一道课本习题的探究
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一道课本习题的探究性学习与思考
直线 Ｇ Ｐ直线 Ｃ Ｆ交 于点 Ｊ ， 线 Ｈ Ｒ 直 Ｐ直 线 Ｏ Ｇ交 于
视 角 ５ 类 比联 想 ， 从类 比的 思 想 角 度 出 发 ，
既然 交 点 在 椭 圆 上 ， 否 有 相 应 的 交 点 在 双 曲线 是
上， 什么 时候 在 双 曲线 上 呢？ 从 而又 得 到下 面一个 新 的命 题 ． 命题 ３ 如 图 ３ 在 矩形 Ａ Ｃ 中 ，Ａ ＝２ ， ， ＢＤ ＩＢＩ ａ ＩＣｌ ２ （ Ｂ ＿ ｂ ｎ＞０ ｂ＞０ ． Ｆ， 日 分 别 是 矩 形 ４ ， ） Ｅ， Ｇ， 条 边 的 中点 ， 是线 段 Ｏ Ｅ上 的点 ， 尺 是线 段 Ｃ Ｇ上
得 （６Ｒ。ｎ１ ） 而 Ｇ ，，（（ ） ， 直 Ｏ） ，— 从
ｙ ：一 一 ＋６ ‘ ． Ｌ （） １
线Ｇ Ｒ 的方程 为
给学生 提供 探究 性学 习 的理想素 材 ， 建展 示 思维 搭
同理可 得直 线 朋 的方程 为
’ ＝— 一Ｄ ， ■ ６ ，
： 一
点 Ⅳ， 直线 Ｆ Ｐ与直线 Ｃ Ｇ交 于点 Ｊ ， ７ 则 ｖ
Ｉ ｌ Ｉ ＤⅣ Ｉ Ｉ ｃⅣ Ｉ ｌ Ｉ— Ｉ ＯＦ ＣＦＩ’Ｉ ＯＧＩ— ｌ ＣＧＩ’
为 ２ａ ｎ
，
ａ
（） ２
联 立方程 （ ） （ ） １ ，２ 可得 直 线 职 与 Ｇ Ｒ 的交 点坐标
（ 一１ ６ ｎ ）
Ｙ
，
会“ 下蛋 的金母鸡” 一道好 的题 目会 给我们带来 ，
代 入椭 圆方 程得
引人人胜的探究之旅． 例如人教版《 数学》 选修 ２１ －
第５ Ｏ页 Ｂ组第 ４题 ：
程改革 与实施的 目的就是要 改变学生被动接受知
视 角 ５ 类 比联 想 ， 从类 比的 思 想 角 度 出 发 ，
既然 交 点 在 椭 圆 上 ， 否 有 相 应 的 交 点 在 双 曲线 是
上， 什么 时候 在 双 曲线 上 呢？ 从 而又 得 到下 面一个 新 的命 题 ． 命题 ３ 如 图 ３ 在 矩形 Ａ Ｃ 中 ，Ａ ＝２ ， ， ＢＤ ＩＢＩ ａ ＩＣｌ ２ （ Ｂ ＿ ｂ ｎ＞０ ｂ＞０ ． Ｆ， 日 分 别 是 矩 形 ４ ， ） Ｅ， Ｇ， 条 边 的 中点 ， 是线 段 Ｏ Ｅ上 的点 ， 尺 是线 段 Ｃ Ｇ上
得 （６Ｒ。ｎ１ ） 而 Ｇ ，，（（ ） ， 直 Ｏ） ，— 从
ｙ ：一 一 ＋６ ‘ ． Ｌ （） １
线Ｇ Ｒ 的方程 为
给学生 提供 探究 性学 习 的理想素 材 ， 建展 示 思维 搭
同理可 得直 线 朋 的方程 为
’ ＝— 一Ｄ ， ■ ６ ，
： 一
点 Ⅳ， 直线 Ｆ Ｐ与直线 Ｃ Ｇ交 于点 Ｊ ， ７ 则 ｖ
Ｉ ｌ Ｉ ＤⅣ Ｉ Ｉ ｃⅣ Ｉ ｌ Ｉ— Ｉ ＯＦ ＣＦＩ’Ｉ ＯＧＩ— ｌ ＣＧＩ’
为 ２ａ ｎ
，
ａ
（） ２
联 立方程 （ ） （ ） １ ，２ 可得 直 线 职 与 Ｇ Ｒ 的交 点坐标
（ 一１ ６ ｎ ）
Ｙ
，
会“ 下蛋 的金母鸡” 一道好 的题 目会 给我们带来 ，
代 入椭 圆方 程得
引人人胜的探究之旅． 例如人教版《 数学》 选修 ２１ －
第５ Ｏ页 Ｂ组第 ４题 ：
程改革 与实施的 目的就是要 改变学生被动接受知
一道课本习题的教学探讨
更抽 象 ， 但数学思想 ， 不仅具 ： 的结果 ； 用单一的角度与方法去观察思考问题 ， 思想程序性更弱 ， 有方法论的意义， 更具有认识论的意义， 将解题 ： 不去深入地挖掘 ，不注重对习题反映出来的思
扣教材出新题， 是高考命题方向之一， 而
对提高学生思维和对问题的进 ： 教材的丰富内涵是高考命题的源泉，命题者常 想方法进行提炼 ，从而丧失习题潜在的教育功 方法进行提升，
（） ２写出（ ） １中命题 的逆命题 ， 并判断真假 ，
课堂问题 的变式是熟练技能 ， 促进理解的
说明理 由。 已知 ： 直线 ｙ ｘ ２与抛物线 ｙ＝ｘ交 于点 必要步骤 ，数学教学应让学生体验有限变异这 ： ＝一 ￣２ 过程 ， 这些 问题的变异 ， 看似简单重复 ， 实 ： 其 六、 再思考 Ａ。 Ｂ。
： 自己的一些观点：选择课本上一道习题作为教
那么， ．Ｏ Ｚ Ｂ是锐角 ， ， Ａ 直角 还是钝角？ ： 为 效地进行习题课教学？ 在这篇文章中 ， 我给出了 新课程标准要求，学生应尝试从不同角度 两点 ，
思考 问题 ， 一题多解 ， 不仅可沟通各部分 知识 的 什么？
联系 ， 拓宽解题思路 ，Байду номын сангаас少胜多” 并且能够激 “ ， 发学生对数学研究的兴趣。
０
・－—
—！－ —－
通过多角度思考， 提炼方法 ， 变式训练。 编拟开
放性 习题 ， 以此来呈现课本习题的教学功能 ： 巩
义・ ‘ ‘ ’ ｏ Ａ
・ ． ．
固知识， 技能。 拓宽思维， 培养创新与探究能力。
倡导在 以后的教学 中 要重视课本习题 ， 充分挖掘
０ ｉｏ ７＂ － ｆ ． 二、 方法提炼 。 并提升到“ 思想” 层面
扣教材出新题， 是高考命题方向之一， 而
对提高学生思维和对问题的进 ： 教材的丰富内涵是高考命题的源泉，命题者常 想方法进行提炼 ，从而丧失习题潜在的教育功 方法进行提升，
（） ２写出（ ） １中命题 的逆命题 ， 并判断真假 ，
课堂问题 的变式是熟练技能 ， 促进理解的
说明理 由。 已知 ： 直线 ｙ ｘ ２与抛物线 ｙ＝ｘ交 于点 必要步骤 ，数学教学应让学生体验有限变异这 ： ＝一 ￣２ 过程 ， 这些 问题的变异 ， 看似简单重复 ， 实 ： 其 六、 再思考 Ａ。 Ｂ。
： 自己的一些观点：选择课本上一道习题作为教
