第4章__梁理论与实例

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1. 3D真实描述 梁单元在空间上是一维的线单元，单元特性和截面属性是相互独立的， 通过指定截面编号，一维的梁单元就可以描述真实的三维空间结构，并 且ANSYS可以以三维的形式显示分析结果。ANSYS提供了11种常用的 截面形状，并允许用户定制截面形状，用户可以利用二维建模的方式创 建新截面，并可以把定制的截面形状保存在截面形状库中。 2. 变截面梁 ANSYS允许定义任意截面形状，允许单元的每一端具有不同的不对称几何 形状，并允许其端节点从梁的中心轴偏移。 3. 梁单元的预应力 ANSYS的梁单元可以考虑预应力产生的应力刚化效应。所谓应力刚化效应 对于梁单元来说就是轴向应力引起的垂直轴向的刚度变化。
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第四章
梁理论与实例
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4.1梁理论
4.2ANSYS梁单元 4.3位移函数推导梁单元的有限元格式 4.4梁结构的静力学分析实例
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不同的学者针对各种梁截面形状提出了多种修正方案，如对矩形 泊松比。在梁单元中引入剪切变形影响的方案有两种：
一种是在经典梁单元的基础上引入剪切变形； 另一种是建立挠度和截面转角各自独立插值的截面梁取，其中为 材料的梁单元。 虽然这两种方案都是基于 Timoshenko梁理论的，但人们常常习惯 于把后一种方案建立的梁单元称为 Timoshenko 梁单元。
B{ e }
应变（转换矩阵）
B y N1w
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N1
w N2
N2
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求应力-应变-节点位移的关系
e e
{ ( x, y)} E{ ( x, y)} E[ B]{ } [S ]{ }
S Ey N1w
机房纪律
1、穿鞋套方可进入机房； 2、将带进机房的生活垃圾，在下课后放回指定垃圾桶；
3、保持自己机器周围的的卫生；
4、上课期间严禁玩游戏，放学时请退出程序，关闭主机与 显示器；确认完全关机后，在离开机房！！
5、班长安排班级同学进行机房卫生清理。
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你可能 需要约束Y方向上的一个点 - 但这样做会在约束点位置产生 应力奇异..
，
w1 e { } { e } 1e z1 { 2 } w2 z 2
Fy1 M e { F } {F e } 1e z1 {F2 } Fy 2 M z 2



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4.1梁理论

杆件是指轴线(长度方向)尺寸远比横向(垂自于轴线方向)尺寸 大得多的构件。梁柱杆件是指同时承受弯矩(或横向力)和轴力
作用的构件，其中以承受弯矩为主的构件称为梁，而以承受轴 向压力为主的构件称为柱。所以，梁柱受力分析的理论基础是 相同的，均基于梁理论。梁理论一般分为 Euler-Bernoulli梁理 论和Timoshenko 梁理论两种。
在 ANSYS 中的6种梁单元 ( Beam3/ 4、beam23、beam54/44、beam24) 都可用定义实常数的方法按第一种方案考虑剪切变形的影响，而 直接应用方案二开发的则是beam188/ 189单元。
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4.2 ANSYS梁单元

ANSYS提供了多种梁单元库以适应不同的需要，它们的特点和适 用范围各不相同。了解这些单元之间的异同，有助于正确选择单 元类型和得到较为理想的计算结果。其中beam44为4-D 渐变非对 称截面梁，beam188和beam189为4-D有限应变梁，ANSYS的梁单 元在非线性分析方面具有先进性独特优势。
x12 2 x1 x
A
2 2
2 x2
x13 a1 2 3 x1 a2 3 a3 x2 2 a 3x2 4
{ e } [ A]a [ A]1{ e } a
w { ( x, y)} [ f ( x, y)]a f ( x, y)[ A]1{ e }
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如果你将整个左边边界的垂直自由度全部约束，可能会 更好些，但人为阻碍“泊松效应”（即，一个方向上的应
力引起其它方向上的应变），造成应力场局部失真。
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优化的基本知识
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基本概念
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4.3 位移函数推导梁单元的有限元格式

