2015高二海淀区第一学期期末数学理科及详细答案
2015-2016年北京市海淀区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．43．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=14．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．16．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．08．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为．三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．2015-2016学年北京市海淀区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2B．（﹣1，0），2C．（1，0），D．（﹣1，0），【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．2．（4分）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1C．2D．4【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．3．（4分）双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0B．2x+y=1C．x+2y=0D．x+2y=1【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．4．（4分）在空间中，“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：“直线a，b没有公共点”⇒“直线a，b互为异面直线或直线a，b为平行线”，“直线a，b互为异面直线”⇒“直线a，b没有公共点”，∴“直线a，b没有公共点”是“直线a，b互为异面直线”的必要不充分条件．故选：B．5．（4分）已知A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，若A，B关于直线y=2x+1对称，则实数a=（）A．B．0C．D．1【解答】解：∵A，B为圆x2+y2=2ax上的两点，A，B关于直线y=2x+1对称，∴圆心C（a，0）在直线y=2x+1上，∴2a+1=0，解之得a=﹣故选：A．6．（4分）已知直线l的方程为x﹣my+2=0，则直线l（）A．恒过点（﹣2，0）且不垂直x轴B．恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴C．恒过点（2，0）且不垂直x轴D．恒过点（2，0）且不垂直y轴【解答】解：由直线l的方程为x﹣my+2=0，令y=0，解得x=﹣2．于是化为：y=﹣x﹣1，∴恒过点（﹣2，0）且不垂直y轴，7．（4分）已知直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，则a的取值是（）A．2B．±2C．﹣2D．0【解答】解：∵直线x+ay﹣1=0和直线ax+4y+2=0互相平行，∴1×4﹣a•a=0，解得a=2或a=﹣2，经验证当a=﹣2时两直线重合，应舍去故选：A．8．（4分）已知两直线a，b和两平面α，β，下列命题中正确的为（）A．若a⊥b且b∥α，则a⊥αB．若a⊥b且b⊥α，则a∥αC．若a⊥α且b∥α，则a⊥b D．若a⊥α且α⊥β，则a∥β【解答】解：对于A，若a⊥b且b∥α，则a与α位置关系不确定；故A错误；对于B，若a⊥b且b⊥α，则a与α位置关系不确定；可能平行、可能在平面内，也可能相交；故B 错误；对于C，若a⊥α且b∥α，根据线面垂直和线面平行的性质定理，可以得到a⊥b；故C正确；对于D，若a⊥α且α⊥β，则a∥β或者a在平面β内，故D错误；故选：C．9．（4分）已知点A（5，0），过抛物线y2=4x上一点P的直线与直线x=﹣1垂直且交于点B，若|PB|=|PA|，则cos∠APB=（）A．0B．C．D．【解答】解：由题意，|PB|=|PF|=PA|，∴P的横坐标为3，不妨取点P（3，2），设P在x轴上的射影为C，则tan∠APC==，∴∠APC=30°，∴∠APB=120°，∴cos∠APB=﹣．故选：C．10．（4分）如图，在边长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为（）A．B．2C．D．3【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设P（a，b，0），则D1（0，0，2），E（1，2，0），B1（2，2，2），=（a﹣2，b﹣2，﹣2），=（1，2，﹣2），∵B1P⊥D1E，∴=a﹣2+2（b﹣2）+4=0，∴a+2b﹣2=0，∴点P的轨迹是一条线段，当a=0时，b=1；当b=0时，a=2，设CD中点F，则点P在线段AF上，当A与P重合时，线段B1P的长度为：|AB1|==2；当P与F重合时，P（0，1，0），=（﹣2，﹣1，﹣2），线段B1P的长度||==3，当P在线段AF的中点时，P（1，，0），=（﹣1，﹣，﹣2），线段B1P的长度||==．∴线段B1P的长度的最大值为3．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 11．（4分）已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．12．（4分）椭圆x2+9y2=9的长轴长为6．【解答】解：椭圆x2+9y2=9即为+y2=1，即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．13．（4分）若曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，则m的取值范围为（2，+∞）．【解答】解：曲线C：mx2+（2﹣m）y2=1是焦点在x轴上的双曲线，可得﹣=1，即有m＞0，且m﹣2＞0，解得m＞2．故答案为：（2，+∞）．14．（4分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD的两组对边均不平行．①在平面PAB内不存在直线与DC平行；②在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行；③平面PAB与平面PDC的交线与底面ABCD不平行；上述命题中正确命题的序号为①②③．【解答】解：①用反证法．设在平面PAB内存在直线与DC平行，则CD∥平面PAB，又平面ABCD∩平面PAB=AB，平面ABCD∩平面PCD=CD，故CD∥AB，与已知矛盾，故原命题正确；②设平面PAB∩平面PDC=l，则l⊂平面PAB，且在平面PAB中有无数无数多条直线与l平行，故在平面PAB内存在无数多条直线与平面PDC平行，命题正确；③用反证法．设平面PAB与平面PDC的交线l与底面ABCD平行，则l∥AB，l∥CD，可得：AB∥CD，与已知矛盾，故原命题正确．故答案为：①②③．15．（4分）已知向量，则与平面BCD所成角的正弦值为．【解答】解：∵向量，∴==（﹣1，2，0），==（﹣1，0，3），设平面BCD的法向量为=（x，y，z），则，取x=6，得=（6，3，2），设与平面BCD所成角为θ，则sinθ===．∴与平面BCD所成角的正弦值为．故答案为：．16．（4分）若某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的体积为，表面积为3．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，棱锥顶点在底面的射影为底面等腰三角形的顶点，棱锥底面等腰三角形的底边为2，底边的高为1，∴底面三角形的腰为，棱锥的高为．∴V==，S=+××2+=3．故答案为，三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（10分）已知△ABC的三个顶点坐标为A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4）．（1）求证：△ABC是直角三角形；（2）若△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，求m的值．【解答】（1）证明：∵A（0，0），B（8，4），C（﹣2，4），∴=（8，4），=（﹣2，4），∴•=﹣16+16=0，∴⊥，∴ABC是直角三角形；（2）解：△ABC的外接圆是以BC为直径的圆，方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，∵△ABC的外接圆截直线4x+3y+m=0所得弦的弦长为6，∴圆心到直线的距离d=4=，∴m=﹣4或﹣44．18．（14分）如图所示的几何体中，2CC1=3AA1=6，CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E为棱A1D中点，平面ABE分别与棱C1D，C1C交于点F，G．（Ⅰ）求证：AE∥平面BCC1；（Ⅱ）求证：A1D⊥平面ABE；（Ⅲ）求二面角D﹣EF﹣B的大小，并求CG的长．【解答】证明：（Ⅰ）因为CC1⊥平面ABCD，且AA1⊥平面ABCD，所以CC1∥AA1，（1分）因为ABCD是正方形，所以AD∥BC，（2分）因为AA1∩AD=A，CC1∩BC=C，所以平面AA1D∥平面CC1B．（3分）因为AE⊂平面AA1D，所以AE∥平面CC1B．（4分）（Ⅱ）法1：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD，（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，以AB，AD，AA1分别x，y，z轴建立空间直角坐标系，则由已知可得B（2，0，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），E（0，1，1），（6分），，（7分）因为，所以，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）法2：因为AA1⊥平面ABCD，所以AA1⊥AB．（5分）因为ABCD是正方形，所以AB⊥AD，所以AB⊥平面AA1D，（6分）所以AB⊥A1D．（7分）因为E为棱A1D中点，且，所以AE⊥A1D，（8分）所以A1D⊥平面ABE．（9分）（Ⅲ）因为A1D⊥平面ABE，且A1D⊂平面EFD，（10分）所以平面EFD⊥平面ABE．（11分）因为平面ABE即平面BEF，所以二面角D﹣EF﹣B为90°．（12分）设，且λ∈[0，1]，则G（2，2，3λ），（13分）因为A1D⊥平面ABE，BG⊂平面ABE，所以A1D⊥BG，所以，即，所以．（14分）19．（12分）已知椭圆G：的离心率为，经过左焦点F1（﹣1，0）的直线l与椭圆G相交于A，B两点，与y轴相交于C点，且点C在线段AB上．（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）若|AF1|=|CB|，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c，由已知可得，且c=1，所以a=2，即有b2=a2﹣c2=3，则椭圆G的方程为；（Ⅱ）由题意可知直线l斜率存在，可设直线l：y=k（x+1），由消y，并化简整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0，由题意可知△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，因为点C，F1都在线段AB上，且|AF1|=|CB|，所以，即（﹣1﹣x1，﹣y1）=（x2，y2﹣y C），所以﹣1﹣x1=x2，即x1+x2=﹣1，所以，解得，即．所以直线l的方程为或．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
(优辅资源)北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题Word版含答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）学校： 班级： 姓名： 成绩： 本试卷共100分，考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线210x y +-=在y 轴上的截距为（ ）A ．2-B ．1-C ．12-D ．1 2.在空间直角坐标系中，已知点(1,0,1)A ，(3,2,1)B ，则线段AB 的中点的坐标是（ ）A ．(1,1,1)B ．(2,1,1)C ．(1,1,2)D ．(1,2,3)3.已知圆22310x y x m +-++=经过原点，则实数m 等于( )A ．32-B ．1-C ．1D ．324.鲁班锁是曾广泛流传与民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身机构的连接支撑，它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为（ ）A ．32B ．34 C.36 D ．405.．．．是（）A.C.6.）A7.）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件8.）A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.的倾斜角为，经过点为．10.所截得的弦长为．11.个点可以是．（只需写出一组）12.13.从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为 .14.的两条对称轴方程；上的两个点的坐标；上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（I（II.16.的中点.（I（II17..（I证明．．；（II（III度，如果不存在，请说明理由.18..点（I（II（III.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1-5:DBBCD 6、7、8、：ACB二、填空题14.说明：9题每空2分，14题中①②空各给1分，③给2分三、解答题15.解：（I（II16.解：（I（II17.解：法一：向量法（I. 证明如下：.（II）由（I（III法二：（I）证明如下：（III18.（I（II（III。
2015海淀区高二(上)期末数学(理科)
