第三章薄板理论
第三章 圆板的应力分析
且其它位移、应变和应力分量均与 无关，因而不存在扭矩。
根据中性面假设：uz0 0， r z0 z0 0 ；
直法线假设表明 rz很小，相应的变形可不计，即： rz 0 ；
互不挤压假设认为： z 0 。
因此，圆板在轴对称小挠度弯曲情况下，只有三个应力
分量 r , , rz。 r , 为弯曲应力，沿板厚线性分布， rz 与
6 t2
3
q
16
R2 r2
M
(#1)
z t 2
6 t2
3 q
16
R2
1 3 3
r
M d 2
0
图2-26 圆板的微体受力
M
M r
c 0：
dMr r
drd
M r rd
2M dr
d
2
Qr
r
dr 2
ddr
0
Mrdrd dMrrd Mdrd Qrrdrd 0
r
dM r dr
Mr
M
Qrr
或
drM
dr
r
M
Qrr
(2-56)
式(2-55、56)即为圆板轴对称弯曲问题的平衡方程，含
zz2t2t
3t6238t3216q qR2R2
131333r 2r2
M
显然，在板 中心挠度和 应力最大
wmax
wr0
5 qR4 641 D
r
zt r 0
2
zt 2 3 3
r 0
8t 2
qR4
(2-68) (2-73)
21
首页 下一页 目录 结束放映
均布载荷固支圆板
2πr
z
r
(b)
薄板理论基础学习
然后，取上式等号右侧的第二项，再对x作分部积分得：
a b a b 2 w w w w 2w 2w dx - dy 2 dxdy dy 2 2 2 x x y x y 0 x y 0 0 0 0 0 b a 3
对于周边固定的板，沿其边缘应有
w w 0 ；其中n表示 n t
板边的法线方向，t表示板边的切线方向。
w w 0 对于矩形板 对于矩形板，沿各边应有 沿各边应有 x y
对于沿边缘w=0矩形板 沿着y=0，y=b的边缘，应有 沿着x=0 0，x x=a a的边缘，应有
E 2w 2w 由： x z 1 2 ( x 2 y 2 ) E 2w 2w y z ( 2 ) 2 2 1 y x
xy z
E w 1 x y
2
薄板小挠度弯曲 应变能公式
2 2 2 2 w w 2w 2w 2w D dxdy 2(1 ) U 2 2 2 2 2 2 A x y x y x y 2 2 2 2 2 2 2 w w w D w w 2 2 2(1 ) 2 dxdy 2 2 A x y x y x y
飞行器结构力学
对于板边固定的任何形式的板，或沿板的边缘为 w=0 的 矩形板，应变能表达式可以进行简化：方括号项=0 首先取方括号中后一项，对y作分部积分：
b b 2 w 2 w w w 3 w w w dx dy dx dy dxdy 2 x y x y x y x y x 0 0 x x y 0 0 0 0 0 a b 2 a b 2 2 a a b w w w 3 w dxdy dx 2 x y x 0 x x y 0 0 0 a 2 b
薄壁结构中的应力分析和薄板理论
薄壁结构中的应力分析和薄板理论薄壁结构是指在某一方向上尺寸远远小于其他两个方向的结构。
它们在工程领域中广泛应用，如飞机机身、汽车车身、船舶外壳等。
在设计和分析这些结构时，应力分析和薄板理论是必不可少的工具。
首先，我们来了解一下应力分析。
应力是物体内部的力分布，它是由外部施加的力和物体内部的几何形状共同决定的。
在薄壁结构中，由于其尺寸的特殊性，应力分布具有一些特殊的规律。
例如，在一根薄壁柱上施加一个压力，应力分布呈现出一个圆环状。
这是因为薄壁结构的几何形状限制了应力的传递路径，使得应力集中在壁的边缘处。
这种应力分布的特点对于薄壁结构的设计和分析具有重要意义。
接下来，我们来介绍薄板理论。
薄板理论是一种基于假设的理论，它假设薄板在受力时可以看作一个平面。
根据这个假设，可以得出一些重要的结论。
首先，薄板的应力只有两个分量，即法向应力和切应力。
这是因为薄板的厚度相比于其宽度和长度来说非常小，所以沿厚度方向的应力可以忽略不计。
其次，薄板的应力分布可以通过一些简化的方法进行计算。
例如，可以使用平衡方程和边界条件来求解薄板的应力分布。
在实际的工程应用中，薄壁结构的设计和分析需要考虑到多种因素。
首先，材料的选择非常重要。
不同的材料具有不同的力学性质，如弹性模量、屈服强度等。
这些性质直接影响到薄壁结构的应力分布和变形情况。
其次，结构的几何形状也是一个关键因素。
不同的几何形状会导致不同的应力分布和应力集中情况。
因此，在设计薄壁结构时，需要考虑到材料和几何形状之间的相互影响。
此外，薄壁结构的应力分析和薄板理论还可以应用于其他领域。
例如，在医学领域中，可以使用薄板理论来分析和设计人体骨骼的结构。
在航天领域中，可以使用应力分析来评估航天器的结构强度。
在建筑领域中，可以使用薄板理论来设计建筑物的外墙结构。
薄壁结构的应力分析和薄板理论在不同领域中都具有广泛的应用前景。
综上所述，薄壁结构的应力分析和薄板理论是设计和分析薄壁结构的重要工具。
有限元法基本原理及应用第3章重庆大学龙雪峰
有限元原理及应用
第三章 弹性力学有限元法
