（1）中有 8 个三角形；（2）中有 5 个三角形；（3）中有 6 个三角形．21. 在 △ABC 和 △FED 中，{AC =DF(已知),∠A =∠F(已知),AB =FE(已知),所以 △ABC ≌△FED (SAS )．22. 45∘，45∘，90∘．等腰直角三角形．23. ∠A =∠C ；已知；OA =OC ；已知；对顶角相等；ASA24. （1） 112 或 192【解析】①当点 P 在 BC 上时，如图 1，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AC⋅CP=12⋅12AC⋅CB，∴CP=12BC=92cm，此时，点P移动的距离为AC+CP=12+92=332cm，∴移动的时间为332÷3=112s．②当点P在BA上时，过点C作CD⊥AB，交AB于D，如图2，若△APC的面积等于△ABC面积的一半，则12AP⋅CD=12⋅12AB⋅CD，∴AP=12AB，即点P为BA的中点，此时，点P移动的距离为AC+CB+BP=12+9+152=572cm，∴移动的时间为572÷3=192s．故答案为112或192．（2）∵△APQ≌△DEF，∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F．①当点P在AC上时，如图3所示：此时，AP=4cm，AQ=5cm，∴点Q移动的速度为5÷(4÷3)=154cm/s．②当点P在AB上时，如图4所示：此时AP=4cm，AQ=5cm，即点P移动的距离为AC+CB+BP=9+12+15−4=32cm，点Q移动的距离为AB+BC+CQ=15+9+12−5=31cm，∴点Q移动的速度为31÷(32÷3)=9332cm/s，综上所述，点Q的运动速度为154cm/s或9332cm/s．第11页（共11 页）。

北师大版七年级数学下册第四章三角形达标检测卷(含详细解答)

北师大版七年级数学下册第四章达标检测卷(考试时间：120分钟满分：120分)班级：________ 姓名：________ 分数：________第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共18分)1．下列图形中与已知图形全等的是( )2．若三角形有两个内角的和是85°，那么这个三角形是 ( )A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定3．(襄州区期末)如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的( ) A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS第3题图4．已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是( ) A．4＜c＜12 B．12＜c＜24C．8＜c＜24 D．16＜c＜245．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是 ( )A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°6．(东营中考)如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于( )A．50° B．30° C．20° D．15°第6题图7．如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF∥AC，交BD于点G，那么下列结论错误的是( ) A．BD是△ABC的高 B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高 D．BG是△BEF的高第7题图第8题图8．(金华中考)如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )A．AC＝BD B．∠CAB＝∠DBA C．∠C＝∠D D．BC＝AD9．★如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝42°，则∠P的度数为 ( )A．44° B．66° C．96° D．92°第9题图第10题图10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论中正确的个数是（）①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°.A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是．第11题图第12题图12．(朔州月考)如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8，则AD的长为．13．已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD.则PE的长为．第13题图第14题图14．如图所示，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1 km，DC＝1 km，村庄A，C和A，D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2 km，BF＝0.7 km，则建造的斜拉桥长至少有 km.15．(河南中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为．16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CD交CD的延长线于点E，AD＝2.4 cm，DE＝1.7 cm，则BE的长为 cm.17．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为．第17题图第18题图18．★(锡山区期末)如果三角形的两个内角α与β满足3α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B，C为直线l上两点，点A在直线l外，且∠ABC＝45°.若P是l上一点，且△ABP是“准直角三角形”，则∠APB 的所有可能的度数为．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，点B，E，C，F在同一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，试说明：AB∥DE.20．(8分)如图，已知线段a，b，∠α，求作三角形ABC，使AC＝b，BC＝2a，∠C＝180°－α.(不写作法，保留作图痕迹)21．(8分)如图，AM平分∠CAD，CN平分∠ACB，△ACB≌△CAD，请你判断AM和CN的位置关系，并说明理由.22．(8分)如图，AD是△ABC的BC边上的高，AE平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C ＝70°，求∠AEC和∠DAE的度数．23．(10分)如图，点E在CD上，BC与AE交于点F，AB＝CB，BE＝BD，∠1＝∠2.(1)试说明：△ABE≌△CBD；(2)试说明：∠1＝∠3.24．(12分)(南岗区校级期中)已知AD是△ABC的角平分线(∠ACB＞∠B)，P是射线AD上一点，过点P作EF⊥AD，交射线AB于点E，交直线BC于点M.(1)如图①，∠ACB＝90°，试说明：∠M＝∠BAD；(2)如图②，∠ACB为钝角，P在AD延长线上，连接BP，CP，BP平分∠EBC，CP 平分∠BCF，∠BPD＝50°，∠CPD＝21°，求∠M的度数．25．(14分)如图①，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN.(1)试说明：AM＝BN；(2)分别写出点M在如图②和图③所示位置时，线段AB，BM，BN三者之间的数量关系，不需证明．①②③参考答案第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共18分)1．下列图形中与已知图形全等的是( B)2．若三角形有两个内角的和是85°，那么这个三角形是 ( A)A．钝角三角形 B．直角三角形C．锐角三角形 D．不能确定3．(襄州区期末)如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，如图所示的这种方法，是利用了三角形全等中的( D) A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS第3题图4．已知三角形的三边分别为4，a，8，那么该三角形的周长c的取值范围是( D) A．4＜c＜12 B．12＜c＜24C．8＜c＜24 D．16＜c＜245．根据下列条件，能画出唯一△ABC的是 ( C)A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．AB＝5，AC＝6，∠A＝45°D．∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°6．(东营中考)如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝50°，则∠3的度数等于( C)A．50° B．30° C．20° D．15°第6题图7．如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF∥AC，交BD于点G，那么下列结论错误的是( C) A．BD是△ABC的高B．CD是△BCD的高C．EG是△ABD的高D．BG是△BEF的高第7题图第8题图8．(金华中考)如图，已知∠ABC＝∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( A)A．AC＝BDB．∠CAB＝∠DBAC．∠C＝∠DD．BC＝AD9．★如图，在△PAB中，∠A＝∠B，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK.若∠MKN＝42°，则∠P的度数为 ( C)A．44° B．66° C．96° D．92°第9题图第10题图10．已知：如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE.以下四个结论中正确的个数是( D)①BD＝CE；②∠ACE＋∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE＋∠DAC＝180°.A．1 B．2 C．3 D．4第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共24分)11．如图，照相机的底部用三脚架支撑着，请你说说这样做的依据是__三角形的稳定性__．第11题图第12题图12．(朔州月考)如图，CD是△ABC的中线，若AB＝8，则AD的长为__4__．13．已知四边形ABCD各边长如图所示，且四边形OPEF≌四边形ABCD.则PE的长为__10__．第13题图第14题图14．如图所示，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD＝1 km，DC＝1 km，村庄A，C和A，D间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC＝3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路．现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE＝1.2 km，BF＝0.7 km，则建造的斜拉桥长至少有__1.1__km.15．(河南中考)将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__75°__．16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE于点D，BE⊥CD交CD的延长线于点E，AD＝2.4 cm，DE＝1.7 cm，则BE的长为__0.7___cm.17．如图，三角形纸片ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠1＝20°，则∠2的度数为__60°．第17题图第18题图18．★(锡山区期末)如果三角形的两个内角α与β满足3α＋β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．如图，B ，C 为直线l 上两点，点A 在直线l 外，且∠ABC ＝45°.若P 是l 上一点，且△ABP 是“准直角三角形”，则∠APB 的所有可能的度数为__15°或22.5°或120°__．三、解答题(共66分)19．(6分)如图，点B ，E ，C ，F 在同一条直线上，AB ＝DE ，AC ＝DF ，BE ＝CF ，试说明：AB ∥DE.解：∵BE ＝CF ，∴BC ＝EF ，在△ABC 与△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝DE ，AC ＝ DF ，BC＝EF ，∴△ABC ≌△DEF(SSS)，∴∠ABC ＝∠DEF ，∴AB ∥DE.20．(8分)如图，已知线段a ，b ，∠α，求作三角形ABC ，使AC ＝b ，BC ＝2a ，∠C ＝180°－α.(不写作法，保留作图痕迹)解：如图，△ABC 即为所求．21．(8分)如图，AM 平分∠CAD ，CN 平分∠ACB ，△ACB ≌△CAD ，请你判断AM 和CN 的位置关系，并说明理由.解：AM ∥CN.理由：∵△ACB ≌△CAD ，∴∠ACB ＝∠CAD.∵AM 和CN 分别平分∠CAD 和∠ACB ，∴∠ACN ＝12 ∠ACB ，∠CAM ＝12 ∠CAD ，∴∠ACN ＝∠CAM ，∴AM ∥CN.22．(8分)如图，AD 是△ABC 的BC 边上的高，AE 平分∠BAC ，若∠B ＝42°，∠C＝70°，求∠AEC 和∠DAE 的度数．解：∵∠B ＝42°，∠C ＝70°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝68°.∵AE 平分∠BAC ，∴∠EAC ＝12 ∠BAC ＝34°.∵AD 是高，∠C ＝70°，∴∠DAC ＝90°－∠C ＝20°，∴∠DAE ＝∠EAC －∠DAC ＝34°－20°＝14°，∴∠AEC ＝90°－∠DAE ＝76°.23．(10分)如图，点E 在CD 上，BC 与AE 交于点F ，AB ＝CB ，BE ＝BD ，∠1＝∠2.(1)试说明：△ABE ≌△CBD ；(2)试说明：∠1＝∠3.解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CBE ＝∠2＋∠CBE ，即∠ABE ＝∠CBD ，在△ABE 和△CBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠ABE ＝∠CBD ，BE ＝BD ，∴△ABE ≌△CBD(SAS)；(2)∵△ABE ≌△CBD ，∴∠A ＝∠C ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠1＝∠3.24．(12分)(南岗区校级期中)已知AD 是△ABC 的角平分线(∠ACB ＞∠B)，P 是射线AD 上一点，过点P 作EF ⊥AD ，交射线AB 于点E ，交直线BC 于点M.(1)如图①，∠ACB ＝90°，试说明：∠M ＝∠BAD ；(2)如图②，∠ACB 为钝角，P 在AD 延长线上，连接BP ，CP ，BP 平分∠EBC ，CP 平分∠BCF ，∠BPD ＝50°，∠CPD ＝21°，求∠M 的度数．解：(1)∵EF ⊥AD ，∴∠APF ＝∠MCF ＝90°.∵∠AFP ＝∠MFC ，∴∠M ＝∠PAF.∵∠BAD ＝∠CAD ，∴∠M＝∠BAD.(2)∵∠BPD＝50°，∠CPD＝21°，∴∠BPC＝71°，∴∠PBC＋∠PCB＝109°.∵∠BCF＝2∠PCB，∠EBC＝2∠PBC，∴∠EBC＋∠BCF＝218°，∴∠ABC＋∠ACB＝360°－218°＝142°，∴∠BAC＝180°－142°＝38°，∴∠DCP＝∠FCP＝∠CPD＋∠CAD＝40°，∴∠MDP＝∠DPC＋∠DCP＝61°.∵EF⊥AP，∴∠MPD＝90°，∴∠M＝90°－61＝29°.25．(14分)如图①，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN.(1)试说明：AM＝BN；(2)分别写出点M在如图②和图③所示位置时，线段AB，BM，BN三者之间的数量关系，不需证明．①②③解：(1)∵△PAB和△PMN是等边三角形，∴∠BPA ＝∠MPN ＝60°， AB ＝BP ＝AP ，PM ＝PN ＝MN ，∴∠BPA －∠MPB ＝∠MPN －∠MPB ， ∴∠APM ＝∠BPN.在△APM 和△BPN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AP ＝BP ，∠APM ＝∠BPN ，PM ＝PN ，∴△APM ≌△BPN(SAS)， ∴AM ＝BN.(2)图②中，BN ＝AB ＋BM ；图③中，BN ＝BM －AB.。