那么， ．Ｏ Ｚ Ｂ是锐角 ， ， Ａ 直角 还是钝角？ ： 为 效地进行习题课教学？ 在这篇文章中 ， 我给出了 新课程标准要求，学生应尝试从不同角度 两点 ，
思考 问题 ， 一题多解 ， 不仅可沟通各部分 知识 的 什么？
联系 ， 拓宽解题思路 ，Байду номын сангаас少胜多” 并且能够激 “ ， 发学生对数学研究的兴趣。
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通过多角度思考， 提炼方法 ， 变式训练。 编拟开
放性 习题 ， 以此来呈现课本习题的教学功能 ： 巩
义・ ‘ ‘ ’ ｏ Ａ
・ ． ．
固知识， 技能。 拓宽思维， 培养创新与探究能力。
倡导在 以后的教学 中 要重视课本习题 ， 充分挖掘
０ ｉｏ ７＂ － ｆ ． 二、 方法提炼 。 并提升到“ 思想” 层面
一道课本习题的开放性探究
案 没计题 、 阅读理解题 等等 ， 必将大大增强学生思维 的 发散性和创造性 ， 更 大地激 发学生 的学 习热情 ， 提高创
新 意识 和 应用 能 力． 下 面 以华 师大 ２ ０ １ ２年第 ７月 版 七 年 级《 数学 》上 册 Ｐ １ １ ７页 单元 复 习题第 １ ８ 题为 例 ， 谈 谈 相
一
—— １ ２ ５ ｊ一 １ ＝— ３ １ — ２ ５ ｍ 一— 一 ６ ２ — ５ 个． ｌ ’ ’ ．
・
一
１ ０ ２ ４
：
一
挖掘其潜在的教学价值．
１ ４
变 式 ２ 改 变 结论 按 照上 述 分 法 ， 树 上 至少 有 多少 个 桃 子 ？ 最后 剩 多
所以Ｅ Ｇ＝ ， 根据垂径定理 得 ： Ｅ Ｆ ＝２ Ｅ Ｇ＝
分 析 动 圆与定 直 线 的相 切要 分 在点 Ｐ 的左 边 和右 边两 种情 形 加 以求解 ， 千万 不要 漏解 如 图 ６ ， 当 ｏ０移动到 ｏ０ 位置 时 与 尸 Ａ相切 时 ， ０ Ｄ Ｐ＝
９ ０ 。 ， 因为 ／Ａ Ｐ Ｂ＝３ ０ 。 ， ０ Ｄ ＝１ ， 所 以 ＰＯ ＝２ ， 所 以
树 上最 后剩 下 的桃 子 数． 这 是 一道 训 练学 生 分析 数 量 关 系 ， 利 用 代 数 式解 决 实 际 问题 ， 强 化 符号 意识 的好 题 ． 这里通过开放性探究 ，
② 如果是五只猴子这样分呢？
解 第五只摘吃后 ， 剩 ２ ５ ６ ｍ
３ ６ ９ ）
一
３ ６ ９
变式 １ 改变 条件 ① 如 果是 四只猴 子这 样 分 呢？ 解 第 四只摘 吃后 ， 剩 ｍ 一 ６ １
２ ５ ６ ３ ６ ９ 。 １ ＝— —ｍ 一 — — 个 ． ６ ２ ５ １ ２ ５ ’
一道课本习题的探究与拓展
低点 处 离 地 面 ２ 若 ｍ．
ｒ ，
２５ ． ． ０５
ｔ （ 一３ ｔ ｔａｆ — ａ ／）＝ ｎ １＋ ａ ￣ ｎ ｎｔｌ
…
／
一 一
从离 地 面 高 １ ５ 的 ｃ ．ｍ 处观 察 它 ， 离 墙 多 高 则 时 ， 角 ０最大 ？ 视
ｌ
图 １
线 ， 表示 甲方边 锋 前进 的直线 ） Ｚ
乙— ＋ 甲 Ａ０ 一 ， ｆ
一 一
Ｃ Ｅ Ｄ
胁
ｃ ：
：
一
图７
垄
４ ｘ一９ ’
Ｂｏ ｆ ，
图 ４ 图 ５
当 ＜ 詈 （图）Ｄ詈 ｏ ＜时如 ８Ｅ＝ 一 ， ，
ｔ Ａ Ｃ＝一 Ｅ＝ ａ Ｄ ｎ Ａ 历
而转化 为 函数 中 的最值 问题．
１２ 建 立适 当的 目标 函数 ．
用基本不等式 ＋ 三 ２ ≥
，
可 以很容易 求 出：
法一 ： 利用 余 弦定 理 直 接求 解． ＡＡ Ｂ 中 ， 在 Ｃ 仅 知 Ａ ２ 直接 求 ０的最 值 ， 为 困难． Ｂ＝ ｍ， 较 运 用 勾股 定理 可知
ＢＣ ： ， ： Ａｃ
等 成 时当 仅 ， 时ｔ 最 号 立 ，且 当 ： 芋 即 ： ， ａ ｎ
大． 显然 ， 本题运用基本 不等式求最值 比较 简便
由此可见 ， 问题 的一般步骤是 ： 探究
建 立数 学模 型— —首 先 仔 细 审题 ， 实 际问题 将 转化 为数学 问题 ； 建立 目标 函数—— 注意根 据条 件 ， 建立 的 函 数 必 须 “ 当 ” 便 于 求 解 ； 出 函数 最 适 ， 求 值—— 注意 选择 基 本 方 法 ； 验所 得 结 果—— 是 否 检 符合 实际 意义．
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一 一
从离 地 面 高 １ ５ 的 ｃ ．ｍ 处观 察 它 ， 离 墙 多 高 则 时 ， 角 ０最大 ？ 视
ｌ
图 １
线 ， 表示 甲方边 锋 前进 的直线 ） Ｚ
乙— ＋ 甲 Ａ０ 一 ， ｆ
一 一
Ｃ Ｅ Ｄ
胁
ｃ ：
：
一
图７
垄
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Ｂｏ ｆ ，
图 ４ 图 ５
当 ＜ 詈 （图）Ｄ詈 ｏ ＜时如 ８Ｅ＝ 一 ， ，
ｔ Ａ Ｃ＝一 Ｅ＝ ａ Ｄ ｎ Ａ 历
而转化 为 函数 中 的最值 问题．
１２ 建 立适 当的 目标 函数 ．
用基本不等式 ＋ 三 ２ ≥
，
可 以很容易 求 出：
法一 ： 利用 余 弦定 理 直 接求 解． ＡＡ Ｂ 中 ， 在 Ｃ 仅 知 Ａ ２ 直接 求 ０的最 值 ， 为 困难． Ｂ＝ ｍ， 较 运 用 勾股 定理 可知
ＢＣ ： ， ： Ａｃ
等 成 时当 仅 ， 时ｔ 最 号 立 ，且 当 ： 芋 即 ： ， ａ ｎ
大． 显然 ， 本题运用基本 不等式求最值 比较 简便
由此可见 ， 问题 的一般步骤是 ： 探究
建 立数 学模 型— —首 先 仔 细 审题 ， 实 际问题 将 转化 为数学 问题 ； 建立 目标 函数—— 注意根 据条 件 ， 建立 的 函 数 必 须 “ 当 ” 便 于 求 解 ； 出 函数 最 适 ， 求 值—— 注意 选择 基 本 方 法 ； 验所 得 结 果—— 是 否 检 符合 实际 意义．