• 3．单元分析 • 单元分析包括位移模式选择，单元力学分析两个内容。 • 位移模式也称位移函数或插值函数，在有限元位移法中是 以节点位移为基本未知量，再由这些节点位移插值得到单 元内任意一点的位移值。单元的位移模式一般采用多项式， 因为多项式计算简便，并且随着项数的增加，可以逼近任 何一段光滑的函数曲线。 • 单元力学分析 根据所选单元的节点数和单元材料性质， 应用弹性力学几何方程和物理方程得到单元刚度矩阵。由 于连续体离散化后假定力是通过节点在单元间传递的，因 此要利用插值函数把作用在单元上的体积力、面积力和集 中力按静力等效原则移到节点上。
Hale Waihona Puke 有限元原理及应用第三章 弹性力学有限元法
• 5．结果后处理和分析 • 求解线性方程组得到位移矢量后，由几何和物理关系可以 得到应变和应力。 • 由于应变（应力）来自位移的微分可能导致单元间应力不 连续，这会使应力计算误差较大，要在节点附近进行平均 化处理。 • 通过后处理还可得到位移、应变和应力的最大最小值及其 所在位臵以及主应力、主应变或其它定义的等效应力。 • 结果的输出可以应用图表、动画等各种方式。最后还要对 这些结果进行分析以指导工程设计、产品开发等等。
有限元原理及应用第三章弹性力学有限元法?如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度如果挠度与板厚相比不再为小量如金属板当挠度ww与板厚tt的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图的关系在范围内板的中面应变就不能忽略如图35所示面内的两个自由度也要一并考虑所示面内的两个自由度也要一并考虑导致单元的每个节点上a四边形弯曲单元b三角形弯曲单元图34薄板弯曲单元导致单元的每个节点上就要有五个自由度此类单元一般称为薄板单元
有限元原理及应用
第三章薄板理论
S
S
August 21, 2018
21
（3-4）代入式（f），（g），并积分得 d w dw M D （ 3-6 ） dr r dr
2
1 dw d2 w M D r dr dr2
第三章 薄板理论
August 21, 2018
1
第一节 薄板的基本概念及基本假定 平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离 远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为 平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板 的中面，参考坐标系位于中面内。
August 21, 2018
2
August 21, 2018
4
August 21, 2018
弹性薄板小挠度理论的基本假设
（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即 板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移， (u) z0 (v) z， (w) z 0 w ( x, y) 即 。 0 0
（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直 线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性 yz 曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 x z 、 应等于零。 （3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不 挤压，即垂直于板面的应力分量 z 和应变分量 z 略去不计。
因为d 是个小角度，sin d2 d2
Mr r d Mr M Qr r 0 dr
，略去高阶微量，
即
August 21, 2018
d(r . M r ) M Qr . r 0 dr
（3-2） 11
（二）几何方程
薄板理论 1
又由薄板上、下板面的边界条件可以求出
(rzx )z t , (rzy )z t
2 2
(11)
应用这两边界条件得
Ez 2 t2 2 zx (z2 ) w 2 2(1 ) 4 x 2 2 t 2 2 Ez (z ) w zy 2 2(1 ) 4 y
3 2
1
z 4 w t
(18)
再由薄板的上板面的边界条件
( z ) z t /2 q
(19)
其中 q 是薄板每单位面积内的横向荷载，包括横向面力， 及横向体力，如（14）所示。将 z 的表达式（18）代入 （19）整理得 Et 3
12(1 )
2
4 w q
f 1 ( x, y ) 0 f 2 ( x, y ) 0
u z 0 0 (3) v z 0 0
w v z y (4) u w z x
2，将主要应变分量 以得;
x , y , rxy
用w表示，则由几何方程可
5
主要应力：弯应力 x y 扭应力 xy yx 次要应力：横向剪应力 xz 挤压应力 z 内力的平衡：
2 2 2
yz
M x M xy M y 2 2 q 0 2 x xy y
6
此外若代入内力的应力表达式，则又可得到薄板的挠度微 分方程。
w w x 0 0 , 0 x x0 简支边OC
O a b
C
w y 0 0 , M y y 0 0
2w 2w 2 2 0 x y 0 y
A
B
再对简支边界条件减化。
基尔霍夫薄板假设
