24点集拓扑讲义

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《点集拓扑》课件

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点集拓扑的基本性质
01
02
03
04
性质1
任意两个不同的点不能是等价 的。
性质2
有限多个开集的并集仍然是开 集。
性质3
闭集的补集是开集。
性质4
连续映射下的开集和闭集保持 不变。
点集拓扑的重要性
应用广泛
点集拓扑在数学、物理学、工程 学等领域都有广泛应用,如微分 几何、代数几何、微分方程等领
域。
基础学科
点集拓扑是数学的一门基础学科, 为其他学科提供了数学工具和语言 ,促进了数学的发展。
理论意义
点集拓扑的研究有助于深入探讨数 学中的一些基本问题,如连续性、 连通性、紧致性等,推动了数学理 论的发展。
02
拓扑空间与基
拓扑空间的定义
总结词
抽象的空间
详细描述
拓扑空间是一个由点集构成的空间,这些点集通过集合的并、交、补等运算形 成。它是一个抽象的概念,不依赖于度量或连续性的具体性质。
连通性与道路连通性
连通性的定义与分类
总结词
连通性是描述点集拓扑空间中点之间的相互关系的重要概念,它分为三种类型:强连通 、弱连通和道路连通。
详细描述
连通性定义为一个点集拓扑空间中任意两点可以通过一系列连续变换(如移动、旋转、 缩放等)相互到达。根据连通性的不同性质,可以分为强连通、弱连通和道路连通三种 类型。强连通是指任意两点都相互可达;弱连通是指任意两点至少有一个可达;道路连
基的定义与性质
总结词
定义与性质
详细描述
基是拓扑空间中一个特殊的子集系统,它具有一些重要的性质,如基的任意并仍 属于基,基的有限交仍属于基等。基是定义拓扑空间的重要工具。
基在拓扑空间中的应用

《点集拓扑》课件

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《点集拓扑》课件一、教学内容本节课的教学内容来自于教材《数学分析》的第十章第二节,主要内容包括点集拓扑的基本概念、拓扑空间的定义及其性质、以及一些常见的拓扑空间。

具体内容包括:1. 点集拓扑的基本概念:邻域、开集、闭集、连通性等。

2. 拓扑空间的定义及其性质:拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。

3. 常见的拓扑空间:欧几里得空间、度量空间、范数空间等。

二、教学目标1. 理解点集拓扑的基本概念,能够熟练运用拓扑空间的概念描述集合的性质。

2. 掌握拓扑空间的定义及其性质,能够判断给定的集合是否构成拓扑空间。

3. 熟悉常见的拓扑空间,能够理解不同拓扑空间之间的联系和区别。

三、教学难点与重点1. 教学难点:拓扑空间的定义及其性质,特别是连通性的理解。

2. 教学重点:点集拓扑的基本概念,以及常见拓扑空间的理解。

四、教具与学具准备1. 教具:多媒体课件、黑板、粉笔。

2. 学具:教材《数学分析》、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入:通过生活中的实例,如房间内的家具布局,引出点集拓扑的基本概念。

