数项级数经典例题大全

第十二章数项级数1 讨论几何级数∑∞=0n n q 的敛散性.解当1||<q 时, ) ( , 11110∞→-→--==∑=n q q q q S n nk kn . 级数收敛;当1||>q 时, , =n S 级数发散 ;当1=q 时, +∞→+=1n S n , ) (∞→n , 级数发散 ; 当1-=q 时, ()n n S )1(121-+=, ) (∞→n , 级数发散 . 综上, 几何级数∑∞=0n n q 当且仅当1||<q 时收敛, 且和为q-11( 注意n 从0开始 ).2讨论级数∑∞=+1)1(1n n n 的敛散性.解用链锁消去法求.3讨论级数∑∞=12n nn 的敛散性.解设∑=-+-++++==nk n n k n n n k S 11322212322212 , =n S 211432221 232221++-++++n n nn , 1322212121212121+-++++=-=n n n n n n S S S 12211211211→--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+n n n , ) (∞→n . ⇒n S →2, ) (∞→n .因此, 该级数收敛.4、讨论级数∑∞=-1352n n n 的敛散性.解52, 5252352⋅>⇒=>-n S n n n n n →∞+, ) (∞→n . 级数发散.5、证明2-p 级数∑∞=121n n 收敛 .证显然满足收敛的必要条件.令21nu n =, 则当2≥n 时,有 ∑∑==+++<+-=+-+<+=+++pk pk p n n n n p n n k n k n k n u u u 11221 ,111))(1(1 )(1 | | 注: 应用Cauchy 准则时，应设法把式 |∑=+pk kn u1|不失真地放大成只含n 而不含p 的式子，令其小于ε，确定N .6、判断级数∑∞=11sinn n n 的敛散性.(验证0→/n u . 级数判敛时应首先验证是否满足收敛的必要条件)7、证明调和级数∑∞=11n n 发散.证法一(用Cauchy 准则的否定进行验证) 证法二(证明{n S }发散.利用不等式n nn ln 1 1211 )1ln(+<+++<+ . 即得+∞→n S ，) (∞→n . )注: 此例为0→n u 但级数发散的例子.8、考查级数∑∞=+-1211n n n的敛散性.解有 , 2 11 012222nn n n n <+-⇒>+- 9、判断级数()() +-+⋅⋅-+⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+)1(41951)1(32852951852515212n n的敛散性.解1 434132lim lim1<=++=∞→+∞→n n u u n nn n ⇒∑+∞<.10、讨论级数∑>-)0( 1x nxn 的敛散性.解因为) ( , 1)1(11∞→→+⋅+=-+n x n n x nxx n u u n n n n . 因此, 当10<<x 时,∑+∞<; 1>x 时, ∑+∞=; 1=x 时, 级数成为∑n , 发散.11、判断级数∑+nn n n !21的敛散性.注:对正项级数∑n u ，若仅有11<+nn u u ，其敛散性不能确定. 例如对级数∑n 1和∑21n , 均有11<+nn u u ，但前者发散, 后者收敛. 12、研究级数∑-+nn 2) 1 (3的敛散性 .解1212)1(3lim lim <=-+=∞→∞→nnn n n n u ⇒∑+∞<. 13、判断级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 和∑⎪⎭⎫⎝⎛+21n n n 的敛散性 .解前者通项不趋于零 , 后者用根值法判得其收敛 .14、讨论-p 级数∑∞=11n pn 的敛散性.解考虑函数>=p xx f p ,1)(0时)(x f 在区间) , 1 [∞+上非负递减. 积分⎰+∞1)(dx x f当1>p 时收敛, 10≤<p 时发散⇒级数∑∞=11n p n 当1>p 时收敛,当10≤<p 时发散,当0≤p 时,01→/pn , 级数发散. 综上,-p 级数∑∞=11n pn当且仅当1>p 时收敛.15、判别级数∑∞=>-1)0( ) 1 (n nnx n x 的敛散性.解当10≤<x 时, 由Leibniz 判别法 ⇒∑收敛;当1>x 时, 通项0→/,∑发散.16、设0n a →.证明级数∑nx a n sin 和∑nx a n cos 对)2 , 0(π∈∀x 收敛.证++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=⎪⎭⎫⎝⎛+∑= 2sin 23sin 2sin cos 212sin 21x x x kx x n kx n x n x n ) 21 sin() 21 sin() 21 sin(+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++，) 2 , 0 (π∈x 时，02sin ≠x ⇒∑=+=+n k x xn kx 12sin2) 21sin(cos 21. 可见) 2 , 0 (π∈x 时, 级数∑kx cos 的部分和有界. 由Dirichlet 判别法推得级数∑nx ancos 收敛 . 同理可得级数数∑nx a n sin 收敛 .17、若∑∞=1n na 收敛，证明∑∞=12n n n a 也收敛。

