4.2.2指数函数及其性质
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4.2.2指数函数的图像与性质2课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
1 3
1
∴当 t＝ (此时 x＝1)时，取到最小值 g2＝ ，
2
4
2
当 t＝2(此时 x＝－1)时，取到最大值 g(2)＝3，
3
∴f(x)的最小值为 ，最大值为 3.
4
角度2 指数函数图象和性质的综合运用
2
例3
函数 f(x)＝a－ x .
2 ＋1
(1)求证：不论 a 为何实数，f(x)总为增函数；
训练1
(1)函数y＝ax在[1，2]上最大值与最小值的差为2，则a＝
A.－1 或 2
√
B.2
1
C.
2
y＝ax在[1，2]上是单调函数，
当a>1时，a2－a＝2，解得a＝2(舍去－1).
当0<a<1时，a－a2＝2，方程无解.
综上知a＝2.
1
D.
4
(2)函数
1x
1x
f(x)＝4 －2 ＋1
2 ＋1
2 ＋1
x
故函数 f(x)的值域为(－1，1).
例4 如图，某城市人口呈指数增长.
(1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需时间；
(2)该城市人口从80万开始，经过20年会增长到多少万人?
解: (1)视察图，发现20年约为10万人，经过40
年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口
所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一
函数值变 x > 0时，y > 1
化情况
x < 0时，0< y <1 x < 0时，y > 1
过定点
角度1 定义域、值域、最值ห้องสมุดไป่ตู้题
§4.2.2指数函数的图象与性质学案
§4.2.2指数函数的图象与性质一学习目标1.掌握指数函数的图象与性质.（直观想象）2.会应用指数函数的图象进行平移、伸缩、对称变换.（数形结合）3.能借助指数函数的性质比较大小.（数据分析）4.能借助指数函数的单调性解简单的指数不等式（数学运算）二知识回顾1．指数幂的运算性质a r a s＝a r＋s；(a r)s＝a rs；(ab)r＝a rb r(a>0，b>0，r，s∈R)．2．指数函数及其性质三新知运用1概念：一般地，函数y＝a x(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.2指数函数的图象与性质R3常用结论（1）．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，⎝⎛⎭⎫－1，1a.（2）如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．例1判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)（1） y=2x与y=21−x是R上的增函数.（× ）（2）若0.1a>0.1b,则a>b.（× ）(3)指数函数y＝a x与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．(√)(4)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)题型一指数函数的图象及应用例1 指数函数①y=a x,②y=b x,③y=c x,④y=d x的图象如图所示,则a,b,c,d与1的大小关系为（B）.A. a<b<1<c<dB. b<a<1<d<cC. 1<a<b<c<dD. a<b<1<d<c[解析]由图象可知③③的底数必大于1,①②的底数必小于1.作直线x=1,在第一象限内直线x=1与各曲线的交点的纵坐标即各指数函数的底数,则1< d<c,b<a<1,从而可知a,b,c,d与1的大小关系为b<a<1<d<c.例2 函数f(x)=a x−b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是（D）.A. a>1,b<0B. a>1,b>0C. 0<a<1,b>0D. 0<a<1,b<0 [解析]由图象可知函数f(x)单调递减,所以0<a<1,又0<f(0)<1,所以0<a−b<1=a0,即−b>0,b<0,故选D.方法总结对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．题型一直接法比较大小例1已知a＝0.30.2，b＝0.30.1，c＝0.30.3，则a，b，c的大小关系为()A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a答案 C解析 由y ＝0.3x 为减函数，得0<c ＝0.30.3<a ＝0.30.2<0.30.1＝b <0.30＝1， 例2 设233344443,,332a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >b >a D ．b >c >a答案 C解析 因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫43x为增函数， 所以23344433⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a <b ， 又因为函数y ＝34x 为增函数， 所以33444332⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即b <c ，故c >b >a . 例3比较下列各组中两个值的大小.①1.7−2.5,1.7−3;②1.70.3,1.50.3;③1.70.3,0.83.1.方法总结比较幂的大小时，若两数的底数相同则构造指数函数进行比较；若两数的指数相同则构造幂函数进行比较；若底数和指数均不相同，则借助中间值来比较.题型二 简单的指数不等式的解法例4．已知关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫13x －4≥3－2x，则该不等式的解集为( ) A ．[－4，＋∞) B ．(－4，＋∞) C ．(－∞，－4) D ．