2. 点集拓扑的基本概念:介绍邻域、开集、闭集、连通性等概念,并通过图形和实例进行解释。

3. 拓扑空间的定义及其性质:引导学生理解拓扑空间的定义,并通过实例说明拓扑空间的特点。

4. 常见的拓扑空间:介绍欧几里得空间、度量空间、范数空间等常见的拓扑空间,并通过图形和实例进行解释。

5. 课堂练习:给出一些具体的例子,让学生判断是否构成拓扑空间,以及识别给定的集合的拓扑性质。

六、板书设计1. 点集拓扑的基本概念:邻域、开集、闭集、连通性。

2. 拓扑空间的定义及其性质:拓扑空间是一个集合及其上的一组开放集的系统。

3. 常见的拓扑空间:欧几里得空间、度量空间、范数空间。

七、作业设计(1)集合R上的二元组(x,y)构成的集合。

(2)集合N上的自然数构成的集合。

答案:(1)构成拓扑空间,拓扑由所有形如(∞,a)∪(a,+∞)的开集构成。

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

完整word版点集拓扑讲义学习笔记

度量空间与连续映射2章第它们的定义域和值域从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数,都是欧氏空间(直线,平面或空间等等)或是其中的一部分.在这一章中我们将连续首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间,然函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射(参见§2.1).随给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射(参见§2.2).后将两者再度抽象,后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域,闭包,内部,边界,基和子基,序列等等.度量空间与连续映射§2.1本节重点:掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念.注意区别:数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念.应细细体会证明的方法.注意,在本节的证明中,R→Rf:首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义.函数,使>00,存在实数δ∈R称为在点处是连续的,如果对于任意实数ε>|x-得对于任何x∈R,当|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及时|<δ,有两个实数之间的距离(即两个实数之差的绝对值)这个概念;为了验证一个函而与实数的数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质,其它性质无关,关于多元函数的连续性情形也完全类似.以下,我们从这一考.察出发,抽象出度量和度量空间的概念,z∈X,,xy是一个集合,定义2.1.1 设Xρ:X×X→R.如果对于任何有页40 共** 页1 第(1)(正定性),ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)=0当且仅当x=y;(2)(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x);(3)(三角不等式)ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z)则称ρ是集合X的一个度量.如果ρ是集合X的一个度量,称(X,ρ)是一个度量空间,或称X是一个对于ρ而言的度量空间.有时,或者度量ρ早有约定,或者在行文中已作交代,不提它不至于引起混淆,这时我们称X是一个度量空间.此外,对于任意两点x,y ∈X,实数ρ(x,y)称为从点x到点y的距离.着重理解:度量的本质是什么?例2.1.1 实数空间R.对于实数集合R,定义ρ:R×R→R如下:对于任意x,y∈R,令ρ(x,y)=|x-y|.容易验证ρ是R的一个度量,因此偶对(R,ρ)是一个度量空间.这个度量空间特别地称为实数空间或直线.这里定义的度量ρ,称为R 的通常度量,并且常常略而不提,迳称R为实数空间.(今后我们说实数空间,均指具有通常度量的实数空间.)维欧氏空间.例2.1.2 n对于实数集合R的n重笛卡儿积=R×R×…×R()x=×→R如下:对于任意ρ定义,: y=,令)=y xρ(,页40 共* 页2 第是的一个度量,因此偶容易验证(详见课本本节最后部分的附录)ρ,ρ)是一个度量空间.(这个度量空间特别地称为n维欧氏空间.对这里定,称为义的度量ρ的通常度量,并且常常略而不提,迳称为n维欧氏空间.2维欧氏空间通常称为欧氏平面或平面.(今后说通常度量,均指满足这种公式的度量)例2.1.3 Hilbert空间H.记H为平方收敛的所有实数序列构成的集合,即)|<∞} = {x=(H定义ρ如下:对于任意=()∈H),yx =((x,y)= 令ρ(即验证<∞)以及验证ρ是说明这个定义是合理的H的一个度量,均请参见课本本节最后部分的附录.偶对(H,ρ)是一个度量空间.这个度量空间特别地称为Hilbert空间.这里定义的度量ρ称为H的通常度量,并且常常略而不提,迳称H为Hilbert 空间.例2.1.4 离散的度量空间.设(X,ρ)是一个度量空间.称(X,ρ)是离散的,或者称ρ是X x∈X,存在一个实数>0使得ρ(的一个离散度量,如果对于每一个x,y) y∈X,x≠y,成立.>对于任何页40 共** 页3 第例如我们假定X是一个集合,定义ρ:X×X→R使得对于任何x,y∈X,有(x,y)=ρ容易验证ρ是X的一个离散的度量,因此度量空间(X,ρ)是离散的.通过这几个例子,可知,度量也是一种映射,但它的象空间是实数.离散的度量空间或许是我们以前未曾接触过的一类空间,但今后会发现它的性质是简单的.定义2.1.2 设(X,ρ)是一个度量空间,x∈X.对于任意给定的实数ε>0,集合{y∈X|ρ(x,y)<ε}),或,称为一个以x为中心以ε为半径的球形邻记作B(x,ε域,简称为x的一个球形邻域,有时也称为x的一个ε邻域.此处的球形邻域是球状的吗?定理2.1.1 度量空间(X,ρ)的球形邻域具有以下基本性质:(1)每一点x∈X,至少有一个球形邻域,并且点x属于它的每一个球形邻域;(2)对于点x∈X的任意两个球形邻域,存在x的一个球形邻域同时包含于两者;(3) 如果y∈X属于x∈X的某一个球形邻域,则y有一个球形邻域包含于x的那个球形邻域.证明:(1)设x∈X.对于每一个实数ε>0,B(x,ε)是x的一个球形邻域,所以x至少有一个球形邻域;由于ρ(x,x)=0,所以x属于它的每一个球形邻域.页40 共* 页4 第,)是x∈XB(x (2)如果B(x的两个球形邻域,任意选取实,)和数}min{ ,则易见有ε>0,使得ε<,)∩B(x,))B (x,εB(x 即B(x,ε)满足要求.).显然.>0.如果xρ(,yz∈B,(3)设y∈B(xε=).令ε-,),则(y )<xy,)+ρ)+ρ(y,x=ε(((z,x)≤ρz,yρ,y)ε).这证明B(εB(x,).,所以z∈B(x定义2.1.3 设A是度量空间X的一个子集.如果A中的每一个点都有一个球形邻域包含于A(即对于每一个a∈A,存在实数ε>0使得B(a,ε)A,则称A是度量空间X中的一个开集.注意:此处的开集仅是度量空间的开集.例2.1.5 实数空间R中的开区间都是开集.设a,b∈R,a<b.我们说开区间(a,b)={x∈R|a<x<b}是R中的一个开集.这是因为如果x∈(a,b),若令ε=min{x-a,b-x},则有B(x,ε)(a,b).也同样容易证明无限的开区间(a,∞)={x∈R|x>a},(-∞,b)={x∈R|x<b}(-∞,∞)=R都是R中的开集.然而闭区间[a,b]={x∈R|a≤x≤b}页40 共** 页5 第却不是R中的开集.因为对于a∈[a,b]而言,任何ε>0,B(x,ε)[a,b]都不成立.类似地,半开半闭的区间(a,b]={x∈R|a<x≤b},[a,b)={x∈R|a≤x<b}无限的闭区问[a,∞)={x∈R|x≥a},(-∞,b]={x∈R|x≤b}都不是R中的开集.定理2.1.2 度量空间X中的开集具有以下性质:本身和空集都是开集;X (1)集合(2)任意两个开集的交是一个开集;(3)任意一个开集族(即由开集构成的族)的并是一个开集.证明根据定理2.1.1(1)X中的每一个元素x都有一个球形邻域,这个球形邻域当然包含在X 满足开集的条件;空集X中不包含任何一个点,也自然地可以认为中,所以它满足开集的条件.的一个球形邻x如果x∈U∩V,则存在U设和V是X中的两个开集.(2).根据V,的一个球形邻域B(x)包含于域B(x,)包含于U,也存在x ,(xε)同时包含于BB(2),x有一个球形邻域(x,)和B定理2.1.1,),因此(x,)U∩V B(x,B(x,)∩B(xε)由于U∩V中的每一点都有一个球形邻域包含于U∩V,因此U∩V是一个开集.页40 共* 页6 第中的开集构成的子集族.如果,则存在是一个由X3)设*Α(A有一个球形邻域包含于是一个开集,所以由于∈*x使得,显x∈然这个球形邻域也包含于中的一个开集..这证明是X此外,根据定理2.1.1(3)可见,每一个球形邻域都是开集.球形邻域与开集有何联系?为了讨论问题的方便,我们将球形邻域的概念稍稍作一点推广.定义2.1.4 设x是度量空间X中的一个点,U是X的一个子集.如果存在一个开集V满足条件:x∈VU,则称U是点x的一个邻域.下面这个定理为邻域的定义提供了一个等价的说法,并且表明从球形邻域推广为邻域是自然的事情.定理2.1.3 设x是度量空间X中的一个点.则X的子集U是x的一个邻域的充分必要条件是x有某一个球形邻域包含于U.证明如果U是点x的一个邻域,根据邻域的定义存在开集V使得x∈VU,又根据开集的定义,x有一个球形邻域包含于V,从而这个球形邻域也就包含于U.这证明U满足定理的条件.反之,如果U满足定理中的条件,由于球形邻域都是开集,因此U是x的邻域.现在我们把数学分析中的连续函数的概念推广为度量空间之间的连续映射.页40 共** 页7 第f(如果对于)是两个度量空间,f:X→Y,∈X以及定义2.1.5 设X和Y (ε),,存在δ的某一个球形邻域B),的任何一个球形邻域B(f(),),则称映射在点处是连续的.(),δ)),εB(使得f(Bf(如果映射f在X的每一个点x∈X处连续,则称f是一个连续映射.以上的这个定义是数学分析中函数连续性定义的纯粹形式推广.因为如果在点f处连续,可以说成:和Y设ρ中的度量,则和分别是度量空间X对于任意给定的实数ε>0,存在实数δ>0使得对于任何x∈X只要ρ(x,x∈B (,δ)便有)<δ(即f(f(x)∈B(.(即(f(x),f())ε)).<ε),下面的这个定理是把度量空间和度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的出发点.以及∈X.X→Y则下述条件Y是两个度量空间,f:和定理2.1.4 设X:和(*2)*(1)和(2)分别等价于条件(1))f处是连续的;在点(1的每一个邻域的原象是的一个邻域;(1)*f( )(2)f是连续的;(2)*Y中的每一个开集的原象是X中的一个开集.()的一个邻域.根令U为f成立.1)蕴涵()*:设(1)1证明条件(),ε)包含于B(fU(.由于f)有一个球形邻域2.1.3据定理,f(处是连续的,所以在点有一个球形邻域((BfBεB(fB)),δ((),).然而,(()使得,δf 页40 共* 页8 第),所以(),εU)()是)B),这证明((U(U的一个邻域.,δ(f1)*成立.任意给定)的一个邻条件(1)*蕴涵(1).设条件(,根据定理2.1.3是(的一个邻域.f(),ε域B(εf(),),)则(B )包含于δ(,有一个球形邻域B ().f),ε(B((f(B在点处连续.因此,δ))B(f(),ε).这证明f中的一个开集,为Y*.设条件(2)成立.令V2条件()蕴涵(2)是一个开集,所Vx)∈V.由于).对于每一个x∈U,我们有f(U(=VxU是1)*,)的一个邻域.由于以V是f(xf在每一点处都连续,故根据(由U=∪x∈UUx.U.易见Ux的一个邻域.于是有包含x的某一个开集Ux使得 U是一个开集.都是开集,根据定理2.1.2,于每一个Ux)的x是f(2)*成立,对于任意x∈X,设U条件(2)*蕴涵(2).设(根.U)((的一个开集x)V U.从而Vx∈)f一个邻域,即存在包含(x的一个邻域,对于U据条件(2)*,(V)是一个开集,所以)是x(是任意选取的,所以处连续.由于点x在点*成立,于是fx)而言,条件(1 f是一个连续映射.从这个定理可以看出:度量空间之间的一个映射是否是连续的,或者在某一点处是否是连续的,本质上只与度量空间中的开集有关(注意,邻域是通过开集定义的).这就导致我们甩开度量这个概念,参照度量空间中开集的基本)建立拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射的概念性质(定理2.1.2作业:P47 1.2.3.4.页40 共** 页9 第拓扑空间与连续映射§2.2:本节重点. 并在此空间上建立起来的连续映射的概念拓扑与拓扑空间的概念,: 注意区别. 拓扑空间的开集与度量空间开集的异同;连续映射概念的异同现在我们遵循前一节末尾提到的思路,即从开集及其基本性质(定理 2.1.2)出发来建立拓扑空间的概念.ττ满足如下X是一个集合,定义2.2.1 设X的一个子集族.如果是条件:τ∈(;lX),Tτ;(2)若A,B∈A∩B∈,则(3)若τ是X的一个拓扑.则称ττ)是一个拓扑空间,或X如果,是集合X的一个拓扑,则称偶对(τT是一个相对于拓扑而言的拓扑空间;此外称集合的每一个元素都叫做Xττ.即:A∈A是开集.)或(开集XX拓扑空间(,)中的一个(此定义与度量空间的开集的性质一样吗?留给大家思考)经过简单的归纳立即可见,以上定义中的条件(2)蕴涵着:有限多个开集的交仍是开集,条件(3)蕴涵着:任意多个开集的并仍是开集.页40 共* 页10 第现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴.中的所有开集构为由ρ)是一个度量空间·令定义X2.2.2 设(X,的一个拓扑.我们称2.1.2)是,(X 为成的集族.根据定理,X的X由.此外我们约定:如果没有另外的说明,我们提到度度量ρ诱导出来的拓扑)的拓扑时,指的就是拓扑;在称度量空间(X,X,ρρ)为拓扑量空间(空间时,指的就是拓扑空间(X,)空),HilbertR因此,实数空间,n维欧氏空间(特别,欧氏平面间H都可以叫做拓扑空间,它们各自的拓扑便是由例2.1.1,例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑.例2.2.1 平庸空间.TT是X,}.容易验证,设X是一个集合.令的一个拓扑,称之为 ={X T)为一个平庸空间.在平庸空间(;并且我们称拓扑空间(X,X,的X平庸拓扑T)中,有且仅有两个开集,即X本身和空集.例2.2.2 离散空间.TP(X),即由XX是一个集合.令 =的所有子集构成的族.容易验证,设TT)为一X;并且我们称拓扑空间(,的一个拓扑,称之为X的离散拓扑是X T)中,X的每一个子集都是开集.在离散空间(X,个离散空间.T ={,{a},{a,b},{a,{a,bc}.令,b,c}}.=2.2.3 例设X TT)是一个拓扑空间.这个拓扑X的一个拓扑,因此(,容易验证,是X空间既不是平庸空间又不是离散空间.页40 共** 页11 第例2.2.4 有限补空间.设X是一个集合.首先我们重申:当我们考虑的问题中的基础集自明时,我们并不每次提起.因此在后文中对于X的每一个子集A,它的补集X-A我们写为.令X|T ={U 的一个有限子集}∪{是X}T是X的一个拓扑:先验证;另外,根据定义便有∈T.)X∈T (因为 =)(1T如果A和B之中有一个是空集,则A∩B∈T,假定A(2)设A,B∈和B T .的一个有限子集,所以A∩B∈是都不是空集.这时X,显然有)设(3.令,则如果X任意选取.这时是设的一个有限子集,所以P是X的一个拓扑,称之为3),X的有限补拓根据上述(1),(2)和(P)称为一个有限补空间.,扑.拓扑空间(X例2.2.5 可数补空间.设X是一个集合.令T 的一个可数子集}∪{X}={U X|是T 是X2.2.4通过与例中完全类似的做法容易验证(请读者自证)的一个T )称为一个可数补空间.,的可数补拓扑.拓扑空间(拓扑,称之为XX页40 共* 页12 第一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点?换句话就是问:是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来?P使)是一个拓扑空间.如果存在X的一个度量设(X,ρ定义2.2.3PP)是一个ρ诱导出来的拓扑可度量化空,则称(得拓扑X,即是由度量间.根据这个定义,前述问题即是:是否每一个拓扑空间都是可度量化空间?每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑可以看出,和从§2.1中的习题23空间都是离散空间.然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话,它肯定不是中给出的那个空间只含有三个点,2.2.3离散空间,因此它不是可度量化的;例拓扑空间是比可度量空间的但不是离散空间,也不是可度量化的.由此可见,进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的?这范围要广泛.是点集拓扑学中的重要问题之一,以后我们将专门讨论.现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射.U定义2.2.4 是两个拓扑空间,f:X→Y.如果中每一个开集Y设X和Y的一个连续映射,或简称Xf是中的一个开集,则称X到Y(的原象U)是映射f连续.按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射,明显是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发.并且那个定理也保证了:当X和Y是两个度量空间时,如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射,那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射,反之亦然.(按照约定,涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑)页40 共** 页13 第但所指出的却是连续映射的最重要的下面的这个定理尽管证明十分容易,性质.都是拓扑空间.则,Y和ZX定理2.2.1 设是一个连续映射;1:X→X)恒同映射:(也是连续映射.和g:Y→Z都是连续映射,则gof:X→Z(2)如果f:X→Y l连续.),所以证明()设2f:X→Y,g:Y →Z都是连续映射(连续.这证明gof如在线性代数中我们考在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象.虑线性空间和线性变换,在群论中我们考虑群和同态,在集合论中我们考虑集合和映射,在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等.并且对于后群论中的同构,者都要提出一类来予以重视,例如线性代数中的(线性)同构,集合论中的—一映射,以及初等几何学中的刚体运动(即平移加旋转)等等.我们现在已经提出了两类基本对象,即拓扑空间和连续映射.下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注.是一个—一映射,f:X→Y Y设X和是两个拓扑空间.如果2.2.5 定义和f是一个同胚映射或同胚.都是连续的,则称:Y→X并且f定理2.2.2 设X都是拓扑空间.则Y和Z,:X→X)恒同映射(1是一个同胚;)如果f:X→Y(:Y→X也是一个同胚;2是一个同胚,则页40 共* 页14 第:X→Z也是一个同胚.:Y→Z都是同胚,则gof(3)如果f:X→Y和g 2.2.1,定理证明以下证明中所涉及的根据,可参见定理.5.4..53和定理1.l是一个—一映射,并且(l是同胚.),都是连续的,从而是一个—一映射,并且f和)设f:X→Y是一个同胚.因此f都(2也都是连续的,也是一个—一映射并且是连续的.于是和所以也是一个同胚.,f都是—一映射,并且因此f和gf)设:X→Y和g:Y→Z都是同胚.(3和且gof射,并—因此gof也是一映,g续和都是连的. gof是一个同胚.都是连续的.所以:X→Y,则f和Y是两个拓扑空间.如果存在一个同胚设定义2.2.6 X .同胚于YX是同胚的,或称X与Y同胚,或称X称拓扑空间与拓扑空间Y 粗略地说,同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间.都是拓扑空间.则和Z设X,Y定理2.2.3X同胚;1)X与(同胚;Y与X同胚,则(2)如来X与Y Z同胚.同胚,则与ZX与同胚,)如果(3X与YY 2.2.2直接得到.证明从定理在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中,我们可以说:根据定理2.2.3,因而同胚关系将这个拓扑空两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系.间族分为互不相交的等价类,使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚,属于不同类的拓扑空间彼此不同胚.页40 共** 页15 第,如果为某一个拓扑空间所具有,则必为与其同胚P拓扑空间的某种性质.换言之,拓拓扑不变性质的任何一个拓扑空间所具有,则称此性质P是一个扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质.拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质.至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念,经由度量空间和度量空间之间的连续映射,一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这段时期才完成的工作.种做法是屡见不鲜的,但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象(或其中的某也正因为如此,是一个去粗取精的过程.一个方面)的精粹而进行的一次提升,新的概念和理论往往有更多的包容.一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正拓扑学无疑也是如此,的认识,另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象(特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间).这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会.作业:P55 2,5,6,8,9,10§2.3 邻域与邻域系本节重点:掌握邻域的概念及邻域的性质;掌握连续映射的两种定义;掌握证明开集与邻域的证明方法(今后证明开集常用定理2.3.1).页40 共* 页16 第我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的,也就是说先定义映射在某一点处的连续性,然后再定义这个映射本身的连续性.然而对于拓扑空间的映射而言,先定义映射本身的连续性更为方便,所以我们先在§2.2中做好了;现在轮到给出映射在某一点处的连续性的定义了.在定理2.1.4中我们已经发现,为此只要有一个适当的称之为“邻域”的概念,而在§2.1中定义度量空间的邻域时又只用到“开集”.因此我们先在拓扑空间中建立邻域的概念然后再给出映射在某一点处的连续性的概念,这些概念的给出一点也不会使我们感到突然.P)是一个拓扑空间,x∈X.如果U是X的一个子集,定义2.3.1 设(X,P使得x∈VU,则称U满足条件:存在一个开集V∈是点x的一个邻域.点x的所有邻域构成的x的子集族称为点x的邻域系.易见,如果U是包含着点x的一个开集,那么它一定是x的一个邻域,于是我们称U是点x的一个开邻域.首先注意,当我们把一个度量空间看作拓扑空间时(这时,空间的拓扑是由度量诱导出来的拓扑),一个集合是否是某一个点的邻域,无论是按§2.1中的定义或者是按这里的定义,都是一回事.定理2.3.1 拓扑空间X的一个子集U是开集的充分必要条件是U是它的每一点的邻域,即只要x∈U,U便是x的一个邻域.是空集,以下证明充分性.如果U证明定理中条件的必要性是明显的. U ≠.根据定理中的条件,当然U是一个开集.下设使得故U=,根据拓扑的定义,U是一个开集.定理2.3.2概括了邻域系的基本性质.页40 共** 页17 第是一个拓扑空间.记为点x∈XX的邻域系.则:定理2.3.2 设U∈x∈X,;并且如果≠,则(1)对于任何x∈U;U ∩V∈,V∈ U,则;(2)如果V∈并且U; V (3)如果,则U∈V∈满足条件:(a)VU和,则存在(b) (4)如果对于任何U∈ V ∈.y∈V,有P且由定义,∴X∈证明(1),∴,≠如果 X,X∈,则x∈UU∈PP和使得∈则存在设2()U,V∈.U.和∈ T,∴U∩V∈成立.从而我们有, U∈,并且设3()P.V满足条件已经满足条件(a),根4()设U∈.令V∈据定理2.3.1,它也满足条件(b).以下定理表明,我们完全可以从邻域系的概念出发来建立拓扑空间理论,这种做法在点集拓扑发展的早期常被采用.这种做法也许显得自然一点,但不如现在流行的从开集概念出发定义拓扑来得简洁.定理2.3.3 设X是一个集合.又设对于每一点x∈X指定了x的一个子集族,并且它们满足定理2.3.2中的条件(1)~(4).则x有惟一的一P子集族x ∈X,个拓扑T使得对于每一点在拓扑空间恰是点x(X,)中的邻域系.(证明略)页40 共* 页18 第现在我们来将度量空间之间的连续映射在一点处的连续性的概念推广到拓扑空间之间的映射中去.定义2.3.2 设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y,x∈X.如果的原象(U)是Ux∈X的一个邻域,则称映射ff(x)∈Y的每一个邻域是一个在点x处连续的映射,或简称映射f在点x处连续.与连续映射的情形一样,按这种方式定义拓扑空间之间的映射在某一点处的连续性也明显地是受到了§2.1中的定理2.1.4的启发.并且该定理也保证了:当X 和Y是两个度量空间时,如果f: X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个映射,它在某一点x∈X处连续,那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个在点x处连续的映射;反之亦然.这里我们也有与定理2.2.l类似的定理.定理2.3.4 设X,Y和Z都是拓扑空间.则)恒同映射:X→X在每一点x∈X(1处连续;(2)如果f:X→Y在点x∈X处连续,g:Y→Z在点f(x)处连续,则gof:X→Z在x处连续.证明请读者自己补上.以下定理则建立了“局部的”连续性概念和“整体的”连续性概念之间的联系.定理2.3.5 设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y.则映射f连续当且仅当对于每一点x∈X,映射f在点x处连续.证明必要性:设映射f连续,这证明f在点X处连续.页40 共** 页19 第x处连续.充分性:设对于每一点x∈X,映射f在点f连续.这就证明了作业: ,掌握证明一个映射是否连续的方法.掌握证明一个子集是邻域的方法§2.4 导集,闭集,闭包本节重点:熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念;区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同;掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件;掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件.如果在一个拓扑空间中给定了一个子集,那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同,因此可以对它们进行分类处理.定义2.4.1 设X是一个拓扑空间,AX.如果点x∈X的每一个邻域U ,则称点xx中异于的点,即U∩(A-{x}是集合)≠A的一个凝聚中都有A点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集,记作d(A).如=,)U ∩(A-{x}使得即存在x果x∈A并且不是A的凝聚点,x的一个邻域U 的一个孤立点.为Ax则称):(牢记即页40 共* 页20 第在上述定义之中,凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此,当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时,你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言,不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的,因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生,我们不每次都作类似的注释,而请读者自己留心.某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念,但绝不要以为对欧氏空间有效的性质,例如欧氏空间中凝聚点的性质,对一般的拓扑空间都有效.以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象.例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间,A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集都是开集,因此如果x∈X,则X有一个邻域{x},使得,以上论证说明,集合A没有任何一个凝聚点,)=. d(A从而A的导集是空集,即2.4.2 例平庸空间中集合的凝聚点和导集.是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论:设X是一个平庸空间,A A显然没有任何一个凝聚点,亦即第1种情形:.这时A=.(可以参见定理2.4.1中第(d(A)l=)条的证明.)。