基尔霍夫薄板假设
基尔霍夫薄板假设
凯基尔霍夫薄板假设是物理学家理查德·凯基尔霍夫（Richard
K.Kipfler）提出的一种假设，用来描述物体在薄板上的运动。
该假设认为
所有的物体都是由薄板组成的，物体不能穿过薄板，只能沿着薄板表面移动，且每一个角度和方向都具有特定的力学性质。
凯基尔霍夫薄板假设更强调了
物体与薄板表面之间的相互作用，使得物体不能脱离表面运动，从而提供了
一种原理来解释有关物体在薄板表面上运动的问题。
凯基尔霍夫薄板假设的应用可以追溯到20世纪60年代，当时科学家发
现了在薄板表面可以形成“拘束波”的现象，它是按照一定的规律在恒定的
方向上来回传播的波，而且越远传播距离波的强度越弱。
研究发现，这一现
象是凯基尔霍夫薄板假设的一个直接佐证。
由于凯基尔霍夫薄板假设的出现，使得薄板的研究受到了更多的关注，
科学家们继续深入研究，进一步提出了郑夫芐振动理论，表明薄板的自由振
动会产生拘束波，经过实验的验证，确定凯基尔霍夫薄板假设的有效性，为
物理学的发展提供了理论基础。
凯基尔霍夫薄板假设不仅为带状物体的研究和发展提供了理论基础，而
且在许多领域都有重要的应用，有时甚至可以更好地解释某些物理现象，尤
其是在振动学领域有着广泛的应用，以帮助我们更深入地理解物体在薄板上
的运动规律。
薄板理论在工程中的应用研究
薄板理论在工程中的应用研究引言：薄板理论是一种广泛应用于工程领域的理论模型，它主要用于描述和分析薄板结构在受力情况下的变形和破坏行为。
在工程实践中，薄板结构广泛应用于航空航天、建筑、汽车等领域，因此对薄板理论的研究和应用具有重要的意义。
本文将探讨薄板理论在工程中的应用研究，并分析其在不同领域的具体应用案例。
一、薄板理论的基本原理薄板理论是基于弹性力学理论的基础上发展起来的，它假设薄板结构在受力作用下的变形主要发生在板的中面，而板的表面则保持平面状态。
根据这一假设，薄板理论可以通过边界条件和力平衡方程来描述薄板结构的变形和破坏行为。
二、薄板理论在航空航天领域的应用在航空航天领域，薄板结构广泛应用于飞机机翼、机身等部件中。
薄板理论可以用于分析飞机结构在飞行过程中受到的各种载荷情况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化飞机结构设计，提高结构的强度和刚度，同时减少结构的重量，提高飞机的性能。
三、薄板理论在建筑领域的应用在建筑领域，薄板结构常用于大跨度屋盖、墙板等部件中。
薄板理论可以用于分析这些结构在风荷载、地震荷载等外力作用下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化结构设计，提高结构的稳定性和安全性，同时减少材料的使用量，降低建筑成本。
四、薄板理论在汽车工程中的应用在汽车工程中，薄板结构广泛应用于车身、车顶等部件中。
薄板理论可以用于分析汽车结构在碰撞、振动等工况下的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以提高汽车的安全性和舒适性，同时降低车身重量，提高燃油经济性。
五、薄板理论在其他领域的应用除了航空航天、建筑和汽车工程领域，薄板理论还可以在其他工程领域中得到应用。
例如，薄板理论可以用于分析电子设备中的散热板、光学器件中的薄膜等结构的变形和破坏行为。
通过薄板理论的应用，可以优化这些结构的设计，提高其性能和可靠性。
结论：薄板理论作为一种重要的理论模型，在工程领域中得到了广泛的应用。
通过对薄板结构的变形和破坏行为进行分析，可以优化结构设计，提高结构的性能和可靠性。
薄壳和薄板的内禀理论
科学宝库中一颗永远闪烁的明珠——钱伟长的“板壳的内禀理论”薄壳和薄板的内禀理论(The Intrinsic Theory of Thin Shells and Plates)程昌钧上海大学，应用数学和力学研究所，力学系，上海 200072仅用力学状态的内禀变量应力和应变严格地从三维弹性理论出发导出的对任意形状板壳都适用的非线性偏微分方程组。
薄板和薄壳在工程和技术中是一类应用广泛的结构元件。
1940年以前，关于板壳的理论已取得了一些进展，但亦存在一些问题，主要有：(1) 所有的理论都是根据先验的克希霍夫-拉夫假设(通常称为直法线假设)来建立的，并给出由中面的三个位移分量()u v w ,,所满足的三个平衡微分方程；(2) 薄板和薄壳理论是分开来处理的，特别是壳体问题，根据其几何特征的不同，采用不同的坐标系来建立各自的壳体理论，没有一个统一的适合各种形状的板壳理论；(3) 板壳理论中的各种近似是混乱的，没有一种系统的简化与近似方法。
为了克服板壳理论中的这些缺陷，钱伟长在1941年到1944年建立了一种系统的精确理论，并给出一套统一的近似方法，使得从这一理论出发，根据不同的实际情况，进行不同的简化和近似，可以得到适合于各类板壳问题的理论。
板壳的内禀理论主要由五篇论文组成[1-5]，其中第一篇论文是由钱伟长与J. L. Synge （辛吉）联合发表的，是内禀理论的基础与核心。
钱伟长早在昆明联大读研究生期间(1938年－1940年)就开始了对板壳精确理论的研究，他提出了以三维弹性力学的应力满足的平衡方程为基础，引入应力应变关系，来导出应变分量表示的壳体应力满足的单元的平衡理论。
