清华大学标准学术能力测试题

2017清华大学标准学术能力测试题

1、a i a 2 L a ?是数字1到9的一个排列，则 a i a 2a 3 a 4a §a 6 a 7a 8a 9的最小值为（ A . 213 B . 214 C . 215

D . 216

【答案】B

M 33 a 1?a 2L a 9 33 9! 3 70

a 1 2a 1X L 2016a 2°16X 2015

1008( x 2 x 1)

令 x 1，得 a 1 2耳 L 2016a 2016 1008

因此所求值为1009。

72 214

214

5 2

6 4 3 72 70

M 70 72

72 由题可知9 8 1 7

9! 6! 7 8 9

720 7 8 9

4900 70

703

分析：a 1,a 2 L a 9

9!三元均值

1离散的数 0靠近之值

【解析】设a 1a 2a 3 a 4a 5a 6

a ?a 8a 9二M 则由三元均值

另一方面由均值M 33

9! 33 72 70 72 33 713 213

由此，M 的最小值为

214.

2、设 x 2 1008

a 。

2

a 2X

2016

a 2016X

，则a 。 2a 1 3a 2 L 2017a 2016

的值是（ A . 1008 【答案】 1009

C . 2016 2017

分析:

1看系

数

【解析】 解法1： 两边同乘 X ,有x x 2

1008

1

a °x a 1x 2 2017

a 2016x

两边求导，得1008x x 2

1007

x 1

2x

a °

2a 1x L

2017a 2016X 2016

令x 1，得a 0

2耳 L

2017 a 2016

1009

解法2：令x 1，可得a 0 a 1 L a 2016 1

对题中等式，两边求导，得

3、集合S 1 2L 25 , A S ,且A 的所有子集中元素之和不同，

则下列选项正确的有

16

A

max B . A max 7

C . a i 5

1 3 a

2 a

3 a

4 a 5，则

i 1 a i

2

D .若A

a a ?

a 4 a 5，则 丄 2

i 1 a

.

4、过椭圆 2

—1的右焦点F2作一条直线交椭圆于

3

A ,

B ，则 F 1AB 的内切圆面积可

能是（

A . 1 【答案】

分析：△ F i AB 周长C 为定值4a 8 , S A ABF 1

8焦点弦长公

式。

焦半径, 在△ AF 1F 2 中/ AF 2F 1 F 1F 2 AF 1 2c AF 2 2c

设AF 2 x ，则由余弦定理 2a 所以x b 2

a ccos 【解

析】 x 2

2

2c

2gxg2cgso

s

由焦点弦| AB | 设直线AB 的倾斜角为 因此S

A ABF 1

】

AB F 1F 2 2 1 2 sin 因此，设内切圆半径为 r , 因此，内切圆面积为 S 5

求得S 的范围为0,—

b 2

c 2

2ab^ sin ，则 | AB | 2 S A ABF 1

C AB F-! F 2 sin 2ab 2 l 2 C 2sin

I 2 3 sin 2

AB F-|F 2 sin

3si n

3 sin 2

5、a n , b n 均为等差数列，已知135 , 中的项的有（

）

a 2

b 2 304 , a 3b 3 529 ,则下列是 a n b n

A. 810 B . 1147C. 1540D.3672

【答案】A,B,C,D

【解析】由题可得：a n b n a 2

n 2 bn 2 c

a b c 135

将@ b

135,玄2匕

2

304,836 529带入得 c 304

a b c 529 a 28

解得b 197 ;则a n 2b n 2 28 n2197n 304 、

c 304

6、已知函数-，过作切线交函数图象于点和点，记,

x

则下列说法中正确的有（）

1

A. t —时，PM PN

B. g t在定义域内单调递增

4 a

1

C. t 时，M , N 和01 共线

D. g 1 6

2 y

【答案】C

分析：共求切点弦。

引理：切点弦定理G x,y Ax2Bxy Cy2Px Ey F，过曲线G x, y 0外一点

P x0, y0弓I曲线的切线，切点为P1P2，则弦RP2就为点P。关于曲线G x, y 0的切点

弦，则对应的直线为G x, y 0。其中

x）y xy o x0 x y0y

G x, y Ax0x B Cy0y P E F

2 2 2

【解析】题中曲线即H:x2 xy t 0,由引理知MN:1?x "丫 °?x t 0,即

2

2

MN :2x y 2t 0 已知MN 与H，得x 2xt t 0,得

g t | MN | 1 22?、4t2 4t ,即g t 2,5? -t2 t。

1 uuur uuir 5

当t —时，PM ?PN 5x1x2-

4 4

7、已知数列x n，其中X1 a , X2 b , X n 1 X n x. 1 （a , b是正整数），若2008为