河北师大点集拓扑优质课件1[1]0

河北师大点集拓扑优质课件1[1]0

河北师大点集拓扑优质课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“拓扑空间与连续性”的第3节“紧致性”。

具体内容包括:理解紧致性的概念、探讨紧致空间的性质、掌握闭区间上的连续函数的属性以及探讨紧致性与有限覆盖定理之间的关系。

二、教学目标1. 让学生理解并掌握紧致性的定义,能够识别常见的紧致空间。

2. 培养学生运用紧致性解决实际问题的能力,理解紧致性在拓扑空间中的重要性。

3. 让学生掌握闭区间上连续函数的性质,并能运用这些性质解决相关问题。

三、教学难点与重点重点:紧致性的定义及性质,闭区间上连续函数的性质。

难点:理解紧致性与其他拓扑性质之间的关系,运用紧致性解决实际问题。

四、教具与学具准备1. 教具:PPT课件、黑板、粉笔。

2. 学具:教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 实践情景引入:通过展示地球仪上的紧致集合(如大陆),引导学生思考紧致性在实际生活中的应用。

2. 知识讲解:(1) 紧致性的定义:介绍紧致性的概念,通过示例让学生理解并掌握紧致集合的特点。

(2) 紧致空间的性质:讲解紧致空间的性质,如闭集、有限覆盖定理等。

(3) 闭区间上连续函数的性质:介绍闭区间上连续函数的性质,如有界性、最大值最小值定理等。

3. 例题讲解:讲解典型例题,引导学生运用所学知识解决实际问题。

4. 随堂练习:布置相关练习题,让学生巩固所学知识。

六、板书设计1. 紧致性的定义2. 紧致空间的性质3. 闭区间上连续函数的性质4. 典型例题及解题方法七、作业设计1. 作业题目:(2) 设f(x)在闭区间[0,1]上连续,证明f(x)在[0,1]上有界。

2. 答案:(1) A为紧致集合,B不为紧致集合。

(2) 证明:由于闭区间[0,1]为紧致集合,根据闭区间上连续函数的性质,f(x)在[0,1]上有界。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对紧致性的理解程度,以及对闭区间上连续函数性质的掌握情况。

《点集拓扑》PPT课件

《点集拓扑》PPT课件

认知主义学习理论
学习并非是机械的、被动的刺激— 反应的联结,学习要通过主体的主观作 用来实现。
• 格式塔学习理论 • 奥苏贝尔认知同化学习理论 • 信息加工学习理论
格式塔学习理论
所谓格式塔,是一个德语词,意为完形。该学 派认为,我们的思维是一种整体性的、有意义 的知觉,而不是各种映象的组合。
• 学习是知觉重组或认知重组,即顿悟 • 顿悟学习可以避免多余的试误,同时又有助于迁移 • 真正的学习是不会遗忘的 • 顿悟学习本身就具有奖励的性质
• 学习原则 – 逐渐分化原则 – 整合协调的原则 – 先行组织者策略
加涅的信息加工模式
信息加工的基本原理
• 信息流是行为的基础 • 人类加工信息的容量是有限的 • 记忆取决于信息编码 • 回忆部分取决于提取线索
信息加工理论的教学应用
• 学习过程的阶段(动机阶段、领会阶段、习得阶 段、保持阶段、回忆阶段、概括阶段、作业阶段、 反馈阶段)
• 一级强化和二级强化
斯金纳的程序教学原则
• 积极反应原则 • 小步子原则 • 及时强化原则 • 自定步调原则 • 低错误率原则
总结
• 在20世纪的前半个世纪,行为主义的 学习理论是占主导地位的,学习被看 作是明显的行为改变的结果,是能够 由选择性强化形成的。因此,在行为 主义者看来,环境和条件,如刺激和 影响行为的强化,是学习的两个重要 的因索,学习等同于行为的结果。
美国教育心理学之父
华生的刺激—反应学说
• 学习是塑造外显的行为,而内部的心理 状态是不可知的;学习是刺激—反应的 联结,人的反应完全由客观刺激决定。
• 频因律 • 近因律
斯金纳的程序教学法
• 正强化:在环境中增加某种刺激, 有机体反应概率增加,这种刺激就 是正强化

《点集拓扑学》课件

《点集拓扑学》课件

映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理,它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说,如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的,那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集,或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖,则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性,反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间,它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中,波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题,如涡旋的 形成和演化,需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明,对于一个可微分的闭曲面,其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理,它指出对于一个可微分的 闭曲面,其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用,特别是在处理一些复杂的几何问题时。

2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0

2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0

2024年河北师大点集拓扑课件 1[1]0一、教学内容本节课我们将学习《点集拓扑》教材的第一章“集合与映射”,具体内容包括集合的基本概念、集合的运算、映射的定义与性质、特殊类型的映射等。

重点在于让学生理解集合与映射的基本理论,为后续的点集拓扑学打下坚实基础。

二、教学目标1. 理解并掌握集合的基本概念,能够运用集合的运算解决实际问题。

2. 理解映射的定义及其相关性质,能够判断不同类型的映射。

3. 培养学生的抽象思维能力和逻辑推理能力,为学习点集拓扑学奠定基础。

三、教学难点与重点教学难点:映射的性质及其判断,特殊类型的映射。

教学重点:集合的基本概念,集合的运算,映射的定义与性质。

四、教具与学具准备1. 教具:黑板、粉笔、多媒体设备。

2. 学具:教材、笔记本、文具。

五、教学过程1. 导入:通过实际生活中的例子,引导学生理解集合的概念。

举例:一个班级的学生、所有的偶数、所有的三角形等。

2. 新课讲解:(1)集合的基本概念:集合的定义、元素、集合的表示方法。

(2)集合的运算:交集、并集、补集、幂集。

(3)映射的定义:映射的概念、映射的表示方法。

(4)映射的性质:单射、满射、双射。

(5)特殊类型的映射:恒等映射、投影映射、线性映射。

3. 例题讲解:(1)求集合A和B的交集、并集、补集。

(2)判断给定的映射是否为单射、满射、双射。

4. 随堂练习:(1)已知集合A,求A的幂集。

(2)判断给定映射的类型。

六、板书设计1. 集合的基本概念、运算及表示方法。

2. 映射的定义、性质及特殊类型的映射。

3. 例题及解答。

七、作业设计1. 作业题目:(1)设A为集合,求A的幂集。

(2)已知映射f:A→B,判断f是否为单射、满射、双射。

2. 答案:(1)幂集的求解方法:列举法、公式法。

(2)判断映射类型的依据:映射的定义及性质。

八、课后反思及拓展延伸1. 反思:本节课学生对集合与映射的基本概念掌握程度,对例题的解答情况。

2. 拓展延伸:(1)研究集合的势(cardinality)。

点集拓扑讲义.ppt

点集拓扑讲义.ppt
则称 是集合 X 的一个度量.
称 (X , ) 是一个度量空间. 在不至引
起混淆的前提下,迳称 X 是一个度量
空间; (x, y) 称为点 x 到 y 的距离.
3
常见度量空间
➢➢➢实实实数数数空集空间间R RR
设设 ::RRRRRR ,,对对于于任任意意xx,,yy∈∈RR,, 令令((xx,,yy))||xxyy||,,容容易易验验证证 是是 RR 的的
间间,,ff :: XX YY,,xx00 XX 则则下下述述条条件件
((11))和和((22))分分别别等等价价于于条条件件((11)) **和和((22))**::
((11)) ff 在在点点 xx00 处处是是连连续续的的;;
((11))** ff ((xx00))的的每每一一个个邻邻域域的的原原象象是是
由由由于于于
AAA000AA是是A是一一一个个个使使使开开开得得得集集集xxx,,,从从从AAA而而而000 ,,存存,存在在在
AA
BBB(((xxx,,,))) 满满满足足足
BBB(((xxx,,,))) AAA000 UUU AAAAAA AAA
故故故AAUUUAA AAA是是是开开开集集集... AA 18
一一个个度度量量..
(R, )称为实数空间或直线.这
个度量称为 R 的通常度量,并且常常
迳称 R 为实数空间.
4
常见度量空间
➢➢➢nnn维重 重重欧笛 笛笛氏卡 卡卡空儿 儿儿间积 积积RRRnRnnn 定 定定义 义义 :::RRRnnn RRRnnn RRR
能对 对对够任 任任验意 意意证xxx(((xxx为111,,,xxx22R2,,,LLnL的,,,xxx度nnn))), ,量,xxx,((称(yyy111,,,(yyyR222,,n,LLL, ,,,)yyynnn)))

《点集拓扑讲义》集合论初步学习笔记

《点集拓扑讲义》集合论初步学习笔记

点集拓扑学》第一章集合论初步本章介绍有关集合论的一些基本知识.从未经定义的“集合”和“元素”两个概念出发,给出集合运算、关系、映射以及集合的基数等方面的知识.至于选择公理,只是稍稍提了一下,进一步的知识待到要用到时再阐述.旨在不会过早地陷入繁难的逻辑困惑之中。