在该理论中，钱伟长采用了一种全新的坐标系-以中面为基础的拖带坐标系(Comoving coordinates) (x x x 012,,)：在变形前，中面为x 00=，(,)x x 12为中面上点的坐标，中面以外各点的坐标为()x 012,,x x ，并称之为以中面为基础的高斯坐标系，其中(,)x x 12为垂直于中面的法线与中面交点的坐标。
弹性薄板的小挠度弯曲课件
06
参考文献
参考文献
总结词：详细描述了弹性力学的基本 原理，包括应力和应变的关系，以及 弹性薄板在受到外力作用时的弯曲变 形规律。
详细描述：在弹性力学中，薄板的小 挠度弯曲是指薄板在受到外力作用时 发生的弯曲变形，其弯曲变形程度较 小，可以忽略不计薄板的剪切变形和 转动惯性。这种变形情况下，薄板的 弯曲变形可以通过挠度（即变形量） 来描述。在弹性力学中，应力和应变 之间的关系由胡克定律（Hooke's Law）描述，即应力与应变成正比， 比例系数为材料的弹性模量。
详细描述
圆形薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形薄板类似，这种弯曲程度较 小，也称为小挠度弯曲。在圆形薄板中，各个方向的弯曲程度基本相同，因此圆心位置的应力最大。
实例三：不规则形状薄板的弯曲
总结词
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会发生小挠度弯曲。
详细描述
不规则形状薄板在受到垂直于其平面的力时，会在力的方向上发生弯曲，形成弧形。与矩形和圆形薄 板类似，这种弯曲程度较小，也称为小挠度弯曲。不规则形状薄板的弯曲情况较为复杂，需要考虑各 个方向的弯曲程度以及应力分布。
05
结论与展望
研究结论
结论一
弹性薄板在受到小挠度弯 曲时，其弯曲行为与材料 属性、几何尺寸等因素密 切相关。
结论二
通过理论分析和数值模拟， 我们得到了弹性薄板在小 挠度弯曲下的变形规律和 应力分布。
结论三
实验结果与理论预测和数 值模拟结果基本一致，验 证了理论的正确性和数值 方法的可靠性。小的单元，对每 个单元进行弯曲分析，通过求解每个 单元的平衡方程得到整体的挠度分布。
对于某些特定形状和载荷条件的薄板， 可以通过解析方法直接求解弯曲微分 方程，得到挠度分布的精确解。
第三章 薄板理论
第三章 薄板理论1.研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。
所谓薄板是指板的厚度S 与板面最小尺寸b 之比相当小的平板，其定义范围一般为0.01< S/b<0.2，以区别薄板与厚板。
S/b ≥0.2时为厚板。
比薄板挠度更大的壳体称为薄膜（大挠度薄板）。
2.薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位移问题。
在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲变形。
薄板弯曲后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移w ，称为挠度。
3.如果挠度w 远小于板厚S ，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变化，弹性曲面内薄膜力远小于弯曲力，故忽略不计，这类弯曲问题可用薄板小挠度理论求解。
4.中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即板中面内各点只有垂直位移w ，无平行于中面的位移。
直线法假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直线段，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性曲面。
不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互相不挤压，即垂直于板面的应力分量z σ和应变分量z ξ略去不计。
5.受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和变形特点：（1）板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯曲应力max σ与2(/)R S 成正比。
（2）两种支撑板，最大挠度均在板中心处，若取μ=0.3，周边简支板的最大挠度约为固支板的4倍。
（3）周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应力。
若取μ=0.3，周边简支板的最大弯曲应力约为固支板的1.65倍。
由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边简支板为好。
6.试比较受横向均布载荷作用的圆板，在周边固支和周边简支情况下最大弯曲应力和最大挠度的大小与位置。