(－4,1]答案 A解析 不等式⎝⎛⎭⎫13x －4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ， 由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4， 所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．变式：将上式的底改为底数a ，求该不等式的解集.方法总结解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来求解,注意底数对不等号方向的影响.课堂练习例1 设a =(12)34,b =(15)34,c =(12)12,则a ,b ,c 的大小关系为 c >a >b .（用“> ”连接）例2解关于x 的不等式:a 2x+1≤a x−5(a >0,且a ≠1). 例3. 下列结论正确的是（ D ）.A. 2.72.5>2.73B. 0.62<0.63C. π2<π√2D. 0.90.3>0.90.5[解析]∵y =0.9x 在定义域上是减函数,0.3<0.5,∴0.90.3>0.90.5.[解析]（1）∵4x <42−3x ,∴x <2−3x ,∴x <12.（2）③当0<a <1时,∵a 2x+1≤a x−5,∴2x +1≥x −5,解得x ≥−6. ③当a >1时,∵a 2x+1≤a x−5,∴2x +1≤x −5,解得x ≤−6.综上所述,当0<a <1时,不等式的解集为{x|x ≥−6};当a >1时,不等式的解集为{x|x ≤−6}.例4 已知函数f (x )=3x (x ∈R ),g (x )=−(13)x(x ∈R )，则函数f (x )的图象和g (x )的图象（ C ）.A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y =x 对称 [解析]在f (x )=3x (x ∈R )的图象上任取一点(a,b )，则3a =b ，因为g (−a )=−(13)−a=−3−1×(−a )=−3a =−b ，所以点(−a,−b )在g (x )=−(13)x(x ∈R )的图象上，则函数f (x )的图象和g (x )的图象关于原点对称.例5. 已知a =0.60.5,b =0.40.5,c =0.40.6，则（ A ）.A. a >b >cB. c >a >bC. a >c >bD. b >c >a例6 已知指数函数f (x )的图象过点P (3,8),且函数g (x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称,又g (2x −1)<g (3x ),求x 的取值范围.[解析]设f (x )=a x (a >0,且a ≠1),因为f (3)=8,所以a 3=8,即a =2,所以f (x )=2x , 又因为g (x )与f (x )的图象关于y 轴对称,所以g (x )=(12)x,因此由g (2x −1)<g (3x ) ,即(12)2x−1<(12)3x,得2x −1>3x ,解得x <−1 ,故x 的取值范围是(−∞,−1).例7. 写出一个同时具有下列两个性质的函数:f(x)=2x（答案不唯一）.①f(x)f(y)=f(x+y);②f(x)在R上为增函数.[解析]指数函数f(x)=a x满足f(x)f(y)=f(x+y),且当f(x)=a x,a>1时,函数单调递增,所以满足条件的一个函数f(x)=2x.课堂小结1指数函数的图象与性质2指数函数的简单应用（1）一般地,比较幂大小的方法如下:（1）对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;（2）对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用幂函数的单调性来判断;（3）对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值来判断.（2）解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数的单调性化为常规的不等式来求解,注意对底数进行分类讨论。
4.2.2 指数函数的图象和性质
如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx 的图象，则 a，b， c，d 与 1 的大小关系是( B )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
解析：如图，作直线 x＝1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点， 则 A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知 b<a<1<d<c.
3．关于求解指数不等式的教学 建议教师先讲清楚求解指数不等式的理论依据，即指数函数的单调 性，然后给出一定量的练习题，通过练习掌握解题规律． 4．关于指数函数值域的教学 建议教师在教学中让学生理解指数函数的性质，掌握底数对指数函数 的图象及单调性的影响，能够借助于图象和性质解决与指数函数有关的值 域问题．
D．y3>y1>y2
解析：因为 y1＝40.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝12－1.5＝21.5， 又函数 y＝2x 在 R 上是增函数，1.8＞1.5＞1.44，所以 21.8＞21.5＞21.44，故 y1＞y3＞y2.
2．当 0<a<1 时，不等式 a2x－1<ax＋1 的解集为 (2，＋∞) ．
解析：当 0＜a＜1 时，指数函数 y＝ax 是单调递减的，所以由不等式 a2x－1＜ax＋1，可得 2x－1＞x＋1，解得 x＞2.
(备选题)已知函数 f(x)＝12，－x，x>x0≤，0， 则满足 f(x＋2)<f(2x)的 x 的取
值范围是 (－∞，0)
．
解析：作出函数 f(x)＝21，－x，x>x0≤0， 的图象，如图所示， 因为 f(x＋2)<f(2x)，
4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)
(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1
如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.