这里所介绍的集合论通常称为“朴素的集合论”,如果对集合的理论有进一步的需求,例如打算研究集合论本身或者打算研究数理逻辑,可以去研读有关公理集合论的专著.文档收集自网络,仅用于个人学习即令就朴素集合论本身而言,我们也无意使本章的内容构成一个完全自我封闭的体系,主要是我们没有打算重建数系,而假定读者了解有关正整数,整数,有理数,实数的基本知识,以及其中的四则运算,大小的比较(V和w),和实数理论中关于实数的完备性的论断何由实数构成的集合有上界必有上确界)等,它们对于读者决不会是陌生的.此外,对于通常的(算术)归纳原则也按读者早已熟悉的方式去使用,而不另作逻辑上的处理.文档收集自网络,仅用于个人学习§1.1 集合的基本概念集合这一概念是容易被读者所理解的,它指的是由某些具有某种共同特点的个体构成的集体.例如我们常说“正在这里听课的全体学1 / 24生的集合”,“所有整数的集合”等等.集合也常称为集,族,类. 文档收集自网络,仅用于个人学习集合(即通常所谓的“集体”)是由它的元素(即通常所谓的“个体”构成的.例如正在这里听课的全体学生的集合以正在听课的每一个学生为它的元素;所有整数的集合以每一个整数为它的元素.元素也常称为元,点,或成员. 文档收集自网络,仅用于个人学习集合也可以没有元素.例如平方等于2的有理数的集合,既大于1 又小于2的整数的集合都没有任何元素.这种没有元素的集合我们称之为空集,记作.此外,由一个元素构成的集合,我们常称为单点集.文档收集自网络,仅用于个人学习集合的表示法:(1)用文句来描述一个集合由哪些元素构成(像前面所作的那样),是定义集合的一个重要方式.(2)描述法:我们还通过以下的方式来定义集合:记号{x|关于x的一个命题P}表示使花括号中竖线后面的那个命题P成立的所有元素x构成的集合.例如,集合{x|x为实数,并且0V X V1}即通常所谓开区间(0,1).在运用集合这种定义方式时有时允许一些变通,例如集合{「二是实数}便是集合「「「,其中x是实数}的简略表示,不难明白这个集合实际上是由全体非负实数构成的.集合表示方式中的竖线“ |”也可用冒号“:”或分号“;”来代替. 文档收集自网络,仅用于个人学习(3)列举法:也常将一个集合的所有元素列举出来再加上花括号以表示这个集合.例如{:〔、}表示由元素\ 构成的集合.如果确实不至于发生混淆,在用列举的办法表示集合时容许某种省略. 例如,有时我们可以用{1 , 2, 3,…}表示全体正整数构成的集合,用{1 , 3,厶,…}表示全体正奇数相成的集合.但我们并不鼓励这种做法,因为后面的规律不是很清楚,容易产生误解.我们再三提请读者注意:不管你用任何一种方式定义集合,最重要的是不允许产生歧义,也就是说你所定义的集合的元素应当是完全确定的. 文档收集自网络,仅用于个人学习在本书中,我们用:「表示全体正整数构成的集合,称为正整数集;Z表示全体整数构成的集合,称为整数集;Q表示全体有理数构成的集合,称为有理数集;R表示全体实数构成的集合,称为实数集;并且假定读者熟知这些集合.以下是一些常用的记号:€ :表示元素与集合的关系,如:x € X,x € {x}等一:表示集合与集合的关系,如:A_B (等价于宀「丄(这个记号即是通常数学课本中的—)-:表示与上述相反的含义.3 / 24=:表示两个集合相等,如:A=B (等价于—一 :)以下的这个定理等价于形式逻辑中的相应命题,从直觉着去看也是自明的.定理1.1.1 设A, B, C都是集合,则(I ) A= A;(2)若A= B,则B= A;(3)若A= B, B=C 则A= C.定理1.1.2 设A, B, C都是集合,则(I ) A_A;(2)若A_B, B_A,贝S A= B;(3)若A_B, B_C,贝S A_C.证明(I )显然.(2)A_B意即:若x€ A,贝S x€ B;B_ A意即:若x€ B,则x€ A.这两者合起来正好就是A= B的意思.(3)x € A.由于A_ B,故x € B;又由于B _C,从而x€ C.综上所述,如果x€A就有x€ C.此意即A—C.因为空集二不含任何元素,所以它包含于每一个集合之中.由此我们可以得出结论:空集是惟一的.设A, B是两个集合.如果A—B,我们则称A为B的子集;5 / 24如果A是B的子集,但A又不等于B,即A_B, A M B,也就是说A的每一个元素都是B的元素,但B中至少有一个元素不是A的元素,这时,我们称A为B的真子集. 文档收集自网络,仅用于个人学习我们常常需要讨论以集合作为元素的集合,并且为了强调这一特点,这类集合常称为集族.例如,A二{{1},{1,2},{1,2,3}} 是一个集族.它的三个元素分别为:{1},{1,2},{1,2,3} 及二. 文档收集自网络,仅用于个人学习设X是一个集合,我们常用P(X)表示X的所有子集构成的集族,称为集合X的幕集.例如,集合{1,2}的幕集是P={{1},{1,2},{2}, : }.文档收集自网络,仅用于个人学习本章中所介绍的集合论是所谓“朴素的”集合论.在这种集合论中,“集合”和“元素”等基本概念均不加定义而被认作是自明的. 正因为如此,历史上曾经产生过一些悖论.而对于绝大多数读者来说了解朴素的集合已是足够的了,只是要求他们在运用的时候保持适当的谨慎,以免导致逻辑矛盾.例如,我们应当知道一个集合本身不能是这个集合一个元素.即:若A是集合则A€A不成立.这一点是容易理解的.例如,由一些学生组成的一个班级决不会是这个班级里的一名学生.因此,我们不能说“所有集合构成的集合”,因为如果有这样一个“集合”的话,它本身既是一个集合,就应当是这个“所有集合构成的集合”的一个元素了.也因此,我们应当能够了解一个元素a和仅含一个元素a的单点集{a}是两回事,尽管我们有时为了行文的简便而在记号上忽略这个区别. 文档收集自网络,仅用于个人学习作业:掌握集合、元素的概念、表示法熟练区分“€”与“ 的意义§ 1.2 集合的基本运算在这一节中我们介绍集合的并、交、差三种基本运算,这三种运算的基本规律,以及它们与集合的包含关系之间的基本关联. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.2.1 设A与B是两个集合.集合{x|x €A或x€ B}称为集合A与集合B的并集或并,记作AUB 读为A并B.集合{x|x €A且x€ B}称为集合A与集合B的交集或交,记作A A B, 读为A交B.若A A B二二,则称集合A与集合B无交或不相交;反之,若A AB M二,则称集合A与集合B有(非空的)交. 文档收集自网络,仅用于个人学习集合{x|x €人且x^B}称为集合A与集合B的差集,记作A\B或A —B,读为A差B,或A减B.关于集合的并、交、差三种运算之间,有以下的基本规律.定理1.2.1 设A, B, C都是集合.则以下等式成立:(1)幕等律A U A= A7 / 24A n A=A(2)交换律A U B=B UA A n B=Bn A(3)结合律(A U B) U C= A U (B U C)(A n B) n C= A n (B n C)(4)分配律(A n B) U C= (A U C)n (B U C)(A U B) n C= (A n C)U (B n C)(5)DeMonganf聿A-(BUC)二((A- B) n (A-C)A-((B n C)= (A-B)U(A-C)集合的并、交、差三种运算与集合间的包含关系之间有着以下基本关联.定理1.2.2 设A, B是两个集合.下列三个条件等价:(I ) A_B;(2)A n B= A;(3)A U B= B.定义1.2.2 设X是一个基础集.对于X的任何一个子集A,我们称X-A为A (相对于基础集X而言)的补集或余集记作匸. 文档收集自网络,仅用于个人学习我们应当提醒读者,补集匚的定义与基础集的选取有关.所以在研究某一个问题时,若用到补集这个概念,在整个工作过程中基础集必须保持不变. 文档收集自网络,仅用于个人学习定理123 设X是一个基础集.若A, B为X的子集,则A\J A = XMrUSSM = =A以上证明均只须用到集合的各种定义,此处不证,略去.作业:熟记这两节的各种公式掌握证明两个集合A=B与A_ B的基本方法AuE 0 Yxexe B(£= B O 虫匸匸A)§ 1.3 关系我们从前在数学的各种科目中学过诸如函数、次序、运算,以及等价等种种概念,它们的一个共同的特点在于给出了某些给定集合的元素之间的某种联系.为了明确地定义它们,我们先定义“关系”,而为了定义关系,又必需先有两个集合的笛卡儿积这个概念. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.3.1 设X和Y是两个集合.集合{ (x,y)|x € X,y€ Y}9 / 24称为X与丫的笛卡儿积,记作X X Y,读为X叉乘Y.其中(x , y)是一个有序偶,x称为(x, y)的第一个坐标,y称为(x, y)的第二个坐标.X 称为X XY的第一个坐标集,丫称为X XY的第二个坐标集.集合X与自身的笛卡儿积X XX称为X的2重(笛卡儿)积,通常简单记作[.文档收集自网络,仅用于个人学习有点儿不幸的是我们用于有序偶的记号和用于“开区间”的记号是一样的,有时容易混淆.因此在可能发生混淆的情形下应当加以说明,以避免误解. 文档收集自网络,仅用于个人学习给定两个集合,通过取它们的笛卡儿积以得到一个新的集合,这个办法对于读者并不陌生.以前学过的数学中通过实数集合构作复数集合,通过直线构作平面时,用的都是这个办法. 文档收集自网络,仅用于个人学习我们应当注意,一般说来集合X与集合丫的笛卡儿积X XY完全不同于集合丫与集合X的笛卡儿积Y X X.定义133 设X,Y是两个集合.如果R是X与丫的笛卡儿积X XY 的一个子集,即R—X X 丫,则称R是从X到丫的一个关系. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.3.4 设R是从集合X到集合丫的一个关系,即R- X X Y.如果(x , y)€ R,则我们称x与y是R相关的,并且记作xRy.如果A_X,则丫的子集文档收集自网络,仅用于个人学习{y € Y|存在x€A使得xRy}称为集合A对于关系R而言的象集,或者简单地称为集合A的象集,或者称为集合A的R象,并且记作R( A), R( X)称为关系R的值域.文档收集自网络,仅用于个人学习关系的概念是十分广泛的.读者很快便会看到,以前在另外的数学学科中学过的函数(映射),等价,序,运算等等概念都是关系的特例.这里有两个特别简单的从集合X到集合丫的关系,一个是X XY 本身,另一个是空集二请读者自己对它们进行简单的考查. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义135 设R是从集合X到集合丫的一个关系,即R_X X 丫这时笛卡儿积Y XX的子集{ (y,X)€ Y X X|xRy}是从集合Y到集合X的一个关系,我们称它为关系R的逆,并且记作如果B_Y,X的子集丄」(B)是集合B的.「象,我们也常称它为集合B对于关系R而言的原象,或者集合B的R原象.特别,关系£ ' 的值域;-(Y)也称为关系R的定义域. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义136 设R是从某个X到集合Y的一个关系,即R- X X Y,S 是从集合y到集合Z的一个关系,即S_Y X乙集合{ (x,z)€ X X Y| 存在y€Y 使得xRy并且ySz}是笛卡儿积X XZ的一个子集,即从集合X到集合Z的一个关系,此关系称为关系R与关系S的复合或积,记作S R.文档收集自网络,仅用于个人学习11 /24定理1.3.1 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从集合Y 到集合Z的一个关系,T是从集合Z到集合U的一个关系.贝心文当收集自网络,仅用于个人学习(1) = R(2) (5 o/?)-1=R-}O S A证明(略)定理132 设R是从集合X到集合Y的一个关系,S是从某个Y到集合Z的一个关系.则对于X的任意两个子集A和B,我们有:文档收集自网络,仅用于个人学习(1)R (A U B)= R (A)U R ( B);(2)R (A A B) _ R (A)A R (B);(3)( SR)( A)= S(R(A)).证明(略)在本节的最后我们要提到有限个集合的笛卡儿积的概念,它是两个集合的笛卡儿积的概念的简单推广.定义137 设忙是n > 1个集合.集合{(*1周■咼)丨*1 €才[內E Ai E "J称为為・爲3“扎的笛卡儿积,并且记作亠二=;或者"」其中J丄」为有次序的n元素组,I(i=1,2,…n)称为n元素组:二-的第i个坐标,…(i = 1,2,…,n)称为笛卡儿积二……的第i个坐标集. 文档收集自网络,仅用于个人学习n> 1个集合X的笛卡儿积X X X X…XX常简单地记作n 个集合的笛卡儿积的概念读者必然也不会感到陌生,在线性代数中n 维欧氏空间作为集合而言就是n 个直线(作为集合而言)的笛卡儿积.文档收集自网络,仅用于个人学习需要提醒读者的是,如果你在给定的n 个集合中交换了集合的次序,一般说来得到的笛卡儿积会是完全不同的集合.至今我们并未定义“0个集合的笛卡儿积”,此事将来再以某种方式补充.(参见§ 9.1)文档收集自网络,仅用于个人学习作业:理解“关系”的概念, 掌握“关系”与“映射”的异同,“映射” 与“函数”的异同.(映射要求象惟一,关系没要求.函数要求定义域与值域是数域, 而映射不一定)文档收集自网络,仅用于个人学习掌握运算乘积的概念与性质掌握集合的笛卡儿积中元素的形式§1.4 等价关系初等数论中的同余类的概念,群论中的商群的概念,乃至于解析几何中的自由向量的概念等等都是读者所熟知的.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的等价关系的概念.在本书中我们将通过等价关系来定义拓扑空间的商空间.文档收集自网络,仅用于个人学习13 /24定义1.4.1 设X是一个集合.从集合X到集合X的一个关系将简称为集合X中的一个关系.集合X中的关系{ (x, x) |x € X}称为恒同关系,或恒同,对角线,记作△( X)或△. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义142 设R是集合X中的一个关系.关系R称为自反的,如果厶(X) _R,即对于任何x€ X,有xRx;关系R称为对称的,如果, 即对于任何x, y € X,如果xRy则yRx;关系R称为反对称的,如果丄:厂-」,即对于任何x, y € X, xRy和yRx不能同时成立;关系R 称为传递的,如果R「R_R,即对于任何x, y, z€ X,如果xRy, yRz, 贝y有xRz.文档收集自网络,仅用于个人学习集合X中的一个关系如果同时是自反、对称和传递的,则称为集合X 中的一个等价关系.容易验证集合X中的恒同关系△( X)是自反、对称、传递的,因此是X中的一个等价关系.集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“相等关系”可以理解为集合RX) x RX)的子集文档收集自网络,仅用于个人学习{ (A, B) |A , B€ RX) , A=B}从定理1.1.1中可见,它是自反、对称、传递的,因此是P (X) 中的一个等价关系.集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“包含关系”可以理解为集合P(X)x P(X)的子集文档收集自网络,仅用于个人学习{ (A, B) |A , B€ P (X) , A_B}根据定理1.1.2可见,它是自反的、传递的,但容易知道它不是对称的,因此不是RX)中的一个等价关系. 文档收集自网络,仅用于个人学习集合X的幕集RX)中两个元素(即集合X的两个子集)之间的“真子集关系”可以理解为集合P(X) x P(X)的子集文档收集自网络,仅用于个人学习{(A , B)|A , B€ P(X) , A_B,A M B}根据定理1.1.3可见,它是反对称的,传递的,但它不是自反的,因而不是P(X)中的一个等价关系.实数集合R中有一个通常的小于关系V,即R XR的子集{ (x,y) |x,y€ R, x V y}容易验证关系V是反对称的,传递的,但不是自反的.设p是一个素数,我们在整数集合Z中定义一个关系三p如下:-={ (X,y)€ Z x Z|存在n€Z 使得x-y=np}关系常称为模p等价关系,容易验证模p等价关系;是自反的,对称的,传递的,因此是Z中的一个等价关系.定义143 设R是集合X中的一个等价关系.集合X中的两个点x,y,如果满足条件:xRy,则称x与y是R等价的,或简称为等价的;对于每一个x€ X,集合X的子集:{y € X|xRy}称为x的R等价类或等价类,常记作或[x],并且任何一个y €都称为R等价类的一个代表元商集,记作X/ R. 文档收集自网络,仅用于个人学习素;集族{ x€ X}称为集合X相对于等价关系R而言的商集,记作X/ R. 文档收集自网络,仅用于个人学习我们考虑整数集合Z中的模2等价关系1,易见,1^3和2【8.因此1与3是【等价的,2和8也是1等价的.整数2所属的等价类是所有偶数构成的集合,每一个偶数都可以叫做这个等价类的一个代表元素.此外易见,商集Z/三1有且仅有两个元素:一个是所有奇数构成的集合,另一个是所有偶数构成的集合. 文档收集自网络,仅用于个人学习下面这个定理说明,给定了一个等价关系,等于说给定了一个分类的原则,把一个非空集合分割成一些非空的两两无交的等价类,使得这集合的每一个元素都在某一个等价类中.文档收集自网络,仅用于个人学习定理1.4.1 设R是非空集合X中的一个等价关系.贝心(1)如果x € X,则x € ,因而1厂「;(2)对于任意x,y€ X,或者〔山』儿,或者[心门[/]汀0证明(1)设x€ X,由于R是自反的,所以xRx,因此x€,二工J .文档收集自网络,仅用于个人学习(3)对于任意x,y € X,如果,设z € [x] A [y].此时有zRx,且zRy.由于R是对称的,所以xRz.又由于R是传递的,所以xRy.文档收集自网络,仅用于个人学习对于任何一个t €「丄,有tRx,由上述xRy和R的传递性可见tRy,即t € " 一:.这证明二_、5.同理可证二_—因此-^ =?(注意:要证或者…或者…,应从以下入手:否定掉一个,去证另一个)17 / 24在初等数论中我们早就知道整数模(素数)p的等价关系J将整数集合Z分为互不相交的等价类,每一个等价类记作,称为整数x的模p同余类. 文档收集自网络,仅用于个人学习让我们再回忆一下在解析几何学中定义自由向量的过程:首先将固定向量定义为平面(或n维欧氏空间)中的有序偶;然后在全体固定向量构成的集合(暂时记为X)中定义一个关系~,使得两个固定向量x和y~相关(即x~y)当且仅当x能通过平面(或n维欧氏空间)的一个平移与y重合.容易验证这个关系〜是X中的一个等价关系.每一个~等价类便称为一个自由向量. 文档收集自网络,仅用于个人学习作业:熟练掌握等价关系,等价类的概念.掌握商集的概念.明确商集的构成§ 1.5 映射数学分析中的函数概念,群论中的同态概念,线性代数中的线性变换概念等等都是读者所熟知的概念.这些概念的精确定义事实上都有赖于本节中所讨论的映射概念. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.5.1 设F是从集合X到集合Y的一个关系.如果对于每一个x€X存在惟一的一个y €Y使得xFy,则称F是从X到Y的一个映射,并且记作F: X-Y.换言之,F是一个映射,如果对于每一个x€ X:文档收集自网络,仅用于个人学习(1)存在y € Y,使得xFy;(2)如果对于€Y有二L和”1 ,则■' _.定义1.5.2 设X和Y是两个集合,F: X-Y(读做F是从X到Y的一个映射).对于每一个x€ X,使得xFy的唯一的那个y€Y称为x的象或值,记作F (x);对于每一个y€ Y,如果x€X使得xFy (即y是x的象),则称x是y的一个原象(注意:y€Y可以没有原象,也可以有不止一个原象). 文档收集自网络,仅用于个人学习由于映射本身便是关系,因此,如果F是从集合X到集合丫的一个映射,那么:(1)对于任何A_X,象F (A)有定义,并且F(A)={F(x)|x € A}(2)对于任何B —Y,原象「’(B)有定义,并且J (B) ={x € X|F(x) € B}(注意::(x)与J ({x})的异同,前者不一定有意义,而后者总存在;前者表示兀素,后者表示集合)文档收集自网络,仅用于个人学习(3)如果Z也是一个集合并且G: Y-乙则关系的复合GF作为一个从X到Z的关系有定义;(4)F :作为从丫到X的一个关系有定义,但一般说来F :不是一个从丫到X的映射(这要看F是否是---- 映射);19 / 24(5)F的定义域有定义,并且它就是X;(意味着X中的每个元素都必须有象)(6)F的值域有定义,并且它就是F(X). (F(X)不一定充满Y)定理1.5.1 设X, Y和Z都是集合.如果F: X-Y和G: Y-乙则GF: X- Z;并且对于任何x€ X,有文档收集自网络,仅用于个人学习GF (x)= G(F(x))(这实际上是映射的积的本质)证明(略)(但要理解上式等号左右两边的不同含义,前者是两个映射的积(也是一个映射)作用在x上,后者是F先作用在x上,然后G 再作用在F(x)上).文档收集自网络,仅用于个人学习今后我们常用小写字母f, g, h,……表示映射.定理1.5.2 设X和Y是两个集合,f:X -Y.如果A, B_Y 则(1)八(A U B)= 一八(A)U 一…(B);(2)八(A A B)= 一八(A)门一…(B);J1 -1 /~1 /-I(3)一(A-B)=_ (A) -一(B).简言之,映射的原象保持集合的并,交,差运算.证明(略).定义1.5.3 设X和Y是两个集合,X Y.如果Y中的每一个点都有原象(即f的值域为Y,亦即f (X) =Y),则称f是一个满射,或者称f为一个从X 到丫上的映射;如果X中不同的点的象是Y中不同的点(即对于任何I ■:■,如果「I,则有■ '1 ■/ ,则称f是一个单射;如果f既是一个单射又是一个满射,则称f为一个既单且满的映射,或者—映射. 文档收集自网络,仅用于个人学习如果f (X)是一个单点集,则称f是一个常值映射,并且当f (X) ={y}时,我们也说f是一个取常值y的映射. 文档收集自网络,仅用于个人学习易见,集合X中的恒同关系△( X)是从X到X的一个一一映射,我们也常称之为(集合X上的)恒同映射或恒同,有时也称之为单位映射,并且也常用记号 '或i : X-X来表示它.根据定义易见,对于任何x€ X,有i(x)二x .概言之,恒同映射便是把每一个点映为这个点自身的映射. 文档收集自网络,仅用于个人学习由于下面的这个定理,一一映射也称为可逆映射.定理1.5.3 设X和Y是两个集合.又设f:X -Y.如果f是一个一一映射,则一八便是一个从丫到X的映射(因此我们可以写/ : Y—X),并且是既单且满的.此外我们还有:文档收集自网络,仅用于个人学习=和门厂F证明(略)定理1.5.4 设X,丫和Z都是集合,f:X -Y,g: Y-乙如果f 和g都是单射,则gof:X —Z也是单射;如果f和g都是满射,则g - f:X -Z也是满射.因此,如果f和g都是一一映射,则gf:X -Z也是一一映射. 文档收集自网络,仅用于个人学习这个定理的证明留给读者.21 / 24定义1.5.4 设X和Y是两个集合,A是X的一个子集.映射f:X -Y 和g: A-Y如果满足条件g _f即对于任何a€A有f (a) =g (a), 则称g是f的限制,也称f是g的一个扩张,记作「特别地,恒同映射耳:X-X在X的子集A上的限制々\A: A-X称为内射.这时I我们有对于任何a € A,妆A(a)=a . 文档收集自网络,仅用于个人学习将映射定义作为一种特别的关系,从理论上来说是十分清晰的.这样做的本意在于使得在我们的理论系统中除了“集合”和“元素”不再有任何未经定义的对象.如果每一次定义一个映射都要将这个映射写成它的定义域与值域的笛卡儿积的一个子集,这毕竟是件麻烦事;因此我们在定义映射时宁愿采用我们从前惯用的办法:为定义域中的每一个点指定值域中的一个点作为它的象.以下我们定义往后经常要用到的两个映射作为例子. 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.5.5 设是n>0个集合,1<i <n.从笛卡儿积負一二七…:到它的第i个坐标集…的投射(或称第i个投射)’!: X^ …定义为对于每一一个■■ - ■- - ■'? —-1 _ -i i 文档收集自网络,仅用于个人学习定义1.5.6 设R是集合X中的一个等价关系.从集合X到它的商集X/R的自然投射:p:X-X/R定义为对于每一个x € X,p (x) = A .文档收集自网络,仅用于个人学习作业:熟练掌握本节的所有定义与定理;注意定理132(2)与定理1.5.2的区别;熟练记忆P23习题1.2与定理1.5.2 .§ 1.6 集族及其运算设r是一个集合.如果对于每一个丫€『,指定了一个集合A, 我们就说给定了一个有标集族上,或者在不至于引起混淆的情形下干脆说给定了一个集族丄儿「,同时r称为(有标)集族的指标集. 文档收集自网络,仅用于个人学习定理1.6.2 设」…•是一个非空的有标集族,A是一个集合.则(1)对于任何,(2)分配律:(3)DeMorgan律:£-(% 召)=斗)证明(略)如果集族二儿「满足条件:对于每一个丫€ r,二都是某一个集合X 的子集,这时我们称这个集族为集合X的一个子集族.以下的两个定理讨论关系和映射与集族运算之间的关联.23 / 24。