2015海淀区高二（上）期末数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）直线x+y=2的倾斜角是（）A．B．C．D．2．（4分）焦点在x轴上的椭圆的离心率是，则实数m的值是（）A．4 B．C．1 D．3．（4分）一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．8 B．C．D．64．（4分）已知圆O：x2+y2=1，直线l：3x+4y﹣3=0，则直线l被圆O所截的弦长为（）A．B．1 C．D．25．（4分）已知向量=（1，1，0，），=（0，1，1），=（1，0，1），=（1，0，﹣1），则其中共面的三个向量是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6．（4分）已知等差数列{a n}，则“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．（4分）已知正四面体A﹣BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是（）A．∀F∈BC，EF⊥AD B．∃F∈BC，EF⊥AC C．∀F∈BC，EF≥D．∃F∈BC，EF∥AC8．（4分）已知曲线W：+|y|=1，则曲线W上的点到原点距离的取值范围是（）A．B． C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9．（4分）已知直线x﹣ay﹣1=0与直线y=ax平行，则实数a=．10．（4分）双曲线的两条渐近线方程为．11．（4分）已知空间向量=（0，1，1），=（x，0，1），若，的夹角为，则实数x的值为．12．（4分）已知椭圆C=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，若等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，则椭圆C的离心率为．13．（4分）已知点，抛物线y2=2x的焦点为F，点P在抛物线上，且|AP|=|PF|，则|OP|=．14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，α为其六个面中的一个．点P∈α且P不在棱上，若P到异面直线AA1，CD的距离相等，则点P的轨迹可能是．（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知点A（0，2），圆O：x2+y2=1．（Ⅰ）求经过点A与圆O相切的直线方程；（Ⅱ）若点P是圆O上的动点，求的取值范围．16．（12分）已知抛物线W：y2=4x的焦点为F，直线y=2x+t与抛物线W相交于A，B两点．（Ⅰ）将|AB|表示为t的函数；（Ⅱ）若|AB|=3，求△AFB的周长．17．（12分）在空间直角坐标系Oxyz中，已知A（2，0，0），B（2，2，0），D（0，0，2），E（0，2，1）．（Ⅰ）求证：直线BE∥平面ADO；（Ⅱ）求直线OB和平面ABD所成的角；（Ⅲ）在直线BE上是否存在点P，使得直线AP与直线BD垂直？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）如图，已知y=kx（k≠0）与椭圆：+y2=1交于P，Q两点，过点P的直线PA与PQ垂直，且与椭圆C的另一个交点为A．（1）求直线PA与AQ的斜率之积；（2）若直线AQ与x轴交于点B，求证：PB与x轴垂直．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】设倾斜角为θ，θ∈[0，π）．∵直线x+y﹣2=0，∴k=﹣1=tanθ，∴．故选：D．2．【解答】焦点在x轴上的椭圆，可知a2=m，b2=3，c2=m﹣3，椭圆的离心率是，可得，解得m=4．故选：A．3．【解答】由已知中的三视图可得，该几何体为以俯视图为底面的四棱锥，棱锥的底面面积S=2×2=4，棱锥的高h=2，故棱锥的体积V==，故选：B4．【解答】圆心到直线的距离d=，则直线l被圆O所截的弦长为==，故选：C5．【解答】对于A，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1，1，0）=x（0，1，1）+y（1，0，1）=（y，x，x+y）；∴，此方程组无解，∴、、三向量不共面；同理，C、D中三向量也不共面；对于B，设、、三向量共面，则=x+y，∴（1、1、0）=x（0、1、1）+y（1、0、﹣1）=（y、x、x﹣y）；∴，此方程组有唯一的解，∴、、三向量共面．故选：B．6．【解答】在等差数列{a n}中，若a2＞a1，则d＞0，即数列{a n}为单调递增数列，若数列{a n}为单调递增数列，则a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“数列{a n}为单调递增数列”充分必要条件，故选：C．7．【解答】如图，∵四面体A﹣BCD为正四面体，且E为AD的中点，∴BE⊥AD，CE⊥AD，又BE∩CE=E，∴AD⊥面BCE，则∀F∈BC，EF⊥AD，选项A正确；由AE⊥面BCE，∴AE⊥EF，若AC⊥EF，则CE⊥EF，∵∠BEC为锐角三角形，∴不存在F∈BC，使EF⊥AC，选项B错误；取BC中点F，可求得DF=，又DE=1，得EF=，选项C错误；AC是平面BCE的一条斜线，∴AC与平面BCE内直线的位置关系是相交或异面，选项D错误．故选：A．8．【解答】+|y|=1即为=1﹣|y|，两边平方，可得x2+y2=1+y2﹣2|y|，即有x2=1﹣2|y|，作出曲线W的图形，如右：则由图象可得，O与点（﹣1，0）或（1，0）的距离最大，且为1；O与点（0，）或（0，﹣）的距离最小，且为．故曲线W上的点到原点距离的取值范围是[，1]．故选A．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上. 9．【解答】当a=0时，第二个方程无意义，故a≠0，故直线x﹣ay﹣1=0可化为x﹣，由直线平行可得a=，解得a=±1故答案为：1或﹣110．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：11．【解答】已知，则：，由于，则：解得：x=1或﹣1故答案为：1或﹣112．【解答】因为等边△F1F2P的一个顶点P在椭圆C上，如图：所以由椭圆的对称性可得：点P是椭圆短轴上的顶点，因为△F1F2P是等边三角形，所以a=2c，则=，即e=，故答案为：．13．【解答】抛物线y2=2x的焦点为F（，0），设P（m2，m），由|AP|=|PF|，可得|AP|2=2|PF|2，即有（m2+）2+m2=2[（m2﹣）2+m2]，化简得m4﹣2m2+1=0，解得m2=1，即有|OP|===．故答案为：．14．【解答】设α为平面ABCD，则由题意，AA1⊥平面ABCD，PA⊂平面ABCD∴AA1⊥PA∴PA表示P到直线AA1的距离∵点P到直线CD的距离等于它到直线AA1的距离∴点P到A的距离等于点P到直线CD的距离∴P点的轨迹为抛物线的一部分，故答案为：④．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【解答】（本小题满分10分）（I）由题意，所求直线的斜率存在．设切线方程为y=kx+2，即kx﹣y+2=0，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以圆心O到直线的距离为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以，解得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）所求直线方程为或．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（II）设点P（x，y），所以，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）因为点P在圆上，所以x2+y2=1，所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）又因为x2+y2=1，所以﹣1≤y≤1，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．【解答】（I）设点A（x1，y1），B（x2，y2），由，消元化简得4x2+（4t﹣4）x+t2=0，则，所以，其中；（II）由，则=3，解得t=﹣4，经检验，此时△=16﹣32t＞0，所以x1+x2=1﹣t=5，由抛物线的定义，有，又，所以△AFB的周长为．17．【解答】（I）法一：取点C（0，2，0）则，所以，所以OA∥CB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）又，所以，所以OD∥CE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）又OA∩OD=D，CE∩CB=C所以平面OAD∥CBE﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以BE∥平面ADO﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）法二：由题意，点A，D，O所在的平面就是xOz平面，取其法向量为，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）而，所以，即，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）又显然点B，E不在平面ADO上，所以BE∥平面ADO．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（II）设平面ABD的法向量为，因为，所以，所以可取．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）又，设OB与平面ABD所成的角为θ．所以．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）所以直线OB和平面ABD所成的角为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）（Ⅲ）假设存在点P（x，y，z），使得直线AP与直线BD垂直．设，即（x﹣2，y﹣2，z）=（﹣2λ，0，λ）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以，所以．又，所以，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）解得，所以在直线BE上存在点P，使得直线AP与直线BD垂直，点P的坐标为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）18．【解答】（1）设P（x1，y1），A（x2y2），联立，得（2k2+1）x2=2，∴，∴P，Q的横坐标互为相反数，∴设Q（﹣x1，﹣y1），∵直线PQ的斜率为k，且k≠0，而，，∴，∵P，A都在椭圆上，∴，，∴===﹣，∴直线PA与AQ的斜率之积为﹣．（2）证明：∵，而PQ，PA垂直，∴，∴k AQ=，∴直线AQ的方程为y﹣（﹣y1）=，令y=0，得y1=），∵点P（x1，y1）直线y=kx上，∴y1=kx1，代入得到B点的横坐标为x0=x1，∴直线PB与x轴垂直．Word下载地址第11页共11。
2015-2016第一学期高二期末考试理科数学试题及答案
2015-2016学年度高二年级期末教学质量检测理科数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．“0x >”是0>”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 2．抛物线24y x =的焦点坐标是A ．(1,0)B ．(0,1)C ．1(,0)16 D ．1(0,)163．与圆8)3()3(22=-+-y x 相切，且在y x 、轴上截距相等的直线有A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条 4．设l 是直线，,αβ是两个不同的平面，则下列结论正确的是A ．若l ∥α，l ∥β，则//αβB ．若//l α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β, //l α，则l ⊥β 5．已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≥0，则⌝p 是A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<0D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)<06．设(2,1,3)a x = ，(1,2,9)b y =-，若a 与b 为共线向量，则A ．1x =，1y =B ．12x =，12y =-C ．16x =，32y =-D ．16x =-，32y =7．已知椭圆2215x y m +=的离心率5e =，则m 的值为A ．3B ．3C D ．253或38．如图,在正方体1111ABCD A BC D -中，,,M N P 分别是111,,B B B C CD 的中点，则MN 与1D P 所成角的余弦值为A． BCD ．9．如图，G 是ABC ∆的重心，,,OA a OB b OC c ===，则OG =A ．122333a b c ++B ．221333a b c ++C ．222333a b c ++D ．111333a b c ++10.下列各数中，最小的数是A ．75B ．)6(210 C ．)2(111111 D ．)9(8511．已知双曲线22214x yb-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦 点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 A ． B C ．3 D ．512、在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 A 、 11 B 、12 C 、1 D 、15二、填空题:本大题共4小题,每小题5分，满分20分13．若直线x +a y+2=0和2x+3y+1=0互相垂直，则a = 14．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为 。
2015海淀上学期期末理数(word版,带解析)
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）2016.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)-3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+，则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3- 4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输 出的a 值为A.1B.2C.3D.5 5. 已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{1,0,1},1,2,3,4,5i a i ∈-=, 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个 6. 已知圆,直线1:l y =，2:1l y kx =- 若12,l l 被圆所截得的弦的长度之比为，则k 的值为A. B.1 C.1222(2)4C x y -+=：C 1:2EA BCD输出输入开始结束7. 若,x y 满足+20,40,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x =-的最大值为A.8-B.4-C.1D.28. 已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线,,'AB AD AA 所成角都相等的直线条数为m , 过点A 与三个平面．．',,'AB AC AD 所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是A. 1,1m n ==B. 4,1m n ==C. 3,4m n ==D. 4,4m n == 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区2015-2016高二年级第一学期期末练习数学(文科)试题带答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（文科） 2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知圆22(1)=2x y ++，则其圆心和半径分别为( )A ．（1,0),2B ．（-1,0),2 C．（D．（2.抛物线24x y =的焦点到其准线的距离是（）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43.双曲线2214x y -=的离心率为（） ABC4.圆x 2＋y 2－2x =0与圆x 2＋y 2＋4y =0的位置关系是（） A.相离B.外切C.相交D.内切5.已知直线,m n 和平面α，且n α⊂，则“m n ⊥”是“m α⊥”的（） A ．充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.已知直线l 的方程为20x my +-=，则直线l ( )A ．恒过点(2,0)-且不垂直x 轴B ．恒过点(2,0)-且不垂直y 轴C ．恒过点(2,0)且不垂直x 轴D ．恒过点(2,0)且不垂直y 轴7.已知直线10x ay +-=和直线420ax y ++=互相平行，则a 的取值是（） A ．2B ．2±C ．2-D ．08.已知O 为坐标原点，直线2y =与2240x y Dx y ++-=交于两点,M N ，则MON ∠=（） A ．30o B ．45o C ．60o D ．90o9.已知两平面α,β，两直线m,n ，下列命题中正确的是( )A ．若m ∥α，n ⊂α，则m ∥nB ．若m ⊂α，n ⊂α，且m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．若m ⊥α，m ∥n ，n ⊂β，则α⊥βD ．若m ∥α，α∩β＝n ，则m ∥n10.如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在正方体表面上移动，且满足B 1P ⊥D 1E ，则点1B 和点P 构成的图形是（）A.三角形B.四边形C.曲边形D.五边形1二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.11.已知命题p ：“R x ∀∈，20x ≥”，则p ⌝：___________________________________.12.