第四章三角形小练习

第四章三角形一、选择题（每小题3分，共36分）1、下面每组中的三条线段，能围成三角形的是（）A．B．C．2、（）形有稳定性．A．正方形B．长方形C．梯形D．三角形3、一个直角三角形的三条边分别是3厘米、4厘米、5厘米，这个直角三角形互相垂直的两条边的长度分别是（）A．3厘米和4厘米B．3厘米和5厘米C．4厘米和5厘米D．3厘米和3厘米4、下面图形是用木条钉成的支架，其中最不容易变形的是（）A．B．C．D．5、一个三角形三个内角度数比是2：3：5，这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形6、一个三角形3个内角的度数之比是2：3：5，那么这个三角形是（）三角形．A．钝角B．直角C．锐角7、一个三角形任意一条边上的高所在的直线，都是这个三角形的对称轴．这个三角形是（）A．等腰三角B．等腰直角三角形C．等边三角形8、已知一个三角形的两个角是锐角，这个三角形是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定是什么三角形9、在三角形中，三个内角∠1，∠2，∠3，那么∠1=∠2-∠3，那么这个三角形一定是（）三角形．A．锐角B．直角C．钝角10、一个三角形，经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形，其中一个三角形的内角和是（）A．180°B．90°C．不确定11、一个三角形中最大的一个角不能小于（）度．A．60 B．45 C．30 D．9012、一个直角三角形中，两个锐角度数比为1：4，较小的锐角是（）度．A．18 B．36 C．72二、判断题（每小题2分，共10分）1、长3cm、3cm、7cm的三条线段能围成一个三角形．（）2、直角三角形中的两条直角边互为底和高．（）3、直角三角形也有三条高．（）4、一个三角形里可以有两个钝角．（）5、等腰三角形的一个角是45°，这个三角形一定是直角三角形．（）三、填空题（每小空2分，共18分）1、三角形具有性；三角形的内角和是．2、三边均为整数，且最长边为11的三角形有个．3、三角形的内角度数的比是1：2：6，这个三角形是三角形．4、一个三角形三个内角度数的比是2﹕3﹕4，这个三角形最大的角度，它是三角形．5、在直角三角形中，有一个锐角是25°，那么另一个锐角是°．6、一个等腰直角三角形，腰长4厘米，顶角和一个的角底度数比2：1，这个三角形中最大的内角是度，这个三角形的面积是．四、解答题（每小题5分，共30分）1、有五根木条，它们的长度分别是1厘米、2厘米、3厘米、4厘米、5厘米，从它们当中选出3根木条围成一个三角形，一共可以围成多少种不同的三角形？请列举出来．2、如果一个三角形的两条边分别长4厘米和7厘米，另一条也是整数，可能是多少厘米？3、一个三角形的两边分别是4厘米和5厘米，夹角是30°，画出这个三角形．这是一个什么三角形？它的第三条边长是多少厘米？4、一个三角形，三个内角的度数比是1：2：3，这是一个什么三角形？5、如图示，已知一个等腰三角形的顶角为80°，∠a=∠b，∠c=∠d，求∠x是多少度．﹙提示：三角形的三只角总和是180°﹚6、求出下面三角形中各角的度数．∠1= °；∠2= °．附加题（6分）如图中，各个图形内各有多少个三角形？。

第4章相似三角形单元测试卷

第四章相似三角形单元测试卷一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．有同一三角形地块的甲，乙两地图，比例尺分别为1：100和1：500，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（）A．25：1 B．5：1 C．D．2．如图，△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形，图中相似三角形（不包括全等）共有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中△ABC相似的是（）A．B．C．D．4．下列命题中，错误的命题是（）A．所有的等边三角形都是彼此相似的三角形B．所有的矩形都是彼此相似的四边形C．所有的等腰直角三角形都是彼此相似的三角形D．有两组对应边成比例的直角三角形相似5．如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．106．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，CD是角平分线，则△DBC的面积与△ABC 面积的比值是（）A．B．C．D．7．如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC=AD：AB=4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（）A．甲、乙不相似B．甲、丁不相似C．丙、乙相似D．丙、丁相似8．如图，正方形ABCD中，P为对角线上的点，PB=AB，连PC，作CE⊥CP交AP 的延长线于E，AE交CD于F，交BC的延长线于G，则下列结论：①E为FG的中点；②FG2=4CF•CD；③AD=DE；④CF=2DF．其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45度后得到正方形AB′C′D′，边B′C′与DC交于点O，则四边形AB′OD的周长是（）A．2B．3 C．D．1+10．如图，O为矩形ABCD的中心，将直角△OPQ的直角顶点与O重合，一条直角边OP与OA重合，使三角板沿逆时针方向绕点O旋转，两条直角边始终与边BC、AB相交，交点分别为M、N．若AB=4，AD=6，BM=x，AN=y，则y与x之间的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．若，则=．12．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，则使△AED∽△ABC的条件是．13．已知三条线段的长分别是4cm ，5cm 和10cm ，则再加一条 cm 的线段，才能使这四条线段成比例．14．如图，五边形ABCDE 与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为，若五边形ABCDE 的面积为18cm 2，周长为21cm ，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为 cm 2，周长为 cm ．15．已知，如图，P 为△ABC 中线AD 上一点，AP ：PD=2：1，延长BP 、CP 分别交AC 、AB 于点E 、F ，EF 交AD 于点Q ．（1）PQ=EQ ；（2）FP ：PC=EC ：AE ；（3）FQ ：BD=PQ ：PD ；（4）S △FPQ ：S △DCP =S PEF ：S △PBC ．上述结论中，正确的有．16．如图，直线l 截▱ABCD 的边AB ，BC 和对角线BD 于P ，Q ，M ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且PB=3PA ，CQ ：BQ=1：2，则BM ：BO= ．17．梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=3，CD=8，点E 是对角线AC 上一点，连接DE 并延长交直线AB 于点F ，若=2，则= ．18．如图，△ABC∽△A1B1C1，那么它们的相似比是．19．如图，E、F分别是▱ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=10cm2，S△BQC=20cm2，则阴影部分的面积为．20．已知△ABC中，AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB 于B4，则线段B3B4的长度为（用含有m的代数式表示）三．解答题（共7小题，满分50分）21．（6分）如图1，△ABC中，点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上，且BE=CD，EP∥AC交直线CD于点P，交直线AB于点F，∠ADP=∠ACB．（1）图1中是否存在与AC相等的线段？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）若将“点D在线段AB上，点E在线段CB延长线上”改为“点D在线段BA延长线上，点E在线段BC延长线上”，其他条件不变（如图2）．当∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2时，求线段PE的长．22．（6分）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？23．（6分）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的纸片进行如下设计：说明：方案一：图形中的圆过点A、B、C；方案二：直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．24．（6分）如图所示，直角三角板ABC放置于直角坐标系中，已知点B（0，2），点A（4，5），点C在第四象限，∠A=60°，∠C=30°，BC边与x轴交于点D．（1）求AB的长度；（2）求点C的坐标．25．（6分）如图，四边形ABCD为平行四边形，AE平分∠BAD交BC于点E，过点E作EF∥AB，交AD于点F，连接BF．（1）求证：BF平分∠ABC；（2）若AB=6，且四边形ABCD∽四边形CEFD，求BC长．26．（8分）如图，P是正方形ABCD边BC上的一点，且BP=3PC，Q是CD中点．（1）求证：△ADQ∽△QCP．（2）试问：AQ与PQ有什么关系（位置与数量）？27．（12分）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．设点D运动的时间为t秒．（1）如图1，过点D作DH⊥AB于H，当t为何值时，△ADH≌△ABC，并求出此时DE的长度；（2）如图2，过点B作射线BP∥AC，过点E作EF⊥AC交射线BP于F，G是EF 中点，连接DG．当△DEG与△ACB相似时，求t的值．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．解：根据面积比是比例尺的平方比，得它们的面积比即是比例尺的平方比，那么甲地图与乙地图表示这一块的三角形面积比是（）2：（）2=25：1，故选A．2．解：∵△ABC和△GAF是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=∠C=∠FAG=∠F=45°，∠BAC=∠FGA=90°∵∠ADC=∠ADE，∠AEB=∠C+∠EAC=∠DAE+∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△EDA△EDA∽△EAB△ADC∽△EAB，但在一定条件下△ADC≌△EAB，故舍去∴共有2对．故选：B．3．解：已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例．故选：B．4．解：A、正确，因为等边三角形内角都是60°，必有两角对应相等，所以它们相似；B、错误，因为等腰直角三角形两锐角都是45°，必有两角对应相等，所以它们相似；C、正确，因为直角三角形中两组对应边成比例，可能SAS，可能HL，所以它们相似；D、正确，符合HL定理．故选：B．5．解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP===4.8，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故选：C．6．解：设AB=x，BC=y．∵△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°．∵CD是角平分线，∴∠BCD=∠ACD=36°．∴AD=CD=BC=y，∴BD=x﹣y．∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠ACB=72°，∴△DBC∽△ABC．∴．即，x2﹣xy﹣y2=0，x=y（负值舍去）．则=．∴△DBC的面积与△ABC面积的比值是=．故选：C．7．解：∵AP：PC=AD：AB=4：3，AD∥BC，∴===，∴甲与丁相似，故选项B错误，∵当=，AM=EP，∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，∵=，=，DM=PF，∴当=，MP=AE，∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，故选：A．8．解：①如图：正方形ABCD中BA=BC，∠ABP=∠CBP，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，那么∠1=∠2，在直角三角形ABG中∠1与∠G互余，∠PCE=90°，那么∠2与∠5互余，∴∠5=∠G，∴EC=EG．在直角三角形FCG中∠3与∠G互余，∠4与∠5也互余，而∠5=∠G，∴∠3=∠4，∴EC=EF，从而得出EG=EF，即E为FG的中点．∴①正确．③∵AB=BC，∠ABD=∠CBD，BP=BP，∴△ABP≌△CBP，∴∠1=∠2，∵AB∥CD，∴∠1=∠DFA，∵AB=BP，∴∠1=∠BPA，∵∠DPF=∠APB，∵EF=CE，∴∠3=∠4，∴∠4=∠DPE，∴D、P、C、E四点共圆，∴∠DEA=∠DCP，∵∠1+∠DAP=90°，∠2+∠DCP=90°，∴∠DAP=∠DCP=∠DEA，∴AD=DE，∴③正确，②∵∠3=∠4，AD=DE（③已求证），∴△CEF∽△CDE，∴=，即CE2=CF•CD，∵∠3=∠4，∴CE=EF，∵E为FG的中点．∴FG=2CE，即CE=FG，∴=CF•CD，即FG2=4CF•CD，∴②正确．④∵四边形ABCD是正方形，∴△PDF∽△PBA，∴==，∴=，∴=，即CF=DF，∴④错误，综上所述，正确的由①②③．故选：C．9．解：连接B′C，∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，∴B′在对角线AC上，∵AB=AB′=1，用勾股定理得AC=，∴B′C=﹣1，在等腰Rt△OB′C中，OB′=B′C=﹣1，在直角三角形OB′C中，由勾股定理得OC=（﹣1）=2﹣，∴OD=1﹣OC=﹣1∴四边形AB′OD的周长是：2AD+OB′+OD=2+﹣1+﹣1=2．故选：A．10．解：过点O分别作OF⊥AB于F，OE⊥BC于E∵∠POQ=∠EOF=90°∴∠NOF=∠MOE∵∠NFO=∠MEO=90°∴△NOF∽△MOE∴=∵AB=4，AD=6，BM=x，AN=y∴NF=2﹣y，ME=3﹣x，OF=3，OE=2∴=∴y=x﹣（＜x＜6）故选：C．二．填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）11．解：由题意，设x=2k，y=3k，z=4k，∴原式==．故答案为12．解：∵∠A=∠A，当∠AED=∠B，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当∠ADE=∠C，∴△AED∽△ABC，∵∠A=∠A，当，∴△AED∽△ABC，故答案为：∠AED=∠B或∠ADE=∠C或．13．解：设所加的线段是x，则得到：=或或，解得：x=或x=8或2．14．解：五边形A′B′C′D′E′的面积=18×=8cm2；五边形A′B′C′D′E′的周长=21×=14cm．15．解：延长PD到M，使DM=PD，连接BM、CM，∵AD是中线，∴BD=CD，∴四边形BPCM是平行四边形，∴BP∥MC，CP∥BM，即PE∥MC，PF∥BM，∴AE：AC=AP：AM，AF：AB=AP：AM，∴AF：AB=AE：AC，∴EF∥BC；∴△AFQ∽△ABD，△AEQ∽△ACD，∴FQ：BD=EQ：CD，∴FQ=EQ，而PQ与EQ不一定相等，故（1）错误；∵△PEF∽△PBC，△AEF∽△ACB，∴PF：PC=EF：BC，EF：BC=AE：AC，∴PF：PC=AE：AC，故（2）错误；∵△PFQ∽△PCD，∴FQ：CD=PQ：PD，∴FQ：BD=PQ：PD；故（3）正确；∵EF∥BC，∴S△FPQ ：S△DCP=（）2，S△PEF：S△PBC=（）2，∴S△FPQ ：S△DCP=S PEF：S△PBC．故（4）正确．故答案为：（3）（4）．16．解：作PE∥AC交BD于E，作QF∥AC交BD于F．设OA=OC=a，OB=b．则有===，===，∴QF=a，PE=a，BE=b，OE=b，BF=b，EF=b，∵PE∥QF，∴==，∴FM=×b=b，∴BM=MF+FB=b，∴BM：BC=12：17，故答案为12：17．17．解：如图1：∵AB=3，=2，∴AF=2，BF=1，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==；如图2：∵AB=3，=2，∴AF=6，BF=3，∵AB∥CD，∴△AEF∽△CED，∴=，∴==．故答案为：或．18．解：设每一个小正方形的边长为1，则AB=2，A1B1=∴AB：A1B1=2：∴相似比为：2：．19．解：连接E 、F 两点， ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等， ∴S △EFC =S △BCF ， ∴S △EFQ =S △BCQ ，同理：S △EFD =S △ADF ， ∴S △EFP =S △ADP ，∵S △APD =10cm 2，S △BQC =20cm 2， ∴S 四边形EPFQ =30cm 2，故阴影部分的面积为30cm 2．20．解：∵AB=AC=m ，∠ABC=72°，BB 1平分∠ABC 交AC 于B 1， ∴∠B 2BB 1=∠B 1BC=∠ABC=36°，∠C=∠ABC=72°， ∴∠BB 1C=72°=∠C ， ∵B 1B 2∥BC ，∴∠B 2B 1B=∠B 1BC=36°， ∴BB 2=B 1B 2，BB 1=BC ， ∵∠A=∠ABB 1=36°， ∴AB 1=BB 1， ∴设AB 2=x ，则AB 1=AB 2=BC=AB ﹣BB 2=x ，BB 2=B 1B 2=m ﹣x ， ∵=，∴，解得：x=m，∴B1B2=BB2=m，∴AB2=m，同理：B2B4=B3B4，B1B2=AB4=AB3，设B3B4=y，∵，则可得：，解得：y=m﹣2m．故答案为：m﹣2m．三．解答题（共7小题，满分50分）21．解：（1）AC=BF．证明如下：如图1，∵∠ADP=∠ACD+∠A，∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠ADP=∠ACB，∴∠BCD=∠A，又∵∠CBD=∠ABC，∴△CBD∽△ABC，∴=，①∵FE∥AC，∴=，②由①②可得，=，∵BE=CD，∴BF=AC；（2）如图2，∵∠ABC=90°，∠BAC=60°，∴∠ACB=30°=∠ADP，∴∠BCD=60°，∠ACD=60°﹣30°=30°，∵PE∥AC，∴∠E=∠ACB=30°，∠CPE=∠ACD=30°，∴CP=CE，∵BE=CD，∴BC=DP，∵∠ABC=90°，∠D=30°，∴BC=CD，∴DP=CD，即P为CD的中点，又∵PF∥AC，∴F是AD的中点，∴FP是△ADC的中位线，∴FP=AC，∵∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=AC，∴FP=AB=2，∵DP=CP=BC，CP=CE，∴BC=CE，即C为BE的中点，又∵EF∥AC，∴A为FB的中点，∴AC是△BEF的中位线，∴EF=2AC=4AB=8，∴PE=EF﹣FP=8﹣2=6．22．解：由题意得，∠BAD=∠BCE，∵∠ABD=∠CBE=90°，∴△BAD∽△BCE，∴=，∴=，解得BD=13.6．答：河宽BD是13.6米．23．解：发现：（1）小明的这个发现正确．理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC=BC=，AB=2∴AC2+BC2=AB2，∴∠BCA=90°，∴AB为该圆的直径．解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM=∠CBN．又∵∠BCN+∠CBN=90°，∴∠BCN+∠ACM=90°，即∠BCA=90°，∴AB为该圆的直径．（2）如图三：∵DE=FH，DE∥FH，∴∠AED=∠EFH，∵∠ADE=∠EHF=90°，∴△ADE≌△EHF（ASA），∴AD=EH=1．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴=，∴=，∴BC=8，=16．∴S△ACB∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=37.5%；探究：（3）过点C作CD⊥EF于D，过点G作GH∥AC，交BC于点H，设AP=a，∵PQ∥EK，易得△APQ∽△KQE，△CEF是等腰三角形，△GHL是等腰三角形，∴AP：AQ=QK：EK=1：2，∴AQ=2a，PQ=a，∴EQ=5a，∵EC：ED=QE：QK，∴EC=a，则PG=5a+a=a，GL=a，∴GH=a，∵，解得：GB=a，∴AB=a，AC=a，=×AB×AC=a2，∴S△ABCS展开图面积=6×5a2=30a2，∴该方案纸片利用率=×100%=×100%=49.86%．24．解：（1）过点A作AE⊥y轴于点E，∵点A（4，5），B（0，2），∴AE=4，BE=5﹣2=3，由勾股定理得：=5；（2）在Rt△ABC中，∵∠A=60°，AB=5，∴BC=AB tan 60°=5，过C作CF⊥y轴于点F，则∠BFC=∠AEB=90°∵∠CBF+∠ABE=90°，∠CBF+∠BCF=90°∴∠BCF=∠ABE，∴△BFC∽△AEB，∴，即，∴，∵OF=BF﹣OB=∴点C的坐标为（，）．25．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB=CD，∴∠FAE=∠AEB，∵EF∥AB，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AE平分∠BAD，∴∠FAE=∠BAE，∴∠BAE=∠AEB，∴AB=EB，∴四边形ABEF是菱形，∴BF平分∠ABC；（2）解：∵四边形ABEF为菱形；∴BE=AB=6，∵四边形ABCD∽四边形CEFD，∴，即，解得：BC=3±3（负值舍去），∴BC=3+3．26．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠C=∠D=90°；又∵Q是CD中点，∴CQ=DQ=AD；∵BP=3PC，∴CP=AD，∴==，又∵∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP；（2）AQ=2PQ，且AQ⊥PQ．理由如下：由（1）知，△ADQ∽△QCP，==，则===，AQ=2PQ；∵△ADQ∽△QCP，∴∠AQD=∠QPC，∠DAQ=∠PQC，∴∠PQC+∠DQA=DAQ+AQD=90°，∴AQ⊥QP．27．解：解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴BA===10，∵当△ADH≌△ABC时，AB=AD，AC=AH，∵动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，∴5t=10，即t=2；AE=AC+CE=6+3t=6+6=12，DE=AE﹣AD=12﹣10=2；（2）∵EF=BC=8，G是EF的中点，∴GE=4．当AD＜AE（即t＜3）时，DE=AE﹣AD=6+3t﹣5t=6﹣2t，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，∴t=或t=，当AD＞AE（即t＞3）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（6+3t）=2t﹣6，若△DEG与△ACB相似，则或，∴=或=，解得t=或t=．综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形单元测试(含答案)

