24点集拓扑讲义

作业
第69页 1，2题 思考题： 6题
因此 V A ，这样对 y V
有V (A {y}) ，由于 V 是 y 的一个
开邻域，这就是说V中没有A的凝聚点，
从而 V (d(A) {x})
即x d(d(A)) ，故 d(d(A)) A d(A)
定义2.4.2 设 X 是一个拓扑空
间， A X .如果 A 的每一个凝聚点
充分性: 若 (x, A) 0 ，类似(1)
的证明可得对任意 0 ，有： B(x, ) A ，故 x A.
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定理2.4.10 设X，Y 是两个拓扑
空间，f : X Y .则以下条件等价：
(1) f 是一个连续映射; (2)Y 中任何一个闭集 B 的原象 f 1(B)
是一个闭集.
(3)对于任何 A X ,有 f ( A) f ( A) (4)对于任何 B Y ,有 f 1(B) f 1(B)
证明: (1) (2)
设 B 是 Y 的任意闭集，则 B 是一个
开集，由 f 连续，有 f 1(B) ( f 1(B)) 是 X 中的一个开集，因此 f 1(B) 是 X 中的一个闭集.
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证明: (2) (3)
设 A 是 X 的任意子集，由于 f ( A) f ( A) 故 A f 1( f ( A)), 所以 A f 1( f ( A)) , 因此 f ( A) f ( A) .
§2.4 导集，闭集，闭包
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间,
A X.如果点 x∈ X 的每一个邻域 U
中都有 A 中异于 x 的点．即，
U (A {x})
则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点．集合 A 的所有凝聚点构成的集 合称为 A 的导集，记作 d (A)．
➢如果 x d ( A) ,则称 x 为 A 的
x 有一个邻域 U 使得 U (A {x}) 由于
x A ，故 U A ，即 U A ,因此 A 是 x 的一个邻域. 所以 A是一个开集.
充分性: 设 A 是一个开集. 若 x A 则 x A ，从而 A是 x 的一个邻 域，且有 A A ，进而有
A (A {x}) ，因此 x d (A)
量空间. X 中的点 x 到 X 的非空子
集 A 的距离 (x, A)定义为：
(x, A) inf{(x, y) | y A}
定理2.4.9 设 A 是度量空间
(X , ) 中的一个非空子集. 则：
(1) x d(A) (x, A {x}) 0
(2) x A (x, A) 0
证明: (1) 必要性: 对任意n Z
邻域 U 有 U ( {x}) ，
故 x d () ,从而 d() . (2)设 A B，对任意 x d(A)，
则对于x的每一个邻域 U ,有
U (A {x}) 由于 A B
故U (B {x}) ，因此 x d(B)
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(3) A, B A B d(A),d(B) d(A B)
一个孤立点．
➢ x d (A) 存在 x 的一个邻域
U，使得U (A {x})
例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解：设 A 是 X 的任意一个子集，对任意 x∈X，{x} 是 x 的一个邻域，并且有
{x} (A {x})
从而 x 不是 A 的凝聚点，故 d ( A) .
都属于A,即 d(A) A 则称A是一个闭
集. 注: 离散空间中的任何一个子集都
是闭集;
平庸空间中的闭集只有 X , .
定理2.4.2 设 X 是一个拓扑空间，
A X 则 A 是一个闭集，当且仅当 A
的补集 A 是一个开集.
证明：必要性：设 A 是一个闭集 ，
对 x A,则 x A ，从而 x d (A) 这样
定理2.4.8 设 X 是一个集合， c* :P (X ) P (X )是集合 X 的一个闭 包运算. 则存在 X 的唯一一个拓扑 T 使得在拓扑空间(X,T)中对于每一
个 A X 有 c*(A) A .
T {U X | c*(U ) U }
定义2.4.5 设 (X , ) 是一个度
(3) 若A多于一点 . 则对任意 x X ,
有 X (A {x}) 故 d(A) X
定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间，则
(1) d ()
(2) 若 A B ，则 d(A) d(B)
(3) d(A B) d(A) d(B) (4) d(d(A)) A d(A)
(1)对任意 x X ，和点 x 的每一个
显然有 d(A) A ,故 A 是闭集.