…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…
= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解 可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：
4.2.2指数函数性质(教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
–0.5
0.71
0.58
0
1
1
0.5
1.41
1.73
1
2
3
1.5
2.83
5.20
2
4
9
27
y2
9
8
4
3
2
-3 -2 -1 o
x
1
0.5
0.25
1
2
3
x
x
x
x
y
2
y
3
,
y
4
和
的图象
3.用描点法来作出函数
y 4x
y 3x
x
y2
定义域：R
值域：(0,+∞)
都是单调递增函数
底数都大于1
无最大值，无最小值
y ( )x
3
定义域：R
1 x
y( )
2
值域：(0,+∞)
都是单调递减函数
无最大值，无最小值
底数都大于0且小于1
非奇非偶函数
在第一象限，底数越小，越靠近x轴
图象都在x 轴上方(y >0)，向上无限延伸，向下
无限接近于x 轴，但不与x 轴相交
•
图象都经过定点（0,1），f(0)=1
y ax
在第一象限，底数越大，越靠近y轴
非奇非偶函数
图象都经过定点（0,1），f(0)=1
•
图象都在x 轴上方(y >0)，向上无限延伸，向下
无限接近于x 轴，但不与x 轴相交
1 x
1 x
1 x
4.用描点法来作出函数 y ( ) 和 y ( ) , y ( ) 的图象
第4章4.2.2指数函数的图象和性质(课件)
精彩课堂
问题 选取a的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应 的指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到 函数的一些性质,你认为可以从哪些方面进行观察?你能发现指数函 数的哪些性质?
(2)当a>1时,指数函数的图象位置、公共点、变化趋势、定义 域、值域和单调性如何?当0<a<1时,指数函数的情况又如何呢?
(3)比较a>1与0<a<1时指数函数的图象和性质,它们有什么区别 与联系?
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问题 选取a的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应 的指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到 函数的一些性质,你认为可以从哪些方面进行观察?你能发现指数函 数的哪些性质?
(4)将探索的结果填入下表:
4.2.2 指数函数的图象和性质
导入新课
复习: (1)指数函数的定义; (2)指数函数解析式的特征.
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1.探究指数函数的图象和性质 问题 选取a的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应 的指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,通过观察图象的特征可以得到 函数的一些性质,你认为可以从哪些方面进行观察?你能发现指数函 数的哪些性质? (1)观察这些图象的位置、公共点和变化趋势,它们有哪些共性? 由此你能概括出指数函数的定义域、值域和单调性吗?
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2.例题研讨
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课堂练习
C
B
今天的学习,你有什么收获?
布置作业 教材练习第1,2,3题.
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
高中数学必修一(人教版)《4.2.2 指数函数的图象和性质》课件
(2)函数的定义域为 R .∵2x－x2＝－(x－1)2＋1≤1，
∴22x－x2≤2，即 y≤2.又 ∴函数的值域为(0,2]．
＞0，
(3)函数的定义域为 R .
y＝(2x)2－2x＋1＝2x－122＋34， ∵2x＞0，∴当 2x＝12，即 x＝－1 时，y 取最小值34， ∴函数的值域为34，＋∞.
题型二 指数函数的图象及应用 【学透用活】
1．指数函数图象的特征 同一坐标系中，画出不同底数的指数函数的图象如图所示．直线x＝1与四个 指数函数y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的交点依次为(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1， d)，所以有0＜b＜a＜1＜d＜c，因此可得出以下结论：在y轴的右侧，底数越大， 图象越高，简称“底大图高”．
3.掌握指数函数的性质并会应用， 辑推理和数学运算素养.
能利用函数的单调性比较大小.
(一)教材梳理填空 指数函数的图象和性质
a＞1
图象
0＜a＜1
续表 定义域 值域
性 过定点 质 单调性
奇偶性 对称性
R _(0_，__＋__∞__)_ (0,1) ，即当x＝0时，y＝_1_ 在R上是 增__函___数__ 在R上是 _减__函__数__ 非奇非偶函数 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于 y轴 对称
2．函数 y＝ 1－3x的定义域是 A．[0，＋∞) C．[1，＋∞)
B．(－∞，0] D．(－∞，＋∞)
()
解析：∵1－3x≥0，即 3x≤1，∴x≤0，即 x∈(－∞，0]．故选 B. 答案：B
3．函数 y＝1－2x，x∈[0,1]的值域是
A．[0,1]
B．[－1,0]
C.0，12
D.－12，0
4.2.2指数函数的图象和性质(第二课时)课件-高一上学期数学人教A版【01】
【变式训练】
1．函数 y＝12x2－2x－3的值域为_(_0_,_1_6__]_．
解析：定义域为 R.因为 x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，
所以12x2－2x－3≤12－4＝16. 又12x2－2x－3>0， 所以函数 y＝12x2－2x－3的值域为(0，16]．
题型二 指数函数的单调性及应用
角度 2 解指数不等式
(, 1)
例 3、（1）不等式 4x<42－3x 的解集是_______2_.