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形一、选择题1．已知c 是a 和b 的比例中项，a =2，b =18，则c =（）A ．±6B ．6C ．4D ．±32．如图，DE ∥BC ，在下列比例式中，不能成立的是（）A ．AD DB =AEECB ．DE BC =AEEC C ．AB AD =AC AED ．DB EC =ABAC3．如果两个相似三角形的周长之比为5：7，那么这两个三角形的面积之比为（）A ．5：7B ．7：5C ．25：49D ．49：254．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，AE =9，AC =6，BD =4，则BF 的长是（）A ．5B ．6C ．7D ．85．小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA 为15米（如图），然后在A 处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC 为3米，则楼高为（）A ．10米B ．12米C ．15米D ．22.5米6．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是（）A ．B ．C．D．7．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）．A．1：2B．1：3C．1：4D．1：58．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为5，则下列结论中正确的是（）A．m=5B．m=45C．m=35D．m=109．如图，已知AB=AC，∠B＜30°，BC上一点D满足∠BAD=120°，BDCD =73，则ADAC的值为（）A．12B．33C．13D．3210．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．如图，线段AC 、BD 交于点O ，请你添加一个条件：　　，使△AOB ∽△COD ．12．如图，点G 为△ABC 的重心，GE ∥AC ，若DE ＝2，则DC ＝．13．在某市建设规划图上，城区南北长为120cm ，该市城区南北实际长为36km ，则该规划图的比例尺是．14．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =4，AC =5，AE 平分∠BAC ，点D 是AC 的中点，AE 与BD交于点O ，则的值AOOE ．15．如图， EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点 P 处与地面 BE 的距离为1.6米，车头 FACD 近似看成一个矩形，且满足 3FD =2FA ，若盲区 EB 的长度是6米，则车宽 FA 的长度为米．16．如图，在△ABC中，点D是AC边上一点，将△ABD沿BD翻折得到△EBD，BE与AC交于点F，设AF=x，EF=y．（1）当BE⊥AC，x=9，y=3时，AD的长是；（2）当BD=BF，2x=7y时，△DEF与△ABD的面积之比是．三、解答题17．如图，已知D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，DE∥BC，ADBD =32，求DEBC的值．18．如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C.（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BD＝3，求CD的长．19．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）参考数据：2=1.414，3=1.732，5=2.23620．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，E是边BC上的一点（不与B、C重合），DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；S△ABE，求BE的长．（2）若S△DFA=1321．如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC=3，AD=2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．（1）设EF=x(0<x<2)，矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．22．如图，矩形ABCD中，点M在对角线BD上，过点A、B、M的圆与BC交于点E．（1）若AM=4，EB=EM=3，求BM．（2）若AB=6，BC=8，①求AM:ME．②若BM=7，求BE．23．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O.点P从点A出发，沿AD方向匀速运动速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动.连接PO并延长交BC于点E，过点Q作QF//AC，交BD于点F，设运动时间为t(s)(0<t<6)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△AOP是等腰三角形；（2）设五边形OECQF的面积为S(c m2)，试确定S与t的函数关系式；（3）在运动过程中，当S五边形OECQF：S△ACD=9：16时.直接写出t的值．答案解析部分1．【答案】A2．【答案】B3．【答案】C4．【答案】B5．【答案】A6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】AB∥CD（答案不唯一）12．【答案】6．13．【答案】1:3000014．【答案】9415．【答案】12716．【答案】5；1417．【答案】3518．【答案】（1）证明：∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA（2）解：设DC＝x，∵△ABD∽△CBA，∴ABBD=BCAB，∴63=2+x6，解得，x＝9；即CD＝719．【答案】1.24米．20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，∴∠B=90°，AD∥BC，AD=BC=4，∴∠AEB=∠DAF，∵DF⊥AE，∴∠DFA=90°，∴∠B=∠DFA，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵△ABE∽△DFA，S△DFA=13S△ABE，∴(AEAD )2=S△ABES△DFA=3，∴AEAD=3或AEAD=−3（负数不符合题意，舍去），∴AE=3AD=43，∴BE=AE2−AB2=(43)2−62=12=23，∴BE的长为23．21．【答案】（1）解：设AD，EH交于点M，∵矩形EFGH，∴EH∥BC，AM⊥EH，∴△ABC∼△AEH，∴EHBC=AMAD∵EF=DM=x，AD=2∴AM=2−x∴EH3=2−x2∴EH=32(2−x)∴y=2(EH+EF)=2(3−32x+x)=−x+6(0<x<2)∴y关于x的函数解析式为∴y=−x+6(0<x<2)（2）解：当EFGH为正方形时，∴EF=EH，由（1）得：EF =x ，EH =32(2−x)，∵EF =EH ，∴x =3(2−x)2，∴x =65，即EF =65．正方形EFGH 的面积=65×65=3625.22．【答案】（1）245（2）①43，②17423．【答案】（1）解：在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =8cm ，∴AC =10，①当AP =PO =t ，如图1，过P 作PM ⊥AO 于点M ，∴AM =12AO =52，∵∠PMA =∠ADC =90°，∠PAM =∠CAD ，∴△APM∽△ACD ，∴AP AC =AM AD，∴AP =t =258，②当AP =AO =t =5，∴当t 为258或5时，△AOP 是等腰三角形；（2）解：如图2，过点O 作OH ⊥BC 交BC 于点H ，则OH =12CD =12AB =3cm ，由矩形的性质可知∠PDO =∠EBO ，DO =BO ，又得∠DOP =∠BOE ，∴△DOP≌BOE(ASA)，∴BE =PD =8−t ，则S △BOE =12BE ⋅OH =12×3(8−t)=12−32t.∵FQ//AC ，∴△DFQ∽△DOC ，相似比为DQ DC =t6，∴S △DFQ S △DOC =t 236，∵S △DOC =14S 矩形ABCD =14×6×8=12c m 2，∴S △DFQ =12×t 236=t 23，∴S 五边形OECQF =S △DBC −S △BOE −S △DFQ =12×6×8−(12−32t)−t 23=−13t 2+32t +12；∴S 与t 的函数关系式为S =−13t 2+32t +12；（3）t =3或32。

