高数A(下)总复习(同济七版)

《高等数学A》(第二学期)期末总复习

一、微分方程

(一)一阶微分方程：形如(,,)0F x y y ，(,)y f x y 或(.)(,)0M x y dx N x y dy

初值问题：0

0(,),x x y f x y y

y 注：一阶方程的通解必须且只能含有一个任意常数

1． 可分离变量方程：()()f x dx g y dy ，两边同时积分可得通解 2．齐次方程：

dy y dx x

，令y u x ，y xu ，dy du u x dx dx ()du dx u u x ，可分离变量形式 3．一阶线性微分方程： 形如

()()dy

P x y Q x dx

，()0Q x ：齐次；()0Q x ：非齐次. (1)齐次：

()0()||()dy dy P x y P x dx ln y P x dx lnC dx y

通解：()P x dx

y Ce

(2)非齐次①常数变易法：先求相应齐次形式的通解，令其任意常数为变量，再代入原方程以确定该变量

②公式解：()()()P x dx

P x dx y e Q x e dx C

(二)可降阶的高阶微分方程

(1)()()n y f x 型：连续积分；(2)(,)y f x y 型(不显含y 的方程)：设y p ，则(,)y p p f x p (3)(,)y f y y 型(不显含x 的方程)：设y p ，则dp y p dy (,)dy

p f y p dy

(三)二阶线性微分方程的解的结构 1．齐次：()()0y P x y Q x y ，

通解：1122()()y C y x C y x ，其中12(),()y x y x 为该方程两个线性无关的特解． 2．非齐次：()()()y P x y Q x y f x

通解：()*()y Y x y x ，其中()Y x 为对应的齐次方程的通解，*()y x 为原方程的一个特解．

3．设**

1

2(),()y x y x 分别为1()()()y P x y Q x y f x 与2()()()y P x y Q x y f x 的特解， 则***

1

2()()y y x y x 为12()()()()y P x y Q x y f x f x ＋的特解．

(四)二阶常系数线性微分方程

1.齐次：0y py qy ，其中,p q 都为常数

(1)特征方程20r pr q 特征根12,?r r

(2)通解：12112121212121,2()(cos sin )r x r x r x x C e C e r r y C C x e r r e C x C x r i

2.非齐次：()y py qy f x ，其中,p q 都为常数

(1)先求出对应的齐次方程0y py qy 的通解：()Y Y x ； (2)后求原非齐次方程的特解：

A、()()x m f x e P x 型：令*()k x m y x e Q x ，其中k 是特征方程的根 的重数

B、()[()cos ()sin ]x l n f x e P x x P x x 型：

令*[()cos ()sin ]k x m m y x e Q x x R x x ，其中max{,}m l n ，k 是特征根i 的重数.

注意事项

1) 积分法主要方程类型：可分离变量方程(分离变量后直接积分)、齐次方程(令u y x )、一阶线性方程(公

式法)、伯努利方程1()n z

y 、

可降阶方程(不显含x ：,p y p y 与不显含y ：,p y y p dp dy ) 2) 碰到一个方程都是从可分离变量方程开始判断形式，认清形式最关键

3) 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解利用解的结构结论：非齐次通解(两线性无关特解的线性组合)=齐

次通解+非齐次解；求解步骤为：齐次方程 特征方程 特征根 齐次通解；设非齐次特解形式 代入原方程 求得非齐次特解 非齐次通解

二、向量代数与空间解析几何

(一)向量代数

1.点(,,)M x y z 向量(,,)OM x y z xi yj zk

；

2.点111222(,,),(,,)A x y z B x y z 向量212121(,,)AB x x y y z z

； 3.向量运算及其坐标形式：设(,,),(,,)x y z x y z a a a a b b b b

，则

(,,)x x y y z z a b a b a b a b

；(,,)x y z a a a a （ 为数）

；

||||cos(,)x x y y z z a b a b a b a b a b a b ；

x y z x y z

i j k

a b a a a b b b ，

(||||||sin(,),,)a b a b a b a b b a b a ；

以向量a 和b

为邻边的平行四边形面积公式：||S a b

//y x z x y z b b b a b a a a

（对应坐标成比例，一向量某个坐标为零，另一向量相应坐标亦为零）

； 0a b a b ；//0a b a b ； cos(,)||||

a b a b a b ； ||cos(,)a b b a b Prj . (二)曲面、空间曲线及其方程

1.曲面及其方程:(,,)0F x y z ，旋转曲面【绕谁不换谁， 正负根号里没有谁；作图时先画母线然后绕其轴旋转之】，柱面【柱面三缺一，缺谁母线就平行于谁；作图时先画准线结合母线特点得柱面】；要熟悉常见的二次曲面及其方程并会作图(重点：球面，圆柱面，锥面，抛物面)

2.空间曲线及其方程：一般方程（面交式）、参数方程(只有一个参数)；

3.曲线（曲面或空间立体）在坐标面上的投影：投xOy 便两两联立消去z ，其余类推. (三)平面方程与直线方程 1.平面方程

(1)一般方程：0Ax By Cz D ，其中(,,)n A B C

为其一法向量．

(2)点法式方程：法向量(,,)n A B C

，点000(,,)M x y z ，则000()()()0A x x B y y C z z ．

(3)截距式方程：

1x y z

a b c

，主要用于画图. (4)平面束方程：过直线111122220

A x

B y

C z

D A x B y C z D 的平面束方程为：

11112222()()0A x B y C z D A x B y C z D ：过该直线的除第2个平面外的所有平面.

2.直线方程(1)点向式方程：方向向量(,,)s m n p

，点0000(,,)M x y z L ，则000x x y y z z m n p

； (2)参数式方程：000x x mt

y y nt z z pt

（注：主要用于求交点坐标）；(3)一般式方程：111122220

0A x B y C z D A x B y C z D

3.面面、线线、线面关系：确定了相应的方向向量或法向量之后，其夹角便转化为向量之间的夹角