已知111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，命题p ：“若12l l ⊥，则121k k =-”的逆否命题是_____________________，原命题p 为____________命题.（填“真”或“假”）13.双曲线2214x y -=的实轴长为__________，渐近线的方程为________________.14.已知12,F F 为椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点，若3(1,)2P 在椭圆上，且满足12||||4PF PF +=，则椭圆C 的方程为________________.15.已知点(5,0)A ，若抛物线24y x =上的点(,)P m n 到直线1x =-的距离与到点A 的距离相等，则m =_______________.16.已知四棱锥的三视图（如图所示），则该四棱锥的体积为__________，在该四棱锥的四个侧面中，面积最小的侧面面积是________.三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.（本小题共10分）已知圆M :222()(4)(>0)x a y r r -+-=过点(0,0),(6,0)O A ． （Ⅰ）求,a r 的值；（Ⅱ）若圆M 截直线430x y m ++=所得弦的弦长为6，求m 的值.18.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AC CB ==，且AC CB ⊥，1AA ⊥底面ABC ，E 为AB 中点. （Ⅰ）求证：BC ⊥1A C ；（Ⅱ）求证：1BC //平面1A CE ；（Ⅲ）若13AA =，BP a =，且AP ⊥1A C ，写出a 的值（不需写过程）.19.（本小题共12分）已知直线:l y x n =+与椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-交于两点,B C . （Ⅰ）若椭圆G 的焦点在y 轴上，求m 的取值范围；（Ⅱ）若(0,1)A 在椭圆上，且以BC 为直径的圆过点A ，求直线l 的方程.1A()主正视图俯视图()侧左视图海淀区高二年级第一学期期末练习参考答案数学（文科）2016.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分，共40分.DBACB DADCB二、填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.11.x ∃∈R ，20x <12.若121k k ≠-,则1l 与2l 不垂直真 13.4 20x y ±=14.22143x y +=15.3 16.2 1（说明：一题两空的题目，每空2分）三、解答题:本大题共3小题,共36分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可)17.解：（Ⅰ）由已知可得222216,(6)16,a r a r ⎧+=⎨-+=⎩-----------------------------------------------------2分 解得3,5a r ==.-----------------------------------------------------------------------4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知圆M 的方程为22(3)(4)25x y -+-=.--------------------5分 圆心到直线430x y m ++=的距离为|24|5m +,--------------------------------7分所以|24|5m +，----------------------------------------------------------9分 所以4m =-或44m =-.-------------------------------------------------------------10分18.证明：（Ⅰ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CB ⊥.-----------------------------------2分 因为AC CB ⊥，所以CB ⊥平面11AA C C .------------------------4分 所以1CB AC ⊥.------------------------------------5分（Ⅱ）连接1AC 与1A C 交于点F ，连接EF ，---7分由三棱柱性质可得四边形11AA C C 是平行四边形， 所以点F 是1AC 的中点. 因为E 为AB 中点，1A所以在1AC B ∆中1//EF C B .-----------------------------------------------------------8分 因为EF ⊂平面1ACE ,1BC ⊄平面1ACE ,-----------------------------------------10分 所以1BC //平面1A CE .----------------------------------------------------------------11分 （Ⅲ）43a =. ---------------------------------------------------------------------------14分 19.解：（Ⅰ）由椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-可得2213x y m m +=-，由椭圆的焦点在y 轴上，可得0,30,3.m m m m >⎧⎪->⎨⎪<-⎩------------------------3分 解得302m <<,所以m 的取值范围是302m <<.-------------------------4分（Ⅱ）因为(0,1)A 在椭圆:G 22(3)(3)m x my m m -+=-上，所以(3)m m m =-， 所以2m =或0m =（舍），所以椭圆:G 2222x y +=.---------------------------------------------------------5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，由22,22,y x n x y =+⎧⎨+=⎩消y 并化简整理得2234220x nx n ++-=， 21212422,33n n x x x x --+==，----------------------------------------------------6分 因为以BC 为直径的圆过点A ，所以AB AC ⊥,------------------------------------------------------------------------7分所以AB AC ⋅=u u u r u u u r0.因为AB AC ⋅=u u u r u u u r11221212(,1)(,1)(1)(1)x y x y x x x n x n -⋅-=++-+-212122(1)()(1)x x n x x n =+-++-22444(1)(1)033n n n n --=-+-=，---------------------------------------------9分所以13n =-或1n =.----------------------------------------------------------------10分经检验，13n =-或1n =都满足0∆>，----------------------------------------11分所以所求直线l 的方程为13y x =-或1y x =+.-------------------------------12分。
【最新资料】北京市海淀区高二上学期期末考试数学(理)试题(含答案)
高考数学最新资料海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）20xx.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）抛物线22y x =的准线方程是 ( )（A ） 12x =（B ）12y = （C ）12x =- （D ）12y =-（2）若直线10x ay ++=与直线20x y ++=平行，则实数a = ( ) （A ）12-（B ）2- （C ）12（D ）2 （3）在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA =a , OB =b ，OC =c ，那么向量AP 用基底{,,}a b c 可表示为（ ）（A ）111222-+a +b c（B ）1122-+a +b c （C ）1122+a +b c（D ）111222+a +b c（4）已知直线l ，平面α.则“l α^”是“$直线m αÌ，l m ^”的 （ ）（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（5）若方程22(2)1mx m y +-=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）(1,)+∞ （B ）(0,2) （C ）(1,2)（D ）(0,1)（6）已知命题:p 椭圆的离心率(0,1)e ∈，命题:q 与抛物线只有一个公共点的直线是此抛物线的切OABCP线，那么 （ ） （A ）p q ∧是真命题 （B ）()p q ∧⌝是真命题 （C ）()p q ⌝∨是真命题 （D ）p q ∨是假命题（7）若焦距为4的双曲线的两条渐近线互相垂直，则此双曲线的实轴长为 （ ） （A ）（B ） 4 （C ）（D ） 2 （8）如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是棱1CC 上的一个动点，平面1BED 交棱1AA 于点F ．则下列命题中假命题．．．是 （ ）（A ）存在点E ，使得11A C //平面1BED F （B ）存在点E ，使得1B D ⊥平面1BED F （C ）对于任意的点E ，平面11A C D ⊥平面1BED F （D ）对于任意的点E ，四棱锥11B BED F -的体积均不变二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）在空间直角坐标系中，已知(2,1,3)=-a ，(4,2,)x =-b .若^a b ，则x = . （10）过点(1,1)且与圆2220x x y -+=相切的直线方程是 .（11）已知抛物线C ：24y x =，O 为坐标原点，F 为C 的焦点，P 是C 上一点. 若OPF ∆是等腰三角形，则PO = .（12）已知点12,F F 是双曲线C 的两个焦点，过点2F 的直线交双曲线C 的一支于,A B 两点，若1ABF ∆为等边三角形，则双曲线C 的离心率为 .F ED 1C 1B 1A 1DCBA（13）如图所示，已知点P 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11A D 上的一个动点，设异面直线AB 与CP 所成的角为α，则cos α的最小值是 .（14）曲线C 是平面内与定点(2,0)F 和定直线2x =-的距离的积等于4的点的轨迹.给出下列四个结论：①曲线C 过坐标原点； ②曲线C 关于x 轴对称； ③曲线C 与y 轴有3个交点；④若点M 在曲线C 上，则MF的最小值为1). 其中，所有正确结论的序号是___________．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点 (4 0)A ，，动点M 在y 轴上的正射影为点N ，且满足直线MO NA ⊥.（Ⅰ）求动点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）当π6MOA ∠=时，求直线NA 的方程.(16)（本小题共11分）已知椭圆C ：22312x y +=，直线20x y --=交椭圆C 于,A B两点.（Ⅰ）求椭圆C 的焦点坐标及长轴长； （Ⅱ）求以线段AB 为直径的圆的方程.(17)（本小题共11分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，PB BC ⊥，PD DC ⊥，且1A PPC =（Ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角B PD C --的余弦值；（Ⅲ）棱PD 上是否存在一点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30？若存在，求PE 的长；若不存在，请说明理由．(18)（本小题共12分）已知椭圆M ：22221(0)x y a b a b +=>>经过如下五个点中的三个点：1(1,)2P --，2(0,1)P ，31(,)22P ，4(1,2P ，5(1,1)P . （Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）设点A 为椭圆M 的左顶点，, B C 为椭圆M 上不同于点A 的两点，若原点在ABC ∆的外部，且ABC ∆为直角三角形，求ABC ∆面积的最大值.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准 20xx ．01一. 选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. （9）103 （10）10y -= （11）32或1（12（13 （14）①②④ 注：（11）题少一个答案扣2分.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）设(,)M x y ，则(0,)N y ，(,)OM x y =，(4,)NA y =-.……………………2分因为 直线MO NA ⊥，所以 240OM NA x y ⋅=-=，即24y x =. ………………………4分所以 动点M 的轨迹C 的方程为24y x =（0x ≠）. ………………………5分（Ⅱ）当π6MOA ∠=时，因为 MO NA ⊥，所以 π3NAO ∠=. 所以 直线AN 的倾斜角为π3或2π3.当直线AN 的倾斜角为π3时，直线NA0y --=； ……………8分当直线AN 的倾斜角为2π3时，直线NA0y +-=. …………10分（16）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）原方程等价于221412x y +=. 由方程可知：212a =，24b =，2228c a b =-=，c =……………………3分 所以 椭圆C的焦点坐标为(0,，(0,-，长轴长2a为……………5分（Ⅱ）由2231220x y x y ⎧+=⎨--=⎩，，可得:220x x --=.解得：2x =或1x =-.所以 点,A B 的坐标分别为(2,0)，(1,3)--. ………………………7分 所以 ,A B 中点坐标为13(,)22-，||AB ==……………9分所以 以线段AB 为直径的圆的圆心坐标为13(,)22-，半径为2. 所以 以线段AB 为直径的圆的方程为22139()()222x y -++=. …………………11分（17）（本小题满分11分）（Ⅰ）证明：在正方形ABCD 中，CD AD ⊥.因为CD PD ⊥，ADPD D =，所以 CD ⊥平面PAD ． ………………………1分 因为 PA ⊂平面PAD ，所以 CD PA ⊥． ………………………2分 同理，BC PA ⊥． 因为 BCCD C =，所以 PA ⊥平面ABCD ． ………………………3分 （Ⅱ）解：连接AC ，由（Ⅰ）知PA ⊥平面ABCD ．因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 PA AC ⊥． ………………………4分 因为PC =AC =所以 1PA =．分别以AD ，AB ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 由题意可得：(0,1,0)B ，(1,0,0)D ，(1,1,0)C ，(0,0,1)P ．所以 (0,1,0)DC =，(1,0,1)DP =-，(1,1,0)BD =-，(0,1,1)BP =-． 设平面PDC 的一个法向量(,,)x y z =n ，则00DC DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 即0,0.y x z =⎧⎨-+=⎩ 令1x =，得1z =.所以 (1,0,1)=n ．同理可求：平面PDB 的一个法向量(1,1,1)=m ． ………………………6分 所以cos ,3⋅<>===n m n m |n ||m |． 