中考数学第四章三角形自我检测

第四章三角形自我检测一、选择题1．(2018·益阳)如图，直线AB 、CD 相交于点O ，EO ⊥CD ，下列说法错误的是(C) A ．∠AOD ＝∠BOC B ．∠AOE ＋∠BOD ＝90° C ．∠AOC ＝∠AOE D ．∠AOD ＋∠BOD ＝180°第1题图第2题图2．(2018·菏泽)如图，直线a ∥b ，等腰直角三角板的两个顶点分别落在直线a 、b 上，若∠1＝30°，则∠2的度数是(C)A ．45°B ．30°C ．15°D ．10°3．(2018·苏州)如图，在△ABC 中，延长BC 至点D ，使得CD ＝12BC ，过AC 中点E作EF ∥CD(点F 位于点E 右侧)，且EF ＝2CD ，连接DF.若AB ＝8，则DF 的长为(B)A ．3B ．4C ．2 3D ．3 2第3题图第4题图4．(2018·陕西)如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为点D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为(C)A .43 2B ．2 2C .832 D ．3 2 5．如图，AD ∥BC ，AD ⊥AB ，点A ，B 在y 轴上，CD 与x 轴交于点E(2，0)，且AD ＝DE ，BC ＝2CE ，则BD 与x 轴交点F 的横坐标为(A)A .23B .34C .45D .56二、填空题6．(2018·长春)如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，过点D 作DE ∥BC 交AC 于点E.若∠A ＝54°，∠B ＝48°，则∠CDE 的大小为__39°__．第6题图第7题图7．(2018·娄底)如图，P 是△ABC 的内心，连接PA 、PB 、PC ，△PAB 、△PBC 、△PAC 的面积分别为S 1、S 2、S 3，则S 1__＜__S 2＋S 3(填“<”、“＝”或“>”)．8．(2018·深圳)如图，四边形ACDF 是正方形，∠CEA 和∠ABF 都是直角，且点E ，A ，B 三点共线，AB ＝4，则阴影部分的面积是__8__．第8题图第9题图9．(2018·福建)把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A ，且另三个锐角顶点B ，C ，D 在同一直线上．若AB ＝2，则CD ＝．10. (2017·徐州)如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，点Q 在对角线AC 上，且AQ＝AD ，连接DQ 并延长，与边BC 交于点P ，则线段AP ＝．第10题图第11题图11．(2017·吉林)如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB 的高度，使用长为2 m 的竹竿CD 作为测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O 处重合，测得OD ＝4 m ，BD ＝14 m ，则旗杆AB 的高为__9__m .12．(2018·包头)如图，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 上的一个动点(不与点A ，B 重合)，连接CD ，将CD 绕点C 顺时针旋转90°得到CE ，连接DE ，DE 与AC 相交于点F ，连接AE.下列结论：①△ACE ≌△BCD ； ②若∠BCD ＝25°，则∠AED ＝65°； ③DE 2＝2CF·CA ；④若AB ＝32，AD ＝2BD ，则AF ＝53.其中正确的结论是__①②③__．(填写所有正确结论的序号)三、解答题13．位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像．铜像由像体AD 和底座CD 两部分组成．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝70.5°，在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米，求像体AD 的高度．(最后结果精确到0.1米，参考数据：sin 70.5°≈0.943，cos 70.5°≈0.334，tan 70.5≈2.824)解：∵在Rt △DBC 中，∠DBC ＝45°，且CD ＝2.3米， ∴BC ＝2.3米， ∵在Rt △ABC 中， ∠ABC ＝70.5°，∴tan 70.5°＝AC BC ＝AD ＋2.32.3≈2.824，解得：AD ≈4.2米．答：像体AD 的高度约为4.2米．14．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，BD ＝AD ，DG ＝DC ，E ，F 分别是BG ，AC 的中点．(1)求证：DE ＝DF ，DE ⊥DF ；(2)连接EF ，若AC ＝10，求EF 的长．(1)证明：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB ＝∠ADC ＝90°，在△BDG 和△ADC 中，⎩⎨⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC ，DG ＝DC ，∴△BDG ≌△ADC(SAS )， ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C ，∵∠ADB ＝∠ADC ＝90°，E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC＝CF ，∴DE ＝DF ，∠FDC ＝∠FCD ＝∠EDG ，∴∠EDG ＋∠FDA ＝90°，∴DE ⊥DF ； (2)解：∵AC ＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理得，EF ＝5 2.15．(2018·沈阳)已知：△ABC 是等腰三角形，CA ＝CB ，0°＜∠ACB ≤90°.点M 在边AC 上，点N 在边BC 上(点M 、点N 不与所在线段端点重合)，BN ＝AM ，连接AN ，BM ，射线AG ∥BC ，延长BM 交射线AG 于点D ，点E 在直线AN 上，且AE ＝DE.(1)如图，当∠ACB ＝90°时，①求证：△BCM ≌△ACN ； ②求∠BDE 的度数；(2)当∠ACB ＝α，其他条件不变时，∠BDE 的度数是__∠BDE ＝α或180°－α__(用含α的代数式表示)；(3)若△ABC是等边三角形，AB＝33，点N是BC边上的三等分点，直线ED与直线BC交于点F，请直接写出线段CF的长．备用图①备用图②(1)①证明：∵CA＝CB，BN＝AM，∴CB－BN＝CA－AM，即CN＝CM，∵∠ACN＝∠BCM，∴△BCM≌△ACN；②解：∵△BCM≌△ACN，∴∠MBC＝∠NAC，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∵AG∥BC，∴∠GAC＝∠ACB＝90°，∠ADB＝∠DBC，∴∠ADB＝∠NAC，∴∠ADB＋∠EDA＝∠NAC＋∠EAD＝180°－90°＝90°，∴∠BDE ＝90°；(2)解：如解图①，当点E在AN的延长线上时，易证：∠CBM＝∠ADB＝∠CAN，∠ACB＝∠CAD，∵EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA，∴∠CAN＋∠CAD＝∠BDE＋∠ADB，∴∠BDE＝∠CAD＝∠ACB＝α.图①图②②如解图②，当点E在NA的延长线上时，易证：∠1＋∠2＝∠CAN＋∠DAC，∵∠2＝∠ADM＝∠CBD＝∠CAN，∴∠1＝∠CAD＝∠ACB＝α，∴∠BDE＝180°－α.综上所述，∠BDE＝α或180°－α.图③(3)解：如解图③中，当BN ＝13BC ＝3时，作AK ⊥BC 于点K.∵AD ∥BC ，∴AD BC ＝AM CM ＝12，∴AD ＝332，AC ＝33，易证△ADC 是直角三角形，则四边形ADCK 是矩形，△AKN≌△DCF ，图④∴CF ＝NK ＝BK －BN ＝332－3＝32.如解图④中，当CN ＝13BC ＝3时，过点A 作AK ⊥BC 于点K ，DH ⊥BC 于点H.∵AD ∥BC ，∴AD BC ＝AMMC＝2，∴AD ＝63，易证△ACD 是直角三角形，由△ACK ∽△CDH ，可得CH ＝3AK ＝932，由△AKN ≌△DHF ，可得KN ＝FH ＝32， ∴CF ＝CH －FH ＝4 3. 综上所述，CF 的长为32或4 3.。

浙教版数学九年级上册第四章相似三角形综合测试卷(原卷+答案)