证明：由于∑∞=1n n a 收敛，因而，{}n a 收敛于0，故，存在N ，使得n>N 时，||1n a £，因而，n>N 时，221nn a n ≤， 故，由比较判别法得：∑∞=12n nna 收敛。

18、证明：若∑∞=--11||n n n a a 收敛，则}{n a 收敛。

证明：由于∑∞=--11||n n n a a 收敛，则由Cauchy 收敛准则，对0e >，存在N ，当n>N 时，对任意的正整数p ，成立11||||n n n p n p a a a a e +++--++-<L ，因而，11||||||n p n n n n p n p a a a a a a e ++++--?++-<L ，再次用数列收敛的Cauchy 收敛准则得：}{n a 收敛。

19、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=+1||11n n a 发散。

分析证明级数的发散性，首选工具是级数收敛的必要条件。

证明：由于∑∞=1n n a 收敛，故lim 0n n a ??=，因而，lim (1||)1n n a ??+=，故，∑∞=+1||11n n a 发散。

20、判断下列具体级数的敛散性1、0 , 111>+∑∞=a a n n ； 2、0, ][ln 11>∑∞=p n n p； 3、∑∞=-1!!)!12(n n n ； 4、∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+112n nn n ；5、∑∞=+110)!1(n nn ； 6、∑∞=122n n n 。

分析对具体的级数，按照判别敛散性的一般程序，先考察通项的极限，在通项极限为0的情形下，考虑比较判别法，常用的作为比较的级数的形式为11p n n ¥=å、1nn q ¥=å，通过对通项的结构分析，选择合适的对比级数，此时，已经学习过的数列的速度关系或阶的关系，有利于我们确定对比级数；对通项中含有n 幂次或n ！形式的级数常用Cauchy 判别法或D ’Alembert 判别法，更复杂的题目则需选用更精细的判别法。

解、1）、]1,0(∈a ，}11{na +不收敛于0，此时，级数发散；1>a 时，nn a a 111<+，由比较判别法得收敛。

2、分析结构，发现对比级数为11kn n ¥=å的形式，只需比较通项收敛于0的速度。

由于对任意的p >0,(ln )lim 0pn n n??=, 故，由比较判别法可知：11[ln ]pn n ¥=å发散。

3）、通项含有阶层形式，故采用比值判别法。

记(21)!!!n n u n -=，则121lim lim 211n n n nu n u n +?ギ+?+==>+， 故，该级数发散。

4）、由通项结构为n 幂次形式，采用Cauchy 判别法。

记()21nnn u n =+，则1limlim 1212n n n n ?+?==<+，故，由Cauchy 判别法知该级数收敛。

5）、由通项结构可知用D ’Alembert 判别法。

记(1)!10n nn u +=，则12lim lim 10n n n nu n u +?ギ+?+==+?，故，该级数发散。

6）、用Cauchy 判别法。

记22n n n u =，则1lim 2n ??=，故，该级数收敛。

21、判断下列具体级数的敛散性。

1）、2(1)21s i n n n n xdx xpp¥+=åò2）、∑⎰∞=-111n n dx xx3）、∑⎰∞=+11)1l n (n n dx x分析通项为积分形式的级数敛散性的判别，通常有3种方法：1、利用积分判别法，转化为广义积分的敛散性，此时通项常具有形式} { , 0)( , )(1n a a n a x f dx x f u n n>=⎰+递增趋于∞+。

2、直接计算积分转化为一般形式的数项级数。

3、通过对积分进行估计，用比较判别法判断，此时通项常具有形式⎰=na n dx x f u 0)(，其中}{n a 单减趋于0。

在上述3种方法中，常用1、3两种方法，这是考点。

解：1）、从类型看，适用于第一种方法。

此级数与广义积分⎰∞+πdx x x22sin 具相同的敛散性，由于21dx xp+?ò收敛，因而由比较方法，⎰∞+πdx x x22sin 收敛，故，该级数也收敛。

2）、典型的第3种方法处理的题型。

由于积分上限趋于0，考察被积函数在0点附近的性质，由于0→x 时，x xx ~1-，因而， ⎰⎰-=n n n ndx x dx xx u 123101~~1，故此级数应收敛。

上述可以视为结构特征分析，知道了结构特征，具体的验证方法可以灵活选 择，下面的方法属于直接比较法。

对充分大的n ，当n x 10<<时，211≤-x，故 231013420n dx x u n n =≤≤⎰， 且级数3121n n+?=å收敛，因而，原级数收敛。

当然，用比较方法的极限形式更直接，如 由于3022limn n t u nt?ギ-=022332t t ®==， 因而，原级数收敛。