所以 二面角B PD C --的余弦值为3． ………………………8分 （Ⅲ）存在．理由如下：若棱PD 上存在点E 满足条件，设(,0,)PE PD λλλ==-，[0,1]λ∈．所以 (1,1,1)(,0,)(1,1,1)EC PC PE λλλλ=-=---=--．…………………9分 因为 平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)AP =． 所以 |cos ,|2(1EC AP EC AP EC AP⋅<>==令1sin 30,2==解得：1λ=±经检验1[0,1]λ=．所以 棱PD 上存在点E ，使直线EC 与平面BCD 所成的角是30，此时PE 的长为1． ………………………11分（18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由22222222222222221222(1)1112a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+<+=+<+知，31(2P 和5(1,1)P 不在椭圆M 上，即椭圆M经过1(1,2P --，2(0,1)P，4(1,2P . 于是222,1a b ==.所以 椭圆M 的方程为：2212x y +=. ………………………2分 （Ⅱ）①当90A ∠=︒时，设直线:BC x ty m =+，由2222,,x y x ty m ⎧+=⎨=+⎩得222(2)2(2)0t y tmy m +++-=.设1122(,),(,)B x y C x y ，则2216880m t ∆=-+>，12221222,22. 2tm y y t m y y t ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩所以AB AC k k ===1==-.于是m =，此时21616809t ∆=-+>，所以直线:BC x ty =.因为12216902y y t =-<+，故线段BC 与x轴相交于(3M -，即原点在线段AM 的延长线上，即原点在ABC ∆的外部，符合题设. ………………………6分所以12121||||||23ABC S AM y y y y ∆=⋅-=-====89. 当0t =时取到最大值89. ………………………9分 ②当90A ∠≠︒时，不妨设90B ∠=︒.设直线:0)AB x ty t =-≠，由2222,x y x ty ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得22(2)0t y +-=.所以 0y =或22y t =+.所以B ，由AB BC ⊥，可得直线:BC y tx =-.由223222,,2x y y tx t ⎧+=⎪⎨=-+⎪+⎩得22222328(1)(2)(21)02t t t t y y t +++--=+.所以 222228(1)0(2)(21)B C t t y y t t +=-<++. 所以 线段BC 与x轴相交于N . 显然原点在线段AN 上，即原点在ABC ∆的内部，不符合题设. 综上所述，所求的ABC ∆面积的最大值为89. ……………………12分注：对于其它正确解法，相应给分.。
北京市海淀区2014-2015学年高二上学期期末练习数学(理)试题
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）2015.1学校班级姓名成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（）A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为（） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8.已知曲线||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（） A. 1[,1]2B.[2C.[2D.二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10.双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11.已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__.12.已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -，抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分②椭圆的一部分③双曲线的一部分④抛物线的一部分三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=.( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点.( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II )若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ；( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12x C y +=交于,P Q 两点.过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.OAx PQ二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10.34y x =或34y x =- 11.1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解:（I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=，-------------1分 所以圆心O 到直线的距离为d =，-------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y =+或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-，-------------6分 所以 222OP AP x y y ⋅=+-.-------------7分因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分） 解:（I ）设点1122(,),(,),A x y B x y因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（-------------2分所以2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩-------------4分所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II）因为||AB =4t =-经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=， 所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. -------------10分又||AB =,所以AFB △的周长为. -------------12分17.（本小题满分12分） 解: （I ）法一：取点(0,2,0)C则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥-------------1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥-------------2分又,OA OD D CECB C ==所以平面OAD CBE ∥-------------3分 所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面， 取其法向量为(0,1,0)n =，-------------1分而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥，-------------3分 又显然点,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO . -------------4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =, 因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB =设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB mOB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ)假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩,所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=，-------------11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解:（I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠， 而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, -------------2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+=-------------3分所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQ x x y y k k x x x x ----⋅==-- 221222211()2x x x x -=- 12=--------------5分法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在, 设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分 又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分 所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. -------------5分 （II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直， 所以11k k =-，所以2AQ kk =， -------------6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
北京师大附中2014-2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷(理科) 后有答案
北京师大附中2014－2015学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）说明：本试卷共150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．设命题:,22012x p x R ∃∈>，则p ⌝为（ ）A ．,22012x x R ∀∈≤B ．,22012x x R ∀∈>C ．,22012x x R ∃∈≤D ．,22012x x R ∃∈< 2．设0a >，则椭圆2222x y a +=的离心率是（ ）A ．12 B C ．13 D ．与a 的取值有关 3．若a ，b ，c 为复数，则22()()0a b b c -+-=是a b c ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分但不必要条件 C ．必要但不充分条件 D ．既不充分也不必要条件4．设m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n B ．若m ⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m ⊥n C ．若m ⊥α，n ⊂β，m ⊥n ，则α⊥βD ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β5．已知P 为双曲线22112y x -=上一点，F 1、F 2分别是左、右焦点，若12:3:2PF PF =，则△PF 1F 2的面积是（ ）A ．B ．C ．12D ．246．如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2的等腰直角三角形，则该三棱锥的体积是（ ）A ．43 B ．83C ．4D ．8 7．已知抛物线22y px =的焦点F 与双曲线22179x y -=的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK =，则△AFK 的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．328．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ）A ．12(,)33B ．1(,1)2C ．2(,1)3D ．111(,)(,1)322二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
资料：年海淀区高二上数学(理科)期末考试卷
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科）By iC 2011.011. 椭圆1162522=+y x 的焦点坐标为 A. (3±，0) B. (4±，0) C. (0， 3±)D. (0， 4±)2. 已知向量 2(-=a ，3，)1，1(=b ，1-，)0，则=+||b aA.26B. 14C. 2D.63. 已知双曲线经过点（6，3） ，且它的两条渐近线的方程是x y 31±=，那么此双曲线的方程是 A.193622=-y x B.198122=-y x C. 1922=-y x D.131822=-y x 4. 命题“Q a ∈∀，a a ≥2”的否定是A. Q a ∉∀，a a ≥2B. Q a ∈∃，a a <2C. Q a ∈∃，a a ≥2D. Q a ∉∀，a a <25. 如图，已知10||=AB ，图中的一系列圆是圆心分别A ，B 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，n ，利用这两组同心圆可以画出以A ，B 为焦点的椭圆，设其中经过点M ，N ，P 的椭圆的离心率分别是M e ，N e ，P e ，则 A. M e =N e =P e B. P e <M e =N e C. M e <N e <P eD. P e <M e <N e6. 已知点M 是平面α内的动点，1F ，2F 是平面α内的两个定点，则“点M 到点1F ，2F 的距离之和为定值”是“点M 的轨迹是以1F ，2F 为焦点的椭圆”的 A.充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 即不充分也不必要条件7. 已知三棱锥O-ABC ，点G 是ABC ∆的重心。
设a =→OA ，b =→OB ，c =→OC ，那么向量→OG 用基底}{c b,a,可以表示为A.c b a 312121++B.c b a 313131++ C. c b a 212121++D. c b a 323232++8. 如图，点A ，B ，C 是椭圆M ：12222=+by a x 的三个顶点，1F ，2F 是它的左、右焦点，P 是M 上一点，且OB PF ⊥2。
2015年秋期普通高中二年级期末测试理科数学答案