第四章综合测试卷相似三角形班级学号得分姓名一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)1.己知 ab =25,则a +b b的值为( )A 25B 35C 75D 232.如图,已知△ABC∽△DEF,AB:DE=1:2,则下列等式一定成立的是( )A.BC DF=12 B.∠A 的度数∠D 的度数=12C.△ABC的面积△def 的面积= 12 D. △ABC 的周长△def 的周长= 123.如图,在直角坐标系中,△OAB 的顶点为O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O 为位似中心,在第三象限内作与△OAB 的位似比 13的位似图形△OCD,则点C 坐标为( )A. (-1,-1)B.(−43,−1)C.(−1,−43) D. (-2,-1)4. 如图，四边形ABCD 是正方形，E 是CD 的中点，P 是BC 边上的一点，下列条件中，不能推出 △ABP 与△ECP 相似的是( )A.∠APB=∠EPCB. ∠APE=90°C. 点 P 是BC 的中点D. BP: BC=2:35.如图,在△ABC 中,点D 在BC 边上,连结AD,点E 在AC 边上,过点E 作EF∥BC,交 AD 于点F,过点E 作EG∥AB,交BC 于点G,则下列式子一定正确的是( ) A.AE EC=EF CDB.EF CD=EG ABC.AFFD=BG GCD.CG BC=AF AD6. 如图，小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A 到水平地面BD 的距离)，在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC 等高的台阶DE(DE=BC=0.5m ，A ，B ，C 三点共线)，把一面镜子水平放置在平台上的点 G 处，测得CG=15m ，然后沿直线CG 后退到点E 处，这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A ，测得 EG=3m ，小明身高EF=1.6m,则凉亭的高度AB 约为( )A. 8.5mB. 9mC. 9.5mD. 10m7. 在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，“马”落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( )A. ①处B. ②处C. ③处D. ④处8. 如图,在△ABC 中,AD 平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步，分别以点A ，D 为圆心，以大 12AD 的长为半径在AD 两侧作弧，交于两点M ，N第二步,连结MN 分别交AB,AC 于点E,F;第三步,连结DE,DF.若BD=6,AF=4,CD=3,则BE 的长是( )A. 2B. 4C. 6D. 89. 如图,在△ABC 中,点 D 为BC 边上的一点,且AD=AB=2,AD⊥AB,过点 D 作DE⊥AD,DE 交AC 于点E,若DE=1,则△ABC 的面积为( )A. 2B. 4C.25D. 810. 在四边形 ABCD 中,∠B=90°,AC=4,AB∥CD,DH 垂直平分 AC,点 H 为垂足.设AB=x ，AD=y ，则y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为( )二、填空题(本大题有6小题，每小题4分，共24分)11. 如图所示，点 E 是平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交 CD 于点F ，连结BF.写出图中任意一对相似三角形： .12. 已知 a6=b5=c4,且a+b-2c=6,则a 的值为 .13. 如图,在平行四边形ABCD 中,AB=10,AD=6,点E 是AD 的中点,在AB 上取一点F,使△CBF∽△CDE,则 BF 的长是 .14. 如图，在一块斜边长为30cm 的直角三角形木板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF ，点D 在边BC 上，点E 在斜边AB 上，点F 在边AC 上，若AF ：AC=1：3，则这块木板截取正方形 CDEF 后，剩余部分的面积为 .15.如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为16. 如图所示，在直角坐标系中有两点A(4，0)，B(0，2).如果点C 在x 轴上，且点 C 与点O 及点A 不重合，当点 C 的坐标为时，使得由点B ，O ，C 构成的三角形与△AOB 相似(至少找出两个符合条件的点).三、解答题(本大题有8小题，共66分)17.(6分)如图,在△ABC中，DE‖BC,EF‖AB,求证：△ADEO△EFC.18. (6分)如图，一块材料的形状是锐角三角形 ABC，边BC=120mm,高AD=80mm,把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少?19.(6分)如图,点 P 是⊙O的直径AB 延长线上一点,且AB=4,点 M为A AB上一个动点(不与A，B重合)，射线 PM与⊙O交于点 N(不与M重合).(1)当M在什么位置时，△MAB的面积最大? 并求出这个最大值；(2)求证:△PAN∽△PMB.20. (8 分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E,求AE的长.21. (8分)如图,在△ABC中,点 D,E分别在边AB,AC上,且∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点G,连结DE.(1)求证:△AEDO△ABC;(2)如果BE平分∠ABC,求证:DE=CE.22.(10分)如图,在 △ABC 中,点D,E,F 分别在AB,BC,AC 边上, DE‖AC,EF‖AB.(1)求证: △BDEO △EFC.(2)设AF FC=12,①若. BC =12,，求线段BE 的长；②若△EFC 的面积是20,求△ABC 的面积.23.(10分)在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,点 P 是边AD 上一点.(1)若BP 平分∠ABD,交 AE 于点G,PF⊥BD 于点F,如图①,证明四边形 AGFP 是菱形;(2)如图②,若PE⊥EC,求证:AE·AB=DE·AP;(3)在(2)的条件下,若AB=1,BC=2,求AP 的长.24.(12分)如图,已知 △ABC 是边长为6cm 的等边三角形，动点P ，Q 同时从A ，B 两点出发，分别沿AB,BC 匀速运动,其中点 P 运动的速度是 1cm/s,点 Q 运动的速度是2cm/s,当点 Q 到达点C 时，P ，Q 两点都停止运动.设运动时间为t(s)，解答下列问题：(1) 当 t =2时，判断 △BPQ 的形状，并说明理由；(2)设 △BPQ 的面积为 S (cm²),求S 与t 的函数表达式；(3)如图,作 QR//BA 交AC 于点R,连结PR,当t 为何值时,△APR∽△PRQ?第四章综合测试卷相似三角形1. C2. D3. B4. C5. C6. A7. B8. D9. B 10. D 11. △ADF∽△ECF(答案不唯一)12. 12 13. 1.8 14. 100cm² 15.24516. (-1,0)或(1,0)或(-4,0)(答案不唯一)17. 证明:∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∵EF∥AB,∴△EFC∽△ABC,∴△ADE∽△EFC.18. 解：设这个正方形零件的边长为 xmm ，则△AEF 的边EF 上的高AK=(80-x) mm.∵四边形EF-HG是正方形,∴EF∥GH,即 EF∥BC.∴△AEF CABC.∴EF BC=AK AD,即 x 120=80−x 80⋅∴x =48.∴这个正方形零件的边长是48mm.19. (1)解:当点 M 在 AB 的中点处时，△MAB 的面积最大，此时( OM⟂AB,∵OM =12AB =12×4=2,∴S ABM =12AB ⋅OM =12×4×2=4. (2)证明:∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P,∴△PAN∽△PMB.20. 解: ∵BD 为∠ABC 的平分线,∴∠ABD =∠CBD,∵AB∥CD,∴∠D=∠ABD,∴∠D=∠CBD,∴BC=CD.∵BC=4,∴CD=4.∵AB∥ CD,∴ABECDE,∴AB CD=AE CE,∴84=AE CE,∴AE=2CE,∵AC=6=AE+CE,∴AE=4.21. 证明:(1)∵∠ABE=∠ACD,且∠A 是公共角, ∴ABEACD.∴AE AD=AB AC,即AEAB =ADAC ,又∵∠A 是公共角,∴△AED∽△ABC. (2)∵∠ABE=∠ACD,∠BGD=∠CGE,∴△BGD∽ CGE.:DG EG=BG CG,即DG BG=EG CG.又∵∠DGE=∠BGC,∴△DGE∽△BGC.∴∠GBC=∠GDE,∵BE 平分∠ABC,∴∠GBC=∠ABE,∵∠ABE=∠ACD,∴∠GDE=∠ACD.∴DE=CE.22. (1)证明:∵DE∥AC,∴∠BED=∠C.∵EF∥AB,∴∠B=∠FEC,∴△BDE∽△EFC.(2)解:①∵EF//AB,∴BE EC=AF FC=12.∵BC = 12,∴BE12−BE =12,∴BE =4.②∵EF∥AB,∴△EFC∽△BAC,∴S△BC= (EC BC)2⋅∴BE EC=12,∴EC BC=23.又∵△EFC 的面积是20, ∴20SABC=(23)2,∴SABC=45,即△ABC 的面积是45.23. (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠BAE+∠EAD=90°,∠EAD+∠ADE=90°,∴∠BAE=∠ADE,∵BP 平分∠ABD,∴∠ABG=∠PBD.∵∠AGP=∠BAG+∠ABG,∠APB =∠ADE+∠PBD,∠ABG=∠PBD,∴∠AGP=∠APG,∴AP=AG,∵PA⊥AB,PF⊥BD,BP 平分∠ABD,∴PA=PF,∴PF=AG,∵AE⊥BD,PF⊥BD,∴PF∥AG,∴四边形AGFP 是平行四边形,∵PA=PF,∴四边形AGFP 是菱形.(2)证明:∵AE⊥BD,PE⊥EC,∴∠AED=∠PEC=90°,∴∠AEP=∠DEC,∵∠EAD+∠ADE=90°,∠ADE+∠CDE=90°,∴∠EAP=∠EDC,∴△AEP∽△DEC,∴DE·AP.(3)解:∵四边形 ABCD 是矩形,∴AD=BC=2,∠BAD=90°,∴BD=√AB²+AD² =5,∵AE ⊥BD,∴S ABD =12⋅BD ⋅AE = 12⋅AB ⋅AD,∴AE =255,∴DE =AD 2−AE 2=455,∵AE ⋅AB =DE ⋅AP,∴ AP =255×1455=12.24. 解:(1)△BPQ 是等边三角形.当t=2时,AP=21 =2( cm),BQ=2×2=4( cm),∴BP=AB-AP=6-2=4( cm),∴BQ=BP,又∵∠B = 60°,∴△BPQ 是等边三角形.(2)如图,过点 Q 作QE⊥AB,垂足为 E,由 QB=2tcm,∠B=60°,∠BEQ=90°,得 QE =3tcm,由AP= tcm,得 PB =(6−t )cm,∴S =12BP ⋅QE = 12×(6−t )×3t =−32t 2+33t.(3)∵QR‖BA,∴∠QRC=∠A=60°,∠RQC=∠B=60°,∴△QRC是等边三角形,∴QR=RC=QC=(6-2t)cm⋅:BE=12BQ=12×2t=t(cm),∴EP=AB−AP−BE=6−t−t=6−2t(cm),∵EP‖QR,EP=QR,∴四边形 EPRQ是平行四边形,∴PR=EQ3tcm.又∵∠PEQ=90°,∴∠APR∠PRQ=90°,∴△APR∽△PRQ,∴∠QPR=∠A=60∘,QRPR=6−2t3t=3,解得t=65.∴当t=65时,△APR∽△PRQ.。

第四章三角形自我测试

第四章三角形自我测试一、选择题1．如图，AF 是∠BAC 的平分线，EF ∥AC 交AB 于点E.若∠1＝25°，则∠BAF 的度数为( C )A ．15°B ．50°C ．25°D ．12.5°第1题图第3题图2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，b ＝4，则tan B ＝( B )A .45B .43C .34D .54(导学号 02052310) 3．(2016·荆州)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB 的平分线交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E.若BC ＝3，则DE 的长为( A ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(导学号 02052311) 4．(2016·济南)济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m 至B 处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1 m ，则该楼的高度CD 为( B )A ．47 mB ．51 mC ．53 mD ．54 m (导学号 02052312)第4题图第5题图5．(2016·泸州)如图，矩形ABCD 的边长AD ＝3，AB ＝2，E 为AB 的中点，F 在边BC 上，且BF ＝2FC ，AF 分别与DE 、DB 相交于点M 、N ，则MN 的长为( B ) A .225 B .9220 C .324 D .425(导学号 02052313) 二、填空题 6．(2016·滨州)如图，△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为__52.5°__．第6题图第8题图7．(2016·绵阳)△OAB 三个顶点的坐标分别为O(0，0)，A(4，6)，B(3，0)，以O 为位似中心，将△OAB 缩小为原来的12，得到△OA′B′，则点A 的对应点A′的坐标为__(－2，－3)或(2，3)__．(导学号 02052314) 8．(2016·安顺)如图，矩形EFGH 内接于△ABC ，且边FG 落在BC 上，若AD ⊥BC ，BC ＝3，AD ＝2，EF ＝23EH ，那么EH 的长为__32__．(导学号 02052315)解析：设EH 与AD 交于点M ，∵四边形EFGH 是矩形，∴EH ∥BC ，∴△AEH ∽△ABC ，∵AM ⊥EH ，AD ⊥BC ，∴AM AD ＝EHBC，设EH ＝3x ，则有EF ＝2x ，AM ＝AD －EF ＝2－2x ，∴2－2x 2＝3x 3，解得：x ＝12，则EH ＝329．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，垂足为点D ，AD ＝18，点E 在AC 上且CE ＝12AC ，连接BE ，与AD 相交于点F.若BE ＝15，则△DBF 的周长是__24__．解析：∵在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC ，∴AD 是△ABC 的中线，∵CE ＝12AC ，即BE是△ABC 的中线，∵BE 与AD 相交于点F ，∴F 是△ABC 的重心，∴BF ＝23BE ＝10，DF＝13AD ＝6.在Rt △BDF 中，∵∠BDF ＝90°，∴BD ＝BF 2－DF 2＝102－62＝8，∴△DBF 的周长＝BD ＋DF ＋BF ＝8＋6＋10＝24第9题图第10题图10．(2016·十堰)在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度．如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30米，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30° 方向，此时，其他同学测得CD ＝10米．请根据这些数据求出河的宽度为米．(结果保留根号) (导学号 02052316)解析：如图，作BH ⊥EF ，CK ⊥MN ，垂足分别为H 、K ，则四边形BHCK 是矩形，设CK ＝HB ＝x ，∵∠CKA ＝90°，∠CAK ＝45°，∴∠CAK ＝∠ACK ＝45°，∴AK ＝CK ＝x ，BK ＝HC ＝AK －AB ＝x －30，∴HD ＝x －30＋10＝x －20，在Rt △BHD 中，∵∠BHD ＝90°，∠HBD ＝30°，∴tan 30°＝HD HB ，∴33＝x －20x，解得x ＝30＋10 3 11．(2016·包头)如图，已知△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且CD ＝CE ，连接DE并延长至点F ，使EF ＝AE ，连接AF ，CF ，连接BE 并延长交CF 于点G.下列结论： ①△ABE ≌△ACF ；②BC ＝DF ；③S △ABC ＝S △ACF ＋S △DCF ；④若BD ＝2DC ，则GF ＝2EG.其中正确的结论是__①②③④__．(填写所有正确结论的序号) (导学号 02052317)解析：①正确．∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝AC ＝BC ，∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝CE ，∴△DEC 是等边三角形，∴ED ＝EC ＝DC ，∠DEC ＝∠AEF ＝60°∵EF ＝AE ，∴△AEF 是等边三角形，∴AF ＝AE ，∠EAF ＝60°，在△ABE 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAE ＝∠CAF AE ＝AF ，∴△ABE ≌△ACF(SAS )，故①正确．②正确．∵∠ABC ＝∠FDC ，∴AB ∥DF ，∵∠EAF ＝∠ACB ＝60°，∴AB ∥AF ，∴四边形ABDF 是平行四边形，∴DF ＝AB ＝BC ，故②正确．③正确．∵△ABE ≌△ACF ，∴BE ＝CF ，S △ABE ＝S △AFC ，在△BCE 和△FDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BC ＝DF CE ＝CD BE ＝CF ，∴△BCE ≌△FDC(SSS )，∴S △BCE ＝S △FDC ，∴S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ＝S △ACF ＋S △BCE ，S △ABC＝S △ACF ＋S △DCF ，故③正确．④正确．∵△BCE ≌△FDC ，∴∠DBE ＝∠EFG ，∵∠BED ＝∠FEG ，∴△BDE ∽△FGE ，∴BD FG ＝DE EG ，∴FG EG ＝BD DE ，∵BD ＝2DC ，DC ＝DE ，∴FGEG ＝2，∴FG ＝2EG.故④正确三、解答题 12．(2016·泸州)如图，为了测量出楼房AC 的高度，从距离楼底C 处603米的点D(点D 与楼底C 在同一水平面上)出发，沿斜面坡度为i ＝1∶3的斜坡DB 前进30米到达点B ，在点B 处测得楼顶A 的仰角为53°，求楼房AC 的高度(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈43，计算结果用根号表示，不取近似值)．(导学号 02052318)解：如图，作BN ⊥CD 于N ，BM ⊥AC 于M.在Rt △BDN 中，BD ＝30，BN ∶ND ＝1∶3，∴BN ＝15，DN ＝153，∵∠C ＝∠CMB ＝∠CNB ＝90°，∴四边形CMBN 是矩形，∴CM ＝BN ＝15，BM ＝CN ＝603－153＝453，在Rt △ABM 中，tan ∠ABM ＝AM BM ≈43，∴AM＝603，∴AC ＝AM ＋CM ＝603＋1513．如图，在△ABC 中，AD 是中线，AE 是角平分线，CF ⊥AE 于点F ，AB ＝10，AC ＝4，延长CF 交AB 于点G. (1)求证：△AFG ≌△AFC;(2)求DF 的长．(导学号 02052319)(1)证明：∵AE 是∠BAC 的平分线，∴∠GAF ＝∠CAF.∵CF ⊥AE ，∴∠GFA ＝∠AFC ＝90°，在△AFG 和△AFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GAF ＝∠CAF ，AF ＝AF ，∠AFG ＝∠AFC，∴△AFG ≌△AFC(ASA )；(2)解：∵△AFG ≌△AFC ，∴AC ＝AG ＝4，GF ＝CF ，∴BG ＝AB －AG ＝10－4＝6.又∵点D 是BC 中点，∴DF 是△CBG 的中位线，∴DF ＝12BG ＝314．(2016·黔东南州)黔东南州某校吴老师组织九(1)班同学开展数学活动，带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，某天在太阳光的照射下，电线杆的影子(折线BCD)恰好落在水平地面和斜坡上，在D 处测得电线杆顶端A 的仰角为30°，在C 处测得电线杆顶端A 得仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD ＝4 m ，请你根据这些数据求电线杆的高(AB)．(结果精确到1 m ，参考数据：2≈1.4，3≈1.7) (导学号 02052320)解：延长AD 交BC 的延长线于G ，作DH ⊥BG 于H ，如图所示，在Rt △DHC 中，∠DCH ＝60°，CD ＝4，则CH ＝CD·cos ∠DCH ＝4×cos 60°＝2，DH ＝CD·sin ∠DCH ＝4×sin 60°＝23，∵DH ⊥BG ，∠G ＝30°，∴HG ＝DH tan ∠G ＝23tan 30°＝6，∴CG ＝CH ＋HG ＝2＋6＝8，设AB＝x m ，∵AB ⊥ BG ，∠G ＝30°，∠BCA ＝45°，∴BC ＝x ，BG ＝AB tan ∠G ＝xtan 30°＝3x ，∵BG －BC ＝CG ，∴3x －x ＝8，解得：x ＝43＋1≈11(m )，答：电线杆的高约为11 m15．(2016·太原一模)如图是小明同学画出的某同学放风筝的示意图．从地面A 处放飞的风筝几分钟后飞至C 处，此时，点B 与旗杆PQ 的顶部点P 以及点C 恰好在一直线上，PQ ⊥AB 于点Q.(1)已知旗杆的高为10米，在B 处测得旗杆顶部点P 的仰角为30°，在A 处测得点P 的仰角为45°，求A ，B 之间的距离； (2)此时，在A 处测得风筝C 的仰角为75°，设绳子AC 在空中为一条线段，求AC 的长．(结果保留根号)(导学号 02052321)解：(1)∵PQ ⊥AB ，∴∠BQP ＝∠AQP ＝90°，在Rt △BPQ 中，∵PQ ＝10，∠BQP ＝90°，∠B ＝30°， ∵tan ∠B ＝PQBQ ，∴33＝10BQ， ∴BQ ＝103，在Rt △APQ 中，∠PAB ＝45°，∴∠APQ ＝90°－∠PAB ＝45°，∴AQ ＝PQ ＝10， ∴AB ＝BQ ＋AQ ＝103＋10.答：A 、B 之间的距离为(103＋10)米； (2)如图，作AE ⊥BC 于E.在Rt △ABE ，∵∠AEB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝103＋10， ∴AE ＝12AB ＝53＋5，∵∠CAD ＝75°，∠B ＝30°，∴∠C ＝45°，在Rt △CAE 中，sin ∠C ＝AE AC ，∴22＝53＋5AC ，∴AC ＝2(53＋5)＝56＋52，答：AC 的长为(56＋52)米16．(2016·沈阳)在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝BC ＝5，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转，得到△ADE ，旋转角为α(0°＜α＜180°)，点B 的对应点为点D ，点C 的对应点为点E ，连接BD ，BE. (1)如图，当α＝60°时，延长BE 交AD 于点F. ①求证：△ABD 是等边三角形；②求证：BF ⊥AD ，AF ＝DF;③请直接写出BE 的长； (2)在旋转过程中，过点D 作DG 垂直于直线AB ，垂足为点G ，连接CE ，当∠DAG ＝∠ACB ，且线段DG 与线段AE 无公共点时，请直接写出BE ＋CE 的值.温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答. (导学号 02052322)解：(1)①∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，∴△ABD 是等边三角形 ②由①得△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD ，∵△ABC 绕点A 顺时针方向旋转60°得到△ADE ，∴AC ＝AE ，BC ＝DE ，又∵AC ＝BC ，∴EA ＝ED ，∴点B 、E 在AD 的中垂线上，∴BE 是AD 的中垂线，∵点F 在BE 的延长线上，∴BF ⊥AD ，AF ＝DF ③由②知BF ⊥AD ，AF ＝DF ，∴AF ＝DF ＝3，∵AE ＝AC ＝5，∴EF ＝4，∵在等边三角形ABD 中，BF ＝AB·sin ∠BAF ＝6×32＝33，∴BE ＝BF －EF ＝33－4 (2)如图，∵∠DAG ＝∠ACB ，∠DAE ＝∠BAC ，∴∠ACB ＋∠BAC ＋∠ABC ＝∠DAG ＋∠DAE ＋∠ABC ＝180°，又∵∠DAG ＋∠DAE ＋∠BAE ＝180°，∴∠BAE ＝∠ABC ，∵AC ＝BC ＝AE ，∴∠BAC ＝∠ABC ，∴∠BAE ＝∠BAC ，∴AB ⊥CE ，且CH ＝HE ＝12CE ，∵AC ＝BC ，∴AH ＝BH ＝12AB ＝3，则CE ＝2CH＝8，BE ＝5，∴BE ＋CE ＝13。