（2）若 a－5x>ax＋7(a>0 且 a≠1)，求 x 的取值范围．
（1）解析：因为
4x<42－3x，所以
x<2－3x，所以
1 x<2.
（2） 解：①当 a>1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为增函数，所以－5x>x＋7，解得 x<－76. ②当 0<a<1 时，因为 a5x ax7 ，且函数 y＝ax 为减函数，所以－5x<x＋7，解得 x>－76.
即
a
4
1 x
1
a
1 4x
1
恒成立，解得Fra bibliotek2a1 4x 1
1 4x 1
1，所以
a
1 2
.
题型三 指数函数性质的综合问题 例 5、已知定义在 R 上的函数 f(x)＝a＋4x＋1 1是奇函数. (2)判断 f(x)的单调性(不需要证明)； (3)若对任意的 t∈R，不等式 f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0 恒成立，求实数 k 的取值范围. (2)由(1)知 f(x)＝－12＋4x＋1 1，故 f(x)在 R 上为减函数.
综上所述，当 a>1 时，x 的取值范围为－∞，－67；当 0<a<1 时，x 的取值范围为－76，＋∞.
4.2.2指数函数的图像和性质2(指数型函数)课件高一上学期数学人教A版【02】
练2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
二、指数型复合函数
例3：求下列函数的奇偶性 非奇非偶函数可以尝试特殊值举反例。
所以是非奇非偶函数。
所以是偶函数。 函数。
定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶
二、指数型复合函数
练3：求下列函数的奇偶性
二、指数型复合函数
例4：求下列函数的单调性和单调区间
任意的
二、指数型复合函数
(4)单调性： 减函数 (5)奇偶性：非奇非偶 (6)当x>o时,0<y<1,
当x<0时，y>1.
一、定点问题
(0,1) (2,1) (2,4)
a0 1
二、指数型复合函数
例1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
练1：求下列函数的定义域
二、指数型复合函数
例2：求下列函数的值域
二、指数型复合函数
复合函数单调性
减函数 减函数
复合函数
（2）
单调区间
（-∞，0） （0，+∞）
内函数单调性
减函数 增函数
外函数单调性
增函数 增函数
复合函数单调性
减函数 增函间
（-∞，1）
内函数单调性
减函数
外函数单调性
减函数
复合函数单调性
增函数
复合函数
（4）
单调区间
[0，+∞）
内函数单调性
增函数
练习：1、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
2、求函数
的定义域、 值域及单调增区间
解： x2 2 x 0, x2 2 x 0, 0 x 2
令u x2 2x (x 1)2 1, 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减， y 2u 单调递增, y 2 x2 2x 在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
4.2.2指数函数的图象和性质课件——高一上学期数学人教A版必修第一册
y 2x
y 1 x
列表如下：
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
1
x
8
4
2
2
- 0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 1.4 2 4 8
0.71 0.5 0.25 0.13
思考：这两个函数图象有什么关系？由一个能否得到另一个？
y 2x
y 1 x 2
88
-0.5
1
2
3
4
5
Hale Waihona Puke 6运用规律 解决问题
（2）0.80.1＜ 0.80.2
解：∵函数 y 在 0R.8上x是减函数，
而指数-0.1>-0.2
∴ 0.80.1 0.80.2
1.8 1.6
fx = 0.8x 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
运用规律 解决问题
高中数学必修1
4.2.2指数函数的图象和性质
设计问题 创设情景
复习幂函数及其研究方法
y (yx13)
幂函数
y x2
y x, y x2, y x3,
1
y x 2 , y x1
y=x
(＝1 1
y x2
1
O
1(y
(0
x 1
0)
x
1
的图象.