2015年秋期普通高中二年级期末测试 理科数学参考答案及评分意见说明：一、本解答给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可比照评分意见制订相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半，如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（每小题5分，共60分）二、填空题（每小题5分，共20分） 13．15； 14．23； 15.2； 16．29三、解答题（共70分）.17.解：由p 为真，得03x <<……………………….(2分)由命题q 为真，得26x <<， ………………………. (4分) 法一：∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴q p ,一真一假 1°当p 真q 假时 ，得⎩⎨⎧≥≤<<6230x x x 或，∴20≤<x ………………………. (6分)2°当p 假q 真时 ，得⎩⎨⎧<<≥≤6230x x x 或，∴ 63<≤x ………………………. (8分)∴x 的取值范围为：)6,3[]2,0( …………………… (10分) 法二：因为p ∨q 为真，得(0,3)(2,6)(0,6)x ∈= ……… (6分) 因为p ∧q 为假，得(0,3)(2,6)(2,3)x ∉= ，所以{}2,3x x x x ∈≤≥ ………… (8分) 故所求x 的取值范围是{}(0,6)2,3(0,2][3,6)x x x ≤≥= ………………………(10分) 18.解：(I)因为图中所有小矩形的面积之和等于1，所以10×(0.005＋0.01＋0.02＋a ＋0.025＋0.01)＝1，解得a ＝0.03. …………………………………………………………………(3分)(II)根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1－10×(0.005＋0.01)＝0.85.由于该校高二年级共有学生600名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高二年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为600×0.85＝510 …………………….(6分)AEC 1B 1A 1DCB(III)成绩在[60,70)分数段内的人数为20×0.2＝4，成绩在[90,100]分数段内的人数为20×0.1＝2，则记在[60,70)分数段的四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，在[90,100]分数段内的两名同学为B 1，B 2.若从这6名学生中随机抽取2人，则总的取法共有15种. ……………………….(9分) 如果2名学生的数学成绩都在[60,70)分数段内或都在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[60,70)分数段内，另一个成绩在[90,100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10.则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值大于10的取法有共8种取法),(11B A ，),(21B A ，),(12B A ，),(22B A ，),(13B A ，),(23B A ，),(14B A ，),(24B A∴故所求概率为P ＝158. ………………………………(12分) 19. (I)证明：由BC AC =，D 是AB 的中点，得AB CD ⊥， ∵⊥1AA 平面ABC ，∴CD AA ⊥1，又∵A AB AA = 1，∴⊥CD 平面B B AA 11，∵⊂CD 平面D CA 1， ∴平面D CA 1⊥B B AA 11 ……….…………………(6分)(II)解：取11B A 中点E ，连接E C 1，BE ，ED ，易得E C 1∥CD ，则⊥E C 1平面B B A 11 ∴BE C 1∠为直线1BC 与平面B B A 11所成角 ……….………………………(9分)又 在E BC 1∆中，221=BC ,31=E C ，∴46223sin 111===∠BC E C BE C ∴直线1BC 与平面B B A 11所成角的正弦值为46.…………………………………(12分)20. 解：(I) M 到定点)01(，A 的距离与M 到直线4=x l ：的距离之比为21∴214)1(22=-+-x y x ……………………………………………………………………(3分) ∴点M 的轨迹C 的方程为13422=+y x .…………………………………….……………(6分) 注：此题如果直接当成椭圆的标准方程来计算酌情扣分.(II)解法一：设),(11y x P ，),(22y x Q ，由Q P ,在曲线C 上则1342121=+y x -----------①，1342222=+yx ----------②①-②得03422212221=-+-y y x x ，即0))((4))((321212121=+-++-y y y y x x x xM 在椭圆内且不在x 轴上21x x PQ ≠∴点且与椭圆恒有两个不同交直线，……………(9分)又 的中点为线段PQ N ∴221-=+x x ，221=+y y∴43=PQ k ，∴直线PQ 的方程为0743=+-y x ……………………………………(12分) 解法二：设),(11y x P ，),(22y x Q ，PQ 中点N 不在x 轴上，的斜率存在直线PQ ∴.设，与)1(1:+=-x k y l PQ 13422=+y x 联立 012)1(4)1(8)43(222=-+++++⇒k x k k x k ……………………………………(9分)恒成立在椭圆内0>∆∴N ……………………………………(10分) 43243)1(8221=⇒-=++-=+k k k k x x∴直线PQ 的方程为0743=+-y x ……………………………………(12分)21.解: (I)证明：取BD 的中点O ，连接EO AO CO ,,， ∵120BCD ∠=︒且CD CB =∴BD CO ⊥， ………………………………（2分)又∵EC BD ⊥，EC CO C ⋂=.∴⊥BD 平面EOC ，∴BD EO ⊥在BDE ∆中，∵O 为BD 的中点，∴BE DE = ………………………（4分) (Ⅱ) (i)存在线段AE 中点M ，使得DM ∥平面BEC取AB 的中点N ，连接DN MN ,，则BE MN //，又∵⊄MN 平面BEC ，⊂BE 平面BEC ， ∴//MN 平面BEC ， …………………………（6分)∵ABD ∆是正三角形，∴AB DN ⊥，又∵o o o 903060=+=∠ABC ，即AB BC ⊥,∴BC DN //，又∵⊄DN 平面BEC ，⊂BC 平面BEC ，∴//DN 平面BEC ， 又∵N MN DN =⋂，∴平面//DMN 平面BEC ，又∵⊂DM 平面DMN ，∴//DM 平面BEC . …………………………（8分) (ii)连接BM ,∵ ABCD EBD 平面平面⊥，平面 EBD 平面ABCD BD =， BD EO ⊥， ∴⊥EO 平面ABCD ， …………………………（9分)∵直线AE 与平面ABD 所成的角为o 4545EAO ∴∠=；∴6EO AO == 又∵BD CO ⊥ ，BD AO ⊥，∴C O A ,,三点共线,BD AC ⊥ ， ∵在正三角形ABD ∆中 ，AB =，∴6AO=,BO DO ==∴BE ED DA ===∵M 为线段AE 的中点，∴AE DM AE BM ⊥⊥,，∴BMD∠为二面角D AE B --的平面角………………………………………………（11分)易得BM DM ==∴512cos 222=⋅-+=∠DM BM BD DM BM BMD∴二面角D AE B --的余弦值为51. …………………………………………………（12分)22.解： (I)由题意可知12222BF F S bc a c a b c ∆==-==+1且123232222=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧==∴y x C b a 的方程为椭圆 ………………………………………（4分)(II)假设存在圆心在原点的圆)0(222>=+r r y x 满足题意，||||OM ON MN +=0=⋅∴ON OM .设)()(2211y x N y x M ，，，当切线斜率存在时，设切线方程为m kx y +=，联立0636)32(12322222=-+++⇒⎪⎩⎪⎨⎧=++=m kmx x k y x mkx y ， 则0)23(2422>+-=∆m k 且22212213263326km x x k km x x +-=+-=+，.……………（6分) 2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=2222222222326232632)63(k k m m k m k k m k +-=++-+-=032623263222222121=+-++-=+=⋅∴k k m k m y y x x ON OM56606652222+=∴=--∴k m k m 且02322>+-m k 562≥⇒m .…………（8分)因为直线m kx y +=是圆)0(222>=+r r y x 的切线，所以56156611||222222=++=+=⇒+=k k k m r km r ， 所求圆方程为5622=+y x ……（10分) 此时圆的切线m kx y +=都满足562≥m 当直线的斜率不存在时，易知切线方程为，530±=x 与椭圆12322=+y x 的交点为)530530(±，或)530530(±-，，均满足0=⋅. 综上所述，存在圆心在原点的圆5622=+y x 满足题意. .………………………………（12分)。
2015-2016北京海淀人大附中高二(上)期末考试数学(理)(含解析)(1)
人大附中2015～2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&选修2-1模块考核试卷2016年1月14日命题人：吴中才 候立伟 审卷人：梁丽平说明：本试卷分I 卷和II 卷，I 卷17道题，共100分，作为模块成绩；II 卷4道题，共50分；I 卷、II 卷共21题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在密封线内填写个人信息．I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在机读卡上．）1． 集合{}1,A a =，{}1,2,3B =，则“3a =”是“A B ⊆”的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2． 若p ：x ∀∈R ，20x >，则（ ）．A ．p ⌝：x ∀∈R ，20x ≤B ．p ⌝：x ∀∉R ，20x ≤C ．p ⌝：x ∃∈R ，20x ≤D ． p ⌝：x ∃∉R ，20x ≤ 3． 如图，在三棱锥O ABC -中，点D 是棱AC 的中点，若OA a =，OB b =，OC c =，则BD 等于（ ）． A ． a b c -+- B ． a b c -+ C ．1122a b c -+ D ． 1122a b c -+- 4．给定原命题：“若220a b +=，则a ，b 全为0”，那么下列命题形式正确的是（ ）． A ．逆命题：若a ，b 全为0，则220a b += B ． 否命题：若220a b +≠，则a ，b 全不为0 C ． 逆否命题：若a ，b 全不为0，则220a b +≠ D ． 否定：若220a b +=，则a ，b 全不为05．已知双曲线22221(0x y a a b-=>，0)b >的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程是（ ）．A ． 30x ±=B ． 20x y ±=C ． 20x y ±=D ． 30x y ±=6．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则12PF F △的面积为（ ）． A ．54 B ． 52C ． 5D ． 10 7．已知AB 是经过抛物线22y px =的焦点的弦，若点A 、B 的横坐标分别为1和14，则该抛物线的准线方程为（ ）．A ． 1x =B ． 1x =-C ． 12x =D ． 12x =- 8．在平面直角坐标系中，动点(),P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点()1,1的距离，记点P 的轨迹为曲线W ，则下列命题中：①曲线W 关于原点对称；②曲线W 关于x 轴对称；③曲线W 关于y 轴对称；④曲线W 关于直线y x =对称； 所有真命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ． 3D ．4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸中．）9．以y x =±为渐近线且经过点()2,0的双曲线方程为__________． 10．已知向量()2,1,2a =-，()4,2,b x =-，若a b ∥，则x =__________．11．设1F 、2F 是椭圆22143x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，若121PF PF -=，则1PF =__________，2PF =__________．12．已知ABC △的顶点()1,0,0A ，()0,2,0B ，()0,0,1C ，CD 是AB 边上的高，则点D的坐标为__________．13．已知命题p ： 方程210x mx ++=有两个不相等的负根；命题q ：方程()244210x m x +-+=无实根．若()p q ∨为真，()p q ∧为假，则m 的取值范围为__________．14．已知点()0,2A ，点()0,2B -，直线MA 、MB 的斜率之积为4-，记点M 的轨迹为C ．（I ）曲线C 的方程为__________．（II ）设P ，Q 为曲线C 上的两点，满足OP OQ ⊥(O 为原点)，则OPQ △面积的最小值是_________．三、解答题（本大题共3小题，共38分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤．）15．（本题满分12分）已知向量()2,1,2a --=，()1,1,4b =-． （I ）计算23a b -和|23|a b -． （II ）求,a b <>． 16．（本题满分14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=︒，3AC =，14BC CC ==． （I ）求证：11AB C B ⊥．（II ）求直线1C B 与平面11ABB A 所成的角的正弦值． 17．（本题满分12分）已知抛物线C 的顶点在坐标原点O ，焦点为()1,0F ，经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点．（I ）求抛物线C 的标准方程．（II ）若AOB △的面积为4，求||AB ．CA 11C 1II 卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分．请把结果填在答题纸上．）18．已知点P 为抛物线22y x =上的一个动点，过点P 作圆A ：()223=1x y -+的两条切线PM 、PN ，切点为M 、N ．（I ）当PA 最小时，点P 的坐标为__________． （II ）四边形PMAN 的面积的最小值为___________．19．在四面体ABCD 中，若E 、F 、H 、I 、J 、K 分别是棱AB 、CD 、AD 、BC 、AC 、BD 的中点，则EF 、HI 、JK 相交于一点G ，则点G 为四面体ABCD的重心．设()0,0,2A ，()2,0,0B ，()0,3,0C ，()2,3,2D ． （I ）重心G 的坐标为__________．（II ）若BCD △的重心为M ，则||||AG GM =___________．二、解答题（本大题共2小题，满分30分．请把解答过程写在答题纸上．）20．（本题满分14分）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，两焦点分别为()13,0F -、)23,0F ，过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，且12AF F △的周长为423+． （I ）求椭圆C 的标准方程．（II ）若原点O 关于直线l 的对称点在椭圆C 上，求直线l 的方程． 21．（本题满分16分）如图(1)，在ABC △中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，D 是AB 边上一点，沿CD 将图形折叠成图（2），使得二面角B CD A --是直二面角．（I ）若D 是AB 边的中点，求二面角C AB D --的大小． （II ）若2AD BD =，求点B 到平面ACD 的距离．（III ）是否存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角？若存在，求BDAD 的值；若不存在，请说明理由．ADD（1）PN（2）人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修2-1模块考核试卷参考答案 I 卷（共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCADCDA二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9． 