第4章相似三角形单元检测(解析卷)

相似三角形单元检测一、单选题1．选项图形与如图所示图形相似的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据相似图形的性质，根据形状相同排除A、B、C，可得出答案．【详解】因为相似图形的形状相同，A、B、C三个选项中的图形形状与题干所给图形形状不同，均不符合题意；D选项中的图形形状与题干所给图形形状相同，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查相似图形的概念理解，准确把握图形相似的概念是本题的解题关键．2．下列说法正确的是（）A．所有的菱形都是相似形B．对应边成比例的两个多边形相似C．对应角相等的两个多边形相似D．所有的正方形都是相似形【答案】D【分析】此题主要考查了相似图形的判定，熟练应用判定方法是解题关键．利用相似图形的判定方法分别判断得出即可．【详解】解：A、所有的菱形不一定是相似形，对应角不一定相等，故此选项错误；B、对应边成比例的两个多边形不一定相似，对应角不一定相等，故此选项错误；C、对应角相等的两个多边形不一定相似，对应边的比值不一定相等，故此选项错误；D、所有的正方形都是相似形，对应边成比例且对应角相等，故此选项正确；故选：D3．如图，D是△ABC边AB上一点，连接CD，则添加下列条件后，仍不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC =CDBCD．AC2=AD⋅AB【答案】C【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键．【详解】A．当∠ACD=∠B时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；B．当∠ADC=∠ACB时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意；C．当ADAC =CDBC时，再由∠A=∠A，无法判定△ACD∽△ABC，故此选项符合题意；D．当AC2=AD⋅AB，即ACAB =ADAC时，再由∠A=∠A，可得出△ACD∽△ABC，故此选项不符合题意．故选C．4．如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD边上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，DE=1，AB=4，则下列结论正确的是（）A．EF=4AE B．CF=4AD C．AF=4AE D．CF=4BC【答案】C【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，先由平行四边形的性质得到AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4，根据DE=1，得出CE=CD−DE=3，根据平行线分线段成比例定理得出AE EF =ADCF=DECE=13，然后逐项进行判断即可．【详解】解：∵在平行四边形ABCD中，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD=4，∵DE=1，∴CE=CD−DE=3，∵AD∥BC，∴AE EF =ADCF=DECE=13，∴EF=3AE，CF=3AD，故A、D不符合题意；∴AF=AE+EF=4AE，故C符合题意；∵CF=3AD，BC=AD，∴CF=3BC，故D不符合题意．故选：C．5．已知：a−ba+b =12，则ab的值为（）A．13B．12C．1D．3【答案】D【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，掌握“用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数”是解本题的关键．由a−ba+b =12可得a=3b，再代入要求值的分式ab中，再计算即可．【详解】解：∵a−ba+b =12，∴2(a−b)=a+b，∴a=3b，∴a b =3bb=3，故选：D．6．0.618是黄金分割率的比值，它被认为是最美的数值．研究发现，当成人的体重（kg）与身高（cm）的比达到(1−0.618):1时，那么这个成人的体重就比较理想．若王老师的身高是165cm，下列选项中，最接近她的理想体重的是（）A．65kg B．63kg C．60kg D．55kg【答案】B【分析】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是读懂黄金分割．根据黄金分割直接列式求解即可得到答案．【详解】解：∵王老师的身高是165cm，∴根据题意得，体重=165×(1−0.618)=63.03(kg)．∴最接近她的理想体重的是63kg．故选：B．7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEC是以点C为位似中心的位似图形，若点A坐标为(5,4)，点C的坐标为(3,0)，且AB=2DE，则点D的坐标为（）A．(2,2)B．(2,−2)C．(1,2)D．(1,−2)【答案】B【分析】本题考查位似变换，坐标与图形．正确作出辅助线，构造相似三角形是解题的关键．过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ．利用相似三角形的性质求出DN ，ON 即可解答．【详解】解：过点A 作AM ⊥x 轴于点M ，过点D 作DN ⊥x 轴于点N ．∵△ABC 与△DEC 是以点C 为位似中心的位似图形，∴△ABC ∽△DEC ，∴AC DC =AB DE =2，∵A(5,4)，C(3,0)，∴OM =5，OC =3，AM =4，∴CM =OM−OC =5−3=2，∵AM ⊥x 轴， DN ⊥x 轴，∴AM ∥DN ，∴△AMC ∽△DNC ，∴AM DN =MC NC =AC DC =2，∴CN =1，DN =2，∴ON =OC−ON =3−1=2，∴D(2,−2)．故选：B ．8．如图，点P 是△ABC 的重心，点D 是边AC 的中点，PE ∥AC 交BC 于点E ，DF ∥BC 交EP 于点F ．若四边形CDFE 的面积为6，则△ABC 的面积为（）A ．12B ．18C ．20D ．24【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线是解题的关键．连接BD ，根据三角形重心的性质可知：P 在BD 上，由三角形中线平分三角形的面积可知：S △ABC =2S △BDC ，证明△DFP ∽△BEP 和△BEP ∽△BCD ，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．【详解】解：如图，连接BD ．∵点P 是△ABC 的重心，点D 是边AC 的中点，∴P 在BD 上，S △ABC =2S △BDC ，∴BP:PD =2:1，∵DF ∥BC ，∴△DFP ∽△BEP ，∴ S △DFP S △BEP =14，∵EF ∥AC ，∴△BEP ∽△BCD ，∴ S △BEPS △BCD =(BP BD )2=(23)2=49，设△DFP 的面积为m ，则△BEP 的面积为4m ，△BCD 的面积为9m ，∵四边形CDFE 的面积为6，∴m +9m−4m =6，∴m =1，∴△BCD 的面积为9，∴△ABC 的面积是18．故选：B ．9．手影游戏利用的物理原理是：光是沿直线传播的，图1中小狗手影就是我们小时候常玩的游戏．在一次游戏中，小明距离墙壁2米，爸爸拿着的光源与小明的距离为4米，如图2所示，若在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，则光源与小明的距离应（）A ．增加1米B ．减少1米C ．增加2米D ．减少2米【答案】D 【分析】此题考查了中心投影，相似三角形的判定与性质，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题．根据题意作出图形，然后利用相似三角形的性质构建方程求解即可．【详解】解：如图，点O 为光源，AB 表示小明的手，CD 表示小狗手影，则AB ∥CD ，过点O 作OE ⊥AB ，延长OE 交CD 于F ，则OF ⊥CD ，∵AB ∥CD ，∴∠OAB =∠OCD,∠OBA =∠ODC ，∴△AOB ∽△COD ，∴AB CD =OE OF ，∵EF =2米，OE =4米，则OF =6米，∴AB CD =OE OF =23，AB =2k ，CD =3k ，∵在光源不动的情况下，要使小狗手影的高度增加一倍，如图，即AB =2k ，C ′D ′=6k ，△AO ′B ∽△C ′O ′D ′，∴AB C ′D ′=O ′E ′O ′F ′=13，则O ′E ′=2米，∴光源与小明的距离减少OE−O ′E ′=4−2=2（米），故选：D ．10．如图，在正方形ABCD 中，M 为CD 上一点，连接AM 与BD 交于点N ，点F 在BC 上，点E 在AD 上，连接EF 交BD 于点G ，且AM ⊥EF ，垂足为H ．若H 为AM 的中点，则下列结论：①AM =EF ；②BG GD =MD CM ；③GH=FG+HE；④△AHE∽△GHN．其中结论正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，熟练运用相关知识，运用特殊值法与反证法是解决本题的关键．过点F作FK⊥AD于点K，证明△FKE≌△ADM(AAS)即可判断①；采用特殊值法判断②，若点M是CD的中点，则DMCM =1，又△BFG∽△DEG，得到BGGD=BFDE=13，从而BGGD≠MDCM，故②错误；过点M作MP∥AD，交FE于点P，交BD于点Q，证得△MPH≌△AEH(AAS)，得到PH=EH，MP=AE，根据正方形的性质与△FKE≌△ADM(AAS)得到MQ=MD=KE，进而有PQ=AK，从而可证得△BFG≌△QPG(ASA)，有FG=PG，因此FG+EH=PG+PH=HG，故③正确；利用反证法证明④，假设△AHE∽△GHN成立，则∠AEH=∠GNH，根据同角的余角相等推出∠BAN=∠BNA，即BN=BA，而AB是定值，BN随着点M的变化而变化，故BN=BA不成立，从而△BFG∽△DEG不成立，故④错误．【详解】解：如图，过点F作FK⊥AD于点K，∴∠FKA=∠FKE=90°，∵在正方形ABCD中，∠ABC=∠BAD=∠ADC=90°，∴四边形ABFK是矩形，∴FK=BA，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∴FK=AD，∵AM⊥EF，∴∠AHE=90°，∴∠AEH+∠EAH=90°，∵∠AMD+∠MAD=180°?∠ADM=90°，∴∠FEK=∠AMD，∵∠FKE=∠ADM=90°，∴△FKE≌△ADM(AAS)，∴FE=AM；故①正确；如图，若点M 是CD 的中点，则DM CM =1，设正方形ABCD 的边长为2a ，即AD =CD =2a ，∴DM =12CD =a ，在Rt △ADM 中，AM =AD 2+DM 2=5a ，∵点H 是AM 的中点，∴AH =12AM =52a ，∵△ADM≌△FKE ，∴KE =DM =a ，∵∠AHE =∠ADM =90°，∠EAH =∠MAD ，∴△AHE ∽△ADM ，∴ AH AD =AE AM ，即52a 2a =AE 5a ，∴DE =AD?AE =2a?54a =34a ，AK =AE?DM =54a?a =14a ，∴在矩形ABFK 中，BF =AK =14a ，∵在正方形ABCD 中，BC ∥AD ，∴△BFG ∽△DEG ，∴ BG GD =BF DE =14a 34a =13，∴ BG GD ≠MD CM ，故②错误；过点M 作MP ∥AD ，交FE 于点P ，交BD 于点Q ，∴∠MPH =∠AEH ，∠PMH =∠EAH ，∵点H 是AM 的中点，∴MH =AH ，∴△MPH≌△AEH(AAS)，∴PH =EH ，MP =AE ，∵在正方形ABCD 中，BD 平分∠ADC ，∴∠BDC =12∠ADC =12×90°=45°，∵PM ∥AD ，∴∠QMD =180°?∠ADC =180°?90°=90°，∴∠MQD =90°?∠MDQ =90°?45°=45°，∴∠MQD =∠MDQ ，∴MQ =MD ，由①知，△FKE≌△ADM(AAS)，∴KE =DM ，∴MQ =KE ，∴PM−QM =AE−KE ，即PQ =AK ，由①得，四边形ABFK 是矩形，∴BF =AK ，∴BF =PQ ，∵BC ∥AD ，MP ∥AD ，∴BC ∥PM ，∴∠GBF =∠GQP ，∠BFG =∠QPG ，∴△BFG≌△QPG(ASA)，∴FG =PG ，∴FG +EH =PG +PH =HG ，故③正确；对于④，假设△AHE ∽△GHN 成立，则∠AEH =∠GNH ，∵∠AHE =90°，∴∠AEH +∠EAH =90°，∵∠BAH +∠EAH =∠BAD =90°，∴∠BAN =∠BNA ，∴BN =BA ，∵AB 是定值，BN 随着点M 的变化而变化，∴BN =BA 不成立，∴△BFG ∽△DEG 不成立．故④错误．综上所述，结论正确的有2个．故选：B二、填空题11．已知线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a =6，b =3，c =2，则d 的值是 .【答案】1【分析】本题主要考查了比例线段，熟练掌握比例线段的性质是解题的关键．根据比例线段的定义得到a:b =c:d ，即可得到答案．【详解】解：由于线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，故a:b =c:d ，即6:3=2:d解得d =1故答案为：1．12．如图①是装了液体的高脚杯示意图，用去一部分液体后如图②所示，此时液面AB = cm ．【答案】3【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据两三角形相似列出比例式进而求解即可．【详解】依题意，两高脚杯中的液体部分两三角形相似，则AB 6=11−715−7=48=12，解得AB =3．故答案为：3．13．将三角形纸片△ABC 按如图的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB =AC =3，BC =4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则BF = ．【答案】2或127【分析】本题考查相似三角形的性质，解答此题时要注意进行分类讨论．由于折叠前后的图形不变，要考虑△B ′FC 与△ABC 相似时的对应情况，分两种情况讨论．【详解】解：根据△B ′FCAC 与△ABC 相似时的对应关系，有两种情况：①△B ′FC ∽△ABC 时，B ′F AB=CFBC ，又∵AB =AC =3，BC =4，B ′F =BF ，∴B ′F 3=4−BF 4解得BF =127；②△B ′CF ∽△BCA 时，B ′F BA=CFCA ，AB =AC =3，BC =4，B ′F =CF ，BF =B ′F ，而BF +FC =4，即2BF =4，解得BF =2．故BF 的长度是2或127故答案为：2或12714．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 的中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的面积记为S 1，取BE 的中点E 1，作E 1D 1∥EB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的面积记作S 2，照此规律，则S 2023=．