显然中的不显然——由课本中的一道练习题引发的探究
显然中的不显然——由课本中的一道习题引发的探究-中学数学论文显然中的不显然——由课本中的一道习题引发的探究江苏省盐城中学李国强关于椭圆内接平行四边形的问题，我们都有一个感性认识，即平行四边形的对称中心就是椭圆的对称中心。
例如在任意椭圆内接矩形问题，一般都默认内接矩形的对称中心即为椭圆的对称中心，且各边平行于椭圆的对称轴。
虽然这种处理方式在某些特定环境下有可取之处，但倘若不加分析，总以显然（其实不显然）成立来加以处理，就有悖于数学的严谨性和科学性，从而陷入误区。
下面先从苏教2－1教材第67页练习第5题开始研究：已知椭圆，直线y=x+1与该椭圆交于A，B两点，求线段AB的中点坐标和线段AB的长。
思考：当直线斜率不变、截距变化时，线段的中点有何规律？变：已知椭圆，直线y=x+m与该椭圆交于A，B两点，求线段AB的中点的轨迹方程。
解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则（x1，y1），（x2，y2）是方程组x+2y=0（椭圆内的部分）。
（注意直线过原点）推广一：已知椭圆（a＞b＞0），直线y=kx+m与该椭圆交于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹为过原点的一条线段。
证明：将直线方程y=kx+m代入椭圆方程（a＞b＞0）并化简整理得：（b2+a2k2）x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，设方程为b2x+ka2y=0（椭圆内的部分）。
（注意直线过原点）很显然：当直线斜率不存在，即直线与y轴平行时结论同样成立。
思考1：当椭圆（a＞b＞0）变为圆x2+y2=1时，结论如何？由圆的性质结论显然成立。
思考2：当椭圆（a＞b＞0）变为双曲线=1（a＞0，b＞0）时，结论如何？类似椭圆，双曲线=1（a＞0，b＞0），直线y=kx+m与该双曲线交于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹为过原点的一条直线b2x-ka2y=0位于双曲线内的部分。
推广二：设AB是椭圆（a＞b＞0）的弦.弦AB所在直线的斜率k存在且k≠0，M为弦AB的中点，直线OM的斜率为k′，则k·k′=。
探究 推广 引申 应用——一道课本习题的探究性学习
易知 、
理得 ｋ ：一 。 ：
的斜 率 ｋ 、２ ｌ ｋ 为其两根 。据韦达定
．…④
ｋ ：一 ２ ｌ
复 习教学 中，我 引导学生对这一道 习题进行探 究 、 推广 、引申，并应用 所得 结论解决有关高考 与竞赛
试题．
ｌ 十 ｎ Ｙｏ
于是 ・Ｂ＝０ Ｐ
｛ ｒ ２ ｐ＝１ ０ ， （ｐ ＋Ｈ （２ ０＝１ ａ ＋２ § ”－ ） － ｙ） ２ 一
探究 １ 若在 （ ） １ 中的条件“ ． ｘ＝０， 一 Ｏ ， ， 去掉
铮 直线， 过定点 （ｐ， ）（ ２ 一２ 平移后 ）
结论是否改变？ 设直线 ７ 的方程为 ＝ｎ ｙ十ｍ ，
Ａｘ ， １ ， Ｂ ｘ ， ２ ． （ Ｙ ） （２ Ｙ ）
营 直线 ， 过定点 （ｐ＋Ｘ ， ）（ ２ ｏ一 平移前 ｌ 由此可把 命题 １１ ． 推广为 命题 １ 设直线 ， ． ２ 与抛物线 Ｙ ：２ ｘｐ＞０ 交 ｐ（ ）
０）…⑨
设 直 线 ，与 抛 物 线 Ｙ ＝２ ｘｐ＞０ ！ ｐ（ ）交 于
Ａｘ， ） （：Ｙ） （。 ，Ｂ ｘ，２两点 ，其 中 Ｙ＞ ２ ， Ｙ．
（ ）若 ． ：０， １ Ｏ 一 ｘ＝０，求 ， 与 轴 的交点坐标 ； （ 是否存在定点 Ｍ，使得 当 ２） 经过 Ｍ 时，总 有 ． ＝０成立． ０ 这 是一道 内涵丰 富、具 有教学价值的 习题 ．在
③代入②得 Ｙ ＋（２ ｘ ＋２ ｒ ｙ） ， － ｐ ｙＹ） ｘ＋ｎ ＝０ （ ｅ
即 （＋２Ｙ ） ＋（ｍ ｏ ， 一２ ｐ ：０． １ ｎｏｙ ２ Ｙ 一２ ） ｍｘ 化 为 （＋２ ０（ ）＋（ｍ ｏ ２ ） 一２ ｐ＝０． １ ） ２ｙ一 ｍ
变出课本习题的精彩——对一道课本习题的多角度探究
Ｄ
￣
Ｉ
Ｂ Ｄ ， ＭＤ ： Ｂ Ｄ ． 坼以Ｆ Ｍ： Ｂ Ｄ 听 以
２ ６
３
Ｆ ：Ｆ Ｍ ：Ｊ ） ｌ ＝２ ：１ ：３ ．
（ ２ ） 由Ｂ Ｆ： Ｆ Ｍ ： ＭＤ ＝ ２：１： ３ 可 得
Ｓ △ Ａ ，： Ｊ Ｓ △ ＾ 删 ： Ｓ △ ＾ 肼 Ｄ ＝ ２ ：１ ： ３， 故 可 设
图５
Ｃ
Ｓ △ Ａ 日 Ｆ ＝ ２ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｆ Ｍ ＝ ｋ ， Ｓ Ａ Ａ Ｉ Ｍ ｏ ＝ ３ ｋ （ ＞ Ｏ ） ， 则
图３
（ ４ ） 如 果Ｃ Ｅ： Ｂ Ｃ ＝ ｍ， 求 Ｆ： Ｆ Ｎ： Ｎ Ｅ 的值（ 用含ｍ的代数式表示 ） ．
解析 （ １ ） ６ 对． （ ２ ） 由题 意 可得 Ａ Ｆ ￣ ＿ ＝ Ｆ Ｎ ｘ Ｆ Ｅ． 教
ＤＨ ＥＮ
导 学生总 结 出处理 三 角形 面积 关系的
两个 基 本 策 略 ． 即 看 两 个 三 角形 是 否 相
：
，
ＡＤ ＤＨ ＢＥ ＥＮ １
一
故
＋
： １ 。 即
。
似或 两个三 角形是否是 同底 、同高、 等 底、 等高．
探 究３ 如 图 ３ ，在Ｅ Ｙ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ． Ｅ 是
上 却是值得 细细 品味 的一 道有研 究价 值 和开发价值的好题．
…
