1.3 算法案例
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89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0,
11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1,
可以用2连续去除89
=(22×2+0)×2+1
或所得商(一直到商为 0为止),然后取余数
[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求 最大公约数，如果两个数比较大而且根据我 们的观察又不能得到一些公约数，我们又应 该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与 6105的最大公约数?
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146
案例2 秦九韶算法
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x26x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法 运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解 决任意多项式求值问题,而且计算效率不高. n次多项式至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算
=((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法.
=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1
=((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
1.辗转相除法:
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
解：8251＝6105×1＋2146;
6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n）
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89
2 44 2 22 2 11 25
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
练习:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
那么二进制数与十进制数之间是如何转 化的呢?
例3:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数字与2
的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 规则计算出结果.
解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51.
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
公约数。 (12)
INPUT m, n IF m<n THEN
a=m m=n n=a
END IF
K=0
WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0
m=m/2 n=n/2 k=k+1
WEND
d=m-n
WHILE d<>n IF d>n THEN
m=d
思考：你能根据更相 减损术设计程序，求 两个正整数的最大公 约数吗？
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是 几可.使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数.
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个 数字,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0~9等10 个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应 10~15),十六进制的基数是16.
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一
+…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好 与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机 内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时, 先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再 把运算结果转化为十进制数输出.
算法分析：
• 第一步,输入多项式次数n、最高次项的系数an和 x的值
• 第二步,将v的值初始化为an，将i的值初始化为 n-1
• 第三步,输入i次项的系数ai • 第四步,v=vx+ai,i=i-1 • 第五步,若i>=0,则返回第三步，否则输出v
程序框图
开始
输入n,an,x的值 v=an i=n-1
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算
法，就是更相减损术. 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可
半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以 少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
翻译出来为：第一步：任意给出两个正数； 判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是， 执行第二步.
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数 （或这个数与约减数的乘积）就是所求的最大公
1.3 算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30 3 9 15 35
∴18和30的最大公约数是2×3=6.
先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所 得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起 来.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 十进制数一般不标注基数.
[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
变为求几个一次式的值
v5=v4x+7=534×5+7=2677 几个乘法
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 几个加法？
ELSE
m=n n=d
END IF
d=m-n
WENDபைடு நூலகம்
d=2 k*d
PRINT d END
辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,
思考 ：需不需要比较m，n的大小
不需要
程序框图
开始
输入两个正数m,n
r=m MOD n
m=n
n=r
否
r=0?
是
输出m
结束
练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723
的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? 秦九韶《数书九章》.
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数
减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7.
所以，98与63的最大公约数是7。
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。
辗转相除法求最大公约数算法： • 第一步,给定两个正数m,n • 第二步,计算m除以n所得到余数r • 第三步,m=n,n=r • 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则返回第二步
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
i>=0?
否
输出v
结束
i=i-1
v=vx+ai 输入ai
是
案例3 进位制
[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等.
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字与基 数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
再按照十进制数的运算规则计算出结果.
例4:把89化为二进制的数.
分析:把89化为二进制的数,需想办法将89 先写成如下形式
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的 一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值转化 为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算 的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法 运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大 提高了运算效率.
89=44×2+1, 44=22×2+0, 22=11×2+0,
11=5×2+1, 5=2×2+1, 2=1×2+0, 1=0×2+1,
89=44×2+1,
可以用2连续去除89
=(22×2+0)×2+1
或所得商(一直到商为 0为止),然后取余数
[问题2]:我们都是利用找公约数的方法来求 最大公约数，如果两个数比较大而且根据我 们的观察又不能得到一些公约数，我们又应 该怎样求它们的最大公约数？比如求8251与 6105的最大公约数?
〖研探新知〗
1.辗转相除法: 例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
分析：8251与6105两数都比较大，而且没 有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根 据已有的知识即可求出最大公约数. 解：8251＝6105×1＋2146
案例2 秦九韶算法
[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x26x+7当x=5时的值的算法,并写出程序.