定理2.4.5 设 X 是一个拓扑空
间.则对于任意 A, B X ，有：
(1)
(2) A A (若 A B则 A B )
(3) A B A B (4) A A
定理2.4.6 设 X 是一个拓扑空 间，F 是由空间 X 中所有的闭集构成
的族，则对于 X 的每一个子集
A ，有
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A
B
BF ,B A
注：集合 A 的闭包是包含A的最小闭集.
证明： A BF ,B A B ，且 B BF ,B A
是闭集， A B BF ,BA 另一方面，由于 A 是一个闭集，并且
A A ，所以 BF ,BA B A
故
A
B
BF ,B A
定义2.4.4 设 X 是一个集合.映 射 c* :P ( X ) P ( X ) 如果满足条件:对
于任何 A, B P (X ) ,
(1) c*( ) (2) A c*( A) (3) c*(A B) c*(A) c*(B) (4) c*(c*(A)) c*( A)
则称 c* :P (X ) P (X )为集合X的一 个闭包运算. 注：以上四个条件称为 Kuratovski
闭包公理. 设X是一个拓扑空间，c* :P (X ) P (X ) 使得 c*( A) A , 则 c* 是一个闭包 运算.
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是一个闭集.
(3)对于任何 A X ,有 f ( A) f ( A)
(证4)明对:于(3任) 何(B4) Y ,有 f 1(B) f 1(B)
设 B 是 Y 的任意闭集，由于 f 1(B) X
应用(3) 有 f ( f 1(B)) f ( f 1(B)) B
故 f 1(B) f 1(B) .
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解：设 A 是 X 的任意一个子集.
(1) 若 A 是 空集，显然有 d (A)
(2) 若 A 是一个单点集，令 A {a}
对任意 x X , x a ，点 x 有唯的一
个邻域 X ,使得 X (A {x}) ，
即 x d (A) . 对 a 的唯一的邻域 X ,有X (A {a}) 故 a d ( A) ，由以上的讨论我们有: d(A) X A
由于x d (A) ，所以
B(
x,
1 n
)
(
A
{x})
故
y
B(x,
1 n
)
(A
{x})
使得
( x,
y)
1 n
，
所以
(x, A {x})
0
充分性：由于 (x, A {x}) 0
则对任意 0，y A {x}
使得 (x, y) ，即
B(x, ) (A {x})
故 x d (A) . (2) 必要性: 若 x A ，易得 (x, A) 0
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证明: (4) (1)
设 U 是 Y 的任意开集，则 U 是 Y 的闭集，对 U 应用(4)有：
f 1(U) f 1(U) . 又因为 f 1(U) f 1(U) 故 f 1(U) f 1(U) 故 ( f 1(U )) f 1(U )是闭集，从而 f 1(U )是开集，因此 f 连续.
从而有 D ((A B) {x}) ,
故 xxxdd(dA((A)AdBB())B)，从而 d(A) d(B) d(A B)
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(4)设 x A d(A) ，则有 x A且 x d (A),
故x有一个邻域U使得 U (A {x})
任取x的一个开邻域V,使得 V U 此时也有V (A {x}) ，由于 x A
间，A X ，称 A d(A) 为集合 A
的闭包，记作 A .
注：x A 当且仅当对于 x 的每一 个邻域 U 有 U A .
定理2.4.4 拓扑空间 X 的子集 A
是闭集的充要条件是 A A.
证明：必要性：若 A 是闭集，则
d(A) A ，从而 A A d (A) A ; 充分性：若 A A，即 A d (A) A
于是我们有 d(A) A ,即A是一个闭
集.
例 实数空间 R 中的闭区间是闭集
定理2.4.3 设 X 是一个拓扑空间. 记 F 为所有闭集构成的集族. 则
(1) X , F
(2) 若 A, B F ，则 A BF
(3) 如果 F 1 F , 则 AF 1 A F
例 Cantor集是实数空间 R 中的一个 闭集. 定义2.4.3 设 X 是一个拓扑空
d(A) d(B) d(A B) 下面我们证明 d(A) d(B) d(A B)
若 xxddd(((AAA))ddB((B)B)，)，则则有有xxxddd((A(AA)))且且 xxxddd(((BBB)))
于是x有邻域U,使得 U (A {x}) ,又有邻 域V使得UV (B {x}) ，令 D U V，