（1）在周边固支情况下最大弯曲应力为板边缘上、下表面处的径向应力，即2max 223()4r Rr sz qR Sσσ====± 最大挠度发生在板中心r=0处，4max 0()64r qR Dωω===（2）在周边简支情况下最大弯曲应力发生在板中心处，即200max 2223()()(3)8r r r ssz z qR Sθσσσμ=======+ 最大挠度仍发生在板中心r=0处，4m a x 05()164r qR Dμωωμ=+==+ 7.提高受横向均布载荷作用的圆板承载能力的有效措施有哪些？（1）通常最大挠度和最大应力与圆板的材料、半径、厚度有关，因此，若构成板材料和载荷已确定，则减小半径和增大厚度，都可以减小挠度和降低最大正应力。
小挠度问题
板壳力学
134-17
2) 剪应变 微元平面内几何变形 (距中面为 z ) 平 板 理 论
April.2010
板壳力学
134-18
微元的剪切角 、 之和即为剪应变。 剪切角 为 平 板 理 论 根据小变形假定
则有
April.2010
板壳力学
134-19
同理可得到剪切角 平 板 理 论
x
若OA边有初始变位， 则上两式右边应为对应初值。 y
April.2010
板壳力学
134-41
(2) 简支边 (OC) 边界条件，y=0 时： 平 板 理 论 也反映
或 b 若边界有初始变形，则上两式右边 不为0，用对应值代替。 y
April.2010
a
x
板壳力学
134-42
(3) 自由边 (AB) 边界条件，y=b时，该边界上的力均为零，则 平 板 理 论 不忽略yz、 zx, 平衡方程为6阶, 需要6个边界条件;
y b
(Qy
)
y b
0
即等效横向剪力为0。
April.2010
板壳力学
134-45
则，自由边界 y=b 时的两个条件为 平 板 理 论 若自由边界上有分布 荷载，则右边不为0
Vy
y b
(Qy
M yx x
)
y b
0
用挠度w 表示，则为
若自由边界上有位 移，则右边不为0
Myx—— y 取某值的截面上，绕 y 轴(旋转)的弯矩
April.2010
板壳力学
134-28
与主要应力对应的薄板中面内力表达式为 平 板 理 论 将应力-变形关系表达式代入，则有：
薄板理论分析
及同心圆柱面上中面线段ac，bd均为单位长
度。
June 4, 2020
19
在ac面上作用径向应力 r ，离中性面为 z 处取微小
条d ，z 其上作用的力为 r d z ，所引起的力矩
在ac面上作用的总力矩为 d Mr r d z z
M r
S 2d
S 2
M
r
S
S
2
2
r
z
d
z
（f）
June 4, 2020
June 4, 2020
r R
(a)
r
0
3(3 ) pR2 8 S2
0
(b) 图 3-8 周边简支实心圆平板
36
代入式（3-13），得周边简支实心圆板在任
意半径r处的转角和挠度表达式
（3-21-a）
dw dr
qr 16D
3 1
R2
r2
（3-21-b） w qr4 3 qR2 r 2 5 qR4
或
r
1 E
r
1 E
r
r
E 1 2
r
E 1 2
r
(3-4)
几何方程：
r
z
d 2w dr 2
z r
dw dr
式中，为圆板材料的弹性模量和泊松比。
June 4, 2020
17
r 板内二向应力 r ， 均为 的函数，且沿板
厚线性分布。在中性面 z = 0处， r = =0；
20
在cd面上作用环向应力 ， 离中性面为 z 处的微小
条dz 上作用的力为， dz 所引起的力矩,
为 d M d z z
在cd面上作用的总力矩为
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算资料
薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算课程设计指导教师：孙秦学院：航空学院姓名：程云鹤学号： 2011300092班级： 01011105薄板弯曲问题弹性理论分析及数值计算一、一般三维体弹性系统求解微分方程体系总结1、弹性力学中的基本假定（1）连续性，即假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满。
（2）完全弹性，物体在引起形变的外力被除去后可完全恢复原形 （3）均匀性，即假定物体是由同一材料组成的。
（4）各向同性，物体的弹性在所有各个方向都相同。
（5）和小变形假定，即假定位移和形变是微小的。
2、平衡微分方程在一般空间问题中，包含15个未知函数，即6个应力分量、6个形变分量和3个位移分量，它们都是x,y,z 坐标变量的函数。
对于空间问题，在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立平衡微分方程、几何方程和物理方程；并在给定约束面或面力的边界上，建立位移边界条件或应力边界条件。
然后在边界条件下根据所建立的三套方程求解应力分量、形变分量和位移分量。
在物体内的任一点P ，割取一个微小的平行六面体，如图1-1所示。
根据平衡条件即可建立方程。
(1)分别以连接六面体三对相对面中心的直线为矩轴，列出力矩的平衡方程0=∑M ，可证明切应力的互等性：yx xy xz zx zy yz ττττττ===,,(2)分别以轴轴、轴、z y x 为投影轴，列出投影的平衡方程0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑z F ，对方程进行约简和整理后，得到空间问题的平衡微分方程如下⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂+∂∂000z yzxz z y xyzy y x zx yx x f y x z f x z y f z y x ττσττσττσ (1-1)3、物体内任一点的应力状态现在，假定物体在任一点P 的6个直角坐标面上的应力分量 ,,z y x ，σσσyx xy xz zx zy yz ττττττ===,,为已知，试求经过P 点的任一斜面上的应力。