点集拓扑讲义知识点总结

点集拓扑讲义知识点总结

点集拓扑讲义知识点总结一、拓扑空间基本概念1.1 集合和拓扑空间在点集拓扑学中,最基本的两个概念就是集合和拓扑空间。

集合是元素的无序集合,而拓扑空间是一个集合,其中定义了一种称为拓扑结构的特定结构。

这个结构用来描述集合中元素的“接近”或“相邻”的概念。

1.2 拓扑结构拓扑结构定义了哪些子集被认为是开集,从而为集合赋予了拓扑性质。

具体来说,给定一个集合X,如果满足以下条件:(1)空集和X本身是开集;(2)任意开集的任意并集仍然是开集;(3)有限个开集的任意交集仍然是开集。

那么这个集合X连同其定义的拓扑结构称为一个拓扑空间。

1.3 开集和闭集在拓扑空间中,开集和闭集是两个非常重要的概念。

开集是指每个点都包含在集合内部的集合,闭集则是指包含了其边界的集合。

开集和闭集的性质和运算是拓扑学中的基础。

1.4 拓扑空间的连通性拓扑空间的连通性描述了空间内部的连通性质,一个拓扑空间如果不是两个不相交开集的并,则称为连通的。

连通性质是描述空间整体结构的一种重要方式。

二、拓扑空间的结构和性质2.1 度量空间和拓扑空间度量空间是一种拥有度量的拓扑空间,度量是一种满足一系列性质的函数,用来度量空间中两点之间的距离。

度量空间可以定义一种称为度量拓扑的拓扑结构,这种拓扑结构给出了空间中点的“接近”概念。

2.2 Hausdorff空间Hausdorff空间是指任意两个不同的点都存在不相交的邻域的拓扑空间。

这种空间具有较强的分离性质,能够更好地描述空间中点的位置关系。

2.3 紧空间在拓扑学中,紧空间是指任何开覆盖都存在有限子覆盖的空间。

紧空间具有重要的性质,例如有限覆盖性质和闭性性质,这些性质在分析和拓扑学的研究中有着重要的应用。

2.4 连通空间连通空间是指空间中不存在非空且既开又闭的子集的空间。

换句话说,连通空间是指空间中的点在拓扑上是连续的,没有间断。

这是拓扑空间中另一个极为重要的性质。

2.5 分离性和局部性在拓扑学中,还存在一些描述拓扑空间性质的分离性和局部性定理,包括T0空间、T1空间、T2空间等概念。

点集拓扑讲义

点集拓扑讲义

连通性和道路连通性
连通性的定义:如果点集中的任意两点都可以通过点集中的一条路径相连则称该点集是连通的。
道路连通性的定义:如果存在一条路径使得点集中任意两点都可以通过这条路径相连则称该点集是道路连通的。
连通性与道路连通性的关系:如果一个点集是连通的那么它一定是道路连通的;反之则不一定成立。
连通性和道路连通性的应用:在几何学、图论等领域中连通性和道路连通性是重要的概念对于研究点集的拓扑性 质和结构具有重要意义。
定理和性质的应用
定理和性质在数学领域中 的应用
在物理问题中的具体应用
在计算机科学中的实际应 用
在其他领域中的应用和推 广
在几何学中的应用
拓扑不变性:点集拓扑学中的概念指在拓扑变换下保持不变的性质。 几何结构:研究几何对象的拓扑性质如连通性、紧致性等。 流形:在点集拓扑学中流形是一类特殊的拓扑空间可以用来研究几何对象的形状和结构。 组合几何:利用点集拓扑学中的方法研究几何形状的组合和构造。
添加标题
同胚:在点集拓扑中如果存在一个从拓扑空间到拓扑空间B的连续映射并且这个映射可以逆向地由一个 从拓扑空间B到拓扑空间的连续映射构成则称拓扑空间与拓扑空间B同胚。
分离公理和紧致性
分离公理:点集拓扑中的基本性质指对于任意两个 不同的点存在一个开邻域不包含另一个点。
紧致性:点集拓扑中的基本性质指一个点集是紧致 的当且仅当它的闭包等于自身。
基的概念:拓扑空间中一个重要的概念是用来定义空间的拓扑结构的。基由若干个开集组成 满足一定的性质。
基的分类:根据基的性质可以将基分为第一类基和第二类基。第一类基是可数的第二类基是 不可数的。
基的性质:基具有连通性、可数性、分离性等性质这些性质对于研究拓扑空间的性质和结构 非常重要。