学生探索 尝试解决
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
2
23
信息交流 教学相长
例2.如图4.2-7，某城市人口呈指数
增长。
（1）根据图象，估计该城市人口每
4.2.2指数函数的图像和性质课件高一上学期数学人教A版【01】
A．[0，＋∞) B．(－∞，0] C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)
答案：B
小试身手：
5、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案：D
小试身手：
6、 比较下列各组数的大小： ； ； ； (4)a与a(a>0且a≠1)．
0.35
-1
2
-0.5
0.71
0
1
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
思考探究
观察表格和图象，你发现了什么
结论 ：
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于y轴对称
思考探究
对于底数函数y=ax（a>0且a≠1），继续选取底数a的若干值，观
察函数的图象：（分别取a=2,3,4及 1 , 1 , 1 ） 234
学习目标
1. 运用描点法画指数函数的图像，运用图像来研究指数函 数的性质。
2．结合实例，体会从特殊到一般问题的研究方法。 3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题。
复习回顾
1. 指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是R.
借助函数图像是了解函数性质最快的方法，如何 绘制函数图像呢？
规律小结：
比较幂的大小的方法：
1、同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2、指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取 相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3、底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数 比较，或借助“1”与两数比较. 4、当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
答案：B
小试身手：
5、函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 C．0<a<1，b>0
B．a>1，b>0 D．0<a<1，b<0
答案：D
小试身手：
6、 比较下列各组数的大小： ； ； ； (4)a与a(a>0且a≠1)．
0.35
-1
2
-0.5
0.71
0
1
1
0.5
1.41
1
2
1.5
2.83
2
4
思考探究
观察表格和图象，你发现了什么
结论 ：
底数互为倒数的两个指数函数的 图象关于y轴对称
思考探究
对于底数函数y=ax（a>0且a≠1），继续选取底数a的若干值，观
察函数的图象：（分别取a=2,3,4及 1 , 1 , 1 ） 234
学习目标
1. 运用描点法画指数函数的图像，运用图像来研究指数函 数的性质。
2．结合实例，体会从特殊到一般问题的研究方法。 3.能通过数形结合，解决定点、单调性等问题。
复习回顾
1. 指数函数的定义：
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量， 函数的定义域是R.
借助函数图像是了解函数性质最快的方法，如何 绘制函数图像呢？
规律小结：
比较幂的大小的方法：
1、同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2、指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取 相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3、底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数 比较，或借助“1”与两数比较. 4、当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论.
4.2.2指数函数的图象和性质课件-高一上学期数学人教A版必修第一册
y( )
1 x
3
6
y( )
1 x
2
y2
5
x
4
3
2
1
-4
-3 -2
-1 0
x
1
2
3
4
y
y
1
y
2
x
y ax
1
y
3
y
x
y 3x
y 2x
y ax
(a 1)
(0 a 1)
1
1
1
0
x
0
1
0 x
x
一、定点问题
例1：已知 = + + ( > , ≠ )图象恒
系中的图象可能是（ ）
()
()
()
()
二、图象辨认
• 例4：比较, , , 的大小
=
=
=
y
=
x
O
二、图象辨认
• 例5：已知实数, 满足2020 = 2021 = ,则下
列四个关系式中可能成立的是(
. 0 < <
. < < 0
. 0 < <
. < < 0
)
二、辨认图象
• 例3：若0 < < 1， < −1，则函数()
＝＋的图象一定不经过第______象限.
三、图象辨认
• 例6：函数 ＝ − 的图象如图所示，其中a，b为
常数，则下列结论正确的是（ ）
A. > 1, < 0
4.2.2指数函数的图象和性质
课件2：4.2.2 指数函数的图象和性质
[针对训练] 4．求函数 f(x)＝3－x2＋2x＋3 的单调区间．
[解] 由题意可知，函数 y＝f(x)＝3－x2＋2x＋3 的定义域为 实数集 R.设 u＝－x2＋2x＋3(x∈R)，则 y＝3u，故原函 数是由 u＝－x2＋2x＋3 与 y＝3u 复合而成．∵y＝3u 是增 函数，而 u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4 在 x∈(－∞，1] 上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．∴f(x)的单调递增 区间为(－∞，1]，单调递减区间为[1，＋∞).
[答案] D
题型二 解简单的指数不等式 典例 2 (1)解不等式：123x－1≤2； (2)已知 ax2－3x＋1<ax＋6(a>0，且 a≠1)，求 x 的取值 范围．
[解] (1)∵2＝12－1， ∴原不等式可以转化为123x－1≤12－1. ∵y＝21x 在 R 上是减函数， ∴3x－1≥－1，∴x≥0. 故原不等式的解集是{x|x≥0}．
[针对训练]
1．已知 a＝0.80.7，b＝0.80.9，c＝1.20.8，则 a，b，c
的大小
B．b>a>c
C．c>b>a
D．c>a>b
[解析] ∵函数 y＝0.8x 在 R 上为减函数， ∴0.80.7>0.80.9，即 a>b. 又 0.80.7<1,1.20.8>1， ∴0.80.7<1.20.8，即 a<c.∴c>a>b.选 D.