22144x y -= 10． 4-11．52，32 12． 42,,055⎛⎫ ⎪⎝⎭13． (][)1,23,+∞ 14．（I ）()22104y x x +=≠ （II ）45 三、解答题（本大题共3小题，共38分）15． 解：（I ）()()2322,1,231,1,4a b -=⋅---⋅-()()()()223,213,2234=⨯-⨯--⨯--⨯-()1,5,8=-()22223158310a b -=+-+=（II ）()()()2222222111242cos ,2||||332212114a b a b a b ⨯+-⨯+-⨯-⋅<>====⋅⨯+-+-++-， 又[],0,a b π<>∈，故,4a b π<>=．16． 解：（I ）证明：如图所示，连接1B C ，交1BC 于点O ．由题意可知：在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥底面ABC ，而AC ，BC ⊂平面ABC ，故由线面垂直的性质定理可得：1CC AC ⊥，1CC BC ⊥， 又90ACB ∠=︒，即AC BC ⊥，1BCCC C =， BC ，1CC ⊂平面11C CBB ，故由线面垂直的判定定理可得：AC ⊥平面11C CBB ， 而1BC ⊂平面11C CBB ，故由线面垂直的性质定理可得：1AC BC ⊥， 又在正方形11C CBB 中，11BC B C ⊥， 1ACB C C =，AC ，1B C ⊂平面1AB C ，于是有：1BC ⊥平面1AB C ，而1AB ⊂平面1AB C ，故可得：11AB C B ⊥ ．（II ）以CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，1CC 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意易知：A 点坐标为()3,0,0 ，B 点坐标为()0,4,0， 1A 点坐标为()3,0,4，1C 点坐标为()0,0,4， 故有：()3,4,0AB =-，()10,0,4AA =，()10,4,4C B =- ， 设平面11ABB A 的法向量()000,,n x y z = ， 则有：0AB n ⋅=，10AA n ⋅= ，即00034040x y z -+=⎧⎨=⎩ ，取04x =，可得：03y =， 故平面11ABB A 的法向量()4,3,0n =， 设直线1C B 与平面11ABB A 所成角为θ，则11||3sin 210||||542n C B n C B θ⋅===⋅⨯17． 解：（I ）依题意可设：抛物线C 的标准方程为()220y px p =>， 由其焦点为()1,0F 易得：12p=，解得：2p =， 故所求抛物线C 的标准方程为24y x =，（II ）① 当直线l 斜率不存在即与x 轴垂直时，易知：4AB =，此时AOB △的面积为1114222AOB S OF AB ==⨯⨯=△， 不符合题意，故舍去．②当直线l 斜率存在时，可设其为k ()0k ≠，则此时直线l 的方程为()1y k x =-， 将其与抛物线C 的方程：24y x =联立化简整理可得： ()2222220k x k x k -++=()0k ≠，设A B 、两点坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，由韦达定理可得：()21222212222421k x x k k k x x k ⎧+⎪+==+⎪⎨⎪⋅==⎪⎩， 法1：由弦长公式可得：122244224AB x x p k k=++=++=+， 由点到直线的距离公式可得：坐标原点O 到直线l 的距离为21k d k =+，故AOB △的面积为2221141422211AOB kS AB d k k k k k ⎛⎫⎛==+=+ ⎝++⎝△ 222212141k k kk k ++===+，()2224116AOBk Sk +==△ 解得：3k =． 法2：()1212121242AOB AOF BOF k pS S S OF y y k x x x x =+=-=-=-△△△， 而()222121212224241616442411x x x x x x k k k k k ⎛⎫-=+-=+-⨯=+=+ ⎪⎝⎭ 故222421142AOBkk S k k k+=+==△， 解得：33k =±，213k =，又24412416AB k =+=+=， 因此，当AOB △的面积为4时，所求弦AB 的长为16．II 卷（共6道题，满分50分）一、填空题（本题共2小题，每题10分，共20分）18． （I ）()2,2或()2,2- （II ）2 19． （I ）31,,12⎛⎫⎪⎝⎭（II ）3 二、解答题（本大题共2小题，满分30分．）20． 解：（I ）依题意可设椭圆C 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，由左右焦点坐标()13,0F -)23,0F 可知：3c =由12AF F △的周长为423+22423a c +=+ 于是得：2a =， 又()2220a b ca b =+>>，故可得：1b = ，所求椭圆C 的方程为2214x y +=．（II ）由题意易知：直线l 的斜率存在，可设其为k ， 故直线l 的方程为()20y kx k =+≠，设原点O 关于直线l 的对称点O '的坐标为()00,x y ， 则线段OO '的中点D 的坐标为00(,)22x y ， 由题意可知：点D 在直线l 上，故有00222y xk =+①， 点O 在椭圆C 上，故有220014x y +=②，线段OO '与直线l 垂直，故有0'01OO y k x k==-③， 由①③可得：02024141k x k y k ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，将其代入②可得：5k =±故所求直线l 的方程为52y x =+或52y x =-+，21． 解：（I ）法一：在图（1）中，1AC BC ==，90ACB ∠=︒，2AB =当D 为AB 边的中点时，122AD BD CD AB ====， 且有CD AB ⊥， 在图（2）中取AB 的中点M ，易知：在ABC △中，1CA CB ==，CM AB ⊥， 在ABD △中，22DA DB ==，DM AB ⊥， 故CMD ∠即为半平面CAB 与半平面DAB 所成角， 在图（2）中，CD AD ⊥，CD BD ⊥ ，又AD BD D =，AD ，BD ⊂平面ABD ，故由线面垂直的判定定理可得：CD ⊥平面ABD ， 而DM ⊂平面ABD ，再由线面垂直的性质定理可得：CD DM ⊥， 因二面角B CD A --为直二面角，平面BCD 平面ACD CD =，且BD CD ⊥，BD ⊂平面BCD ， 故BD ⊥平面ACD ，又AD ⊂平面ACD ，因此BD AD ⊥， 于是在Rt ABD △中，12122DM AB AD ===， 又在图（1）中，1222CD AB ==， 故在Rt CDM △中，223CM CD DM =+=132cos 32DM CMD CM ∠=== 可得3arccos 3CMD ∠=， 即所求二面角C AB D --的大小为3arccos3． 法二： 以DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DB 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可知：A ，B ，C ，D 四点坐标分别为2(2A ，2(0,0,2B ，2(0,2C ，(0,0,0)D 于是有：22(AB =-，22(AC =- ，2(AD =-， 设平面ABC 的法向量()1111,,n x y z =，平面ABD 的法向量()2222,,n x y z =，则有11111122022220n AB x z n AC x y ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩ ，即111x y z ==，2222222022202n AB x z n AD x ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，即220x z ==，取11x =，21y =，可得平面ABC 的法向量为()11,1,1n =，平面ABD 的法向量()20,1,0n =， 设二面角C AB D --的大小为θ，由图（2）可知：θ为锐角，故12123cos =3n n n n θ⋅=，所以3arccos θ=， 因此，所求二面角C AB D --的大小为3． （II ）在图（1）中，当2AD BD =时，有22233AD AB ==123BD AB ==， 过点D 作DG AC ∥交BC 于点G ，易知1133BG DG BC ===，2233CG BC == ， 在Rt CDG △中， 2222125()()33CD CG DG =+=+=， 过点A 作AE CD ⊥于点E ，过点B 作BF CD ⊥于点F ， 易得：22535AC BC AE CD ⨯=⋅=152BF AE ==， 于是：111333BCD ABC S S AC BC BF CD ==⨯=⨯=△△ ， 222333ACD ABC S S AC BC AE CD ==⨯=⨯=△△， 在图（2）中，由二面角B CD A --为直二面角可知：AE ⊥平面BCD ，设点B 到平面ACD 的距离为d ，在三棱锥A BCD -中，有A BCD B ACD V V --=， 即：1133BCD ACD AE S d S ⨯=⨯△△ ， 于是152BCD ACD AE S d AE S ⨯===△△， 故点B 到平面ACD 5（III ）不存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角． 证明：假设存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角，B 点折起来之后到B '的位置如图，取M 为AB '中点，E 为AB 中点，连接CE ，CM ，EM ． 因为AC CB =，AC CB '=，M 为AB '中点，所以CM AB '⊥,因为平面AB C '平面AB D AB ''=，又因为二面角C AB D --是直二面角， 所以CM ⊥平面AB D ', 因为EM ⊂平面AB D '，所以CM EM ⊥,所以CME △是直角三角形，90CME ∠=︒，所以CE CM >．在ABC △与AB C '△中，易知这两个等腰三角形中腰相等，底边AB AB '>，则BE B M '>， 又2222CE BC BE B C B M CM ''=--=, 与CE CM >矛盾，故假设不成立.所以不存在一点D ，使得二面角C AB D --是直二面角．D CAB'EMB人大附中2015-2016学年度第一学期期末高二年级数学（理）练习&必修2-1模块考核试卷选填解析一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C C A D C D A1．【答案】A【解析】因为{1}A a =，，{1,2,3}B =，且A B ⊆，所以2a =或3a =，显然“3a =”是“2a =或3a =”的充分不必要条件，故选A ． 2．【答案】C【解析】全称命题的否定是特称命题，并且否命题结论需要否定，所以原命题的否定为：x ∃∈R ，20x ≤， 故选C ． 3．【答案】C【解析】1111()2222BD AD BA AC OA OB OC OA OA OB a b c =+=+-=-+-=-+，故选C ． 4．【答案】A【解析】因为原命题为：若220a b +=，则a ，b 全为0， 所以逆命题：若a ，b 全为0，则220a b +=，故A 正确； 否命题：若220a b +≠，则a ，b 不全为0，故B 错误； 逆否命题：若a ，b 不全为0，则220a b +≠，故C 错误； 否定：若220a b +≠，则a ，b 不全为0，故D 错误；故选A ． 5．【答案】D【解析】由已知可得双曲线的离心率为2222a b +=，解得3b a = 所以该双曲线的渐近线方程为3y x =30x y ±=，故选D ． 6．【答案】C【解析】不妨设21||||PF PF >，1||PF x =，则2||4PF x =+， 由题意可知12||2456F F =+=，则222(4)6x x ++=， 解得142x =或142x =-（舍去），则2||142PF ， 121211||||(142)(142)522PF F S PF PF =⋅⋅=⋅⋅=△，故选C ．7．【答案】D【解析】不妨设2)A p ，则1(,)42pB ，易知焦点F 坐标为(,0)2p -， 由题意知A ，B ，F 221242pp -=--1p =， 则准线方程为122p x =-=-，故选D ． 8．【答案】A【解析】因为动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点()1,1的距离， 所以22||||(1)(1)x y x y +=-+-，即||10xy x y ++-=， 当0xy ≥时，(1)(1)2x y ++=，当0xy <时，(1)(1)0x y --=，图像如右图所示，所以曲线W 关于直线y x =对称，不关于原点、x 轴、y 轴对称， 只有一个正确故选A ．9．【答案】22144x y -=【解析】因为双曲线以y x =±为渐近线，所以该双曲线为等轴双曲线，不妨设方程为22(0)x y λλ-=≠．代入点(2,0)可得4λ=，所以该双曲线方程为224x y -=，化为标准式为22144x y-=．10．【答案】4- 【解析】由题意知242212x -===--，所以=4x -．11．【答案】52，32【解析】由P 是椭圆上一点，可知1224PF PF a +==，联立121PF PF -=， 解得15||2PF =，23||2PF =． ．12．【答案】42(,,0)55【解析】(1,2,0)AB =-，不防设(,2,0)AD AB λλλ==-，则(1,2,0)D λλ-， 则(1,2,1)CD λλ=--，由题意可知CD AB ⊥，所以140CD AB λλ⋅=-+=， 解得15λ=，所以点D 坐标为42(,,0)55． 13．【答案】 (][)1,23,+∞【解析】由题意可知p ，q 一真一假， 若p 为真，由题意有2400m m ⎧->⎨-<⎩，解得2m >，若q 为真，由题意有2[4(2)]4410m ∆=--⨯⨯<，解得13m <<， 当p 真q 假时，可得3m ≥，当p 假q 真时，可得12m <≤， 综上知m 的取值范围为 (][)1,23,+∞ ．14．【答案】()22104y x x +=≠ ；45【解析】（1）设(,)M x y ，由题意有224(0)y y x x x -+⋅=-≠，整理得()22104y x x +=≠， （2）不妨设(cos ,2sin )P αα，(cos ,2sin )Q ββ，由题意可知cos cos 4sin sin 0αβαβ+=， 因为0x ≠，所以可得1tan tan 4αβ=-，所以221tan tan 16αβ=，并且221tan tan 2|tan tan |2αβαβ+≥=，当且仅当1tan tan 2αβ=-=或1tan tan 2αβ=-=-时“=”成立． 222211||||cos +4sin cos +4sin 22OPQ S OQ OP ααββ=⋅=△222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2αβαβαββα2222222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2(sin +cos )(sin cos )αβαβαββαααββ=+22222222222222221cos cos +16sin sin +4sin cos +4sin cos 2cos cos +sin sin +sin cos +sin cos αβαβαββααβαβαββα分子分母同时除以22cos cos αβ可得原式2222222222221116tan tan 4tan 4tan 124tan 4tan 1721tan tan tan tan 2tan tan 16αβαβαβαβαβαβ++++++++++2213613618444121716(tan tan )225517162αβ=--⨯=+++⨯， 当且仅当1tan tan 2αβ=-=或1tan tan 2αβ=-=-时“=”成立， 此时面积最小为45．18．【答案】 (2,2)或(2,2)-，2【解析】（1）设(,)Pxy ，则22222||(3)(3)249(2)5PA x y x x x x x =-+=-+-+-+，显然当2x =时||PA 最小，此时2y =±，所以点P 坐标为(2,2)±． （2）因为PM 、PN 与圆相切，所以PM AM ⊥、PN AN ⊥， 2222||||||491(2)4PM PN PA r x x x ==--+--+，2211()12(2)4(2)422PAM PAN PMAN S S S r PM PN x x =+=+=⋅⋅-+-+四边形△△当2x =时，面积最小为2．19．【答案】3 (1,,1)2；3【解析】（1）设点G坐标为(,,)x y z，由重心的特征可知，则1(0202)14x=+++=，13(0033)42y=+++=，1(2002)14z=+++=，所以点3 (1,,1)2G；（2）同理点M的坐标为20203300242 (,,)(,2,) 33333++++++=，则3(1,,1)2AG=-，111(,,)322GM=-，有坐标易知3AG GM=，所以||3 ||AGGM=．。
