高考数学压轴专题新备战高考《数列》难题汇编及答案

【高中数学】数学高考《数列》复习资料

一、选择题

1．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32S =，618S =，则10

6

S S 等于（ ） A ．-3 B ．5

C ．-31

D ．33

【答案】D 【解析】 【分析】

先由题设条件结合等比数列的前n 项和公式，求得公比q ，再利用等比数列的前n 项和公

式，即可求解10

6

S S 的值，得到答案.

【详解】

由题意，等比数列{}n a 中32S =，618S =，

可得313366316(1)1121(1)1118

1a q S q q a q S q q q ---====--+-，解得2q =， 所以1011051055

16

(1)11133(1)11a q S q q q a q S q q

---===+=---. 故选：D . 【点睛】

本题主要考查了等比数列的前n 项和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的前n 项和公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

2．已知等差数列{}n a 中，若311,a a 是方程2210x x --=的两根，单调递减数列

{}()*n b n N ∈通项公式为27n b n a n λ=+.则实数λ的取值范围是（ ）

A ．(),3-∞-

B ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭

C ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

D ．()3,-+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

先求出71a =，再根据{}n b 是递减数列，得到1

21

n λ<-+对*n N ∈恒成立，即得解. 【详解】

∵311,a a 是方程220x x --=的两根，∴3112a a +=.

∵{}n a 是等差数列，∴311722a a a +==，∴71a =，

∴2

n b n n λ=+，又∵{}n b 是递减数列，

∴10n n b b +-<对*n N ∈恒成立， 则()()()2

2

110n n n

n λλ+++-+<，∴()2110n λ++<，

∴1

21

n λ<-

+对*n N ∈恒成立， ∴13

λ<-.

故选：B. 【点睛】

本题主要考查等差中项的应用，考查数列的单调性和数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且

*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列

(){}5n

f ()*

n N ∈的前2020项的和为（ ）

A ．1010

5

1+

B ．1010514-

C ．1010512

-

D ．101051-

【答案】D 【解析】 【分析】

首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】

解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n

n

n f =-=； 当n 为奇数时，1112

2

2

(5)5

5

45

n n n n f +--=-=⨯，

所以01100920204(555)S =++⋯+，

101051451

-=-g ，

101051=-．

故选：D 【点睛】

本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

4．若两个等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足

2131

n n A n B n -=+，则3711

59

a a a

b b +++的值为（ ）

A ．

3944

B ．

58

C ．

1516

D ．

1322

【答案】C 【解析】 【分析】

利用等差中项的性质将371159

a a a

b b +++化简为7

732a b ,再利用数列求和公式求解即可. 【详解】

1133711713113

5971313()

3333213115213()22223131162a a a a a a A b b b b b B +++⨯-==⨯=⨯=⨯=++⨯+,

故选:C. 【点睛】

本题考查了等差中项以及数列求和公式的性质运用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

5．数列{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为斐波那契数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和．即：21n n n a a a ++=+.记该数列{}n a 的前n 项和为

n S ，则下列结论正确的是（ ）

A ．201920202S a =+

B ．201920212S a =+

C ．201920201S a =-

D ．201920211S a =-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据递推关系利用裂项相消法探求和项与通项关系，即得结果. 【详解】 因为

1233243546521()()()()()n n n n S a a a a a a a a a a a a a a ++=++++=-+-+-+-+-L L 2221n n a a a ++=-=-，

所以201920211S a =-，选D. 【点睛】

本题考查裂项相消法，考查基本分析判断能力，属中档题.