＋ 一 — ＝—— ． ～ 一 一十— 帆 ７ 从 而 可十 得 一
：
．
１
＋ 十
Ｄ Ｈ
１
Ｅ Ｎ
１
Ｆ Ｍ
Ｓ △ ＾ Ｂ ９
Ｂ Ｃ 上一点 ． Ａ Ｅ 与Ｂ Ｄ相交 于点Ｆ ． 延长』 ４ Ｅ 交Ｄ Ｃ 的延长线于点
一道课本习题的解法探究及应用
一
１，
，
式 （ ）＋式 （ ） 得 ３ ４ ，
从 而
＝一１ ，
＋ ＿ ＋ （ １ ＋ （ — ｙ ２ ６ ８ ０ ２ ２ ｍ＋ ） ２ Ｉ ｍ） ＋ ｍ ＋ ｍ一 ＝ ． ｙ 因为 该 圆过 原 点 ０（ ， ） 所 以 ００ ，
ｍ ＋ ３ 一４ ＝０ ． ｍ
解得
问题 时 ， 要善 于借 助各 种手 段把 不规则 、 不标 准 、 不
例 １ 如 图 ｌ ， Ｐ ＝Ｐ ／Ａ Ｂ＝ ５ ５ 若 ‘ Ｂ， Ｐ ２／Ａ ８， ４ ＿ Ｃ
Ａ Ｃ与 朋 交 于点 Ｄ， 船 ＝ Ｐ 且 ４， Ｄ＝ ， Ａ ・ Ｄ ３则 Ｄ Ｃ
熟悉 的 图形 向规则 、 准 、 标 熟悉 的 图形 转化 ， 而沟 从 通 条件 和结 论之 间 的联 系 ， 化生 为熟 ， 化难 为易．
（＋ － ’ ）（６ ‘＋ ＋ ＝ ”４ ４ （ ＋—）ｘｎ （ ｍ ） 专 ８ｍ Ｚ － １
由韦 定理 得
图 ｌ
原点 ？若 存 在 ， 出 直 线 ２的方 求 程 ； 不 存在 ， 明理 由． 若 说
２ 解 法 探究 解 法 １ 设 Ａ（ ， 。 ， ，： ． 设 该 圆过 Ｙ ） Ｂ（ ｙ ） 假 原 点 ０， Ｏ Ｏ 从而 则 Ａｊ Ｂ， －
・
ｌ ・ ８
中 学教 研 （ 学 ） 数
分析 由 Ａ Ａ ／ 可知点 Ｂ， Ｄ在 以点 Ｂ： Ｃ＝ ｌ Ｄ Ｃ，
等于～
．
Ａ为圆 心 、Ｂ为半 径 的圆上 ， 出该 圆． Ａ 作 由 Ｃ Ｄ， Ｂ
Ｃ Ｄ分 别 是 Ｃ Ａ Ｄ所 对 的 圆 周 角 和 圆 心 角 ， 得 可
ＴＤ ＡＤ
— —
看似平淡 却似海深——一道课本习题的探究与推广
最后教师总结 ： １ 正难则反思想 ； （）
ｏｂ ，看作某一元二次方程的两个根 ， 那么｛，Ｕ 正好 Ｉ 口＞ ６
分别是其 两根之和与两根之积 ， 以利用韦达定理． 可 众皆豁然． 笔者也为学生们 的探究潜力 喝彩 ！
（） ２ ①式 是三 个实 数 。 ｂ ｃ同时 为正 数 的充 要条 ，， 件；
经过一段 时问的思考 ， 学生并 没有得 到实质性的发
３ 类比推广
掌握更一般性规律
学生已经迫不及待地开始探究—— 类比推广 ：
（） １ 四个数 ａ ６ ｃｄ同时为正数的充要条件是什么 ，，，
（ 与① 式类似） ？一元四次方程的韦达定理是什么？
探究 １ 通过对① ， ②两式 的对 比发现 ： Ｉ 四个 数 （） 口 ６ｃｄ同时为正数 的充要条件共 由 四个不 等式 组成 ； ， ，， 。 （） ｋ ２ 第 个不等式 的左边 ， 就是从 ａ ｂ ｃｄ这四个数 中 ， ，，
（） ３ 今后要 判断 三个实数 口 ６ Ｃ 否都是正 数 ， ，， 是 只
现在 ， 摆在我们面前 的最大 问题是 ： ①式与 韦达定
理有关吗？
要判断①式中三个不 等式是否都成立．
至此 ， 我们 已经基本实现了本题的主要教学功能．
２ 反 思探 究 “ 降维 思 考 ” 身手 显
至此 ， 介绍 和学习一元三 次方程 的韦达定理就很 自 然了 ， 学生更是迫切想知道一元三次 方程韦达定 理的具 体内容 ！况且这些 内容也是高中数学竞赛的必考 内容． 定理 设方程 ｎ ａ ＋ ｌ＋ ｏ ｏ 其中 口 ≠Ｏ 的 ３ ２ 口ｘ ａ － （ ＋ ３ ）
问题 ” 通 过 对 “ 元 问题 ” ， 二 的探 究 ， 反 类 比到 “ 元 问 再 三
ｏｂ ，看作某一元二次方程的两个根 ， 那么｛，Ｕ 正好 Ｉ 口＞ ６
分别是其 两根之和与两根之积 ， 以利用韦达定理． 可 众皆豁然． 笔者也为学生们 的探究潜力 喝彩 ！
（） ２ ①式 是三 个实 数 。 ｂ ｃ同时 为正 数 的充 要条 ，， 件；
经过一段 时问的思考 ， 学生并 没有得 到实质性的发
３ 类比推广
掌握更一般性规律
学生已经迫不及待地开始探究—— 类比推广 ：
（） １ 四个数 ａ ６ ｃｄ同时为正数的充要条件是什么 ，，，
（ 与① 式类似） ？一元四次方程的韦达定理是什么？
探究 １ 通过对① ， ②两式 的对 比发现 ： Ｉ 四个 数 （） 口 ６ｃｄ同时为正数 的充要条件共 由 四个不 等式 组成 ； ， ，， 。 （） ｋ ２ 第 个不等式 的左边 ， 就是从 ａ ｂ ｃｄ这四个数 中 ， ，，
（） ３ 今后要 判断 三个实数 口 ６ Ｃ 否都是正 数 ， ，， 是 只
现在 ， 摆在我们面前 的最大 问题是 ： ①式与 韦达定
理有关吗？
要判断①式中三个不 等式是否都成立．
至此 ， 我们 已经基本实现了本题的主要教学功能．
２ 反 思探 究 “ 降维 思 考 ” 身手 显
至此 ， 介绍 和学习一元三 次方程 的韦达定理就很 自 然了 ， 学生更是迫切想知道一元三次 方程韦达定 理的具 体内容 ！况且这些 内容也是高中数学竞赛的必考 内容． 定理 设方程 ｎ ａ ＋ ｌ＋ ｏ ｏ 其中 口 ≠Ｏ 的 ３ ２ 口ｘ ａ － （ ＋ ３ ）
问题 ” 通 过 对 “ 元 问题 ” ， 二 的探 究 ， 反 类 比到 “ 元 问 再 三
一道课本习题的探究与思考
２ｆ ＿＼ ２
２ｓｎ ｉａ
１ｏ０ ＿ｓ ｃ２ ２
（ 笔者追问 ： 为什么？其 回答是三角公式多 ， 可能好处理一些． ）
学 生２ 因为 已知 了一 角 ， 求 面积 ， 想 用 这 个 角 的两 边 为 ： 要 我 变 量 ， 时 知 道 该 角 的对 边 ， 余 弦 定 理 把 一 边 用 另一 边 表 示 ， 同 由
时， 户 △Ａ Ｑ的面 积 最大 ？
