福建省邵武市第七中学高中数学311空间向量及其加减运算教学案 新人教A版选修21

3.1空间向量及其运算 3.1.1空间向量及其加减运算●三维目标知识
与技能 1.初步应用空间向会用图形说明空间向量的线性运算及其运算律，理解空间向量的概念，量的线性运算解决简单的立体几何问题．．过程与方法2经历向量及其运算学生通过类比平面向量的学习过程了解空间向量的研究内容和方法，由平面向空间的推广，体验数学概念的形成过程． 3．情感、态度与价值观培养学生的空间观念和系统学习概念的意
识．
●重点难点重点：空间向量的概念及线性运算．难点：共线向量、共面向量定理及推论的应用．●教学建议由平面向量向空间向量的推广过程中，学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困紧紧围绕空本节可采用的教学方式是通过问题启发引导学生自主完成概念的探究过程，难，过程的每个环节入手，多举实间向量的概念及线性运算这一教学重点展开教学，并从教学
例，努力突破教学难点．●教学流程观察正方体过同一顶点的三条棱所表示的向量与以前学习的向量有什么创设问题情境：?.类比平面向量引出空间向量的定义、相关概念以及线性运算
法则及运算律.不同??通过向量的线性运算得出空间向量共线、共面定理及其推论.?及其变式训练，使学生掌握空间向量及有关概念.通过例1巩固向量共线、共面的及其变式训练，使学生掌握空间向量的线性运算问题.?通过例2.法方?断面、共量决而，训变及例3成，条件完例、4其式练从解向的线共判归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.? 1
.完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正
空间向量的概念【问题导思】
→→→它们和以前所学的向OC，OA，OB，观察正方体中过同一个顶点的三条棱所表示的向量量有何不同？→→→是不同在一个平面内的向量，而我们以前所学的向量都在同一平，OCOA，OB 【提示】
. 面内
空间向量的线性运算【问题导思】
1．平面向量的加、减法满足怎样的运算法则？平面向量的加法满足三角形法则与平行四边形法则，减法满足三角形法则．【提示】．平面向量中，数乘向量怎样定义的？2aλa仍是一个向量，称为向量的数乘；当平面中，实数【提示】λ与向量的乘积λaλaλaλλaλaa|时， 0＞时，当与方向相同，＜0|与方向相反，的长度是的长度的倍． 2
1)
－．1(1)空间向量的加、减法运算(如图3－1
1
－图3－1→→→→→→ba AB b CAOAOC a OBOA.
＝＋＝；＝＋－＝－
abab运算律：①(2)＋＋；＝cabcab＋(＋)．＝＋②(＋) ．空间向量的数乘运算2aλaλ定义：实数(1)的乘积与空间向量仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．aaλbλλμμaaλbλ. ＋)；②)(＋＝)(＝(2)运算律：①( 共线向量与共面向量 1.共线向量定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线(1)向量或平行向量；
abbabλ的充要条件是存在实数(∥≠0)，(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量，
aλb.
使＝2．共面向量
(1)定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
abpab共面的充要条件是共面向量定理：若两个向量(2)与向量，，不共线，则向量xy p x a y b.
(存在唯一的有序实数对，)，使＋＝→→PABCxyAPxAB＋，使空间一点推论位于平面内的充要条件是存在有序实数对(，)＝ 3
→→→→→yACxAByACOOPOA.
；或对空间任一定点＋，有＋＝
空间向量的有关概念给出下列命题：
①零向量没有确定的方向；
→→ABCDABCDACAC；中，②在正方体—＝111111abab的方向相同或相反；的模相等，则③若向量与向量，→→→ABCDABADAC. ④在四边形＋中，必有＝
其中正确命题的序号是________．
【思路探究】 (1)空间向量中，零向量是怎样定义的？(2)怎样判断两个向量相等？(3)→→→ABCDABADAC？＋四边形＝满足什么条件时，才有→→ACAC ab|||的大小和方向均相同；③，不①正确；②正确，因为【自主解答】 |与＝11ab ABCD是平行四边形时，才与的方向不能确定；④中只有当四边形能确定其方向，所以→→→ABADAC.
有＋＝综上可知，正确命题为①②.