2．解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如 ax>ay 的不等式，可借助 y＝ax 的单调性求 解．如果 a 的值不确定，需分 0<a<1 和 a>1 两种情况 进行讨论． (2)形如 ax>b 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数 幂的形式，再借助 y＝ax 的单调性求解． (3)形如 ax>bx 的不等式，可借助图象求解．
4.2.2指数函数的图象和性质课件
y=ax (a>1)
y=ax (0<a<1)
1 1
0
x
00
11
1
0 xx
x
归纳性质
函数
图象
y＝ax (a>0，且a≠1)
0<a<1
a>1
定义域
R
值域
( 0 , +∞ )
性 质
定点
函数值 变化规
律
单调性
（ 0，1 ）
当x<0时, 当x＝0时, 当x>0时,
y0y=<>y11<1；； ．
减函数
当x<0时, 0< y <1
总结规律
（1）函数的单调性与底数a有怎样的关系？ 减函数 增函数
（2）函数图象恒过哪个定点？
(0 , 1)
（3）图象的位置与底数有怎样的关系？
？ 在第一象限，底越大，图越高！
深入探究
y
y
1 2
x
y
1 3
x
如何通过图象判断底的大小？
y 3x y 2x
3 2
1
0
1
在第一象限
底大图高
x
例题示范
< （3） 1.012.7
1.013.5 增函数
> （4） 0.993.3
0.994.5 减函数
同指不同底
练习 6 2，7 2
作图法
（3）通过作图比较不同函 数在同一自变量下函数值的 大小关系；
不同底不同指 练习 1.20.5，0.51.2 ；
y=1
知识总结
1.同底不同指： 利用指数函数的单调性来比较大小
知识小结
高一上学期数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图象和性质课件
0.5
1
2
4
8
6
y2
5
y( )
1 x
2
x
4
y( )
1 x
2
3
x
-3
-2
-1
0
1
y
8
4
2
1
0.5
-4
-3 -2
2
1
-1 0
x
1
2
3
4
探究1:
函数
用
y2
x
y( )
与
y 2 的图像画出
x
1 x
2 的图象有什么关系？可否利
y ( 12 ) x的图像呢？
y=2x
1 x
y( )
2
y
•函数 y 2 与 y (
1 .7
-1 .7
6
5
, 0.3
0 .5
-1.7
1 .7
1 .7
31 .7 2 1 .7 1 . 6 1 .7
, 0 .6
0 .6
1 .7
幂函数？
1 .7
gx = 3x
gx = 0.3x
fx = 2x
fx = 0.5x
4
3
3
2
2
1
1
-4
-2
5
hx = 0.6x
视察图象，你能发现它们有哪些共同特征？
y2
x
y( )
1 x
2
y3
x
y( )
1 x
3
1x
y( )
1x
视察右边图象，回答下列问题：
3
y( )
2
问题一：
4.2指数函数的图象与性质课件(人教版)
需的时间（倍增期）；
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会
增长到多少万人？
分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而
同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以
从图象中选取适当的点计算倍增期．
（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到
20年与倍增期的数量关系．
解：（1）视察图，发现该城市人口经过20年
或中间变量进行
比较
三、应用三
（2023·北京·统考高考真题）下列函数中，在区间 (0, ) 上单调递增的是（ C ）
A． f ( x) ln x
C． f ( x)
1
x
1
B． f ( x) x
2
| x 1|
D． f ( x) 3
三、应用四
如图，某城市人口呈指数增长．
（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所
4
7
3
7
不同底但可化同底
5 0.3
0.3
与 0.2
<
0.3
不同底但同指数
6
0.3
1.7
>
同底指数幂比大
小，构造指数函数，
利用函数单调性
与0.9
3.1
底不同，指数也不同
7
与
8
<
5
12
不同底数幂比大小
，利用指数函数图像
与底的关系比较
利用函数图像
y 的图象，探究两个函数的图象有什
2
两个函数图像关于y轴对称
8
fx = 2x
7
6
x
x
y
y
5
-2
4
4.2.2 指数函数的图象及性质(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
，则下列结论中，一定成立的是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ， 的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
> 时， < <
> 时， >
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
新知1：指数函数图像与性质
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5 ，1.73 ；(2)0.8− 2 ，0.8− 3 ；(3)1.70.3 ，0.93.1 .
