第九章 杆件变形及结构的位移计算分析

b l
但最好的方法不是几何法，而是虚功法。其理论基础是虚功原理。
5.线性变形体系
计算位移时，常假定：1）荷载与位移成正比 σ=Eε；2）小变形；3）具有理想约束的体系；4） 荷载全部撤除后，由荷载引起的位移也全部消失。 即：线弹性体系。可用叠加原理。
结构力学中计算位移的一般方法是以虚功原 理为基础的。本章先介绍变形体系的虚功原理，然 后讨论静定结构的位移计算。
解 （1）求AB、BC段轴力
FNAB= 40kN（拉）
40kN
FNBC= -20kN（压）
A
（2）求AB、BC段伸长量
60kN
B 0.4m 0.4m
20kN C
l1
FNABlAB EA1
40103 0.4 200109 8104
m 1104m 0.1mm
l2
FNBClBC EA2
20103 0.4 200109 2.4104
180
M=200kNm
MB
G=80GPa
[]=0.3o
设计轴径d。
d 4 32T 180
G [ ]
4
32 200103 180 80 109 3.14 0.3 3.14
148mm
取 d 150mm
第二节 虚功原理 单位荷载法
一、结构位移 1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形和位移。
M x2 80N m
（2）变形分析
TA=120Nm TB=200Nm TC=80Nm
A
B
C
0.3m 0.3m
AB
M x1 lAB GI p
120 0.3
80109 0.0454
rad 1.12103 rad
32
BC
M x2 lBC GI p
80 0.4
80109 0.0454
的两种彼此无关的状态。
例如： W12=P1·△2
△ 状态1
FP
状态2
虚位移：与对应的力无关的位移，△→ FP 虚 力：与对应的位移无关的力， FP → △ 虚 功：彼此无关的位移与力的乘积， FP △
虚并不是没有的意思，而是做功的力与相 应的位移无关。
变形体平衡的必要和充分条件是：对任 意微小虚位移，外力所作的虚功总和等于 此变形体各微段上内力所作的变形虚功总 和。即：
l
ห้องสมุดไป่ตู้
l GI p
Tl
GI p
T 扭转角的正负与扭矩正负相同。
截面抗扭刚度，简称抗扭刚度。
例9-2 某机器传动轴AC如图所示，已知轴材料的切变
模量G=80GPa ，轴直径d=45mm。求AB、BC及AC间
相对扭转角, 最大单位长度扭转角。
解 （1）内力分析
AB段 BC段
M x1 120 N m
AB
76 .4l GI p
GI p 80109 2105 1012
BC
114.6l GI p
AC
76.4 114.6 2
80 2 102
1.4继3续 102 rad
例9-4 用刚度条件设计传动轴的直径
AM
解∶
T GI p
32T
Gd 4
32 200103
80 109d 4
W=Ｖ 称为虚功方程，式中：
W——外力虚功 V——内力虚功（虚应变能）
三、单位荷载法
1、位移计算公式的推导 单位力 P=1
位移状态
虚设单位力状态
1
△
du FNP
外力虚功
d w1 d
FQP MP
W 1
FN FQ M
内力虚功 Wi l FN d u FQ d w1 M d
得
l
FN
d
u
FQ
d
w1
M
d
单位荷载法求位移
2、各类结构的位移计算公式简化 ■刚架、梁：只考虑弯曲变形引起的位移
l
MM EI
[]
Tl / l
l GI p
T
GI p
轴的刚度条件为 T [ ]
GI p
例9-3计算轴的总扭转角
A
MA MA
B
MB MB
T 76.4Nm
解∶
A
B
AC AB BC
114.6Nm
C
MC MC
MA=76.4Nm
MB=191Nm
MC=300Nm
x Ip=2105mm4
C AB=BC=2m G=80GPa
变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。
2. 位移的分类
线位移：
角位移： A
(△A)
△Ay △Ax
绝对位移
相对位移
△CD= △C+ △D
△C C C′ P A
P
A
△Ay △A
□
△Ax
A′
A
△D D′ D
B
线位移 角位移
3. 计算位移的目的
（1）为了校核结构的刚度。
（2）结构施工的需要。
二、功和虚功
（一）功的概念
定义：一个不变的集中力所做的功等于该力的大小与其作 用点沿力作用线方向的分位移的乘积。
Ｗ=F△
△是力作用线方向的分位移
（二）实功与虚功
实功：力在本身引起的位移上作的功。
例如：
一个体系
力状态
W=
虚力功在：其它
因素引起的位移上作的
位移状态
功。力与位移是彼此无关的量，分别属于同一体系
△
（3）为分析超静定结构打
起拱高度
下基础。
a）荷载作用；
4、产生位移的原因主要有三种： b）温度改变和材料胀缩；
c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓
-t
+t
β
M FQ FN k d 2 w
κγε
d x2
不产生内力，
Δ
产生变形产生位移
不产生内力和变形 产生刚体移动
位移是几何量，自然可用几何法来求，如
rad 9.9412104 rad
32
AC AB BC (1.12 10 3 9.94 10 4 )rad 1.26 10 4 rad
max
M xmax GI p
120
80109 0.0454
3.726103 rad/m 0.213/m
32
2、圆轴扭转的刚度条件
轴的扭转在单位长度内不超过一定的限度。 在工程中是轴的单位扭转角不超过许用扭转角[] ，即
m 1.67104m 0.167mm
（3）AC杆总伸长
l l1 l2 (0.1 0.167)mm 0.067mm
二、圆轴的扭转角和刚度条件 1、扭转角的计算
扭转变形
R
dx
d
dx
d G
dA T
A
dA
dA
To
A l
T
Ip
T、G、Ip为常数
B
d T dx
GI p
d T dx
第九章杆件变形及结构的位移计算
第一节 直杆的轴向变形和扭转角 第二节 虚功原理 单位荷载法 第三节 用积分法求梁的变形 第四节 图乘法
第一节 直杆的轴向变形和扭转角
一、直杆的轴向变形
例9-1 阶梯形直杆受力如图所示，已知该杆AB段横截
面面积A1=800mm2，BC段, A2=240mm2，杆件材料的 弹性模量E=200GPa。试求该杆总变形量。