点集拓扑讲义ppt.1

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16
(A-B)×(C-D)
图1.1.3
该集合等式也可用定义证明,其过程读者自己做为练习完成.
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17
习题 1.1
1. 试判断下列关系式的正确与错误
A {A}; A {A}; {}; {}; {}; (); 2. 设 A1,A2,,An都是集合,其中 n2,证明:如果 A 1 A 2 A n A 1, 则
而此时可称B为全集,全集在一个问题中是事先 指定的或者是不言自明的.
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8
对于集合之间的运算,有时用图象表示更直观一些.在下面的图1.1.1中, 我们用两个圆分别表示集合A,B,而用阴影部分表示两个集合运算的结果.
图1.1.1
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9
观察图1.1.1我们不难得出下面的等式:
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3
❖ 集合一词,我们在高中阶段已经接触过,在那里, 集合是指具有某种属性的对象的全体.在这里,我们 仍采用对集合的这种直观的描述性定义,以后我们 还将经常遇到像这样直观的描述性定义或一些直观 的结论.虽然这样做逻辑性差一些,不及公理集合论 的严密性,但这样做却是我们易于理解和接受的, 不致使读者陷入逻辑困惑之中,从而尽快地进入拓 朴学基础的学习程序.
定义1.1.3 给定集合A,B,由A和B的公共元素
.
构成的集合叫做A与B的交集,记作 AB. 用描述法表示就是:A B { x|x A ,而且 x B }.
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7
定义1.1.4 给定集合A,B,把由属于A而不属于B 的元素构成的集合叫做A与B的差集,记作 AB. 用描述法表示是 AB{x|x A , x B }. 如果 AB, 称 BA为A在B中的补集,记作 A.