程序 x=5
f=2＊x^5-5＊x^4-4＊x^3+3＊x^2-6＊x+7
PRINT f
END
点评:上述算法一共做了15次乘法运算,5次加法 运算.优点是简单,易懂;缺点是不通用,不能解 决任意多项式求值问题,而且计算效率不高. n次多项式至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法运算
=((11×2+0)×2+0)×2+1 ---除2取余法.
=(((5×2+1)×2+0)×2+0)×2+1
=((((2×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=(((((1×2)+0)×2+1)×2+1)×2+0)× 2+0)×2+1
=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20=1011001(2).
显然8251与6105的最大公约数也必是2146 的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251 的约数，所以8251与6105的最大公约数也是 6105与2146的最大公约数。
1.辗转相除法:
例1 求两个正数8251和6105的最大公约数。
解：8251＝6105×1＋2146;
6105＝2146×2＋1813; 2146＝1813×1＋333; 1813＝333×5＋148; 333＝148×2＋37; 148＝37×4＋0. 则37为8251与6105的最大公约数。
v1=anx+an-1,
v2=v1x+an-2,
v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见 vk的计算要用到vk-1的值. 若令v0=an,得
v0=an,
vK=vK-1x+an-k(k=1,2,……,n）
这是一个在秦九韶算法中反复执行的步 骤,因此可用循环结构来实现.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法:
2 89
2 44 2 22 2 11 25
这种求多项式值的方法就叫秦九韶算法.
练习:用秦九韶算法求多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x当x=5时的值.
解:原多项式先化为:
f(x)=2x6-5x5 +0×x4-4x3+3x2-6x+0
列表 2 -5 0 -4 3 -6 0
x=5
10 25 125 605 3040 15170
那么二进制数与十进制数之间是如何转 化的呢?
例3:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数字与2
的幂的乘积之和的形式,再按照十进制数的运算 规则计算出结果.
解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20
=1×32+1×16+1×2+1=51.
同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162
+1×161+6×160.
一般地,若k是一个大于1的整数,那么以k为 基数的k进制数可以表示为一串数字连写在一起 的形式 anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
公约数。 (12)
INPUT m, n IF m<n THEN
a=m m=n n=a
END IF
K=0
WHILE m MOD 2=0 AND n MOD 2=0
m=m/2 n=n/2 k=k+1
WEND
d=m-n
WHILE d<>n IF d>n THEN
m=d
思考：你能根据更相 减损术设计程序，求 两个正整数的最大公 约数吗？
“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是 几可.使用数字符号的个数称为基数.基数都是 大于1的整数.
如二进制可使用的数字有0和1,基数是2;
十进制可使用的数字有0,1,2,…,8,9等十个 数字,基数是10;
十六进制可使用的数字或符号有0~9等10 个数字以及A~F等6个字母(规定字母A~F对应 10~15),十六进制的基数是16.
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k.
k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1 注意这是一
+…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.
[问题3]二进制只用0和1两个数字,这正好 与电路的通和断两种状态相对应,因此计算机 内部都使用二进制.计算机在进行数的运算时, 先把接受到的数转化成二进制数进行运算,再 把运算结果转化为十进制数输出.
算法分析：
• 第一步,输入多项式次数n、最高次项的系数an和 x的值
• 第二步,将v的值初始化为an，将i的值初始化为 n-1
• 第三步,输入i次项的系数ai • 第四步,v=vx+ai,i=i-1 • 第五步,若i>=0,则返回第三步，否则输出v
程序框图
开始
输入n,an,x的值 v=an i=n-1
2.更相减损术: 我国早期也有解决求最大公约数问题的算
法，就是更相减损术. 更相减损术求最大公约数的步骤如下：可
半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以 少减多，更相减损，求其等也，以等数约之.
翻译出来为：第一步：任意给出两个正数； 判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是， 执行第二步.
第二步：以较大的数减去较小的数，接着把 较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继 续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数 （或这个数与约减数的乘积）就是所求的最大公
1.3 算法案例
案例1 辗转相除法与更相减损术
[问题1]：在小学，我们已经学过求最大公约数 的知识，你能求出18与30的最大公约数吗？
2 18 30 3 9 15 35
∴18和30的最大公约数是2×3=6.