解：(1)∵ = 1.7 在定义域上单调递增
=
3
2
1
−2
（6） =
2 4
3
1
1
【解析】（1） = 2 3− 的定义域为R，
值域为 0, +∞ ；
（2） = 5 6 +1 的定义域为R，值域为 0, +∞ ；
（3） =
（3） =
1 3
；
2
的定义域为 −∞, 2 ⋃ 2, +∞ ，
1
1
由于 −2
≠ 0，故
1
−2
∴ 所过定点坐标为 2022,2024 ．
故答案为： 2022,2024 ．
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【例2】（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数 = 2 − 2 的图象是（
A． < 0, < 0, < 0
C． < 0, = − , > 0
）
B． < 0, ≥ 0, > 0
D．3 + 3 > 2
【答案】D
【解析】由图示可知 < 0 ， 的符号不确定， > 0 ，
故A、B错；
( ) = |3 − 1|, ( ) = |3 − 1|，
> 时， < <
> 时， >
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
新知1：指数函数图像与性质
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5 ，1.73 ；(2)0.8− 2 ，0.8− 3 ；(3)1.70.3 ，0.93.1 .
解：(1)∵ = 1.7 在定义域上单调递增
=
3
2
1
−2
（6） =
2 4
3
1
1
【解析】（1） = 2 3− 的定义域为R，
值域为 0, +∞ ；
（2） = 5 6 +1 的定义域为R，值域为 0, +∞ ；
（3） =
（3） =
1 3
；
2
的定义域为 −∞, 2 ⋃ 2, +∞ ，
1
1
由于 −2
≠ 0，故
1
−2
∴ 所过定点坐标为 2022,2024 ．
故答案为： 2022,2024 ．
典型例题
题型二：指数函数的图象问题
【例2】（2023·上海·高一专题练习）如图所示，函数 = 2 − 2 的图象是（
4.2.2指数函数的图像和性质教学说课课件高一上学期数学人教A版
“授之以鱼,不如授之以渔”,方法的掌握,思想的形成,才能使学生受益终身，所以 我进行了以下学法指导: (1)类比学习法: 与幂函数类比学习指数函数的图象和性质. (2)探究定向性学习法: 学生在教师建立的情境下,通过思考、分析、操作、探索，归 纳出指数函数的图象和性质. (3)主动合作式学习法: 学生在归纳得出指数函数的图象和性质时,通过小组讨论,使 问题得以圆满解决.
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
设计意图：让学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图象， 目的是使学生更加信服，从而加深学生对图象的印象，从而为以后画图解题，采用数形结合 的思想方法打下基础.小组合作的方式共同探究性质，自己归纳并设计表格展示性质，整个 过程体现了“从具体到抽象，从特殊到一般”的思维方式，使学生的思维得到升华.培养学 生的抽象概括、归纳能力、语言表达能力以及主动性．
必做题：教科书135页习题1-3，140页到141页习题4.4第2、4题 选做题：习题4.4 的12、13题
设计意图：检验学生指数函数的图象和性质的掌握，以及指数函数的图象和性质的应用. 在选做题部分是对指数函数的图象和性质的拓展与延伸，目的是提高学生运用所学知识 解决问题的能力.
设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对图象和性质的理解,便于记忆,有利于 提高教学效果.
4.2.2 指数函数的图象和性质
课堂教学
一、情景引入
问题1、这两个是什么函数？
二、探索新知
类比幂函数的研究方法和过程研究指数函数： 背景→定义→图象→性质→应用
问题1、你准备归纳指数函数的哪些性质？如何归纳其性质？
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√
(4) y 2x1
×
(5) y 3x
×
(6) y 3x
√
回顾：类比以前研究一次函数、二次函数和反 比函数的思路，给出研究指数函数的方法和内 容？
研究方法：
画函数图象，数形结合，利用图象研究函数 的性质.
研究内容：
定义域、值域、单调性（最值）、奇偶性、 特殊点等等.
二、指数函数的图象与性质
心在各自象限内，逆时针摆动.
y = ax 图象
定义域 值域 函数值 的范围
奇偶性 单调性 最值 特殊点
R
(0, )
若x<0,则 y>1
若x<0,则 0<y<1
若x>0,则 0<y<1
若x>0,则 y>1
图象不关于原点和y轴对称，无奇偶性.
在R上单调递减
在R上单调递增
图象无最高点和最低点，无最大值和最小值.