２ ．探 求
教 师 ： 生 ４ 结 论 提 出 了可 能 的结 果 。 同学 们 选 择 某 一 学 对 请
方 向解 题 ． 验证 其 猜 想．
５ 钟内， 分 笔者 巡 视 中发 现 一 些解 法并 指 定 学 生 把其 解答 书
写 到 黑 板 上 ．（ 便 起 见 ， 中把 学 生 在 本 题 中所 设 未 知 量 统 一 方 文 改 为 ： Ａ ，Ｑ ａＡ ＝ ， ＝ ， ４ Ｑ ， Ｑ － ， 中 ， 设 Ｐ ＝ ， Ｐ ｘＡＱ ｙ 厶 尸 ＬＡ Ｐ 其 ￣ ａ 为定值 ）
一
ｃｓ ＋２ａ＝ ， 得 一 ｏａ ｙ－２Ｏ 解 ：
又擦 了 ）
（ 图 明显 ， 求 根 公 式 写 了 ， 意 用 但
学 生７ 如 图２ 作Ａ ： ， 日上— 户 Ｑ于日点 ， ＬＰ Ｈ ｌＬＱ Ｈ＝ Ｉ 设 Ａ ， Ａ Ｏ，
Ａ Ｈ＝ｈ
般要作图 ． 选用四个公式（ 弦、 正 余弦定理 ， 面积公式 ， 内角和
Ｚ
３ ．反 思
教 师点 评 ： 三位 学 生 的解 题 方 法 是你 们 主要 的解 法 ， 部 这 大 分 学生 用 了学 生５ 的解 法 ， 因为 开 始 时也 有 不少 的 同学用 了学 生６ 的思 路 ， 基 本 上 都 但 改 弦 易辙 了 ， 也是 “ 俊杰 ” 的一 种 表 现 ， 还有 少 部 分 同学 用 了学 生 ７ 的解法．不 论 怎么 说 ， 学生４ 猜想 成 立 了 ！ 的
由一道课本习题引发的探究教学
，
（ 故 了（ ＿ ． ２＿ ＋ ２ ） ×２ ≥ ）
评 注 对 于 形 如 。 ＝ ％ 型 的数 列 ， 待定 系数 法 转 化 为 用
例 已 在 列 ｝，２ 。 导求 １ 知 数 ｛中 ｌ ２ ， ｎ ，＝ ＝
‰ ＋ Ａ・
（ Ａ ） 其 中Ａ 待定 系数 ， ・ ， 为 与 。
得Ａ 了 一 １
，
所 了 一（÷ ）数 ｛了 以． ２一 ， ％Ｉ ｒ Ｉ 故 一 ）
： ２×
，
是 首 项 为 。一 ： ２ 公 比ｑ 一 的等 比数 列．所 以０－ Ｉ ：２ ，
探 究
１ ．形 如 ｌ ＝ ％ （ ≠０， ａ＃Ｏ， １ 型 通项 的求 法． ≠ ）
２ 形 如‰ １ ＋ （ ． ＝ ％ ≠０ ａ ， ＃Ｏ ｄ ， ＃ｏ 型通 项％ 的求法 ． ， ≠１Ｂ ）
例２ 已知 在 数 列 ｛ｎ 中 ，１１ ａ． 一 ａ＋ 求 ａ ｝ ｎ： ，ｍ＝ ２ ．３ ， １ 解 析 令 ．Ａ・ ｎ＝ ２ ＋ ３ ） 与 ＋ ２ ，３ ＋ ３＊ 一 （ Ａ・ ， Ｊ ｌ ０＋ 对 比 系数 可 一
ｄ 的等 比数 列 ， 而 ：ｎ Ａ （）Ｏ－ Ａ （） 从 （． 厂１）ｎ＿ 厂ｎ． ＋ ｌｌ
那么 我 们是 否 也 可 以用 以 上 的配 凑结 构— — 待 定 系数 法 来
解决 课本 习题 呢？
求法 ．
由 ％ ２ 一 ３ ｎ ） 可设 ＋ ％＿ （ ，＋ ｑ ２， 比系 数 ＝ ｌ 珥 （ ≥３ ， ＋ Ａ ｌ ｎｌ 卜 对 卜Ａ ）
解 析 由 ％＝ ％一 ３ ２得 ％＋ ｌ３ ％ ｌ ２ ， 及 ａ－ ａ一 ２ ｌ ％＿ ＋ ， 一 （ ＋ ） 以 ＝ ＿ ．３ ． ＝ ｌ
一道课本习题的拓展探究及应用
中，［为ＡＢ边上任意一点， Ｊ ） 过点 Ａ 、Ｂ分别作 ＣＤ的平行线， Ｂ 交 Ｃ、 Ａ Ｃ的延长线于 Ｅ、 Ｆ
（ ２． 如图 ）
是数学课改的重要 目标之一． 课本习题的结论具 有 广阔的探 究、拓 展空间， 近几年 的中考、竞
求： ＝ ． 证去＋
Ｆ
赛题， 根植于课本， 从课本 中寻找命题 生长点的 原题和拓展题屡见不鲜， 因此重视课本习题的拓
２１年第 ｌ期 ００ ｌ
数 学教 学
ｌ一３ ｌ１
一
道课 本 习题 的拓展探 究 及应 用
４０ ０ 湖北省武汉洪山区教育科学研究培训中心 江思容 ３０ ７
课本 中的习题是数学课堂教学的重要组成 部分， 它具有典型性和代表性， 在解题过程 中， 发
展学 生 思维 ， 发 学 生智 力， 养 学 生 创新 精 神 开 培
两个并联 电阻 Ｒ 和 Ｒ 的总 电阻 Ｒ的倒数等于 １ ２
：
ｒ ＿ ｎ ｒ Ｈ
・ ＋ 一： — ＋ｎ ｒ ｍ ● ｌ 一 ～ １ ｌ ’ ． Ｐ 。ｑ 竹 ＋ 佗
．
这 两 个 并 联 电阻 的 倒 数 之 和．现 在 我 们可 以用
．
１ ．１
ｌ 一
１
例３ （ 武汉等六市初中数学竞赛题） 如图５ ，
故ＡＡ ＝、２， Ｂ ＝ 、 ６ ／ｎ Ｂ ／ ． ／ ／ ２
－ ． 上
在梯形 Ｂ ＣＤ中Ａ ｆ Ｄｆ ＢＣ． 过对角线的交点Ｍ 作ＥＦ Ａ ￣ Ｄ分别交 ＡＢ ＤＣ于点 、Ｆ． 求证： 上 一 。
上
ｊ＇ ～上 ＿
， ６ ＣＰ ’
ＡＤ
ＢＣ
ＥＦ ’
０
１ ，１
殊途同归,一道课本习题的解法探究
ＡＢ ＢＥ ＡＢ ＥＭ
… … ¨ 一
．
－
ＥＭ ＧＭ
ＢＥ ＧＭ
又’ ． ‘ Ｃ Ｇ 平 分 Ｄ Ｃ Ｆ ． Ｄ Ｃ Ｆ ＝ ９ ０ 。
’
． ．
ＧＣＦ ＝ ＣＧＦ ＝ ４ ５ 。
‘ ． ．
ＧＭ＝ Ｃ Ｍ
图１
这 道 题 是 人 教 版 义 务 教 育课 题 标 准 教 科 书 八 年 级 数 学 下 册 复 习题 ６ ９ 页第１ ４ 题． 经探 究 ， 我 发 现 这 道 题 有 很 好 的 训 练 价
，
又・ ． ・ ＣＧ平 分 ＤＣ Ｆ。 ＤＣＦ ＝ ＤＣＢ ＝ ９ ０ 。
‘ ． ． ’ ． ．
ＢＥ ＣＭ
进行．
ｕ
‘ ． ．
ＥＣ Ｇ＝ ＤＣ Ｅ＋ ＤＣ Ｇ＝１ ３ ５ 。 ＡＮＥ ＝ ＥＣ Ｇ＝１ ３ ５ 。
又’ ． ’ ＮＡＥ ＋ ＡＥＢ ＝ ９ ０ 。
值． 下 面 展 示 出来 与 同行 分 享 ． 证法一 ： 如图１ ， 在Ａ Ｂ 上 取 一 点 Ｎ， 使Ａ Ｎ ＝ Ｅ Ｃ ， 连接 Ｅ Ｎ Ｅ为 Ｂ Ｃ中 点
