函数的导数

普通函数的导数到算子的导数

一元函数导数的几何意义

如果函数f 在0x 处可微（可导），由公式

0000

()()

()lim

x f x x f x f x x

∆→+∆-'=∆，

可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形，如下所示

图 1.1

由图1.1可知红线的斜率为00()()tan f x x f x y x x

ϕ+∆-∆=

=∆∆，当0x ∆→时，红线逐渐趋于蓝线ϕθ→，蓝线是函数f 上点00(,())x f x 的切线，则蓝线的斜率为

000

()()

tan lim tan lim

x x f x x f x x

θϕ∆→∆→+∆-==∆.

因此，一元函数导数的几何意义是函数在某点处的斜率.

定义1.2（二元函数的可微性）2D ⊂ 是开集，1:f D → ，00

012(,)x x x D =∈.

如果函数的增量可表示为

000

121200001122121122000()()

(,)(,)

(,)(,)(||)()(||),

y f x f x f x x f x x f x x x x f x x A x A x o x x A x x o x x ∆=-=

-=+∆+∆-=∆+∆+-'=-+-

其中12,A A 是只依赖于0x 的常数，0||x x -=，则称f 在0x 处可微（可导），称1122A x A x ∆+∆为f 在0x 处的全微分.此时，

,1,2.i i

x x f A i x =∂=

=∂

那么

1122

x x f x A A A f

x =∂⎛⎫

⎪∂⎛⎫ ⎪==

⎪ ⎪∂⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ 此时，向量A 称为f 在0x 的“梯度”，或“导数”.记作0()()f x ∇，或0()f x '，导数的极限形式为

1200

112001*********(,)()lim ().(,)()lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆- ⎪∆ ⎪'= ⎪+∆- ⎪ ⎪∆⎝⎭

二元函数导数的几何意义

如果函数f 在0x 处可微（可导），由公式

1200

112001*********(,)()lim ()(,)()lim x x f x x x f x x f x f x x x f x x ∆→∆→⎛⎫+∆- ⎪∆ ⎪'= ⎪+∆- ⎪ ⎪∆⎝⎭

， 可以做出函数f 在0x 的导数0()f x '的几何图形，如下所示

图 1.2

由图1.2知函数()f x 在图中就是曲面ABCD ,A 点坐标是00

120(,,())x x f x .从平

面xoz 的角度看线AB 的斜率是

00

11201

(,)()

tan f x x x f x BAE x +∆-∠=

∆， 当10x ∆→时，AB 逐渐趋于红线1AB ；从平面yoz 的角度看线AD 的斜率是

00

12202

(,)()

tan f x x x f x DAG x +∆-∠=

∆， 当20x ∆→时，AD 逐渐趋于红线1AD ，线1AB 和线1AD 组成的平面111AB C D 是点

A 的切平面.则线1A

B 和线1AD 点A 在x 轴和y 轴的方向的切线，在相应平面上斜

率分别是

1200

1120101

0012

2010

2

(,)()

tan lim ,

(,)()

tan lim

.

x x f x x x f x B AE x f x x x f x D AG x ∆→∆→+∆-∠=∆+∆-∠=∆

则二元函数导数的几何意义是函数在某点处的关于x 轴和y 轴的偏导数组成的向量.

定义1.3（n 元函数的可微性）n D ⊂ 是开集，1:f D → ，0000

12(,,,)n x x x x D

'=∈ 如果函数增量可表示为

0000

1212000000112212011221201200()()

(,,)(,,,)

(,,,)(,,,)

(||)(,,,)(||)

()(||),

n n n n n n n n n y f x f x f x x x f x x x f x x x x x x f x x x A x A x A x o x x x x

A A A o x x x A x x o x x ∆=-=-=+∆+∆+∆-=∆+∆++∆+-∆⎛⎫

⎪∆ ⎪=+- ⎪ ⎪∆⎝⎭

'=-+-

其中12,,,n A A A 是只依赖于0x

的常数，0

||x x -=

f 在0x 点可

微（可导），称1122n n A x A x A x ∆+∆++∆ 为f 在0x 处的全微分.此时

,1,2,,i i

x x f A i n x =∂=

=∂

那么

1

122

n n

x x f x

A f A x A A f

x =∂⎛⎫ ⎪∂ ⎪⎛⎫ ⎪∂ ⎪ ⎪ ⎪∂== ⎪ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭ ， 称向量A 为f 在0x 处的“梯度”，或者称“导数” ，记作0()()f x ∇，或0()f x '. 由于多元函数的几何意义无法在有限的三维空间进行展示，因此在这里不讨论多元函数的几何意义.

如果函数本身是一个向量函数，如:n m f → ，向量函数f 的形式如下

1112221212

()(,,,)()(,,,)()(,,,)n n m m n f x f x x x f x f x x x f f x f x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 定义 1.4（向量函数的可微性）n D ⊂ 是开集，0x D ∈，:m f D → .如果存在只依赖于0x 的线性变换A ，使得当0()x x D ∈⊂ 时，有

000()()()(||||)f x f x A x x o x x -=-+-

其中线性变换A 是一个m n ⨯的矩阵，则称向量函数f 在0x 处可微（可导），称

0()A x x -是f 在0x 的全微分，称A 为f 在0x 的导数，记作0()()Df x .

线性变换A 具体形式为

0111122221

21

2

n n m m m n x x f f f x x x f f f x x x A f f f x x x =∂∂∂⎛⎫ ⎪

∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪

∂∂∂= ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