完整word版点集拓扑讲义连通性学习笔记

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4章连通性第局部连通性和弧连本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质,包括连通性,这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别通性,并且涉及某些简单的应用.一些互不同胚的空间.连通空间§4.1:本节重点掌握连通与不连通的定义;掌握如何证明一个集合的连通与否;掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性.)l(0,我们先通过直观的方式考察一个例子.在实数空间R中的两个区间)20,)∪[l,2)=(,和[12),尽管它们互不相交,但它们的并(0,1),1,2),它们的并(00却是一个“整体”;而另外两个区间(,1)和(1)是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于,对于前一,2∪(1)中;而对于后一种情形,两2在[1,种情形,区间(0,l)有一个凝聚点1个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中.我们通过以下的定义,用术语来区别这两种情形.X中的两个子集.如果A和B是拓扑空间定义4.1.1 设B是隔离的.A则称子集和页29 共* 页1 第同时成立,也就是明显地,定义中的条件等价于和 B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点.说,A与)2)和(1,应用这一术语我们就可以说,在实数空间R中,子集(0,1 不是隔离的.[1,2)是隔离的,而子集(0,l)和又例如,易见,平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的,而在离散空间中任何两个无交的子集都是隔离的.和A是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集定义4.1.2 设X 是一个连通空间.是一个不连通空间;否则,则称XB使得X=A∪B,则称X显然,包含着多于两个点的离散空间是不连通空间,而任何平庸空间都是连通空间.是一个拓扑空间.则下列条件等价:设X定理4.1.1是一个不连通空间;)X(l 成立;A∪B=A∩B=X和中存在着两个非空的闭子集(2)XA和B使得 B使得A∩B=成立;A∪B=X和3()X中存在着两个非空的开子集A和 X中存在着一个既开又闭的非空真子集.(4)中的两个非空的设(条件(l)蕴涵(2):1)成立.令A和B是X证明,显然,并且这时我们有A∩B=隔离子集使得A∪B=X中的一个闭子集.这证明也是一个X是X中的一个闭子集;同理A因此B 2)中的要求.和B满足条件(了集合A)中的要求,所2B满足条件(A)蕴涵(3).如果X的子集和条件(2AB也是开集,所以和A、AB为闭集,则由于这时有A=B=,因此、以)中的要求.也满足条件(和B3页29 共* 页2 第条件(3)蕴涵(4).如果X的子集A和B满足条件(3)中的要求,所B=易见A和B都是AX=和中的闭集,因此A、B以A、B是开集,则由中既开又闭的真(∵A、B≠,A∪B=X,∴A、B≠X)子集,所以条件(4是X)成立.B=.则A.令(l).设X中有一个既开又闭的非空真子集条件(4)蕴涵A和B 都是X中的非空的闭子集,它们是无交的并且使得A∪B=X.易见两个无交的闭子集必定是隔离的(因为闭集的闭包仍为自己).因此(l)成立.例4.1.1 有理数集Q作为实数空间R的子空间是一个不连通空间.这是因为对于任何一个无理数r∈R-Q,集合(-∞,r)∩Q=(-∞,r]∩Q是子空间Q中的一个既开又闭的非空真子集.定理4.1.2 实数空间R是一个连通空间.证明我们用反证法来证明这个定理.假设实数空间R是不连通空间.则根据定理4.1.1,在R中有两个非空闭A∩B=和A∪B=R成立.任意选取a∈A和b∈B,不失一般性B集A和使得和中的两个非空闭=A∩[a,b],和是=B∩[a,b]..可设a<bR令于是成立.集合b],并且使得∩==[a和集分别包含∪a和b有上界,,并且因此可见<∈b是一个闭集,所以,故有上确界,设为.由于b](矛盾.∩将导致b,因为=b因此b∈=∩.由,,而这与∈=于∈矛盾.是一个闭集,所以.这又导致,也与∩∩定义4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集.如果Y作为X的子空间是一个连通空间,则称Y是X的一个连通子集;否则,称Y是X的一个不连通子集.页29 共* 页3 第拓扑空间X的子集Y是否是连通的,按照定义只与子空间Y的拓扑有关(即.因此,如果,则Y是X)Y的连通与否与X的连通与否没有关系.的连通子集当且仅当Y是Z的连通子集.这一点后面要经常用到.定理4.1.3 设Y是拓扑空间X的一个子集,A,BY.则A和B是子空间Y中的隔离子集当且仅当它们是拓扑空间X中的隔离子集.因此,Y是X的一个不连通子集,当且仅当存在Y中的两个非空隔离子集A和B 使得A∪B=Y(定义)当且仅当存在X中的两个非空隔离子集A和B使得A∪B=Y.A在Y,分别表示X 证明中的闭包.因为用、因此根据隔离子集的定义可见定理成立.定理4.1.4 设Y是拓扑空间X中的一个连通子集.如果X中有隔离子集A和B 使得YAUB,则或者YA,或者YB.AUB,则证明如果A和B是X中的隔离子集使得Y这说明A∩Y和B∩Y也是隔离子集.然而(A∩Y)∪(B∩Y)=(A∪B)∩Y=Y因此根据定理4.1.3,集合A∩Y和B∩Y中必有一个是空集.如果B∩Y =,同理可见YA.BY,据上式立即可见,如果 A∩Y=X是拓扑空间满足条件X的一个连通子集,ZY4.1.5 定理设的一个连通子集.也是Z.则X页29 共* 页4 第证明假设Z是X中的一个不连通子集.根据定理4.1.3,在X中有非空隔离子集A和B使得Z=A∪B,因此YAUB.由于Y是连通的,根据定理4.1.4,或者YA. , 或者YB,同理.这两种情形都与假设矛盾.设是拓扑空间X的连通子集构成的一个子集族.如果定理4.1.6是X的一个连通子集.,则使得X中的两个隔离子集,A和B是=A∪B.,任意选取证明设,由于∈Γ,不失一般性,设连通,根据x∈A.对于每一个γx∈者或理4.1.4;由于,以∩A,所x∈定或者这就证明了,是连通的..根据定理4.1.3定理4.1.7 设Y是拓扑空间X中的一个子集.如果对于任意x,y∈Y存,y∈Y,则Yx是中的一个连通子集在XX 中的一个连通子集.使得Y≠证明如果是连通的.下设Y=,显然任意选取a∈Y,容易验Y,a ∈.应用定理4.1.6,可见并且Y证Y=是连通的.所2拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质我们曾经说过,(参见§2.).乃是为一个拓扑空间具有必为任何一个与其同胚的拓扑空间谓拓扑不变性质,所具有的性质.事实上,如果拓扑空间的某一个性质,它是藉助于开集或者藉助于经由开集定义的其他概念表达的,则此性质必然是拓扑不变性质.页29 共* 页5 第拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有,则称这个性质是一个在连续映射下保持不变的性质.因为同胚是连续的满射,所以在连续映射下保持不变的性质必然是拓扑不变性质.拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个可商性质.因为拓扑空间到它的商空间的自然的投射是一个连续的满射,所以在连续映射下保持不变的性质必然是可商性质.以下定理4.1.8指出,连通性(即一个拓扑空间是连通的这一性质)是一个在连续映射下保持不变的性质.因此,它是拓扑不变性质,也是可商性质.定理4.1.8 设f:X→Y是从连通空间X到拓扑空间Y的一个连续映射.则f(X)是Y的一个连通子集.证明如果f(X)是Y的一个不连通子集,则存在Y的非空隔离子集A)和(B)是X的非空子集,并且和B使得f(X)=A∪B.于是(A(B)是A所以X)和的非空隔离子集.此外,(=(f(X))=X )=A(A∪B))∪B ((这说明X不连通.与定理假设矛盾.页29 共* 页6 第拓扑空间的某种性质P称为有限可积性质,如果任意n>0个拓扑空间,蕴涵着积空间也具有性质pp.都具有性质都是离散空间(平庸空例如,容易直接证明,如果拓扑空间也是离散空间(平庸空间),因此我们可以说间),则积空间拓扑空间的离散性和平庸性都是有限可积性质.根据定理3.2.9以及紧随其后的说明可见:假设已知拓扑空间的某一个性质p 是一个拓扑不变性质.为了证明性质p是一个有限可积性质,我们只要证明任何两个具有性质p的拓扑空间的积空间也是具有性质p的拓扑空间.则积空间也n 个连通空间.是设定理4.1.9.是连通空间根据前一段中的说明,我们只要对于证明 n=2的情形加以证明.两个点有一个坐标相首先我们指出:如果yx同,则有一个连通子集同时包含和不失一般性,设: k定义映射使得对于任何.有由于是取常值的映射,为恒同映射,页29 共* 页7 第个坐标空间的和第2分别是到第它们都是连续映射,1其中k(k是一个连续映射.根据定理4.1.8,是连通的.此外易)投射.因此,.,因此它同时包含x和y见,同时现在来证明:中任何两个点的某一个连通子集.这是因为这时若令,则属于可见有根据前段结论,同时包含x和z,也有的一个连通子集,z∈,因此根据定理y和z.由于4.1.6同时包含的一个连通子集 y.是连通的,它同时包含x和可见于是应用定理4.1.7是一个连通空间.又是一R的笛卡儿积,而实数空间因为n维欧氏空间是n个实数空间R维欧氏空间个连通空间,所以应用这个定理可见,是一个连通空间. n作业:..6.814. P116 3.5连通性的某些简单应用§4.2本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.页29 共* 页8 第掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.让我们回忆实数集合R中区间的精确定义:R的子集E称为一个区间,如果它至少包含两个点,并且如果a,b∈E,a<b,则有[a,b]={x∈R|a≤x≤b}E读者熟知,实数集合R中的区间共有以下9类:(-∞,∞),(a,∞),[a,∞),(-∞,a),(-∞,a](a,b),(a,b],[a,b),[a,b]因为,一方面以上9类集合中的每一个显然都是区间;另一方面,如果E R是一个区间,可视E有无上(下)界,以及在有上(下)界的情形下视其上(下)确界是否属于E,而将E归入以上9类之一在定理4.1.2中我们证明了实数空间R是一个连通空间.因为区间(a,∞),(-∞,a)和(a,b)都同胚于R(请读者自己写出必要的同胚映射),所以这些区间也都是连通的;由于根据定理4.1.5可见区间[a,∞),(-∞,a],[a,b),(a,b]和[a,b]都是连通的.另一方面,假设E是R的一个子集,并且它包含着不少于两个点.如果E,也就是说,存在a<c<b,不是一个区间,则使得;从而,若令)∩E,B=(c,∞)∩E(-∞, A=c不连,因此A∪B=E并且有和A∩B=E的非空开集,都是和则可见ABE.通综合以上两个方面,我们已经证明了:页29 共* 页9 第定理4.2.1 设E是实数空间R的一个子集.E是包含着不少于两个点的一个连通子集当且仅当E是一个区间.定理4.2.2 设X是一个连通空间,f:X→R是一个连续映射.则f(X)是R中的一个区间.因此,如果x,y∈X,则对于f(x)与f(y)之间的任何一个实数t(即当f(x)≤f(y)时,f(x)≤t≤f(y);当f(y)≤f(x)时,f(y)≤t≤f(x)),存在z∈X使得f(z)=t.证明这个定理的第一段是定理4.1.8和定理4.2.1的明显推论.以下证明第二段.设x,y∈X.如果f(x)=f(y),则没有什么要证明的.现在设f(x)≠f(y),并且不失一般性,设f(x)<f(y).由于f(X)是一个区间,所以[f(x),f(y)]f(X).因此对于任何t,f(x)≤t≤f(y),有t∈f(X),所以存在z∈X,使得f(z)=t.根据定理4.2.2,立即可以推出数学分析中的介值定理和不动点定理.定理4.2.3[介值定理]设f:[a,b]→R是从闭区间[a,b]到实数空间R的一个连续映射.则对于f(a)与f(b)之间的任何一个实数r,存在z∈[a,b]使得f(z)=r.定理4.2.4[不动点定理] 设f:[0,1]→[0,1]是一个连续映射.则存在z∈[0,1]使得f(z)=z证明如同数学分析中的证法那样,只需构造F(x)=x-f(x), 再利用介值定理即可证得.中的单位圆周是连通的.容易证明欧氏平面这是因为如果定义映射fπf(t)=(cos2t,sin2πt)∈,则易于验证有使得对于任意f:R→t∈R页29 共* 页10 第是连通空间因此Rf(R)是一个连续映射,并且在一个连续映射下的=.象,所以它是连通的.:使的对径点.映射设点r称为点x,有得任何x∈r(x)=-x,称为对径映射.对径映射是一个连续映射,因为它ll在单位圆周上的限制.其中,映射到自身的反射是欧氏平面:定义为对于任何,有l(x)=-x,容易验证(请读者自行验证)是一个连续映射.则在中→R] 设是一个连续映射.f:定理4.2.5[Borsuk-Ulam定理存在一对对径点x和-x,使得f(x)=f(-x).证明(略)维欧氏空间是连通空间,下面进一步指出:我们已经知道n的子集-{0}是一个连通子集,4.2.6 n>1其中维欧氏空间0=定理.,…,0)∈(0,0,91.中的子集(-∞,=2的情形.根据定理4.n证明我们只证明0)×R 和(0,∞)×R都是连通的.由于所以根据定理4.1.5,Rn中的子集A=[0,∞)×R-{0}是连通的;同理,A ∩B≠以及是连通的.由于 B=(-子集∞,0]×R-{0}-{0}可见,是连通的..A∪B=-{0},因此根据定理4.16一般情形的证明类似,请读者自行补证.定理4.2.6可以得到进一步的改善(参见习题第4题)页29 共* 页11 第欧氏平面和实数空间R不同胚.定理4.2.7f:R同胚,并且设证明→R假设是一个同胚.因此对于连续映与射是连通的,-{0}我们有4.2.6,.但根据定理而根据定理4.2.1,R-{f(0)}是不连通的.这与定理4.1.8矛盾.定理4.2.7给出了利用拓扑不变性质判定两个空间不同胚的第一个实例.定理4.2.4,定理4.2.5和定理4.2.7尽管简单但确有意思,特别是这几个定理都有高维“版本”,我们分别陈述如下::是一个连续映射,其设f定理4.2.8[Brouwer不动点定理].(z)=z中是n维球体.则存在z∈使得f是一个连续映射,其中4.2.9[Borsuk定理-Ulam定理f设:]-x=f)(n≥m,则存在).x∈xf使得(不同胚.这些定理的证明和4.2.10 定理如果n≠m,则欧氏空间(除去我们已经证明过的情形)一般都需要代数拓扑知识,例如同调论或同伦论,请参阅有关的专门书籍.作业:P121 4.页29 共* 页12 第连通分支§4.3本节重点:掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法);掌握连通分支的性质(定理4.3.1).从前面两节中的内容可以看出,知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便.这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集(即连通分支).定义4.3.1 设X是一个拓扑空间,x,y∈X.如果X中有一个连通子集同时包含x和y,我们则称点x和y是连通的.(注意:是点连通)根据定义可见,如果x,y,z都是拓扑空间X中的点,则(1)x和x连通(因为每一个单点集都是连通子集);(2)如果x和y连通,则y和x也连通;(显然)(3)如果x和y连通,并且y和z连通,则x和z连通.(这是因为,这时存在X中的连通子集A和B使得x,y∈A和y,z∈B.从而由于y∈A∩B可见A∪B 连通,并且x,z∈A∪B.因此x和z连通.)以上结论归结为:拓扑空间中点的连通关系是一个等价关系.定义4.3.2 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个连通分支.如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个连通分支称为X的子集Y的一个连通分支.页29 共* 页13 第X≠的每一个连通分支都不是空集;X拓扑空间的不同的连通分支无交;以及X的所有连通分支之并便是X本身.此外,x,y∈X属于X的同一个连通分支当且仅当x和y连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个连通分支当且仅当A有一个连通子集同时包含点x和y.定理4.3.1 设X是一个拓扑空间,C是拓扑空间X的一个连通分支.则Y∩C≠;X的一个连通子集,并且(1)如果Y是)C是一个连通子集;(2 C是一个闭集.(3)的)说明,拓扑空间的每一个连通分支都是X本定理中的条件(1)和(2 一个最大的连通子集.这y∈C.连通,x和y故(1)任意选取x∈Y∩C.对于任何y∈Y由于证明.证明YC的一个连通子集,y∈C,根据定义可见,存在X(2使得)对于任何x ),C.应用定理4.1∩C≠,故根据(1.x7,y∈.显然可知,C是连通的.显然,.连通.1.5所,连通,(3)因为C根据定理4.是一个闭集.1.从而),C以根据(但是,一般说来连通分支可以不是开集.例如考虑有理数集Q(作为实数空间R的子空间).设x,y∈Q,x≠y.不失一般性,设x<y.如果Q的一个子集E同时包含x和y,令A=(-∞,r)∩E和B=(r,∞)∩E,其中r是任何一个无理数,x<r<y.此时易见A和B都是Q的非空开集,并且E=A∪B.因此E不连通.以上论述说明E中任何一个包含着多于两个点的集合都是不连通的,页29 共* 页14 第中的每一个单点集都不是开Q也就是说,Q的连通分支都是单点集.然而易见集.都可以由含于它内部的所有连通分支的并而A记住这个事实:任一个集合,即使是离散空间,它的每一个点自成连通分支)成(且这些连通分支互不相交.这个结论也成立.作业: 8.3P123 1..4.局部连通空间§4.4本节重点:掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3);掌握连通与局部连通的关系.引进新的概念之前,我们先来考察一个例子.在欧氏平面中令4.4.1 S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}.例T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线,它是区间(0,1]在一个连续映射下的象,因此是连通的.此外,也容易验证中的点,也是连通的.尽管如此,倘若我们查看=S∪T,因此=S∪T容易发现它们明显地分为两类:S中的每一个点的任何一个“较小的”邻域中都包含着一个连通的邻域,而T中的每一个点的任何一个邻域都是不连通的.我们用以下的术语将这两个类型的点区别开来.页29 共* 页15 第定义4.4.1 设X是一个拓扑空间,x∈X.如果x的每一个邻域U中都包含着x 的某一个连通的邻域V,则称拓扑空间X在点x处是局部连通的.如果拓扑空间X在它的每一个点处都是局部连通的,则称X是一个局部连通空间.容易证明,在其属于S4.4.1的每一个中所定义的拓扑空间.回到例点处是局部连通的,而在其属于T的每一个点处都不是局部连通的.也因此,尽管是一个连通空间,但它却不是一个局部连通的空间.局部连通的拓扑空间也不必是连通的.例如,每一个离散空间都是局部连通空间,但包含着多于两个点的离散空间却不是连通空间.又例如,n维欧氏空间的任何一个开子空间都是局部连通的(这是因为每一个球形邻域都同胚欧氏空间本身是局部连通的.另因而是连通的),特别,于整个欧氏空间,欧氏空间一方面,中由两个无交的非空开集的并作为子空间就一定不是连通的(请读者自己证明).此外根据定义立即可见:拓扑空间X在点x∈X处是局部连通的当且仅当x的所有连通邻域构成点x处的一个邻域基,定理4.4.1 设X是一个拓扑空间.则以下条件等价:(1)X是一个局部连通空间;(2)X的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集;(3)X有一个基,它的每一个元素都是连通的.,.如果x∈C,是X的一个连通分支2证明(1)蕴涵().设C由于U是x的一个邻域,所以当(1)成立时x有一个连通邻域V包含于U.又可见.因此1.3.4V∩C由于包含着点x,所以不是空集,根据定理.这证明C是属于它的任何一个点xC∈的邻域,因此C是一个开集.页29 共* 页16 第条件(2)蕴涵(3).若(2)成立,则X的所有开集的所有连通分支(它们都是开集)构成的集族,由于每一个集合是它的所有连通分支之并,恰是X的一个基.条件(3)蕴涵(1).显然.我们常用到定理4.4.1的一个推论:局部连通空间的每一个连通分支都是开集.定理4.4.2 设X和Y都是拓扑空间,其中X是局部连通的.又设f:X→Y是一个连续开映射.则 f(X)是一个局部连通空间.B是X,可设的一个基,其中的每一个元素都是连证明根据定理4.4.1B,集合f(B)是连通的,并且由于f是一个开映射,B∈通的.对于每一个f(B)BB}})|B∈1={f(f(X)的一个开集.这证明集族B因此也是是Y中的一个开集,B1是)的连通开集构成的族.我们指出f(X)的一个基,这是因f是一个由(X中的一个开集,则(U)是XU是f(X)中的一个开集,因此为,如果B1中某些元素之并.于是根据定理4.4.l可知f(X)是局部连通的.是根据定理4.4.2易见,拓扑空间的局部连通性是一个拓扑不变性质.设是n≥1个局部连通空间.则定理4.4.3积空间也是局部连通空间.证明(略)应用这些定理,有些事情说起来就会简单得多.例如,实数空间R由于所维欧氏空间是n个R有的开区间构成它的一个基,所以它是局部连通的;n的积空间,所以它也是局部连通的.当然这些事情我们早就知道了.作业:页29 共* 页17 第1.2.3. P127§4.5道路连通空间较之于连通空间的概念,道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些.我们先定义“道路”.定义4.5.1 设X是一个拓扑空间.从单位闭区间[0,1]→X的每一个连续映射f:[0,1]→X叫做X中的一条道路,并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点.当x=f(0)和y=f(1)时,称f是X中从x到y的一条道路.起点和终点相同的道路称为闭路,并且这时,它的起点(也是它的终点)称为闭路的基点.如果f是X中的一条道路,则道路f的象集f([0,l])称为X中的一条曲线或弧,并且这时道路f的起点和终点也分别称为曲线f([0,1])的起点和终点.或许应当提醒读者,“道路”这个词在这里所表达的意思已经与我们对它原有的理解颇有不同,希望读者不要因此而混淆了我们在这里严格定义的道路和曲线这两个不同的概念.定义4.5.2 设X是一个拓扑空间.如果对于任何x,y,存在着X中的一条从x 到y的道路(或曲线),我们则称X是一个道路连通空间.X中的一个子集Y称为X中的一个道路连通子集,如果它作为X的子空间是一个道路连通空间.(Y 是否道路连通与X是否道路连通没有关系)实数空间R是道路连通的.这是因为如果x,y∈R,则连续映射f:[0,1]→R定义为对于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x),便是R中的一条以x为起点以y为终点的道路、也容易验证任何一个区间都是道路连通的.页29 共* 页18 第定理4.5.1 如果拓扑空间X是一个道路连通空间,则X必然是一个连通空间.证明对于任何x,y∈X,由于X道路连通,故存在从x到y的一条道路f:[0,l]→X这时曲线f([0,1]),作为连通空间[0,l]在连续映射下的象,是X中的一个连通子集,并且我们有x,y∈f([0,1]).因此根据定理4.1.7可见X是一个连通空间.中的是一个连.l连通空间可以不是道路连通的.我们已经指出例4.4通空间.不难证明(留作习题,见习题第3题)它不是道路连通的.道路连通与局部连通之间更没有必然的蕴涵关系、例如离散空间都是局部连通的,然而包含着多于两个点的离散空间不是连通空间,当然也就不是道路连通空间了.定理4.5.2 设X和Y是两个拓扑空间,其中X是道路连通的,f:X→Y是一个连续映射.则 f(X)是道路连通的.设.由于X证明是道路连通的一条道路g:[0,1]→X.易见,映射的,故X中有从h到:[0,1]→f(X),)中从Xt),是f(g1]定义为对于任意t∈[0,有h(t)=f(到的一条道路.这证明f(X)是道路连通的.根据定理4.5.2可见,空间的道路连通性是一个拓扑不变性质,也是一个可商性质.设是n≥1个道路连通空4.5.3定理间.则积空间也是道路连通空间.证明我们只需要对n=2的情形加以证明.页29 共* 页19 第是道路连通空间,2,由于对于设i=l,,[0,1]→f:的一条道路.定义映射:故在中有从[0到)=(t(t∈[0,l]1]→有f).容易验证,使得对于任何是f并且有f(0)=x,f(1)=y.这也就是说(应用定理3.2.7)f是连续的, y的一条道路.这证明是一个道路连通空间.中从x到是一个道路n维欧氏空间作为定理4.5.3的一个直接的推论立即可见:连通空间.(这个结论也容易直接验证.)为了今后的需要我们证明以下引理,中的两个开集(闭集),X设A和B是拓扑空间] 定理4.5.4[粘结引理是两个连续:B→Y :A→Y并且有X=A∪B.又设Y是一个拓扑空间,和映射,满足条件:使得对于任何x∈X,定义映射f:X→Y x)= f(是一个连续映射.则f的定义是确切的.因为当,映射证明首先注意,由于f.时,有 x∈A∩B 有Y其次,我们有:对于的任何一个子集Z这是由于页29 共* 页20 第都连续,所以 Y的一个开集.由于分别现在设U是的开集,所以都是XA和BX的是A和B的开集.然而也都是开集.因此是X的一个开集.这便证明了f是一个连续映射. A和B都是X的闭集时,证明是完全类似的.当我们现在按建立连通分支概念完全类似的方式建立道路连通分支的概念.定义4.5.3 设X是一个拓扑空间,x,y∈X.如果X中有一条从x到y的道路,我们则称点x和y是道路连通的.(注意:是“点”道路连通)根据定义可见,如果x,y,z都是拓扑空间X中的点,则(1)x和x道路连通;(因为取常值的映射f: [0,1]→X(它必然是连续的)便是一条从x到x的道路.)(2)如果x和y连通,则y和x也连通;(设f:[0,1]→X是X中从x到y的一条道路.定义映射j:[0,l]→X,使得对于任何t∈[0,l]有j(t)=f(1-t).容易验证j是一条从y到x的道路.)(设:[0,连通,则x和z连通.x(3)如果和y连通,并且y和z1]→X分别是X中从x到y和从y到z的道路.定义映射f:[0,1]→X使得对于任何t∈[0,l],)=(0应用粘结引理立即可见和f是连续的,此外我们有f0()=xf(1)=(1)=z.因此f是从x到z的一条道路.)以上结论归结为:拓扑空间中点的道路连通关系是一个等价关系.页29 共* 页21 第定义4.5.4 设X是一个拓扑空间.对于X中的点的道路连通关系而言的每一个等价类称为拓扑空间X的一个道路连通分支.如果Y是拓扑空间X的一个子集.Y作为X的子空间的每一个道路连通分支称为X的子集Y的一个道路连通分支.X的每一个道路连通分支都不是空集;拓扑空间X的不同的道路连通分支无交;以及X的所有道路连通分支之并便是X本身.此外,x,y∈X属于X的同一个道路连通分支当且仅当x和y道路连通.拓扑空间X的子集A中的两个点x和y属于A的同一个道路连通分支的充分必要条件是A中有一条从x到y的道路.根据定义易见,拓扑空间中每一个道路连通分支都是一个道路连通子集;根据定理4.5.1,它也是一个连通子集;又根据定理4.3.l,它必然包含在某一个连通分支之中.作为定理4.5.l在某种特定情形下的一个逆命题,我们有下述定理:的任何一个连通开集都是道路连通的. 4.5.5 n维欧氏空间定理维欧氏空间首先我们注意n中的任何一个球形邻域都是道路连通证明维欧氏空间n的,这是因为它同胚于本身.维欧氏空间的任何一个开集的任何一个道路连通分支都是其次证明n 的一个开集,C是U一个开集:设U的一个道路连通分支.设是x∈C.因为U是一个包含x的开集,所以也包含着以x为中心的某一个球形邻域B(x,ε).由于球形邻域B(x,ε)是道路连通的,并且B(x,ε)∩C包含着x,故非空,这导致B(x,ε)C.所以C是一个开集.VV最后,设,则没有什么要证明的.下是的一个连通开集.如果.设VV是它的所有道路连通分支的无交并,根据前一段中的结论,每一个道路连通分支都。