【答案】324047【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，三角形中位线定理，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先求出DE 是三角形的中位线，得出△CDE ∽△CAB ，根据相似三角形的性质得出∴S △CDE S △CAB =(DE AB)2=(12)2=14，根据△ABC 的面积求出S △CDE =14×34，S △BEF =14×34，求出S 1=12×34，同理S 2=12S △BEF S 3=12×14×14×34，S 4=12×14×14×14×34, ⋯⋯根据规律可写出S n ，再n 将取2023，计算即可得答案．【详解】解∶∵BC 的中点E ，ED ∥AB ，∴E 为BC 中点，∴DE =12AB ，∵ED ∥AB ，∴△CDE ∽△CAB ，∴S △CDES△CAB=(DE AB)2=(12)2=14，∵△ABC 的面积是12×1×32=34∴S △CDE =14×34，推理S △BEFS △BAC =14，∴S △BEF =14×34∴S 1=34−14×34−14×34=12×34，同理S 2=12S △BEF =12×14×34, S 3=12×14×14×34，S 4=12×14×14×14×34, ⋯⋯S 2023=12×14×14×⋯×14×34(2022个14),=2342024=324047故答案为∶32404715．如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点O 为位似中心，OC:OF =1:2．若△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长为．【答案】8【分析】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．根据位似图形的概念得到△ABC ∽△DEF ，BC ∥EF ，进而得到△OBC ∽△OEF ，则BC:EF =OC:OF =1:2，根据相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵△ABC 与△DEF 是位似图形，∴△ABC ∽△DEF ，BC ∥EF ，∴△OBC ∽△OEF ，∵BC:EF =OC:OF =1:2，∴△ABC 的周长：△DEF 的周长=1:2，∵△ABC 的周长为4，∴△DEF的周长为8，故答案为：8．16．如图，在矩形ABCD中，AD=4,AB=6，若E,F分别是AD,DC边上的动点，且AE:DF=3:2，AF与BE交于点P，连接DP．则DP的最小值为．【答案】2【分析】通过证明相似得出∠APB=90°，再确定点P是在以AB为直径的⊙M上，进而确定当M,P,D在同一直线上时，DP最小，再用直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：取AB的中点M，连结MP,MD,PD，如图所示：∵AB AD =64=32,AEDF=32，∴AB AD =AEDF，∵∠BAD=∠ADF=90°，∴△BAD∼△ADF，∴∠ABE=∠DAF，∴∠APB=∠DAF+∠AEB=∠ABE+∠AEB=90°，∵M是AB的中点，∴MP=12AB=3，在Rt△MPD中，MD=MA2+AD2=5，∵∠APB=90°，∴点P在以AB为直径的⊙M上，∴PD≤MD−MP，∴当M,P,D在同一直线上时，DP最小，DP的最小值为：MD−MP=5−3=2，故答案为：2.【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理的推论，矩形的性质和直角三角形的性质，确定点P在以AB为直径的⊙M上是解题的关键.三、解答题17．已知：2a=3b．（a，b均不为0）(1)求a:b的值；(2)求a−ba的值．【答案】(1)3∶2；(2)13．【分析】（1）利用内项之积等于外项之积求解即可；（2）利用合比性质即可求解；本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】（1）解：∵2a=3b，∴a∶b=3∶2（2）解：∵2a=3b，∴b a =23，∴b−aa =2−33，即b−aa =−13，∴a−ba =13．18．如图，AB，CD相交于点O,AC∥BD．求证∶△OAC∽△OBD【答案】见解析【分析】本题考查了平行线的性质以及相似三角形的判定，由平行线的性质，得出∠A=∠B,∠C=∠D，再结合两个对应角分别相等的三角形是相似三角形，即可作答．【详解】证明∶∵AC∥BD，∴∠A=∠B,∠C=∠D，∴△OAC∽△OBD．19．已知如图，点D是ΔABC边BC上一点，且BD:DC=2:3，过点C任作一条直线与AB、AD分别交于点F和E，求证：AEED =5AF3BF．【答案】证明见解析【分析】过点D 作DG ∥AB ，DH ∥FC 构造平行四边形DGFH ，得到DG =HF ，再根据平行线分线段成比例定理，得到DGBF =DCBC 和AEED =AFDG ，结合DG =HF 即可得证．【详解】证明：过D 点分别作DG ∥AB ，DH ∥FC ，得到四边形DGFH 是平行四边形，∴DG =HF ，∵DG ∥BF ，∴DGBF =DCBC ，∵BDCD =23，∴CDBC =35，∴DGBF =35，设DG =3a ，则FH =DG =3a ，BF =5a ，∴BH =2a ，∴FH =35BF ，∵DG ∥AF ，∴AEED =AF DG ，∵DG =FH ，∴AEED =AF FH ，∵FH =35BF ，∴AEED =AF35BF=5AF3BF，即AEED =5AF3BF．【点睛】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．20．如图所示的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−3,2)，B(−1,3)，C(−2,0)，△A1B1 C1与△ABC关于坐标原点O位似，且相似比为2:1．(1)在x轴下方，画出△A1B1C1：(2)直接写出OA1OA=________．(3)直接写出△A1B1C1的面积________．【答案】(1)画图见解析(2)2(3)10【分析】本题考查的是画位似图形，位似图形的性质，确定关键点的位似对应点是解题的关键．（1）分别确定A,B,C关于O的位似对应点A1,B1,C1，再顺次连接即可；（2）由位似图形的性质可得答案．（3）利用割补法求解三角形的面积即可；【详解】（1）解：如图，△A1B1C1即为所求；．（2）解：由位似图形的性质可得：OA1OA=2；（3）解：S△A1B1C1=4×6−12×2×4−12×2×4−12×2×6=24−4−4−6=10．21．如图，在锐角三角形ABC中，AC>BC．以点C为圆心BC长为半径画弧，交边AB于点D，连接CD．点E 是CB延长线上的一点，连接AE，若AB平分∠CAE．(1)求证：△ACD∽△AEB．(2)当AD=BD时，求BCEB的值．【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由题意得：BC=CD，由等边对等角得出∠CBD=∠CDB，从而得出∠ADC=∠ABE，再由角平分线的定义得出∠DAC=∠EAB，即可证明△ACD∽△AEB；（2）由题意得出ADAB =12，由相似三角形的性质得出CDEB=12，从而即可得解．【详解】（1）证明：由题意得：BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADC=∠ABE，∵AB平分∠CAE，∴∠DAC=∠EAB，∴△ACD ∽△AEB ；（2）解：∵AD =BD ，∴AD AB =12∵△ACD ∽△AEB ，∴ADAB =CDEB ，∴CD EB =12∵BC =CD ，∴BCEB =12．22．赵玲和张羽计划合作完成测量凤凰雕塑顶端到地面的高度PO 这一任务．如图，赵玲在点B 处竖立一根高3m 的标杆AB ，张羽测出地面上的点D 、标杆上的点C 和点P 在一条直线上，利用皮尺测出BC =2m ，BD =2.5m ．张羽向后退，又测出地面上的点E 、标杆顶点A 和点P 在一条直线上，利用皮尺测出EB =3.9m ．已知AB ⊥OE ，PO ⊥OE ，点E 、D 、B 、O 在同一水平线上，点C 在AB 上，图中所有点都在同一平面内，请你根据测量过程和数据，求出凤凰雕塑顶端到地面的高度PO ．【答案】28米【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据已知条件推出△CBD ∽△POD ，△ABE ∽△POE ，得到POBC =DOBD ，POAB =EOEB ，代入已知数据计算即可求解．【详解】解：由题意可得∠ABE =∠POE =90°，∵∠CDB =∠PDO ，∠E =∠E ，∴△CBD ∽△POD ，△ABE ∽△POE ，∴POBC =DOBD ，POAB =EOEB ，∴PO 2=2.5+BO 2.5，PO 3=3.9+BO 3.9，解得PO =28．∴凤凰雕塑顶端到地面的高度PO 为28米．23．综合与实践：根据以下素材，探索完成任务问题：你了解黄金矩形吗？问题背景素材一矩形就是长方形，四个角都是90°，两组对边平行且相等素材二宽与长的比是5−12（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计．如希腊的巴特农神庙．素材三我们在学习二次根式时．常遇到23+1这种分母含有无理式的式子，需要通过分式性质和平方差公式来进行化简．我们称之为“分母有理化”．例如：23+1=2(3−1)(3+1)(3−1)=2(3−1)(3)2−12=3−1素材四黄金矩形是可以通过折纸折叠出来的操作步骤【第一步】在一张矩形纸片的一端，利用图2所示的方法折出一个正方形，然后把纸片展平【第二步】如图3，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．【第三步】折出内侧矩形的对角线AB ，并把AB 折到图4中所示的AD 处．【第四步】展平纸片，按照所得的点D 折出DE ，矩形BCDE （图5）就是黄金矩形．解决问题任务一化简：12−1任务二设MN 为x ，请用含x 的式子表示AB ，并证明矩形BCDE 是黄金矩形任务三如图5，若MN =2，连接MC ，求点E 到线段MC 的距离（提示：等面积法）【答案】任务一：2+1；任务二：AB =52x ，理由见解析；任务三：10+22【分析】本题考查了黄金分割、矩形与折叠及分母有理化问题，解决本题的关键是熟练掌握黄金分割、矩形与折叠及分母有理化．（1）对原式进行分母有理化即可；（2）设MN =x ，根据题意可得，BC =NC =MN =x ，AB =AD ，由勾股定理可得AB =52x ，从而可得CD =AD−AC =5−12x ，再求解即可；（3）由黄金矩形的性质及勾股定理求解即可．【详解】任务一：12−1=2+1(2−1)(2+1)=2+1任务二：解：设MN =x ，根据题意可得，BC =NC =MN =x ，AB =AD ，∴AC =12NC =12x ，根据勾股定理可得AB =BC 2+AC 2=52x ，∴AD =52x ，∴CD =AD−AC =5−12x ∴CD BC =5−12∴矩形BCDE 是黄金矩形.任务三：∵矩形BCDE 是黄金矩形∴BEBC =5−12，即BE 2=5−12，∴BE =5−1∴ME =MB +BE =2+5−1=5+1∵MN =MB =2∴MC =MN 2+MB 2=22∴设点E 到线段MC 的距离为ℎ，∴S △MCE =12ME ⋅BC =12MC ⋅ℎ，∴12×(5+1)×2=12×22ℎ∴ℎ=10+22.∴点E到线段MC的距离10+22.24．【问题提出】在Rt△ABC中，AC=BC=2cm，∠ACB=90°，一动点D从点A出发，沿折线A−B−C运动，连接CD，将CD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE、CE，若点D在AB上的运动速度为2cm/s，在BC上的速度为1cm/s，设运动的时间为t（s），BE、CE、BC围成的图形的面积为S(cm2)，探究S与t的关系；【初步感知】某数学活动小组在研究此类动点问题时，想利用数形结合的思想，通过画图象来解决此类问题．（1）如图1，当点D在线段AB上时，经探究发现S与t的函数图象如图所示，求NP所在直线的表达式；【延伸探究】（2）若存在3个时刻t1、t2、t3（t1<t2<t3）对应的△BCE的面积均相等．①t1+t2=________；②当t1+t3=2t2时，求△BCE的面积S的值．【答案】（1）S=2t−2；（2）①2；②S=2+427【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质；（1）取AB中点F，证明△DCF∽△ECB，得到S△DCFS△ECB=(CF BC)2=12，即可得到S与t的函数关系；（2）①分别求出三种情况下的函数解析式，再根据△BCE的面积均相等可得S=−2t1+2=2t2−2=−2t3 +2+22，即可得到t1+t2的值；②由S=−2t1+2=2t2−2=−2t3+2+22可得t2=−t1+2，t3=2t1+2，代入t1+t3=2t2解方程计算即可．【详解】（1）当点D在线段AB上时，取AB中点F，连CF，则CF=AF=BF=2，BC=2CF，∠BCF=45°，∵将CD绕点D顺时针旋转90°得到DE，∴CD=DE，CE=2DC，∠DCE=45°，∴∠DCF=∠BCE=45°−∠BCF，CEDC =BCCF=2，∴CE BC =DCCF，∴△DCF∽△ECB ∴S△DCFS△ECB=(CF BC)2=12，∴S =S △ECB =2S △DCF ，当点D 在线段AF 上时，0≤t ≤1，AD =2t ，DF =AF−AD =2−2t ，∴S △DCF =12DF ⋅CF =12×2×(2−2t )=1−t ，∴S =S △ECB =2S △DCF =−2t +2(0≤t ≤1)，当点D 在线段BF 上时，1≤t ≤2，AD =2t ，DF =AD−AF =2t−2，∴S △DCF =12DF ⋅CF =12×2×(2t−2)=t−1，∴S =S △ECB =2S △DCF =2t−2(1≤t ≤2)，∴NP 所在直线的表达式为S =2t−2；（2）①t 1当点D 在线段BC 上时，2≤t ≤4，AB +BD =2t ，CD =BC−BD =AB +BC−(AB +BD)=2+22−2t ，由题意可得∠DCE =∠BCF =45°，CE DC =BC CF =2，∴CE BC =DC CF ，∴△DCF ∽△ECB∴S △DCF S △ECB =(CF BC )2=12，∴S =S △ECB =2S △DCF ，过D 作DG ⊥BC 于G ，则FG =12BC =1，∴S △DCF =12CD ⋅GF =12×1×(2+22−2t )，∴S=S△ECB=2S△DCF=−2t+2+22(2≤t≤4)，∵存在3个时刻t1、t2、t3（t1<t2<t3）对应的△BCE的面积均相等，∴S=−2t1+2=2t2−2=−2t3+2+22，∴t1+t2=2，故答案为：2；②∵S=−2t1+2=2t2−2=−2t3+2+22，∴t2=−t1+2，t3=2t1+2∵t1+t3=2t2，∴t1+2t1+2=2(−t1+2)，解得t1=6−227，∴S=−2t1+2=−2×6−227+2=2+427．。

