一元一次方程应用(工程,行程问题)

A 相距路程 B
相遇
分析：此题属于追及问题，等量关系为： 相距路程+慢车路程＝快车路程 解：出发x小时后快车追上慢车，则依题意可得： 448+60x＝80x 解得：x=22.4 答：出发22.4小时后快车追上慢车。
例5、甲骑自行车从A地到B地，乙骑自行车从B地到A地，两人都 匀速前进。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相 距36千米，到中午12时，两人又相距36千米。求A、B两地间的路 程。（活页P102） 36 A B 10时 10时 36 A B 12时 12时 解法 1 ：设两地相距x千米，则二人的速度和可表示为 解法 2 ：设甲、乙两人的速度和为 x千米/小时，则A、B两地 x-36 x+36 间 千米 / 小时，或 2 4 千米/小时，可列方程得 路程为(2x+36)千米，而10时到12时，两人的路程和 x-36 x+36 = 为 2× 2x=72 236＝72千米，故可得 4 解得： x=36 解得： x=108
甲
甲、乙合做
例2
整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一部
分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作.假 设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
1 人均效率(一个人做1小时完成的工作量)为 40
分析：
.
由x人先做4小时,完成的工作量为
8 x ( x 2) 40
分析：若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量 关系为：吉普车先行的路程+吉普车后行路程+客车 的路程＝1500
解：设客车开出x小时后两车相遇，依题意可得 60× 2 +60x+（60÷1.5）x=1500 3 解得：x=14.6 答： 14.6小时后两车相遇。
行程问题-——相遇问题
关系式：甲走的路程+乙走的路程＝AB两地间的距离
解：设船在静水中的平均速度为x千米/小时，则船顺水的速 度为(x+3)千米/小时，而逆水的速度为(x-3)千米/小时。
则依题意可得：
2（x+3）=2.5（x-3） 解得：x=27 答：该船在静水中的速度为27千米/小时。
行程问题-——航行问题
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每 小时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米， 问： （１）两车同时出发，相向而行，出发后多少小时相遇？ （２）两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出后多长时间 相遇？ （３）两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间快 车追上慢车？
解：设具体应先安排x人工作，则依题意可得：
1 1 x 4 ( x 2) 8 1 40 40
解得：x=2 答：应先安排2人工作。
探究2：行程问题
行程问题中的基本关系量有哪些？ 它们有什么关系？
路程
速度
时间
= = =
速度
路程
× 时间
÷ 时间
÷ 速度
路程
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而行， 其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍． ①几小时后两车相遇？ ②若吉普车先开40分钟，那么客车开出多 长时间两车相遇？
所以， 2x+36=108 108千米。 答：A、 B两地的路程相距
课堂小结：
1、今天我们学习了哪些知识？
问题1：工程问题
工作量=工作效率×工作时间
问题2：行程问题
（1）相遇问题（2）追及问题（3）航海问题
2、今天学习了哪些数学方法？
画图分析法：画扇形统计图分析工程问题 画线段分析行程问题
练一练
船从A到B花的时间(顺水)+船从B到C的时间(逆水)＝9 解：设A、B之间的距离为x千米，则依题意可得： x x-15 =9 + 解得：x=60 7.5+2.5 7.5-2.5 答：A、B之间的距离为60千米。
A
15千米
逆水
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
甲
相 遇
丙
40分钟
乙
分析：若两车同时出发，则等量关系为：
吉普车的路程+客车的路程＝1500
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍． ①几小时后两车相遇？
分析：若两车同时出发，则等量关系为：
吉普车的路程+客车的路程＝1500
例2 甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑6.5 米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？
A 起 点
B
7x米
C 相 遇
6.5米
6.5x米
分析：等量关系：乙先跑的路程+乙后跑的路程＝甲跑的路程
例2 甲、乙两名同学练习百米赛跑，甲每秒跑7米，乙每秒跑 6.5米，如果甲让乙先跑1秒，那么甲经过几秒可以追上乙？ 解：设甲经过x秒后追上乙，则依题意可得 6.5×（x+1）＝7x 解得：x=13
甲
相 遇
丙
40分钟
乙
分析：若吉普车先出发40分钟(即2/3小时)，则等量 关系为：吉普车先行的路程+吉普车后行路程+客车 的路程＝1500
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍． ②若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
答：出发3.2小时后，两车相遇。
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发， 每小时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米， 问： （２）两车相向而行，慢车先开28分钟，快车开出后多长时间 相遇？ 画图分析 A 先走28分钟 相遇 B
分析：此题属于相遇问题，等量关系为： 慢车先行路程+慢车后行路程+快车路程＝相距路程
4x 40
.
再增加2人和前一部分人一起做8小时,完成的 工作量为 .