复习与习题(薄板)
(
)
2
等厚度
U max
板周边固支
D 2 = ∫∫ ∇ W 2 Ω
(
)
∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W 2 2 dxdy − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x∂y ∂x ∂y
U max
简支或固支矩形板
2 D 2 = ∫∫ ∇ W dxdy 2 Ω
法和Galerkin法） （一）薄板弯曲问题（b）近似解法（ Ritz法和 薄板弯曲问题（ ）近似解法（ 法和 法 1、周边固支承受均布载荷的矩形板。P25、27 、周边固支承受均布载荷的矩形板。 、
r 2、固支圆板，半径为a，在半径为 的中心圆 、固支圆板，半径为 ，在半径为b的中心圆 w = C1 1 2 －a 面积上受均布载荷q 。（习题 习题） 面积上受均布载荷 0。（习题）
d 2 1 d d 2 w 1 dw 2 + =q D 2 + dr dr r dr r dr
求解步骤
（1）薄板的微分方程 ） （2）边界条件 ） （3）取满足边界条件挠度函数 ）
• 试取挠度函数 • 验证满足边界条件
（4）代入微分方程，确定挠度函数 ）代入微分方程， （5）求解内力及应力分量 ） • Navier解法 、Levy解法 解法 解法
D∇ 4W ω = mW
2
∞
∞
m=1 n=1
9、薄板弯曲问题的能量法 、
变形能
∂ 2w ∂ 2w ∂ 2w 2 1 2 2 dxdy U = ∫∫ D ∇ w − 2(1 − ν ) 2 − 2 ∂x ∂y 2 Ω ∂x ∂y
(
空心板教材-1-基础知识
一、弹性薄板理论与板单元板是结构工程中常见的构件。
建筑中的楼屋面板、剪力墙、楼梯板、基础底板，市政工程中的水池筒仓壁板，等等，均是板。
工程中的板，根据其受力特性，分薄板、厚板两种类型。
如板的厚度t远小于最小板边距离(例如小于1/8~1/5）称为薄板，否则为厚板。
结构空间中的板，是三维受力的，一般称为壳。
空间受力壳如果不计非线性变形中偶联影响，可分为膜、板两个部分。
其中膜部分承担与壳面平行的作用，产生平面内的变形和受力；板部分承担壳面垂直的作用，产生平外外变形和受力。
以一个XY平面内的楼板为例，δx、δy、θz属于平面内的变形，属于膜；而δz、θx、θy属于平面外的变形，属于板。
建筑结构中的水平楼板，承担与板面垂直的荷载作用，产生平面外的弯矩，其受力主要属于板。
建筑结构中的竖直剪力墙，结构重力荷载作用于墙面之内，其受力主要属于膜。
1、弹性薄板理论基于板的厚度比其它两个方向尺寸小得多，以及挠度比厚度又小得多的假设，弹性薄板理论在分析平板弯曲问题时，认为:1)可以忽略厚度方向的正应力；2)薄板中面内的各点没有平行于中面的位移；3)薄板中面的法线在变形后仍保持为法线。
利用上述假设将平板弯曲问题简化为二维问题，且全部应力和应变可用板中面的挠度表示。
取板的中面为ＸＹ平面，Ｚ轴垂直于中面，则广义应变为(1.1)其中中各个分量分别代表薄板弯曲后中面在X方向的曲率，Y方向的曲率以及在X和Y方向的扭率。
薄板的广义内力是(1.2)其中，，分别是垂直x轴和垂直y轴的截面上单位长度的弯矩，(=)是垂直于x(y)轴截面上单位长度的扭矩。
根据应力沿z方向成线性分布的性质由，，可以计算板内任一点的应力，设板的厚度为t，则，，(1.3)广义的应力应变关系是(1.4)其中弹性关系矩阵D，对于各项同性材料是(1.5)其中是板的弯曲刚度。
将广义应力应变关系(4)式和几何关系(1)式代入平衡方程(1.6)可以得到求解挠度的微分方程(1.7)式中是作用板表面的z方向分布荷载。
《板壳力学》课件
板壳力学的重要性
总结词
板壳力学在工程实践中具有重要意义，广泛应用于航空航天、船舶、建筑、机械 等领域。
详细描述
板壳力学在工程实践中具有重要意义，是解决复杂结构问题的重要工具。它广泛 应用于航空航天、船舶、建筑、机械等领域，为各种工程结构的优化设计、安全 评估和故障诊断提供了理论基础。
板壳力学的历史与发展
06
板壳力学的未来发展与挑战
新材料与新结构的板壳力学
新材料
随着科技的发展，新型材料如碳纤维 复合材料、钛合金等在航空、航天、 汽车等领域的应用越来越广泛，对板 壳力学提出了新的挑战和要求。
新结构
新型结构如曲面壳体、变厚度板等不 断涌现，需要深入研究其力学性能和 设计方法，以满足工程实际需求。
多场耦合的板壳力学问题
采用一系列简化假设来分析其力学行为。
薄壳弯曲方程
02
描述薄壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程。
薄壳边界条件和载荷
03
分析薄壳在边界条件和各种载荷作用下的弯曲变形和应力分布
。
厚板与厚壳理论
厚板与厚壳定义