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北师大版七年级数学下册第四章三角形测试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1. 有下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）
A、 2cm，3cm，4cm
B、 1cm，4cm，2cm
C、1cm，2cm，3cm
D、 6cm，2cm，3cm
2. 在下列各组图形中，是全等的图形是（）
3．下列命题中正确的是（）
不成立请说明理由．
本卷共 4 页第（4）页
①全等三角形对应边相等；
②三个角对应相等的两个三角形全等；
③三边对应相等的两三角形全等；④有两边对应相等的两三角形全等。
A．4 个 B、3 个
C、2 个
D、1 个
A
D
4．如图，已知 AB=CD，AD=BC，则图中全等三角形共有（）
A．2 对
B、3 对
C、4 对
D 、5 对
5. 具备下列条件的两个三角形中，不一定全等的是 (
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
A
C P
D
B
9．如图，△ABC≌△CDA，并且 AB=CD，那么下列结论错误的是（）
（A）∠DAC=∠BCA
（B）AC=CA
（C）∠D=∠B
（D）AC=BC
10．如图，D 在 AB 上，E 在 AC 上，且∠B=∠C，
则在下列条件中，无法判定△ABE≌△ACD 的是（
)B
C
(A) 有两边一角对应相等
(B) 三边对应相等
(C) 两角一边对应相等（D）有两边对应相等的两个直角三角形
6.如图所示，某同学把一块三角形玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店
去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（
）
A.带①去 B. 带②去
C. 带③去
D. 带①和②去
7．已知△ABC≌△DEF，∠A=70°，∠E=30°，则∠F 的度数为（）
求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .
D
C
O
B
E
5．已知：如图，AB=AC，DB=DC．F 是 AD 的延长线上一点．
求证： (1) ∠ABD＝∠ACD
(2)BF=CF
6、已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD
7、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE 与 BF 相交于 D，且 BD＝CD.试说明 AD 是∠BAC 的平分线。
C
5．如图 7，已知∠1=∠2，AB⊥AC，BD⊥CD，则图中全等三角形有 _____________；
6．如图 8，若 AO=OB，∠1=∠2，加上条件
A
A
D
C
1 2
O
B 图图5 8
F
E
C
BB
图 9图6
，则有ΔAOC≌ΔB图图7 10
7．如图 9，AE=BF，AD∥BC，AD=BC，则有ΔADF≌
）
（A）AD=AE （B）AB=AC （C）BE=CD （D）∠AEB=∠ADC
二、填空: （每小题 3 分，共 30 分） 1、全等三角形的_________和_________相等； 2．已知△ ABC 与△ DEF 中 AB=DE，∠B=∠E，若要使△ ABC≌ △ DEF，还需条件：_____________，
8、如图,在一小水库的两测有 A、B 两点，A、B 间的距离不能直接测得，采用方法如下：取一点可以同时到达 A、B 的点 C，连结 AC 并延长到 D，使 AC=DC；同法，连结 BC 并延长到 E，使 BC=EC；这样，只要测量 CD 的长度，就可以得到 A、B 的距离了，这是为什么呢？根据以上的描述，请画出图形，并写出
加钉了一根木条，这样做的道理是
。
三、证明题（每小题 5 分，共 40 分）
1.如图，已知 AB=AC，AD=AE，求证：BD=CE.
A
BD
EC
2、如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1=∠2，∠ 3=∠4 B 求证：（1） △ABC ≌△ADC ；（2） BO DO ．
（A） 80° （B） 70° （C） 30° （D） 100°
8．尺规作图作 AOB 的平分线方法如下：以 O 为圆心，任意长为半径画弧交 OA 、
OB
于
C
、
D
，再分别以点
C
、
D
为圆心，以大于
1 2
CD
长为半径画弧，两弧交于
点 P ，作射线 OP，由作法得 △OCP ≌△ODP 的根据是（）
O
A
B
B D
A
E
D C
C
本卷共 4 页第（1）页
3．如右图，已知∠B=∠D=90°，，若要使△ABC≌△ABD，还要需条件：_____________，
4．如图 5，⊿ABC≌⊿ADE，若∠B=40°，∠EAB=80°，
∠C=45°，则∠D=
，∠DAC=
。
A
E
B
A
D 图5
C
AE D
1
2
B
图7 C
B
D
A
1 2
3 O4
C
D
本卷共 4 页第（2）页
3．已知：如图，DC∥AB，且 DC=AE，E 为 AB 的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
A E
B
O
D
C
A
4、如图，在△ABE 中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC, BC、DE 交于点 O.
本卷共 4 页第（3）页
已知、求证、证明。
A·
.·B
C
附加题：如图①，E、F 分别为线段 AC 上的两个动点，且 DE⊥AC 于 E，BF⊥AC 于 F，若 AB=CD，
AF=CE，BD 交 AC 于点 M．（1）求证：MB=MD，ME=MF （2）当 E、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若
，且 DF=
。
8．如图 10，在ΔABC 与ΔDEF 中，如果 AB=DE，BE=CF，只要加上∠
=∠
或
∥
，就可证明ΔABC≌ΔDEF。
9、已知 ABC 与△DEF 中，∠B=∠DEF，AB=DE，要说明△ABC≌△DEF，
（1）若以“ASA”为依据，还缺条件
（2）若以“AAS”为依据，还缺条件
.
10、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面

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