【答案】①②
4
1．在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同．
2．由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这
两点来解决．
3．零向量是一个特殊向量，其方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递
性．
下列命题是假命题的为________．
(1)空间向量中的两个单位向量必相等；
abbcac；若空间向量满足，则∥，∥∥(2)ababab|； |(3)空间向量＝、满足|＝，则|abcabbcac. 若空间向量(4)，，满足＝，＝，则＝ 5
b若(1)单位向量模相等，方向不一定相同，故两单位向量不一定相等；(2)【解析】
(4)(3)正确；正确，相等向量满足传递性．＝0，则结论不成立；(1)(2)
【答案】
空间向量的线性运算所示，在平行六面体1－2 如图3－→ABNADDADABCDABCMAC＝设的三等分点(靠近—)点中，为(的三等分点靠近)点，．是11111→→→MN cacba ADAA b.
，，＝表示，试用，，＝1
2
1－－图3运用加、减、数→错误!→【思路探究】结合图形乘的运算法则 6
→→→→MNMAAAAN＋【自主解答】＋＝1112→→→ACAAAD＋＋＝－113312→→→→→ABADAAADAA)
＋＋()＋－＝－(113312abcbc)
()＋－＝－(＋＋33111abc.
＋＝－＋3331．空间向量的线性运算法则与平面向量相同，在空间向量的加法运算中，如下事实常帮助我们简化运算：
(1)首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，求若干个向量的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和；
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0.
2．利用向量的数乘运算可以判定两个向量共线、三个向量共面问题，进而解决几何中的点共线、点共面、线面平行等问题.
1．下列说法正确的是( )
abab＜|A．若|，则|＜|abab＝为相反向量，则B．若0 、＋C．空间内两平行向量相等
→→→ABCDABADDB D．四边形－中，＝【解析】向量的模有大小，但向量不能比较大小，A错；相反向量的和为0，不是0，B错；相等向量满足模相等，方向相同两个条件，平行向量不一定
具备，C错；D正确．
【答案】 D
ab,2ab，它们一定是( －2．对于空间中任意三个向量，)
A．共面向量
B．共线向量
C．不共面向量
D．既不共线也不共面向量
【解析】由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
abab)＝3(2．3(＋)－－________.
7
baabab. 【解析】＋2＋－32＋原式＝35＝－ba5＋【答案】－2ACMCDABCDAB′′的中点．′－8，在长方体′中，—化简下列各式．′为14．如图3－
－8图3－1
→→CBAA(1)′－；→→→DCABBC′＋；′＋′′′(2)111→→→AABAAD. －＋′(3)222→→→→→→→ADAAAACBAABCAD′＋＝【解】 (1)′－′＝；′＋＝′′→→→→ADCCDABB；(2)′′＋＝′′＋′′11111111→→→→→→→→→→→ADABAAADABAAADABAAACAM. ′′＋)′＝(＋(3)＋＝－′＋＝＋＝22222222一、选择题
→→→→ABCABCCAaCBbCCcAB等于＝，则中，若9131．如图－－所示，直三棱柱—＝，＝，11111( ) 8
9
－1－图3ccabab－．＋ A．＋B－
cababc＋．－＋－ C．－＋D→→→→→→caCACBCCCAbacbABCB. ＝－(－＋)－)＝＝－－(【解析】如题图＋＝＋111D
【答案】
→→→bbBCaCDabbaABa) ( ＝－56＋，，＝2．已知向量、7，且则一定共线的三点是＝2＋－，
2CABDBA、．．AB、、、DABCDC．CD、．、、、→→→→→bABbCDaababBAaBCBD 2＋6＋7＝－－22＝＝－＋4，，【解析】－＝＋5＝－→→BABD 2∴，＝－→→BBDBA与，∴共线，又它们经过同一点DBA、∴三点共线．、A
【答案】