海淀区高二数学(理)期末试卷答案
北京市海淀区2015-2016学年度第一学期期末练习高二数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．DBABA BACCD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中横线上．11．x ∃∈R ，20x < 12．613．()2+∞，14．①②③15．67 163π+ （说明：一题两空的题目，每空2分） 三、解答题：本大题共3小题，共36分．（说明：对于不同与答案的解法，对照答案相应步骤给分即可） 17．解：（Ⅰ）由已知可得()84AB =，，()24AC =-，，（或者12AB k =，2AC k =-） 2分因为()()842416160AB AC ⋅=⋅-=-+-，，，（1212AB AC k k ⨯=⨯-=-）所以AB AC ⊥．4分所以ABC △是直角三角形．（Ⅱ）由（Ⅰ）结论可知ABC △的外接圆的圆心为()34，，半径为5． 6分所以ABC △的外接圆方程()()223425x y -+-=． 圆心到直线430x y m ++=的距离为245m +， 7分所以245m+=9分 所以4m =-或44m =-．10分18．解：（Ⅰ）因为1CC ⊥平面ABCD ，且1AA ⊥平面ABCD ，GFC 1CE BAA 1D所以11CC AA ∥，1分因为ABCD 是正方形， 所以AD BC ∥，2分因为1AA AD A =∩，1CC BC C =∩， 所以平面1AA D ∥平面1CC B ．3分因为AE ⊂平面1AA D ． 所以AE ∥平面1CC B ．4分解法1：（Ⅱ）因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥，1AA AD ⊥5分因为ABCD 是正方形，所以AB AD ⊥，以AB ，AD ，1AA 分别x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则由已知可得()200B ，，，()020D ，，，()1002A ，，，()011E ，，，6分 ()1022DA =-，，，()011AE =，，，()200AB =，，．7分因为10DA AE ⋅=，10DA AB ⋅=． 所以1DA AE ⊥，1DA AB ⊥， 8分 所以1A D ⊥平面ABE ．9分解法2：因为1AA ⊥平面ABCD ， 所以1AA AB ⊥．5分因为ABCD 是正方形， 所以AB AD ⊥， 所以AB ⊥平面1AA D ， 6分 所以1AB A D ⊥．7分因为E 为棱1A D 中点，且12AA AD ==， 所以1AE A D ⊥，8分所以1A D ⊥平面ABE ．9分 （Ⅲ）因为1A D ⊥平面ABE ，且1A D ⊂平面EFD ， 10分 所以平面EFD ⊥平面ABE ． 11分 因为平面ABE 即平面BEF ， 所以二面角D EF B --为90︒．12分 设1CG CC λ=，且[]01λ∈，，则()223G λ，，13分因为1A D ⊥平面ABE ，BG ⊂平面ABE ． 所以1A D BG ⊥．所以()()1022023460A D BG λλ⋅=-⋅=-=，，，，，即23λ=， 所以1223CG CC ==．14分19．解：（Ⅰ）设椭圆焦距为2c ，由已知可得12c a =，且1e =． 1分 所以2a =．2分所以2223b a c =-=．3分 所以椭圆G 的方程为22143x y +=4分 （Ⅱ）由题意可知直线l 斜率存在，所以可设直线()1l y k x =+∶． 5分由()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消y 并化简整理得()22224384120k x k x k +++-=．6分由题意可知0∆>，设()11A x y ，，()22B x y ，，则 2212122284124343k k x x x x k k --+=⋅=++． 7分因为点C ，1F 都在线段AB 上，且1AF CB =， 所以1AF CB =，即()()11221c x y x y y ---=-，，， 9分 所以121x x --=即121x x +=-，即．10分所以21228143k x x k -+==-+，解得234k =，即k = 11分所以直线l 的方程为)1y x =+或)1y x =+．12分。
2015-2016北京101中学高二(上)期末数学理(含解析)
北京 101 中学 2015-2016 学年上学期高二年级理科期末考试数学试卷 试题答案
一、选择题：本大题共 8 小题，共 40 分． 题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 C 5 C 6 A 7 D 8 B
二、填空题：本大题共 6 小题，共 30 分． 9． 45 10． 3 11．
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北京 101 中学 2015-2016 学年上学期高二年级理科期末考试数学试卷
一、选择题：本大题共 8 小题，共 40 分． 1． 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层 抽样三种不同方法抽取样本时， 总体中每个个体被抽中的概率分别为 P 则 （ 1 ，P 2 ，P 3， A． p1 p2 p3 C． p1 p3 p2 B． p1 p2 p3 D． p3 p2 p1 ） ．
2
1 ．所以点 Q 到直线 PF 的距离为 1 ．
17．（Ⅰ）证明：因为 AB ∥ CD ， CD 平面 PAB ，
AB 平面 PAB ，所以 CD //平面 PAB ．
因为 CD 平面 PCD ，平面 PAB 平面 PCD m ，
所以 CD // m ． （Ⅱ）证明：因为 AP 平面 ABCD ， AB
AP (0,0, 4) ，
所以 BD AC (4) 2 2 2 2 2 0 0 0 ，
BD AP (4) 0 2 2 0 0 4 0 ．
所以 BD AC ， BD AP ． 因为 AP
AC A ， AC 平面 PAC ，
AD ，所以以 A 为坐标原点，
AB ， AD ， AP 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立如图空间直角坐标系，
北京市海淀区-高二年级第一学期期末练习-数学理
海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科） 2013.1学校___________ 班级 姓名 成绩 ___本试卷共100分,考试时间90分钟.一、选择题:本大题共8小题，每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 如果a b <, 则( )A ．0a b +>B ．ac bc <C ．0a b -<D ．22b a <2．已知数列{}n a 满足1n n a a d +-=（其中d 为常数），若131,11a a ==, 则d =( )A ． 4B ．5C ．6D ．73.下列四个点中，在不等式组⎩⎨⎧≥-≤+0,1y x y x 所表示的平面区域内的点是( )A ．)0,2(B ．)0,2(-C ．)2,0(D ．)2,0(-4. 已知数列{}n a 满足212n n a -=，则( )A. 数列{}n a 是公比为2的等比数列B. 数列{}n a 是公比为4的等比数列C. 数列{}n a 是公差为2的等差数列D. 数列{}n a 是公差为4的等差数列5.“21a >”是“方程2221x y a +=表示椭圆”的( ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 已知点00(,)A x y 为抛物线28y x =上的一点，F 为该抛物线的焦点，若||6AF =，则0x 的值为( )A. 4B. 7. 已知点P 为椭圆:C 22143x y +=上动点，1F ,2F 分别是椭圆C 的焦点，则21PF PF ⋅的最大值为( )A. 2B. 3C. 48. 设1F ,2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦点，若椭圆C 上存在点P ，使线段1PF 的垂直平分线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是( ) A.1(0,]3 B. 12(,)23 C. 1[,1)3 D.12[,)33二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.把答案填在题中横线上.9.双曲线2214x y -=的渐近线方程为_____________. 10.命题22:,,2p a b a b ab ∀∈+≥R ，则命题p ⌝是 .11.已知集合A 是不等式220x x +≤的解集，集合{|}B x x m =>.若A B =∅,则m 的最小值是_______________.12.已知点P 为椭圆:C 22214x y b+=(0)b >上的动点，且||OP 的最小值为1，其中O 为坐标原点，则b =________. 13. 设x ∈R ，0x ≠. 给出下面4个式子：①21x +；②222x x -+；③1x x +；④221x x+. 其中恒大于1的是 .（写出所有满足条件的式子的序号）14.已知数列{}n a 满足11,2,n n n a n a a n ++⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数，且11a =，则31a a -=____________；若设222n n n b a a +=-，则数列{}n b 的通项公式为__________________.三、解答题:本大题共4小题,共44分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.（本小题满分10分）已知直线l 交抛物线:C 22y px =)0(>p 于A,B 两点，且90AOB ∠=︒, 其中，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(1,2). （I ）求抛物线C 的方程；（II ）求点B 的坐标.16. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和2*10()n S n n n =-∈N .(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)求n S 的最大值；(III)设n n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .17.（本小题满分10分）已知函数)1)(2()(---=a x a x x f .（I ）当1a >时，解关于x 的不等式()0f x ≤；（II ）若(5,7)x ∀∈，不等式0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围.18.（本小题满分12分）椭圆C 的中心为坐标原点O ,点12,A A 分别是椭圆的左、右顶点,B 为椭圆的上顶点,一个焦点为F ,离心率为.点M 是椭圆C 上在第一象限内的一个动点,直线1A M 与y 轴交于点P ,直线2A M 与y 轴交于点Q . （I ）求椭圆C 的标准方程；（II ）若把直线12,MA MA 的斜率分别记作12,k k ，求证：1214k k =-；(III)是否存在点M 使1||||2PB BQ =，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由.海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准2013.1 一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. x y 21±= 10.∈∃b a ,R ,ab b a 222<+ 11. 012. 1 13. ①④ 14. 5-；()152n n b -=--(第一空2分，第二空2分)三.解答题:本大题共4小题,共44分.15. （本小题满分10分）解: （I ）因为点()2,1A 在抛物线px y 22=上，所以p 222=, -------------2分 解得2=p , -------------3分 故抛物线C 的方程为x y 42=. -------------4分 （II ）设点B 的坐标为()00,y x ,由题意可知00≠x ,直线OA 的斜率2=OA k ,直线OB 的斜率0x y k OB = ,因为90AOB ∠=︒，所以120-==⋅x y k k OB OA , -------------6分又因为点()00,y x B 在抛物线x y 42=上，所以0204x y = , -------------7分 联立200004,2,y x y x ⎧=⎨=-⎩ 解得⎩⎨⎧-==81600y x 或 ⎩⎨⎧==000y x （舍）, -------------9分所以点B 的坐标为()8,16-. -------------10分16．（本小题满分12分）解: （I ）当1=n 时，911011=-==S a ； -------------1分 当2≥n 时，()()22110[1011]211n n n a S S n n n n n -=-=-----=-+.-----3分综上可知，数列{}n a 的通项公式为112+-=n a n . -------------4分 （II ）解法1:()2551022+--=-=n n n S n ， -------------6分 所以，当5=n 时，n S 取得最大值25. -------------7分 解法2:令0112≥+-=n a n ，得211≤n ,即此等差数列前5项为正数,从第6项起开始为负数, 所以,5S 最大, -------------6分 故255510)(25max =-⨯==S S n . -------------7分(III) 令0112≥+-=n a n ，得211≤n . -------------8分n n n a a a a b b b b T ++++=++++= 321321,当5≤n 时，210n n S T n n -==. -------------9分当5>n 时，56543212S S a a a a a a a T n n n +-=---++++= 21050n n +-=. -------------11分综上可知，数列{}n b 的前n 项和⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤-=5,10505,1022n n n n n n T n . -------12分17.（本小题满分10分）解: （I ）令,0)1)(2(=---a x a x 得,1,221+==a x a x -------------1分 ()11221-=+-=-a a a x x ，因为1>a ，所以01>-a ，即12+>a a ，-------------2分 由()()()012≤---=a x a x x f ，解得a x a 21≤≤+ . -------------4分（II ）解法1：当1=a 时，12+=a a ，()()22-=x x f ，不符合题意. -----5分当1>a 时，12+>a a ，若(5,7)x ∀∈，不等式0)(≤x f 恒成立，则有15,27,a a +≤⎧⎨≥⎩解得427≤≤a . -------------7分当1<a 时，12+<a a ，若(5,7)x ∀∈，不等式0)(≤x f 恒成立， 则有25,17,a a ≤⎧⎨+≥⎩a 无解. ------------9分综上，实数a 的取值范围是427≤≤a .-------------10分解法2：()()()21f x x a x a =---的图像是开口向上的抛物线， --------5分 若(5,7)x ∀∈，不等式0)(≤x f 恒成立，需且仅需(5)0,(7)0,f f ≤⎧⎨≤⎩-------------7分解得54,276,2a a ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩ 所以.427≤≤a故实数a 的取值范围是427≤≤a .-------------10分18．（本小题满分12分）解: （I ）由题意，可设椭圆C 的方程为()012222>>=+b a b y a x ,则3=c ，23=a c ，所以2=a ，1222=-=c a b ， -------------2分所以椭圆C 的方程为1422=+y x . -------------3分 （II ）由椭圆C 的方程可知，点1A 的坐标为()0,2-，点2A 的坐标为()0,2,设动点M 的坐标为()00,y x ，由题意可知200<<x ,直线1MA 的斜率01002y k x =>+，直线2MA 的斜率02002y k x =>-,所以420221-=⋅x y k k , -------------4分因为点()00,y x M 在椭圆1422=+y x 上，所以142020=+y x ,即41220xy -=, -------------5分所以.4144120221-=--=⋅x x k k -------------6分（III ）设直线1MA 的方程为()12y k x =+，令0=x ，得12y k =，所以点P 的坐标为()10,2k , --------7分 设直线2MA 的方程为()22y k x =-，令0=x ，得22y k =-，所以点Q 的坐标为()20,2k -, ---------8分 由椭圆方程可知，点B 的坐标为()1,0,由BQ PB 21=，得121|12||21|2k k -=--,由题意，可得12112(21)2k k -=--整理得12423k k -=, ---------9分 与1214k k =-联立,消1k 可得2222310k k ++=,解得21k =-或212k =- , ---------10分 所以直线2MA 的直线方程为)2(--=x y 或1(2)2y x =--,因为1(2)2y x =--与椭圆交于上顶点，不符合题意.把(2)y x =--代入椭圆方程,得2516120x x -+=,解得65x =或2, ---------11分因为002x <<，所以点M 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛54,56. ---------12分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。