‘ ‘ ．
在正方形Ａ Ｂ ｃ Ｄ 中． Ａ Ｂ ： Ｂ ｃ ． 则有旦 ：
ＢＥ ＣＭ
又‘ ． ’ Ｅ为 Ｂ Ｃ的 中 点
‘ ． ．
在正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ， Ｂ ＝ ９ ０ 。
． ．
’ ． ．
’
． ．
ＡＮＥ＝１ ３ ５。 ＤＣＧ＝４５。
变式 ： 当Ｅ 为Ｂ Ｃ 上 任一点 ， 其他 条件不变 时 ， 上 述 结 论 依 然成立吗？ 证法 三 ： 如 图３， 当证 法 二 中 得 出 ：一 ＥＭ 也 可 这 样
… … ¨ 一
．
－
ＥＭ ＧＭ
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又’ ． ‘ Ｃ Ｇ 平 分 Ｄ Ｃ Ｆ ． Ｄ Ｃ Ｆ ＝ ９ ０ 。
’
． ．
ＧＣＦ ＝ ＣＧＦ ＝ ４ ５ 。
‘ ． ．
ＧＭ＝ Ｃ Ｍ
图１
这 道 题 是 人 教 版 义 务 教 育课 题 标 准 教 科 书 八 年 级 数 学 下 册 复 习题 ６ ９ 页第１ ４ 题． 经探 究 ， 我 发 现 这 道 题 有 很 好 的 训 练 价
，
又・ ． ・ ＣＧ平 分 ＤＣ Ｆ。 ＤＣＦ ＝ ＤＣＢ ＝ ９ ０ 。
‘ ． ． ’ ． ．
ＢＥ ＣＭ
进行．
ｕ
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ＥＣ Ｇ＝ ＤＣ Ｅ＋ ＤＣ Ｇ＝１ ３ ５ 。 ＡＮＥ ＝ ＥＣ Ｇ＝１ ３ ５ 。
又’ ． ’ ＮＡＥ ＋ ＡＥＢ ＝ ９ ０ 。
值． 下 面 展 示 出来 与 同行 分 享 ． 证法一 ： 如图１ ， 在Ａ Ｂ 上 取 一 点 Ｎ， 使Ａ Ｎ ＝ Ｅ Ｃ ， 连接 Ｅ Ｎ Ｅ为 Ｂ Ｃ中 点
‘ ‘ ．
在正方形Ａ Ｂ ｃ Ｄ 中． Ａ Ｂ ： Ｂ ｃ ． 则有旦 ：
ＢＥ ＣＭ
又‘ ． ’ Ｅ为 Ｂ Ｃ的 中 点
‘ ． ．
在正 方 形 Ａ Ｂ Ｃ Ｄ中 ， ＡＢ ＝ Ｂ Ｃ， Ｂ ＝ ９ ０ 。
． ．
’ ． ．
’
． ．
ＡＮＥ＝１ ３ ５。 ＤＣＧ＝４５。
变式 ： 当Ｅ 为Ｂ Ｃ 上 任一点 ， 其他 条件不变 时 ， 上 述 结 论 依 然成立吗？ 证法 三 ： 如 图３， 当证 法 二 中 得 出 ：一 ＥＭ 也 可 这 样
一道课本习题的探究
・
教材教法 ・
十・擞・ （ １ 第 期・ 中 ） ７ ７ ２ｏ ５ 高 版 ０年
ｌ ５
一
道 澡本 习题 的 探 究
丁宪中
当 ＝４时 √（ ） ｉ’ｔＣ￥Ｏ ＝ｓｎＯ ０ ｔ ＋
２ ６ ０ 安徽省 安庆二 中 陈和 平 ４０ ０
新 教 材 中 的一 大 亮 点 是 出 现 了新 题 型— — 探 究 性
究， 猜想 出 １
） ， ≤１体会过程就达到 目的， 但一定
当 ０ ｂｃ ０ １ ， ，， ∈（ ，） 由琴生不等式
有学生质疑猜想的正确性． 虑到高一学生知识 和能 力 考 因素 ， 要选择一种恰 当的方法证明猜想．
半 ） 。 ）） ≤ ） ｃ， ６ ］
即 ） ） ） 譬 ＝ １， ｎ ｃ≥ ） ） ６ ］ 了
有了这三组公 式 ，０ ２ｒ 之 间角的三角 函数都 可 ［ ， ７］
（） ｄ 公式（ ） （ ） （ ） （ ） ２ ，３ ，４ ，５ 的统 一记忆方法． 已经 有了“ 符号看象 限” 的基础 ， 这几个公式 ， 对 学生 只需要
以转化成 ［ ， ］ ０ 之间的角 的三角 函数．
二
观察什 么情 况 下 ， 弦变余 弦 ， 弦变 正 弦， 切变 余 正 余 正
．‘擞・ （ ｌ ｇ 期・ 中 ） ｝ ７ ２ｏ 高 版 Ｐ ｏ￣ ５
’ ． ‘
・ 教材教法 ・
≥０ ，
ｆ”Ｘ ＝ｎ ｎ １ （ ） （ 一 ）‘
如 果 我 们 在 课 堂 上 处 理 这 个 题 目 ， 学 生 自 己探 让
・
．
．
） （ ，） 向下 凸函数 ． 在 ０ １内
切． ＋ｒ Ｏ时变 ，＂Ｏ时不 变 ！一起 仔细 比较 ， ＇： Ｔ ｔ Ｉ ２ 就会发 现
教材教法 ・
十・擞・ （ １ 第 期・ 中 ） ７ ７ ２ｏ ５ 高 版 ０年
ｌ ５
一
道 澡本 习题 的 探 究
丁宪中
当 ＝４时 √（ ） ｉ’ｔＣ￥Ｏ ＝ｓｎＯ ０ ｔ ＋
２ ６ ０ 安徽省 安庆二 中 陈和 平 ４０ ０
新 教 材 中 的一 大 亮 点 是 出 现 了新 题 型— — 探 究 性
究， 猜想 出 １
） ， ≤１体会过程就达到 目的， 但一定
当 ０ ｂｃ ０ １ ， ，， ∈（ ，） 由琴生不等式
有学生质疑猜想的正确性． 虑到高一学生知识 和能 力 考 因素 ， 要选择一种恰 当的方法证明猜想．
半 ） 。 ）） ≤ ） ｃ， ６ ］
即 ） ） ） 譬 ＝ １， ｎ ｃ≥ ） ） ６ ］ 了
有了这三组公 式 ，０ ２ｒ 之 间角的三角 函数都 可 ［ ， ７］
（） ｄ 公式（ ） （ ） （ ） （ ） ２ ，３ ，４ ，５ 的统 一记忆方法． 已经 有了“ 符号看象 限” 的基础 ， 这几个公式 ， 对 学生 只需要
以转化成 ［ ， ］ ０ 之间的角 的三角 函数．
二
观察什 么情 况 下 ， 弦变余 弦 ， 弦变 正 弦， 切变 余 正 余 正
．‘擞・ （ ｌ ｇ 期・ 中 ） ｝ ７ ２ｏ 高 版 Ｐ ｏ￣ ５
’ ． ‘
・ 教材教法 ・
≥０ ，
ｆ”Ｘ ＝ｎ ｎ １ （ ） （ 一 ）‘
如 果 我 们 在 课 堂 上 处 理 这 个 题 目 ， 学 生 自 己探 让
・
．
．
） （ ，） 向下 凸函数 ． 在 ０ １内
切． ＋ｒ Ｏ时变 ，＂Ｏ时不 变 ！一起 仔细 比较 ， ＇： Ｔ ｔ Ｉ ２ 就会发 现
对一道课本习题的探究与思考
’