过定点(0, 1),即x=0时，y=1
总结指数函数的图象特征：
仿·郑板桥《竹石》总结图象特征 咬定（0,1）不放松， 图象 斜 卧 一二中。 0 到 1 时 追 根底， 1 到 无穷 攀 险峰。
三、应用与训练
例题 比较下列各题中各值的大小：
(1)1.72.5 与1.73
(2)0.80.1 与0.80.2
是学过的哪类函数的图象？
4.2.2指数函数的图象和性质
一、指数函数的概念 二、指数函数的图象与性质 三、应用与训练
问题：给定一张纸逐次对折，于是纸张由一层变成两层,面积
变为原来的一半，依次对折下去,……那么这张纸经过x次对折后, 得到纸的层数y与x之间（同时纸的面积 S与 x之间）,构成一个函 数关系,能写出x与 y（S）之间的函数关系式吗？
即 1.70.3 1 0.93.1
所以 1.70.3 0.93.1
三、应用与训练
例题 比较下列各题中各值的大小：
(1)1.72.5 与1.73
(2)0.80.1 与0.80.2
(3)1.70.3 与0.93.1
比较大小的方法：
1.单调性法：利用函数的单调性，数的特征是 “底同指不同”（包括可以化为同底的情形）.
①解析式 ②定义域 ③值 域 ④图 象
⑤单调性 ⑥奇偶性 ⑦最 值
函数的 三要素
函数的 性质
五、作业
①见学案后面练习； ②采用前面表格整理二次函数及其性质.
学习函数的一般流程：
①解析式 ②定义域 ③值 域 ④图 象
⑤单调性 ⑥奇偶性 ⑦最 值
函数的 三要素
函数 的 性质
2.中间值法：找一个中间值，如“1”来过渡， 数的特征是“底不同指不同”
三、应用与训练
比较各题中各值的大小：
(1)1.11.2 与1.12.1
(2)0.10.1 与0.10.2
四、小结
1. 学到了什么？ ①指数函数的概念
②指数函数的图象与性质
③运用图象与性质比较大小
2. 以后如何学习函数？ 学习函数的一般流程：
(3)1.70.3 与0.93.1
三、 应用与训练
(1)1.82.5 与1.83
解：考查函数 y 1.8x,底数大于1，
可知函数在R上是增函数.
y
y 1.8x
因为 2.5＜3，
4
3
所以 1.82.5 1.83
2
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-1
三、应用与训练
(2)0.7 0.1 与0.7 0.2
对折 次数
1
2
3
……
x
纸的
层数 2 4 8
……
2x
纸的 1
1
1
面积 2
4
8
……
(1)x 2
得到表达式：y 2x , y (1)x.
2
GDP 增长函数： y 1.073 x ,
碳14的半衰函数
y
（[
1
1
）5730
]x
.
2
一、指数函数的概念
一般地，函数 y =ax(a0，且a 1)叫做指数函 数，其中x是自变量，函数的定义域是R .
一起看这样的两个问题？
前面学习了指数的运算：
公式：①ar∙ as=ar+s (a>0,r∙s∈Q)
②(ar )s=ar∙s (a>0,r∙s∈Q)
③(a∙ b)r=ar∙br (a>0,b>0,r∈Q)
1
1
1
1
可以容易地进行 52 53 和0.52 0.53 的计算.
1
1
1
1
如何比较52 和53，0.52 和0.53 的大小呢？
为何规定a0，且a1?
0
1
a
1
如a -3，(3)2 3, 所以a<0时，ax 有些会没有意义.
若a
0，02
1义.
而a=1时，a x =1x 恒等于1，没有研究的必要.
练习 判断下列哪些是指数函数？
(1) y x
√
(2) y xx
×
(3) y 23x
在同一坐标系中画出函数y 2x
与y
1
x
2
的图象.
描点法作图 列表
描点
连线
x -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2x 0.25 0.35 0.5 0.71 1 1.41 2 2.83 4 (1)x 4 2.83 2 1.41 1 0.71 0.5 0.35 0.25
2
图象变化规律： 随着a的增大，在x轴上方，图象以（0，1）为中
解：考查函数 y 0.7x,底数小于1，
可知函数在R上是减函数.
y
因为-0.1＞-0.2，
所以0.70.1 0.70.2.
4 3
2
y=0.7x
1
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
-1
三、应用与训练
(3)1.70.3 与0.93.1
解：借助图象
解：由指数函数性质 1.70.3 1.70 1 0.93.1 0.90 1