厚板和厚壳是指厚度与另外两个尺寸相比不可忽略的板状和壳状 结构。
厚板与厚壳弯曲方程
描述厚板和厚壳在弯曲时的挠度和转角等参数的方程，通常较为复 杂，需要考虑更多的因素。
《板壳力学》ppt课件
目录
• 板壳力学概述 • 板壳力学的基本理论 • 板壳力学的应用 • 板壳力学的数值分析方法 • 板壳力学的实验研究 • 板壳力学的未来发展与挑战
01
板壳力学概述
定义与特点
总结词
板壳力学是研究板和壳体在各种外力作用下的应力、应变和位移分布规律的科 学。
详细描述
板壳力学主要研究板和壳体在受到各种外力作用时的应力、应变和位移分布规 律，包括静力学和动力学问题。它涉及到弹性力学、塑性力学、断裂力学等领 域，是固体力学的一个重要分支。
板壳理论ppt课件
26
§1.3 薄板的内力和应力
各应力分量与薄板内力及横向载荷的关系：
x
12M x t3
z
y
12M y t3
z
xy
yx
12M xy t3
z
xz
6Qx t3
t2 4
z2
yz
6Qy t3
t2 4
M
xy
M xy x
dx
dx
变换为一个力偶，力为
F点合M成xy为 向Mx下xy 的dx 合力
u z w v z w 由几何方程得应x变分量：y
x
u x
z
2w x2
y
v y
z
2w y2
xy
v x
u y
2z
2w yx
11
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由于是小挠度，所以弹性曲面的曲率和扭率用
w表示为：
x
2w x2
y
2w y2
xy
2
2w yx
应变分量用曲率和扭率表示为：
x zx y z y xy zxy x , y , xy 为板的广义应变。
12
§1.2 薄板弯曲的基本方程
由物理方程得应力分量为：
x
E
1 2
x y
17
§1.2 薄板弯曲的基本方程
第三章板壳理论
求得相应的固有频率。
§3.1 薄板的自由振动
引入符号：
4
mp D
2
关于振型函数的微分方程变为：
W W 0
4
利用边界条件，并求解上式，就可以得到W 。 利用初始条件，求解 w Ai cos pi t Bi sin pi t Wi 中的 i 1 待定系数 A和 Bi 。 i 设初始条件为：
3333coshsinhcossinsin组齐次代数方程这个代数方程有非零解的条件是系数行列式等于零从而得到计算固有频率的频率方程特征方把振型函数的表达式代入上式边界条件方程3333coshsinhcossinsin由非零解条件得方程组的系数行列式等于零即
第三章 薄板振动问题
第三章 薄板振动问题
薄板的自由振动
四边简支矩形薄板的自由振动
两对边简支矩形薄板的自由振动 用能量法求固有频率及举例 薄板的强迫振动
§3.1 薄板的自由振动
板的横向振动：垂直于中面方向的振动。 自由振动：
– 求固有频率和振型函数。 – 求对初始条件的扰动。
在重力（静力）载荷作用下，在 静平衡位置的挠度为 we x, y 由薄板弯曲基本微分方程有
tanh b
b
tan b
b
0
由：
p m D
m
2
2
得
tanh pb
2
a
2
p
m D
m
2
2
a
2
m D
m b
2
2 2
弹性力学 (3)
之比相当小的平板，其定义范围一般为
此定义为薄板。 对于圆形薄板，其定义范围是指板的厚度与其直径D之比在上述 范围之内，即
作用在板上的载荷，总可以分解为两种作用形式，一种是平行于 中面的载荷、另一种是垂直于中面的载荷。对于平行于中面的载
荷，可以认为沿壁厚均匀分布，因而引起的应力、应变和位移， 可按平面应力问题处理；对于垂直中面的载荷(又称横向载荷)， 将使薄板发生弯曲，它所引起的应力、应变和位移，可按薄板弯 曲问题进行计算。
第二节
圆板轴对称问题
圆板的几何形状、载荷和支承条件均对称于圆板中心轴，圆 板的内力和变形也是轴对称的，这类问题为圆板的轴对称问题。
由于轴对称性，圆板中的内力、变形、位移分量均为r的函 数，与 无关。
一、圆板轴对称弯曲的基本方程
由于轴对称，在微元体各截面上只有弯矩 M r , M 和剪力Qr 作用，且与 无关，仅是坐标 r 的函数。 1.平衡方程
薄板理论主要研究薄板在横向载荷作用下的应力、应变和位
移问题。在横向载荷作用下，平板内产生的内力分为薄膜力和弯 曲力，薄膜力使平板中面尺寸改变，弯曲力使平面产生双向弯曲 变形。薄板弯曲变形后，中面由平板变为曲面，称为薄板的弹性 曲面，而中面内各点在垂直于中面方向的位移 w ，称为挠度。如 果挠度w 远小于板厚S，可以认为弹性曲面内任意线段长度无变
(3-23)
将式(3-21)代入式(3-4)，得周边简支实心圆板在任意半径 r处的应力表达式
(3-24)
在板中心 r 0 处
在板边缘 r R 处
可见，最大弯矩及相应的最大应力发生在板中心处，即
(3-25) (3-26)
由上分析可见，受轴对称均布载荷的圆平板有如下的应力和 变形特点: ①板内为二向应力状态，且沿板厚呈线性分布，均为弯曲应 力；应力沿半径方向的分布与周边支承方式有关；板内最大弯 2 R S 曲应力 max 与 成正比。 ②两种支承板，最大挠度均在板中心处，若取 0.3 ，周边 简支板的最大挠度约为固支板的4倍。 ③周边固支圆平板的最大应力为板边缘表面处的径向弯曲应 力；周边简支圆平板的最大应力为板中心表面处的两向弯曲应 力。周边简支板的最大弯曲应力约为因支板的1.65倍。 由此可见，周边固支板无论从强度还是从刚度，均比周边 简支板为好。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