梁的有限元单元可以用直接刚度法和虚功原理两种。而杆的分析 主要采用直接刚度法，梁的分析主要采用虚功原理进行分析。下 面是对虚功原理的有限元分析的一般过程进行介绍。
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写出单元的位移、节点力向量
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w1 a1 a2 x1 a3 x12 a4 x13
2 3 w2 a1 a2 x2 a3 x2 a4 x2 2 2 a2 2a3 x2 3a4 x2
1 a2 2a3 x1 3a4 x12
w1 1 x1 1 0 1 w2 1 x2 2 0 1
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4. 复合材料截面 ANSYS可以定义任意几何形状由多个各向同性材料组成的横截面，可以 用来模拟层状复合材料梁，长纤维增强复合材料梁和传感器等。 5. 考虑剪切变形和翘曲的影响 ANSYS的梁单元基于Timoshenko梁理论，在平面假设的基础上可以考虑 剪切变形的影响。ANSYS的梁单元还可以考虑非圆截面梁扭转时产生 的翘曲影响，这时每个端节点有7个自由度，包括3个平动，3个转动和 一个翘曲自由度。Shell188和Shell189单元不仅能模拟直梁的弯曲剪切 响应，而且能模拟横向—扭转屈曲行为(特征屈曲和非线性崩塌)。 6. 支持非线性材料本构模型 ANSYS的梁单元支持弹性(线弹性和非线性弹性)，塑性和蠕变等材料本构 模型。
N1
w N2
N2
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节点力与节点位移关系
{ *e }T {F e } { *e }T [ B]T E[ B]dV { e } [ B]{ } E[ B]{ e }dV
*e T

* T
{ }dV
T
{F e } [ B]T E[ B]dV { e } y N1w
v ci x i
i 1 n
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求单元应变-单元位移-节点位移间的关系
2 3 2 3 2 3 2 3 3 x 2 x 2 x x 3 x 2 x x x { ( x, y )} yv y w1 1 2 3 1 x 2 w2 2 3 2 2 L L L L L L L L y w1 N1w 1 N1 w2 N 2 w 2 N 2
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求解得
w a1 a2 x a3 x 2 a4 x 3 w1 1 x
w1 a1 1 a 3 w1 w2 L 21 2 2 a3 L2 2 w1 w2 L 1 2 a4 L3
3 w1 w2 L 21 2 2 2 w1 w2 L 1 2 3 x x L2 L3 3x 2 2 x3 3x 2 2 x3 x 2 x3 2 x 2 x3 w1 1 2 3 1 x 2 w2 2 3 2 2 L L L L L L L L w1 N1w 1 N1 w2 N 2 w 2 N 2
2 l 0
N1
w N2 N1 w N2
(L x)2(L 2 x) f1 ; L3
(L x)2 x f3 ; L2
( 3L 2 x)x2 f 2 L3
( L x)x 2 f4 L2
形函数f1代表左侧节点的位移函数，f2代表右侧节点的位移函 数，f3代表左侧节点的斜率函数，f4代表右侧节点的斜率函数。
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Euler-Bernoulli梁理论即经典梁理论(也称工程梁理论)，建立在如 下假定的基础上:
1)变形前垂直于梁中心线的平截面，在梁受载荷而弯曲变形时仍然保 持为平面; 2)变形后的横截面仍垂直于中性层; 3)横截面上没有任何伸长或缩短，即这些平面为刚性平面。
a2 2a3 x 3a4 x 2 w 2 N2 w1 N1w 1 N1 w2 N 2
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w w1 N1w 1 N1 w2 N2 w 2 N2 w1 N1w 1 N1 w2 N2 w 2 N2
Euler-Bernoulli梁理论没有考虑横向剪切变形的影响，而对于短而 粗的梁，这个影响显然不应被忽略。

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Timoshenko梁理论正是针对这一问题而提出的。该理论仍然保留 了前面的基本假定，即平截面假定，但认为梁变形后由于横向剪 力所产生的剪切变形引起梁的附加挠度，使原来垂直于中面的截 面变形后不再与其垂直。值得一提的是，这种假定的存在实际上 暗含了剪应力和剪应变在截面上均匀分布的假定，这与截面实际 的剪应力及剪应变分布显然并不相符，因此通常的做法是引入不 均匀程度校正因子加以修正。
w1 N 2 1 w2 N2 2
w N1w N1w
N { e }
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N1 N1
N
N 2w N2w
型函数矩阵
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以形函数（Shape Function）为试探函数
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选择适当的位移函数
w a1 a2 x a3 x 2 a4 x 3
a2 2a3 x 3a4 x 2
w { ( x, y )} [ f ( x, y)]a a1 a 1 x x 2 x 3 2 2 0 1 2 x 3 x a3 a4
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在满足这些条件时，梁的弯曲变形可通过梁中心线的变形表示， 相当于可用一条空间曲线来代表一根梁。应用这种梁理论可大大 减少变量数目，简化计算工作量，一般情况下也能得到满意的结 果，因此，在实际中得到广泛应用。ANSYS中的弹性梁单元 Beam3/4、塑性梁单元beam23、非均匀变截面梁单元beam54/44及 薄壁塑性梁单元 beam24都是基于这一理论开发的。