XX.1高二理科数学上册期末试卷(海淀区有答案)【DOC范文整理】
XX.1高二理科数学上册期末试卷（海淀区有答案）海淀区高二年级学期期末练习数学XX.1部分一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
直线在轴上的截距为A.B.c.D.在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A.B.c.D.已知圆经过原点，则实数等于A.B.c.D.鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34c.36D.40已知平面，直线，下列命题中假命题是A.若，，则B.若，，则c.若，，则D.若，，，则椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A.B.c.D.“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条c.充分必要条件D.既不充分也不必要条平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2c.3D.4第二部分二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
直线的倾斜角为,经过点且与直线平行的直线方程为.直线被圆所截得的弦长为.请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是.在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则.已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲线上取两个点，将其坐标记录于下表中，则双曲线的离心率为.曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是.三、解答题共4小题，共44分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
在平面直角坐标系中，圆的半径为1，其圆心在射线上，且.求圆的方程；若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.如图，在三棱锥中，，且点分别是的中点.求证：平面；求证：平面平面.如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明；求二面角的余弦值；在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.已知抛物线，直线与抛物线交于两点.点为抛物线上一动点，直线，分别与轴交于.若的面积为4，求点的坐标；当直线时，求线段的长；若与面积相等，求的面积.。
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海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科） 2015.1本试卷共100分.考试时间90分钟.一、选择题：本大题共8小题， 每小题4分，共32分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1. 直线2x y +=的倾斜角是（ ）A.π6 B.π4 C. 2π3 D.3π42. 焦点在x 轴上的椭圆2213x y m +=的离心率是12，则实数m 的值是（A. 4B.94C. 1D.343. 一个空间几何体的三视图如右图所示，该几何体的体积为 （ ） A. 8 B.83 C. 163D. 6 4. 已知圆22:1O x y +=，直线:3430l x y +-=，则直线l 被圆O 所截的弦长为（ ） A.65 B. 1 C.85D.2 5. 已知向量(1,1,0,),(0,1,1),==a b (1,0,1),(1,0,1)==-c d ，则其中共面的三个向量是（ ） A.a,b,c B. a,b,d C. a,c,d D.b,c,d6. 已知等差数列{}n a ，则“21a a >”是“数列{}n a 为单调递增数列”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知正四面体A BCD -的棱长为2，点E 是AD 的中点，则下面四个命题中正确的是（ ） A. F BC ∀∈，EF AD ⊥ B. F BC ∃∈，EF AC ⊥ C. F BC ∀∈，EF ≥ D. F BC ∃∈，EF AC ∥8. 已知曲线 ||1W y =，则曲线W 上的点到原点距离的取值范围是（ ） A. 1[,1]2B.[2C.[2D. 二、填空题：本大题共6小题， 每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. 9. 已知直线10x ay --=与直线y ax =平行，则实数___.a =10. 双曲线221169x y -=的渐近线方程为_________________.11. 已知空间向量(0,1,1),(,0,1)x ==a b ，若a,b 的夹角为π3，则实数x 的值为__. 12. 已知椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左右焦点分别为12,F F ，若等边12P F F △的一个顶点P 在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率为______.13. 已知点1(,0)2A -， 抛物线22y x =的焦点为F ，点P 在抛物线上，且|||AP PF =，则||___.OP =14. 在正方体1111ABCD A B C D -中，α为其六个面中的一个. 点P α∈且P 不在棱上，若P 到异面直线1,AA CD 的距离相等，则点P 的轨迹可能是_________.（填上所有正确的序号）①圆的一部分 ②椭圆的一部分 ③双曲线的一部分 ④抛物线的一部分 三、解答题:本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本小题共10分）已知点(0,2)A ，圆22:1O x y +=. ( I ) 求经过点A 与圆O 相切的直线方程；( II ) 若点P 是圆O 上的动点，求OP AP ⋅的取值范围.16. （本小题共12分）已知抛物线24W y x =：的焦点为F ，直线2+y x t =与抛物线W 相交于,A B 两点. ( I ) 将||AB 表示为t 的函数；( II ) 若||AB =AFB △的周长.17.（本小题共12分）在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()(2,0,0),(2,2,0),0,0,2,(0,2,1)A B D E . ( I ) 求证：直线BE ∥平面ADO ； ( II ) 求直线OB 和平面ABD 所成的角；(Ⅲ) 在直线BE 上是否存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（本小题共10分）如图，已知直线(0)y kx k =≠与椭圆22:12xC y +=交于,P Q 两点. 过点P 的直线PA 与PQ 垂直，且与椭圆C 的另一个交点为A .( I ) 求直线PA 与AQ 的斜率之积；( II ) 若直线AQ 与x 轴交于点B ，求证：PB 与x 轴垂直.OAx PQ海淀区高二年级第一学期期末练习数 学（理科）参考答案及评分标准2015.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. 1或1- 10. 34y x =或 34y x =- 11. 1或1-12.1213. 14. ④说明：9，10，11题每个答案两分，丢掉一个减两分，14题多写的不给分 三.解答题:本大题共4小题,共44分. 15. （本小题满分10分）解: （I ）由题意，所求直线的斜率存在.设切线方程为2y kx =+,即20kx y -+=， ---1分 所以圆心O 到直线的距离为d =， -------------3分所以1d ==，解得k =, -------------4分所求直线方程为2y +或2y =+. -------------5分 （II ）设点(,)P x y ，所以 (,)OP x y =，(,2)AP x y =-， -------6分所以 222OP AP x y y ⋅=+-. -------------7分 因为点P 在圆上，所以22=1x y +，所以12OP AP y ⋅=-. -------------8分 又因为22=1x y +，所以11y -≤≤, -------------9分 所以[1,3]OP AP ⋅∈-. -------------10分 16．（本小题满分12分）解: （I ）设点1122(,),(,),A x y B x y 因为242y xy x t⎧=⎨=+⎩, 消元化简得22444)0x t x t +-+=（ ----2分所以 2212212163216161632044+144t t t t t x x t t x x ⎧⎪∆=-+-=->⎪-⎪==-⎨⎪⎪=⎪⎩ -------------4分 所以12||AB x x -==12t <. -------------6分 （II ）因为||AB =解得4t =- 经检验，此时16320t ∆=->. -------------8分 所以1215x x t +=-=，所以有1212||||()()52722p pAF BF x x x x p +=+++=++=+=. --10分又||AB =所以AFB △的周长为 -------------12分 17.（本小题满分12分）解: （I ）法一：取点(0,2,0)C 则(2,0,0),(2,0,0)CB OA ==,所以CB OA =,所以OA CB ∥ -----1分又0,2,00,1,0OD CE ==（）,（）,所以12CE OD =,所以OD CE ∥ -------------2分 又,OA OD D CECB C == 所以平面OAD CBE ∥ ------3分所以BE ∥平面ADO -------------4分 法二:由题意，点,,A D O 所在的平面就是 xOz 平面，取其法向量为(0,1,0)n =， -----1分 而(2,0,1)BE =-,所以0BE n ⋅=，即BE n ⊥， -------------3分 又显然点 ,B E 不在平面ADO 上，所以BE ∥平面ADO .-----4分 （II ）设平面ABD 的法向量为(,,)m a b c =,因为(0,2,0),(2,0,2)AB AD ==-,所以20220AB m b AD m a c ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩, 所以可取(1,0,1)m =. -------------6分又(2,2,0),OB = 设OB 与平面ABD 所成的角为θ. 所以1sin |cos ,|||2||||2OB m OB m OB m θ⋅=<>===. -------------8分所以直线OB 和平面ABD 所成的角为6π. -------------9分(Ⅲ) 假设存在点(,,)P x y z ，使得直线AP 与直线BD 垂直.设BP BE λ=, 即(2,2,)(2,0,)x y z λλ--=- . -------------10分所以222x y z λλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩, 所以(2,2,)AP λλ=-. 又(2,2,2)BD =--,所以4420AP BD λλ⋅=-+=， ----11分解得23λ=，所以在直线BE 上存在点P ，使得直线AP 与直线BD 垂直， 点P 的坐标为22,2,)33（. -------------12分 18．（本小题满分10分）解: （I ）法一：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. -------1分 因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠，而2121PA y y k x x -=-，21212121()()AQ y y y y k x x x x --+==--+, ----2分 所以 2221212122212121PA AQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+- 因为点 ,P A 都在椭圆上，所以 222212121,1,22x x y y +=+= -------------3分 所以 2221222122222121(1)(1)22PA AQx x y y k k x x x x ----⋅==--221222211()2x x x x -=-12=- --------5分 法二：设点1122(,),(,)P x y A x y ，因为22220x y y kx⎧+-=⎨=⎩, 所以22(21)2k x +=所以22221x k =+，所以,P Q 的横坐标互为相反数，所以可设11(,)Q x y --. ----1分因为直线PQ 的斜率为k ，且0k ≠,所以直线PA 的斜率存在,设直线PA 的方程为1y k x m =+.所以221220x y y k x m ⎧+-=⎨=+⎩，消元得到22211(12)4220k x k mx m +++-=. -------------2分所以22111221212214(422)04122212k m k m x x k m x x k ⎧⎪∆=-+>⎪⎪-⎪+=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩-------------3分又121112212()()12my y k x m k x m k +=+++=+. -------------4分所以212121211()1()2AQ y y y y k x x x x k --+===---+,所以111122PA AQ k k k k ⋅=-⋅=-. ---5分（II ）因为2121112AQ y y k x x k +==-+，而直线,PQ PA 垂直，所以11k k =-，所以2AQ kk =， ----6分 所以直线AQ 的方程为11()[()]2ky y x x --=--. -------------7分令0y =，得11()2ky x x =+， -------------8分因为点11(,)P x y 在直线y kx =上，所以11y kx =， -------------9分 代入得到B 的横坐标为01x x =，所以直线PB 与x 轴垂直. -------------10分说明：解答题有其它正确解法的请酌情给分.。