数学(人教a版)必修5配套：3.4.3基本不等式的实际应用(数学备课大师网为您整理)(14)PPT课

方法五：∵{an}为等差数列， ∴设Sn＝an2＋bn. ∴Sm＝am2＋bm＝30，S2m＝4m2a＋2mb＝100. 解得 a＝m202，b＝1m0. ∴S3m＝9m2a＋3mb＝210. 方法六：由 Sn＝na1＋nn2－1d， 即Snn＝a1＋(n－1)d2.
由此可知：数列Snn也成等差数列， 即Smm，S22mm，S33mm成等差数列． 由22Sm2m＝Smm＋S33mm，Sm＝30，S2m＝100，得 S3m＝210. 答案：C
解析：方法一：由 S17＝S9，得 25×17＋127(17－1)d＝25×9＋92(9－1)d. 解得 d＝－2. ∴Sn＝25n＋n2(n－1)·(－2)＝－(n－13)2＋169. 由二次函数性质，知：当 n＝13 时，Sn 有最大值 169.
方法二：先求出 d＝－2.∵a1＝25>0， 由aann＋＝1＝252－5－22nn－≤10≥，0， 得nn≤ ≥11321212， . ∴当n＝13时，Sn有最大值169. 方法三：由S17＝S9，得a10＋a11＋…＋a17＝0. 而a10＋a17＝a11＋a16＝a12＋a15＝a13＋a14，故a13＋a14＝0. ∵d＝－2<0，a1>0，∴a13>0，a14<0. 故当n＝13时，Sn有最大值． S13＝25×13＋13×213－1×(－2)＝169.
n＝1， n≥2
题型 1 等差数列的前 n 项和的性质及应用
【例 1】等差数列{an}的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100， 则它的前 3m 项和为( )
A．30
B．170
C．210
D．260
思维突破：(1)把问题特殊化，即令 m＝1 来解． (2)利用等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na1＋nn2－1d 进行求 解．
练习：已知等差数列{an}的通项公式为an＝－2n＋8，则{an} 的前 n 项和 Sn＝_n_(7_－__n_)__，Sn 的最大值为___1_2___．
【问题探究】
已知数列{an}前 n 项和公式为 Sn，首项为 a1，则该数列的
通项公式 an 与前 n 项和有什么样的关系式？
答案：an＝SS1n－Sn－1
【变式与拓展】 3．数列{an}是首项为 23，公差为整数的等差数列，且第 6 项为正，第 7 项为负． (1)求数列的公差； (2)求前 n 项和 Sn 的最大值； (3)当 Sn＞0 时，求 n 的最大值． 解：(1)由已知，得a6＝a1＋5d＝23＋5d＞0，
a7＝a1＋6d＝23＋6d＜0. 解得－253＜d＜－263. 又∵d∈Z，∴d＝－4.
方法四：由 d＝－2，得 Sn 的图象如图 D4(图象上一些孤立 点)，
图 D4 由 S17＝S9，知：图象的对称轴为 n＝9＋217＝13. ∴当 n＝13 时，Sn 取得最大值 169. 答案：169
求等差数列前 n 项和的最值，常用的方法： ①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②利用性质求 出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列的前 n 项 和 Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的 性质求最值．
【变式与拓展】
1．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＝9，S6＝36，
则 a7＋a8＋a9＝( B )
A．63
B．45
C．36
D．27
2．等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝2，S4＝10，则
S6＝( C )
A．12
B．18
C．24
D．42
题型 2 等差数列前 n 项和的最值问题 【例 2】 在等差数列{an}中，若 a1＝25，S17＝S9，则 Sn 的 最大值为________． 思维突破：利用前 n 项和公式和二次函数性质求解．
解析：方法一：取m＝1，则a1＝S1＝30，a2＝S2－S1＝70. ∴d＝a2－a1＝40，a3＝a2＋d＝70＋40＝110. 方S3法＝二a1＋：a由2＋已a知3＝，2得10. SSm2m＝＝m2am1＋a1＋m2mm2－21m2－d＝13d0＝，100. 解得 a1＝1m0＋m202，d＝m402. ∴S3m＝3ma1＋3m3m2 －1d＝210.
ma1＋am＝60，
①
方法三：由已知，得m3ma1a＋1＋a2am3m＝＝1020S， 3m，
② ③
a3m－a2m＝a2m－am. ④
由③－②及②－①，结合④，得S3m＝210.
方法四：根据上述性质知：Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差 数列，
故Sm＋(S3m－S2m)＝2(S2m－Sm)． ∴S3m＝3(S2m－Sm)＝210.
(3)借助等差数列的前 n 项和公式 Sn＝na12＋an及性质 m＋n ＝p＋q⇒am＋an＝ap＋aq 求解．
(4)根据性质：“已知{an}成等差数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n －S2n，…，Skn－S(k－1)n，…(k≥3)也成等差数列”解题．
(5)根据 Sn＝an2＋bn 求解． (6)运用等差数列求和公式 Sn＝na1＋nn2－1d 的变形式解 题．
(2)∵d＜0，∴数列{an}是递减数列．又∵a6＞0，a7＜0， ∴当n＝6时，Sn取得最大值为： S6＝6×23＋6×2 5×(－4)＝78. (3)Sn＝23n＋nn2－1×(－4)＞0， 整理，得 n(25－2n)＞0. ∴0＜n＜225. 又∵n∈N*，∴n 的最大值为 12.
题型 3 等差数列前 n 项和的实际应用
2．3.2 等差数列前 n 项和的性质
【学习目标】 1．掌握等差数列前 n 项和公式及其获取思路． 2．会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项 和ห้องสมุดไป่ตู้关的问题．
1．等差数列的最值 在等差数列{an}中，若 a1>0，d<0，则 Sn 存在最大值；若 a1<0，d>0，则 Sn 存在最小值． 2．等差数列的单调性 当 等 差 数 列 的 公 差 _d__>_0_ 时，数 列 为 递 增 数 列；当 ___d_<_0___时，数列为递减数列；当____d_＝__0___ 时，数列为常数 列．