这项工作分两段完成,两段完成的工作量之和 为 1 .
例2
整理一批图书,由一个人做要40小时完成.现在计划由一
部分人先做4小时,再增加2人和他们一起做8小时,完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作?
工作量＝1人效率×人数×时间
解：设两车x小时后相遇，依题意可得
60x+（60÷1.5）x=1500
解得：x=15 答：15小时后两车相遇。
例1 甲、乙两地相距1 500千米，两辆汽车同时从两地相向而 行，其中吉普车每小时行60千米，是另一辆客车的1.5倍． ①几小时后两车相遇？ ②若吉普车先开40分钟，那么客车开出多长时间两车相遇？
一元一次 方程应用 ( 二)
工程问题 与 行程问题
探究1：工程问题
1.一件工作，若甲单独做2小时完成，那么
1 甲单独做1小时完成全部工作量的2
.
2.一件工作，若甲单独做a小时完成，则甲单独做
1小时，完成全部工作量的
工作量的
m a
1 a
,m小时完成全部
.a小时完成全部工作量的 1 .
3．一件工作，若甲单独做7天完成，乙单
解：设甲、乙合做 x小时后完成该项工作， 分析：甲独做20小时完成该项工作，则 依题意可得 甲每小时可做总工作量的1/20，而乙独 做12小时完成该项工作，则乙每小时可 1 1 1 4 1/12 ( 。这就是甲、乙两人 )x 1 做总工作量的 20 20 12 的工作效率。等量关系是： 解得：x=6 答：剩下的部分由甲、乙合做6小时完成该项工作。 甲效×甲做的时间+甲、乙合做效率×合做时间＝1
1、期中考查，信息技术课老师限时40分钟要求每位七年级学生打 完一篇文章．已知独立打完同样大小文章，小宝需要50分钟，小
贝只需要30分钟．为了完成任务，小宝打了30分钟后，请求小贝
帮助合作，他能在要求的时间打完吗 ? 解：设小宝打完30分钟后，请小贝合作x分钟后，打完全文， 则依题意可得： 1 1 1 × 30+( + 50 50 30 )x=1
解得：x=7.5
故小宝总共用了：30+7.5=37.5分钟<40分钟。 答：小宝能在要求的时间内打完。
2、 运动场的跑道一圈长400m，甲练习骑自行车，平 均每分骑350m，乙练习跑步，平均每分跑250m．两
人从同一处同时同向出发，经过多少时间首次相遇？
分析：圆形跑道中的规律： 快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝1圈(第1次相遇) 快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝2圈(第2次相遇) 快的人跑的路程－慢的人跑的路程＝3圈(第3次相遇) ………. 解：设经过x分钟首次相遇，则依题意可得 350x-250x=400 解得：x=4 答：经过4分钟甲、乙相遇。
独做5天完成，甲、乙合做一天完成全部
12 工作量的 35 .甲、乙合作2天完成全部 24 工作量 35 ,甲、乙合作x天完成全部工
作量的
12 x 35
.
4．工程问题中涉及三个量：工作量、工作效
率与工作时间．它们之间存在怎样的关系？ 工作量=工作效率×工作时间
例1 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时 完成．现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合 做，需要几小时完成？
答：甲经过13秒后追上乙。
行程问题-——追及问题
关系式： （快行速度－慢行速度）×追及时间＝相距路程
例3
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；从乙码
头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流速度是3千米/ 时，求船在静水中的平均速度．
顺水航行速度= 水流速度 +静水航行速度．
逆水航行速度=静水航行速度－水流速度．
解：设快车开出x小时后两车相遇，则依题意可得： 28 60× 60 +60x+80x=448 解得：x=3 答：快车开出3小时后，两车相遇。
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每小 时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米，问： （３）两车同时、同向而行，如果慢车在前，出发后多长时间快 车追上慢车？ 画图分析 快车行驶路程 慢车行驶路程
3、某船从A码头顺流而下到B码头，然后逆流返回C码头（C码
头在AB之间），共行9小时，已知船在静水中的速度为7.5千米/
时，水流速度是2.5千米/时，A、C两码头相距15千米，求A、B
之间的距离．
顺水
C 分析：船在顺水中的速度为（7.5+2.5）千米/小时，船在逆水 中的速度为（7.5-2.5）千米/小时，等量关系：
例4、A、B两站间的路程为448千米，一列慢车从Ａ站出发，每 小时行驶60千米，一列快车从Ｂ站出发，每小时行驶80千米，问： （１）两车同时出发，相向而行，出发后多少小时相遇？ 分析：此题属于相遇问题，等量关系为： 慢车路程+快车路程＝相距路程 解：设出发后x小时两车相遇，则依题意可得：
60x+80x=448 解得：x=3.2