先用两个数公有的质因数连续去除,一直除到所 得的商是互质数为止,然后把所有的除数连乘起 来.
注意:为了区分不同的进位制,常在数字 的右下脚标明基数,. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 十进制数一般不标注基数.
[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7表示7 个百,2表示2个十,1表示1个一,从而它可以写成 下面的形式:
3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写成什 么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.
=(((2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7 v3=v2x+3=21×5+3=108
=((((2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7 v4=v3x-6=108×5-6=534
变为求几个一次式的值
v5=v4x+7=534×5+7=2677 几个乘法
所以,当x=5时,多项式的值是2677. 几个加法？
ELSE
m=n n=d
END IF
d=m-n
WENDபைடு நூலகம்
d=2 k*d
PRINT d END
辗转相除法与更相减损术的比较:
（1）都是求最大公约数的方法，计算上 辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为 主;计算次数上辗转相除法计算次数相对较少， 特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区 别较明显。
（2）从结果体现形式来看，辗转相除法 体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损 术则以减数与差相等而得到.
2 5 25 121 608 3034 15170
所以,当x=5时,多项式的值是15170.
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
一般地,对于一个n次多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+……+a1x+a0. 我们可以改写成如下形式:
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0. 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1,
思考 ：需不需要比较m，n的大小
不需要
程序框图
开始
输入两个正数m,n
r=m MOD n
m=n
n=r
否
r=0?
是
输出m
结束
练习1：利用辗转相除法求两数4081与20723
的最大公约数. (53)
20723=4081×5+318; 4081=318×12+265; 318=265×1+53; 265=53×5+0.
[问题3]能否探索更好的算法,来解决任意多
项式的求值问题? 秦九韶《数书九章》.
f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7 v0=2
=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7 v1=v0x-5=2×5-5=5
=((2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7 v2=v1x-4=5×5-4=21
例2 用更相减损术求98与63的最大公约数. 解：由于63不是偶数，把98和63以大数
减小数，并辗转相减，
即：98－63＝35; 63－35＝28; 35－28＝7; 28－7＝21; 21－7＝14; 14－7＝7.
所以，98与63的最大公约数是7。
练习2：用更相减损术求两个正数84与72的最大
以上我们求最大公约数的方法就是辗转相 除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在 公元前300年左右首先提出的。
辗转相除法求最大公约数算法： • 第一步,给定两个正数m,n • 第二步,计算m除以n所得到余数r • 第三步,m=n,n=r • 第四步,若r=0,则m,n的最大公约数等于m;
否则返回第二步
[问题2]有没有更高效的算法?
分析:计算x的幂时,可以利用前面的计算结 果,以减少计算量,
即先计算x2,然后依次计算
x2 x, (x2 x) x, ((x2 x) x) x
的值. 这析计算上述多项式的值,一共需要9次乘 法运算,5次加法运算.
第二种做法与第一种做法相比,乘法的运 算次数减少了,因而能提高运算效率.而且对于 计算机来说,做一次乘法所需的运算时间比做一 次加法要长得多,因此第二种做法能更快地得到 结果.
i>=0?
否
输出v
结束
i=i-1
v=vx+ai 输入ai
是
案例3 进位制
[问题1]我们常见的数字都是十进制的, 但是并不是生活中的每一种数字都是十进制的. 比如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不同的 进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而 约定的一种记数系统，约定满二进一,就是二 进制;满十进一,就是十进制;满十六进一,就 是十六进制;等等.
k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字与基 数k的幂的乘积之和的形式,即
anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
再按照十进制数的运算规则计算出结果.
例4:把89化为二进制的数.
分析:把89化为二进制的数,需想办法将89 先写成如下形式
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
点评:秦九韶算法是求一元多项式的值的 一种方法.
它的特点是:把求一个n次多项式的值转化 为求n个一次多项式的值,通过这种转化,把运算 的次数由至多n(n+1)/2次乘法运算和n次加法 运算,减少为n次乘法运算和n次加法运算,大大 提高了运算效率.