13
2．离中面距离为z处的变形 根据基本假设（2），变形前过m、n两点的1-1和2-2 平面均垂直于中性面，变形后为1-1 和2-2，仍保持 平面且垂直于中面，只是分别转过了角度 和 d 。这里有两个方向的变形： （1）径向变形 变形前m、n两点间距离即微线段长度mn为dr ，变形 后微线段mn变为mn= dr z( d ) z 则离中面距离为z 处的径向应变为
（a）圆板中面的变形 （b） （a）中部放大图 August 21, 2018 图3-3 受轴对称载荷圆板的几何变形
12
1．中面变形 根据基本假设（1），变形后，中面成回转 曲面且仍保持中性，中面的径向应变和周 向应变为零，即 r 0
dw dr
August 21, 2018
d r z ( d ) z d r d r z dr dr
August 21, 2018
（b）
14
2）周向(环向)变形 变形前过m点的圆周，其周长为2 r ，变形后此圆 周为过m点的圆周，其周长为2 (r z )，则离中面 距离为 z 处的周向(环向)应变为 dw (r z ) 2 r （c2 ） dr
2 r z r
将式（a）代入式（b），（c），得
d2 w r z 2 dr z dw r dr
（3-3）
15
q
x
August 21, 2018
10
沿z轴方向力的平衡方程
Fz 0
d Qr Qr d r r d r d Qr r d q (r )r d r d 0 dr
展开合并，略去高阶微量，得 即 沿x轴方向力矩的平衡方程
Qr r d Qr rq (r ) dr
August 21, 2018
d(r . M r ) M Qr . r 0 dr
9
Fz 0
d Qr Qr d r r d r d Qr r d q (r )r d r d 0 dr
q
Mx 0
d Mr d d r r d r d M r r d 2 M d r sin( ) Mr dr 2 dr Qr r d r d q (r )r d r d 0 2
3
研究平板时，常把平板分为薄板与厚板。所 谓薄板是指板的厚度S与板面最小尺寸之比相 当小的平板，其定义范围一般为 0.01 S b 0.2 以区别于薄膜与厚板。 平板的形式很多,有方形、矩形、圆形、椭圆 形等多种。对于圆形薄板，其定义范围是指 板的厚度与其直径之比在上述范围之内，即 0.01 S D 0.2
因为d 是个小角度，sin d2 d2
Mr r d Mr M Qr r 0 dr
，略去高阶微量，
即
August 21, 2018
d(r . M r ) M Qr . r 0 dr
（3-2） 11
（二）几何方程
圆板受轴对称横向载荷后，其基本变形特点 呈双向弯曲，即径向弯曲和周向弯曲，中面 弯曲成以对称轴为旋转轴的回转曲面，仍保 持中性。
4
August 21, 2018
弹性薄板小挠度理论的基本假设
（1）中性面假设：板弯曲时，中面保持中性，即 板中面内各点只有垂直位移w，无平行于中面的位移， (u) z0 (v) z， (w) z 0 w ( x, y) 即 。 0 0
（2）直法线假设：弯曲变形前垂直于薄板中面的直 线，变形后仍为直线，且长度不变，仍垂直于弹性 yz 曲面。由此可知，板中面内任何点处的剪应变 x z 、 应等于零。 （3）不挤压假设：薄板各层纤维在变形前后均互不 挤压，即垂直于板面的应力分量 z 和应变分量 z 略去不计。
第三章 薄板理论
August 21, 2018
1
第一节 薄板的基本概念及基本假定 平板是以两个平面为界，且两平面之间的距离 远较其它尺寸为小的物体，此两平面之间的距离为 平板的厚度S，与两平面等距离的中间面叫做平板 的中面，参考坐标系位于中面内。
August 21, 2018
2
August 21, 2018
August 21, 2018
上述假定统称为克希霍夫（Kirchhoff）假定。
5
第二节 圆板的轴对称问题
在化工设备中，应用最多的是受轴对称载荷的圆形 薄板，简称圆板。圆板的轴对称问题，采用圆柱坐 标系（ r 、 、z ）。
q q
q
August 21, 2018
x
6
为了求得圆板在q(r) 作用下的各内力素，用相 距d的两个圆柱面，夹角为d的两个径向平面， 沿板厚截取一微小六面体abcd。 M r －作用在圆柱面沿中面单位长度上的径向 弯矩； M －作用在径向平面沿中面单位长度上的周 向弯矩； Qr －作用在圆柱面沿中面单位长度上的横向 剪力。
7
August 21, 2018
（一）平衡方程
由微元六面体的空间力系，根据平衡条件， 可列出六个平衡方程，其中
Fx 0
Fy 0
Mx 0
Mz 0
自然满足，只能得到下列两个平衡方程,
Fz 0 Mx 0
August 21, 2018
8
q q
q
x
d(rQr ) rq (r ) dr
d(rQr ) rq (r ) dr
（3-1）
Mx 0
d Mr d M d r r d r d M r d 2 M d r sin( ) r r dr 2 dr Qr r d r d q (r )r d r d 0 2