初三特殊四边形辅助线规律

BCF 1 AEB 2
一、新知探索
例 1 已知，如图：在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF 与 MN 互相垂直平分，E、F、M、
N 分别为 AD、BC、BD、AC 的中点. 求证：AB=CD.
A
E
D
M
N
B
F
C
例 2.如图，已知：正方形 ABCD 中，E 是 BC 边上的一点，AF 平分∠EAD.
与 CF 交于 P 点。求证：AP=AB。 分析：F 为 AB 的中点，若延
长 CF 交 BA 延长线于点 K ，则有 CDF KAF , 故 AK=CD=AB, 再利用
2
例谈四边形中的辅助线
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证题。
8、把对角线交点与一边中点连结，构造三角形中位线
【例 8】 已知：如图（11）， ABCD 中，AN=BN, BE 1 BC ，NE 交 BD 于点 F。
在正方形ABCD中，AC BD, AO BO又BE // AC, AH BE
BO BE,四边形AOBH为正方形 AE AC AEH 30
AH AO 1 AC 2
BE // AC, AE // CF 四边形ACFE是菱形，AEF ACF 30
AC是正方形的对角线 ACB 45, BCF 15
S ABC
S ACD
1 AB BC 1 AD AC
2
2
1 3 4 1 12 5 36
2
2
2、 延长对边构造三角形 【例 2】 如图（2），在四边形 ABCD 中，
A 60, B D 90, BC 2, CD=3,
则 AB 等于多少？
分析： A 60, B 90, 如果延长 AD、BC 即可出现 30 角的直角三角形，
A
B
F
5
D
E
C
例谈四边形中的辅助线
6
初三特殊四边形辅助线规律
一般四边形常用的辅助线 1、连对角线构造三角形
【 例 1 】 已 知 ： 如 图 （ 1 ）， 在 四 边 形 ABCD 中 ，
AB=3,BC=4,CD=13,AD=12, B 90 .求四边形 ABCD 的面积。
分析：由 B 90 ，AB=3,BC=4,联想到连结 AC，利用勾 股定理解得 AC=5,又 AD=12,CD=13,由勾股定理的逆定理有
足，求证：DN= 1 （AD+BC）. 2
A
D
B
NC
2.如图，在正方形 ABCD 中，∠EAF=45°，AH⊥EF，垂足为 H，求证：AH=AB.
A
D
F
H
B
Eபைடு நூலகம்
C
3. 如图，在⊿ABC 中，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D，过 C 作 AD 的垂线，
交 AD 的延长线于点 E，F 为 BC 的中点，连结 EF，求证：∠FED=∠BAD.
5 延长边的转化
1
例谈四边形中的辅助线
【例 5】 如图（5），在六边形 ABCDEF 中 A B C D E F 120 。 求证：AB+BC=EF+ED。
分析：由题意知各角都为120 ，想到它的外角为 60 ，如果延长各边，能得 到等边三角形，又由求证 AB+BC=EF+ED 想到延长所涉及的边构成线段；当题中 涉及到120,60,45,30 等特殊角时，常想到把他们转化到特殊三角形中，如等 边三角形、直角三角形等。
3 求 BF:BD。
分析：N 为 AB 的中点，若连结 AC 与 BD
交于点 O，则 ON 为 ABC 的中位线，利用对
应线段成比例，则结论可证。
解：连结AC交BD于点O, 连结ON .。
四边形ABCD为平行四边形
AO OC, BO OD BD 2
AN BN
ON // 1 BC, BE BF 2 ON FO
x 8 3即 AB 8 3
3
3
例谈四边形中的辅助线
3、化为三角形和特殊四边形 【例 3】 在四边形 ABCD 中，AD=3, BC 3 3 ,BD=7,
BAD 120, ABC 90 . 如图（3），求： CD 的长 和 AB 的长。
4 连对角线转化 【例 4】 已知：如图（4），求证：
3
例谈四边形中的辅助线
分析：由 BE//AC,CF//AE,AE=AC 知四边形 AEFC
是菱形，连结 BD,作 AH BE 垂足为 H 点，根据正
方形的一些性质可以知道，四边形 AHBO 是正方形，
从而 AH AO 1 AC 1 AE ，可得 E ACF 30, BCF 15
2
2
证明：连结BD交AC于O，作AH BE交BE于H
6、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题 【例 6】 如图（8），已知点 P 是矩形 ABCD 内
一点，PA=3,PB=4,PC=5,求 PD 的长。 分析：利用已知条件，可过 P 分别作两组对
边的平行线，构造直角三角形借助勾股定理解决 问题。
7、延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形 【例 7】 已知如图（9），正方形 ABCD 中，E、F 分别是 CD、DA 的中点，BE
A B C D E F 360 分析：要证此六角只和为 360 ，想到四边形的内
角和为 360 ，故转化为一个四边形的四个内角，由图 很容易想到连结 BE。
证明：连结BE 1 C D, 1 CBE DEB C D CBE DEB A ABC C D DEF F A ABC CBE DEB DEF F A ABE BEF F 360
BE 1 BC 3
BE : ON 2 : 3, BF 2 FO 3
BF 2 BO 5
BF 1 BD 5
9、把以一边中点为端点的线段延长，构造全等三角形 【例 9 】 如图（12 ），过正方形 ABCD 的顶点 B 作
BE//AC, 且 AE=AC, 又 CF//AE。求证： BCF 1 AEB 。 2
从而把四边形问题转化为三角形只是解决。
解：延长 AD 交 BC 的延长线于点 G
ABC 90 , A 60
G 30
又 ADC 90
CG 2 CD 6 , BG BC CG 8
在 Rt ABG 中，设 AB x , 则 AG 2 x , BG 3 x 8
DAC 为直角，从而 S四边形ABCD SABC SACD 。
解：连结 AC ，在 Rt ABC 中， AC 2 AB 2 BC 2 3 2 4 2 25 CD 13, AD 12
AD 2 AC 2 CD 2
ACD 是直角三角形， DAC 90
S 四边形 ABCD
求证：AE=DF+BE.
A
D
F
4
BE
C
例谈四边形中的辅助线
例 3.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC（BC﹥AD），E、F 分别是对角线 BD、AC 的
中点.求证：EF= 1 （BC—AD） 2
A
D
EF
B
C
练习巩固：
1.如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AC⊥BD，过顶点 D 作 DN⊥BC，点 N 为垂