专题 探 讨
’
OG ZH N XU
辩营
群 豁
甘 肃 会 宁 县 第二 中学 ( 7 3 0 7 0 0 )
基 础 教育 正 由 应 试 教 育 向 素 质 教 育 转 轨 在
．
董 力仁
，
“
”
“
”
不 同解 法 请 同学 们 尝 试 看 谁 解 得 快 解 得 好 然 后
．
，
．
这个 过 程 中 观 念 的 转 变 是
，
．
，
去 思 考 去 发 现 实践表 明 这 样 做 不 仅 能极 大 的 激 发
，
+ fP F 2 『 6
’ ． ．
瓶
2 lP F 】 1
一
学 生 学 习 数 学 的兴 趣 和 热 情 而 且 十 分有 助 于 学 生 素
，
。 。 IP F l } + 1P F 2 f + 。 。 {P F 】 + I P R l I
， ，
一
切 工 作 的前提 只有 在
．
放 手让 学 生 去 思 考讨论 去 发 现 创 造 问 题 提 出 后 犹
，
．
，
新 的教 育理 念 的指 导 下 才 会 有 新 的教 育 实 践 并 把
，
如
一
石 激 起 千层 浪 学 生 的 探 究 热 情 被 激 活 他 们 跃
，
．
这 种 教 育实践 由 自发 的 经 验 的 高 度 提 升 到 自觉 的
．
一
步思 考 这 个 问题 能 不 能运 用 其
，
一
不 知 学 到 了什 么 遇 到 新 问 题 不 知 如 何 处 理 只 知 做
专题 探 讨
’
OG ZH N XU
辩营
群 豁
甘 肃 会 宁 县 第二 中学 ( 7 3 0 7 0 0 )
基 础 教育 正 由 应 试 教 育 向 素 质 教 育 转 轨 在
．
董 力仁
，
“
”
“
”
不 同解 法 请 同学 们 尝 试 看 谁 解 得 快 解 得 好 然 后
．
，
．
这个 过 程 中 观 念 的 转 变 是
，
．
，
去 思 考 去 发 现 实践表 明 这 样 做 不 仅 能极 大 的 激 发
，
+ fP F 2 『 6
’ ． ．
瓶
2 lP F 】 1
一
学 生 学 习 数 学 的兴 趣 和 热 情 而 且 十 分有 助 于 学 生 素
，
。 。 IP F l } + 1P F 2 f + 。 。 {P F 】 + I P R l I
， ，
一
切 工 作 的前提 只有 在
．
放 手让 学 生 去 思 考讨论 去 发 现 创 造 问 题 提 出 后 犹
，
．
，
新 的教 育理 念 的指 导 下 才 会 有 新 的教 育 实 践 并 把
，
如
一
石 激 起 千层 浪 学 生 的 探 究 热 情 被 激 活 他 们 跃
，
．
这 种 教 育实践 由 自发 的 经 验 的 高 度 提 升 到 自觉 的
．
一
步思 考 这 个 问题 能 不 能运 用 其
，
一
不 知 学 到 了什 么 遇 到 新 问 题 不 知 如 何 处 理 只 知 做
由一道课本习题引发的思考
［ｓ０ １ ２］ 争ｉ一ｃ …ｓ） ｎ 帆（ ２１
：丁
相同的方法求解 ， 是否可 以归类于某一题型等。
（ ） 式练 习得 到充 分 重视 的 问题 三 变
１Ｒ （ｉ２＋ ｏｏｃｓ０一１ｎ２ ｔ 。ｓ ０ ｃｔｔｏ２ ） 丁 ｃ ｎ 。
：
黑ｎ （ ｉ０ｏ ｃ２一 Ｚ （ ｓ ｓ ＋ｓ 。０ ｝ ｔ ｎ ２ ｓ Ｉ ｊ ｎ ｃ ｓ） ｉ
图 １
解 法 ２ 如图 １设 Ｂ ＝ ， Ｃ ＝ ： ， Ｃｘ则 Ｄ Ｖ
ｚ于是 ，
ｓ ｃ． ／ Ｄ ｃ、
＝
￣ ％ ｘ： ， 仅当 ＜ｘ４２ｚ２２ 且 Ｒ 一Ｒ 当 －
Ｚ
２ 时即 ＝ ／ － 、
， 等号成立 ， 时矩形 Ａ Ｃ 此 ＢＤ
圈 ３
有 最 大面 积 ， ２ ２ 形 也 变 成 了一 个 正方 形 。 是 Ｒ 矩
的 时候 ， 积 最 大 。 面
解 法 ２ 如 图 ２ 同解 法 １ 设 Ａ ＝ ， 据 对 称 性 ： ， ， Ｂ ｘ根
有 Ｂ ： Ｂ２ ／ Ｃ２ ： 、 ０
ｚ尺 —。 ＝ ｚ 即 ＝
≤２ ： ｚ ｘＲ ： ，当且仅当 ＋ Ｒ
时 ，矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ的 面 积 最 大 。
Ｒ￣ｏ ｄ ｔ
＝
题 目的条件使之成立等等 。 这就是探究挖掘 的重点 ，
也 是 我 们 通 常所 说 的变 式 练 习 。 数 学 教 学 中 ， 式 在 变
由于 ０ （ ， ＜ｔ Ｉ ＜ 所以， 一００即 导 练 习 是 习题 教 学 的 重 要 内容 ，也 是 能 否 让 学 生 深 化 当 ２ ， ＝ ＝
问题 考 查 的 对 象 ， 后 寻 找 解 题 的 办法 ， 时 要 注 意 然 这 解 法 的 多样 性 ， 选择 的灵 活性 ， 后 便 可解 题 了 。 然 解题
学会探究——一道课本习题的思考
点的 直线为Ｙ 七 等（≠） 即 ÷ ＋ 将上 ＝ 一 ） ０， ＝ ， 庀
式代入 Ｙ ＝２ ，得 Ｙ ＝２ （ ，去分 母整理 得 ｐ＿ Ｐ） Ｙ十
一
２ ｘ ｋ ＝０，设这个 方程 的两根为 Ｙ ，Ｙ ，则 ｐ —ｐ 。
（） 以 Ａ ２ Ｂ为直 径 的圆与准线 ＝一 相切 ；
Ｂｍ
ｇ
Ｐ Ｊ （ （ ＋ ， Ｑ（ 卜 ＝＋ ＋ 卜 等 １
易 知被 开方 数可看 作 关于 ｘ Ｘ 的二 次 函数 ， 由 —ｏ 二次 函数 的性 质可 得 Ｐ Ｑ的最 小值 是 ：
Ｐ ． ＝
￣Ｉ Ｉ Ｐ ＝ Ｑ
＝
厮
＝『－ｍ － ２ 、 Ａ ２ Ｂ ｍ
一
Ｙ ＝２ ｘ的焦 点 的一 条直 线和 此抛物 线相 交 ； 个交 ｐ 两
问题 是数 学 的 “ 心脏 ” ，随 着 课 标课 程 理 念 的 深