131→→→→OCOPOAOBOABC，＝不共线，对空间任意一点＋，若3．(2013·厦门高二检测)、＋、848
CBPA)
、( 四点则、、 A．不共面 B．共面 D．无法判断C．不一定共面113【解析】∵＋＋＝1， 488 9
PABC四点共面．、、、∴点【答案】 B
→ABCDABCDBD的是( 4．在正方体) —中，下列各式中运算结果为11111→→→→→→ADAAABBCBBDC；＋ )－)；②①((－－111111→→→→→→ADABDDBDAADD. －2－；④(③()－＋)11111A．①② B．②③
C．③④ D．①④
→→→→→→ADAAABADABBD；－)【解析】对于①( ＝－＝－11111→→→→→→→→BCBBDCBCDCBCCDBD；＝＋－－＝对于②(＝＋)1111111111→BD. ③④化简结果不为1【答案】 A ABCDABCDEFG，，中，，如图5．(2013·佛山高二检测)3－1－10，在平行六面体—1111HPQAAABBCCCCDDA 的中点，则，( ，，，，，，分别是)
111111
图3－1－10
→→→EFGHPQ＝A.＋＋0
→→→EFGHPQ＝－B.0 －→→→EFGHPQ＝0
C.＋－ 10
→→→EFGHPQ ＝＋－0
D.→→→→→→EFGHPQEFGHPQ ＝＋、＋、0. 平移后可以首尾相接，故有：【解析】 由图观察，【答案】 A 二、填空题
→→→→ABCDABCDABADAADB ＝中，用表示6．平行六面体、—________. 、111111
→→→→→→→→
→→→DBBDBABCBBABBCBBABADAA . －＝－(－＋－＋－)＝【解析】 ＝＝－
11111
→→→ABADAA －【答
案】 －1
→→ee AB e k e CB ＝＝27．(2013·临沂高二期末)设，、＋是空间两个不共线的向量，已知
2112
→kDAB e CD eee ________.
，、＝2三点共线，则－、，且＋3＝2112
→→→eee CD eee BDBC )3＝)＋【解析】 ∵(2＝4＋－＝(－
－－
221121
→→BDAB λABD 、＝又∵、，三点共线，∴e λee k e )
＋(4＝－即2
2121
λ＝2??k ＝－8.
∴∴?λk 4＝－??【答案】 －8
2
λμe λea λe μeee ＋不共线，若R ＝，与，且＋8．已知两非零向量∈、，且(2111222
μ≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．
aeaeaee 共面．①共线；③与，共线；②与与 2211
λa μeae μae 共线，由0与时，共线，同理当【解析】 当＝0时，与＝＝，故212a λe μeaee 共面． 知，＝、与＋2211
【答案】 ①②③ 三、解答题
ABCDPABCDPABCD 上的射影恰好是正是9．已知所在平面外一点，为正方形，在平面
ABCDOQCDxy 的值．
，、是 方形的中心的中点．求下列各式中→→→→OQPQxPCyPA ； (1)＋＝＋→→→→PAxPOyPQPD . (2)＝＋＋ 11 【解】
如图所示，→→→POPQOQ ∵－＝(1)1→→→PAPCPQ ) ＝(－＋211→→→PQPAPC ，＝－－ 221xy ＝－＝∴.
2→→→→→→PAPCPOPAPOPC . ＝＋＝22，∴(2)∵－→→→→→→PCPDPQPCPQPD . 22，∴又∵－＋＝＝→→→→→→→PAPOPQPDPOPQPD . －2－)＝2＋从而有＝2－(2
xy ＝－2.
2∴，＝ABCDEFABCD 的中点，请判断11所示，在空间四边形中，、、分别是－－．如图1031→→→EFADBC 是否共线？ 与＋ 12
11
1图3－－11→→→→→→→BCADFGGFEGACEFADBCACGEG .
，∴＝、，取中点＝【解】 与，连结＋，共线，连结22→→→EFGFEG 、又∵共面，、111→→→→→→→BCADADEFBCGFEG )．＝＋＋＝＝(＋ ∴222→→→EFADBC 共线．即＋与 112ABCDABCDBEBBDFDDCGCCAEG ，—，，＝中，已知＝11．在长方体，，，那么＝
1111111
333
F 四点是否共面？
→→→ACABAD，由题意知＋＝【解】211→→→→→→DFDDCGCCBBBE. ＝＝＋＋＝111333→→→→→→→→→AFABCGACAGBEADAEDF.
＋＋∴＝＝＋＋＋＝13
→→AFAE又不共线，，FGAE四点共面．∴，，，
14。