入 ，对于数 学 问题 ，应让 学 生“ 会探 究” 学 ，在 探究 过 程 中 ，寻求 知识 的联系 、 方法 的整合 、规 律 的发现 ， 领悟 数 学解题 “ 八方 联系 ，浑 然一 体 ；漫江 碧透 ，鱼 翔 浅底” 的意境 ，真 正使 学 生的数 学 思维在 问题 探 究
（） Ｚ Ｏ ５ Ａ Ｂ为钝角 ；
率不存在情况的证明 （ 事实上，当斜率不存在时 ，
，
设 ｘ ｘ ＝Ｐ， Ｙ ０ —ｏ —Ｙ ＝ｑ，
联上 个子：一＝ ’ 立面 式 １ 。 两 得Ｊ ｇ 和 一 ｐ＝ ｍ ＋
— —
不 妨假 定 Ｂ≠０，上式变 形得 ：
ｍ
Ａｍ
ｙ Ｙ 一 －（ ｘ） ’ － ｏ ｄ 卜 ｏ一
解 之得 ：
ｐ 丽
一ห้องสมุดไป่ตู้
探究一道课本习题,解决一类求角问题
点评
本题 以棱 锥 为载体 考查 利用 相关 知识 解决
实际 问题 的能力 ， 考查求 解二 面角 的一般 方法． 题若 本 用定义法或 向量法求解 ， 维想象要 求较高 ， 思 过程复杂 ，
而挖掘 出条件 中有两个 面垂 直 ， 利用本 文探究结 论可简 便计算 ， 过程简洁．
（ 在 三面角 Ｂ—Ａ Ｆ中 ， Ｆ Ｂ上面 Ａ Ｄ， Ⅲ） Ｄ 面 Ａ Ｂ 为方 便记 ＬＦ Ｄ＝ ， Ａ Ｄ：０ ， Ｂ ． Ｂ ０ＬＢ ｌ ＬＦ Ａ：
删 。 高 ‘志 一 ｃ ｏ ｓ 譬
‘
由本 文结论得 ｓ ６ ￣ ￥１／ ｉ０￣ １ ｎ
＾ 、＾
．
万 ｏ ， Ｉ
＋１
亍 ，
究发现 ， 有简 洁漂亮的结论 ， 对求解二面角十分方便． 事实上 ， 图１ 在 中由于 Ｏ Ｂ上面 Ａ Ｃ Ｂ ＩＡ ， Ｂ ， Ｃ Ｃ 由三垂 线定 理 可知 Ｏ Ｂ为二面角 Ｄ Ｃ Ｃ 一 的平 面角 记为
（ 设二 面角 Ａ— Ｄ—Ｃ为 Ⅱ） Ｂ
图２
在 ｄ内的射影 ，Ｂ垂直于 ａ于点 Ｂ，Ｃ是 Ｏ内的任 Ｏ Ａ ｔ
一
６ 。求 ＢＣ与平面 Ｂ Ｄ所成 的角 的大小． ０， 。 Ｃ
解 （Ｉ） 略．
直线 ，Ｂ和 Ａ Ａ Ｃ所成 的角为 ０ ， Ｏ与 Ａ ２Ａ Ｃ所成 的角 为
０且 Ｂ ＪＡ ， ， Ｃ ＿ Ｃ 垂足为 Ｃ 在 图 １中， 点 Ａ有 三个 两两 相 交 的平 面 即平 面 过
ｃ ｓ 。＝ ｏ Ｏ ， ｏ ０＝ Ｃ Ｓｃ ｓ ￣＝ ｃｓ Ｏ ｌｏＯ
ＡＥ Ｂ Ｆ所 在 平 面 互 相 垂 直 ， Ａ Ｅ是 等腰直 角三 角形 ，Ｂ Ｂ Ａ
＝
Ａ ，ＦＡ ＝ ＦＥ ， Ｅ
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一道课本习题的探究
江西省吉安师范学校杨文光(343000)
习题已知数列{}n a 的第1项是1、第2项是2、以后各项由12n n n a a a =+(3n ≥)给出，写出这个数列的前5项．(人教社2003年6月第1版的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)110P )
问题能否求出这个数列的通项公式？解析设112()n n n n a pa q a pa +=+，与n a =
1
2
n
n
a a +比较系数，得
112515151
()222n n n n a a a a ++=+.或1152
n
n a a +=1
215
15
()22
n
n a a +，从而有11515151
()222
n n n n a a a a +++=+(2n ≥)①或1
11515
15
()222
n n n n a a a a +++=(2n ≥)②．对于①，因215153
22
a a ++=，故数列151
{}2
n n a a ++
是首项为53
2
+，公比为(51)/2+的等比数列，
于是有1
1515351()222
n n n a a ++++=③；
对于②，同理可得
1
n a +1
153515()222
n n a +=④．由③－④，得1
11
1
(51)(1
5)522n n n n n a +++++=
，
故所求数列的通项公式为
11
1
(15)(15)52n n n n a ++++=．
练习
1(人教社2003年6月第1版的全日制普通高级中学教科书(必修)《数学》第一册(上)135P 复习参考题A 组5(1)的改编题)在数列{}n a 中，11a =，
22a =，212n n n a a a ++=+，求它的通项公式．
(答案：(12)(12)22
n n
n a +=
．)
2(2005年高考广东卷)已知数列{}n x 满足
21/2x x =，1
2()/2n n n x x x =+，3,4,n ="，若lim n
x x →∞
2=，则1x =(
)
A ．3/2
B ．3
C ．4
D ．5
(提示：由12()/2n n n x x x =+，得1/2n n x x +=
1
2
/2n
n
x x +，于是1/2n n x x +=1
2
/2n
n
x x +="=
211/2x x x +=．所以11lim(/2)n n x x x x →∞
+=．
即1lim n x x x →∞
=+1lim /23n x x →∞
=．故选(B)．)
用矩阵法求平面的法向量
福建省漳州市立人学校
林明金(363000)
高中数学课标教材选修2—1第三章主要介绍用向量法解决立体几何中点、线、面的问题．从3.6节以后研究直线与平面、平面与平面的位置关系及夹角、以及点与面的距离都是借助平面的法向量来求解，而教材中介绍求平面的法向量都是采用待定系数法．如何让学生快速、高效地求出平面的法向量，
无疑十分重要．笔者在教学实践中引导学生采用矩阵法求平面的法向量，取得了明显的效果：省时，高效，易求．1引例
例1(湘教版P 123页练习题1)已知平面内有三个点(,3,)、(,,)B 、(6,3,)，求平面的一个法
44福建中学数学2008年第2期
21A 4127C。