点集拓扑讲义

点集拓扑讲义
BB11BB,,使使得得f f1(1U(U)) BB BBBB1 1
从而 U f ( f 1(U)) BB1 f (B)
是 B 中某些元素的并. 故 B 是
f (X)的基,由th4. 4.1知 f (X) 是局 4.3 设 X1, X 2 , , X n
局部连通空间
2
1 T
sin 1 x
B0
S
-1
S
{( x, sin
1 x
)
|
x
(0,1]}
2
T {0}[1,1]
S1 S T
定义4.1.1 设 X 是一个拓扑空 间,x∈X. 如果 x 的每一个邻域 U 中 都包含着 x 的某一个连通邻域 V , 则称拓扑空间 X 在点 x 处是局部连 通的.
f : X Y是 一 个 连 续 开 映 射 .
则 f (X)是一个局部连通空间. 证明: 由于X 是局部连通空间, 由th4,.2.1知X 有一个基B ,其中的 每一个成员都是连通的.
由由于于f f是是一一个个连连续续的的开开映映射射,,从从而而 易易知知BB{{f f(B(B))| |BBBB}}是是由由ff(X(X)) 的的连连通通开开集集构构成成的的集集族族. . 下下面面我我们们证证明明BB 是是ff(X(X))的的一一个个基基. . 设设UU是是ff(X(X))的的任任意意开开集集,,则则 ff(1U(U)) 是是XX中中的的一一个个开开集集,,从从而而存存在在
包含于U ,因为 V C 不是空集, 所以 V C ,因此 C 是 x 的邻域,
故 C 是开集.
(2) (3) 若(2)成立,则X 的所 有开集的所有连通分支构成的集族 B 恰是X 的一个基. (3) (1) 显然. 注: 在局部连通空间中,连通分支

《点集拓扑学》§2.4 导集,闭集,闭包

《点集拓扑学》§2.4 导集,闭集,闭包

§2.4 导集,闭集,闭包本节重点:熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念;区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同;掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件;掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件.如果在一个拓扑空间中给定了一个子集,那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同,因此可以对它们进行分类处理.定义2.4.1 设X是一个拓扑空间,A X.如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点,即U∩(A-{x})≠,则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点.集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集,记作d(A).如果x∈A 并且x不是A的凝聚点,即存在x的一个邻域U使得U∩(A-{x})=,则称x 为A的一个孤立点.即:(牢记)在上述定义之中,凝聚点、导集、以及孤立点的定义无一例外地都依赖于它所在的拓扑空间的那个给定的拓扑.因此,当你在讨论问题时涉及了多个拓扑而又谈到某个凝聚点时,你必须明确你所谈的凝聚点是相对于哪个拓扑而言,不容许产生任何混淆.由于我们将要定义的许多概念绝大多数都是依赖于给定拓扑的,因此类似于这里谈到的问题今后几乎时时都会发生,我们不每次都作类似的注释,而请读者自己留心.某些读者可能已经在诸如欧氏空间中接触过刚刚定义的这些概念,但绝不要以为对欧氏空间有效的性质,例如欧氏空间中凝聚点的性质,对一般的拓扑空间都有效.以下两个例子可以帮助读者澄清某些不正确的潜在印象.例2.4.1 离散空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个离散空间,A是X中的一个任意子集.由于X中的每一个单点集都是开集,因此如果x∈X,则X有一个邻域{x},使得,以上论证说明,集合A没有任何一个凝聚点,从而A的导集是空集,即d(A)=.例2.4.2 平庸空间中集合的凝聚点和导集.设X是一个平庸空间,A是X中的一个任意子集.我们分三种情形讨论:第1种情形:A=.这时A显然没有任何一个凝聚点,亦即d(A)=.(可以参见定理2.4.1中第(l)条的证明.)第2种情形:A是一个单点集,令 A={}如果x∈X,x≠,点x只有惟一的一个邻域X,这时,所以;因此x是A的一个凝聚点,即x∈d(A).然而对于的惟一邻域X有:所以d(A)=X-A.第3种情形:A包含点多于一个.请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点,即d(A)=X.定理2.4.1 设X是一个拓扑空间,A X.则(l)d()=;(2)A B蕴涵d(A)d(B);(3)d(A∪B)=d(A)∪d(B);(4)d(d(A))A∪d(A).证明(1)由于对于任何一点x∈X和点x的任何一个邻域U,有U∩(2)设A B.如果.这证明了d(A)d(B).(3)根据(2),因为A,B A∪B,所以有d(A),d(B)d(A∪B),从而d(A)∪d(B)d(A∪B).另一方面,如果综上所述,可见(3)成立.(这是证明一个集合包含于另一个集合的另一方法:要证,只要证即可.)(4)设:即(4)成立.定义2.4.2 设X是一个拓扑空间,A X.如果A的每一个凝聚点都属于A,即d(A)A,则称A是拓扑空间X中的一个闭集.例如,根据例2.4.l和例2.4.2中的讨论可见,离散空间中的任何一个子集都是闭集,而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集.定理2.4.2 设X是一个拓扑空间,A X.则A是一个闭集,当且仅当A的补集是一个开集.证明必要性:设A是一个闭集充分性:设:即A是一个闭集.例2.4.3 实数空间R中作为闭集的区间.设a,b∈R,a<b.闭区间[a,b]是实数空间R中的一个闭集,因为[a,b]的补集=(-∞,a)∩(b,∞)是一个开集.同理,(-∞,a],[b,∞)都是闭集,(-∞,∞)=R显然更是一个闭集.然而开区间(a,b)却不是闭集,因为a是(a,b)的一个凝聚点,但a(a,b).同理区间(a,b],[a,b),(-∞,a)和(b,∞)都不是闭集.定理2.4.3 设X是一个拓扑空间.记F为所有闭集构成的族.则:(1)X,∈F(2)如果A,B∈F,则AUB∈F(从而如果)(3)如果≠在此定理的第(3)条中,我们特别要求≠的原因在于当=时所涉及的交运算没有定义.证明根据定理2.4.2,我们有T={|U∈F}其中,T为X的拓扑.(1)∵X,∈T,∴(2)若A、B∈F ,则(3)令:定理证明完成.总结:(1)有限个开集的交是开集,任意个开集的并是开集.其余情形不一定.(2)有限个闭集的并是闭集,任意个闭集的交是闭集.其余情形不一定.定义2.4.3 设X是一个拓扑空间,A X,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或容易看出,(注意:与x∈d(A)的区别)定理2.4.4 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)定理2.4.5 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有:证明(1)成立是由于是闭集.(2)成立是根据闭包的定义.(3)成立是因为(4)成立是因为=A∪d(A)∪d(d(A))=A∪d(A)=在第(3)条和第(4)条的证明过程中我们分别用到了定理2.4.l中的第(3)条和第(4)条.定理2.4.6 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集.证明根据定理2.4.4和定理2.4.5(4)直接推得.定理2.4.7 设X是一个拓扑空间,F是由空间X中所有的闭某构成的族,则对于X的每一个子集A,有即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交.证明因为A包含于,而后者是一个闭集,由定理2.4.5(4)与定理2.4.4有另一方面,由于是一个闭集,并且,所以(“交”包含于形成交的任一个成员)综合这两个包含关系,即得所求证的等式.由定理2.4.7可见,X是一个包含着A的闭集,它又包含于任何一个包含A 的闭集之中,在这种意义下我们说:一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集.在度量空间中,集合的凝聚点,导集和闭包都可以通过度量来刻画.定义2.4.5 设(X,ρ)一个度量空间.X中的点x到X的非空子集A的距离ρ(x,A)定义为ρ(x,A)=inf{ρ(x,y)|y∈A}根据下确界的性质以及邻域的定义易见:ρ(x,A)=0当且仅当对于任意实数ε>0,存在y∈A使得ρ(x,y)<ε,换言之即是:对于任意B(x,ε)有B(x,ε)∩A≠,而这又等价于:对于x的任何一个邻域U有U∩A≠,应用以上讨论立即得到.定理2.4.9 设A是度量空间(X,ρ)中的一个非空子集.则(1)x∈d(A)当且仅当ρ(x,A-{x})=0;(2)x∈当且仅当ρ(x,A)=0.以下定理既为连续映射提供了等价的定义,也为验证映射的连续性提供了另外的手段.定理2.4.10 设X和Y是两个拓扑空间,f:X→Y.则以下条件等价:(l)f是一个连续映射;(2)Y中的任何一个闭集B的原象(B)是一个闭集;(3)对于X中的任何一个子集A,A的闭包的象包含于A的象的闭包,即;(4)对于Y中的任何一个子集B,B的闭包的原象包含B的原象的闭包,即.证明(1)蕴涵(2).设B Y是一个闭集.则是一个开集,因此根据(1),是X中的一个开集,因此(B)是X中的一个闭集.(2)蕴涵(3)设A X.由于f(A),根据(2),成立.(3)蕴涵(4)设A Y集合(B)X应用(3)即得(4)蕴涵(l).设U是Y中的一个开集.则是Y中的一个闭集.对此集合应用(4)可见:.总结一下,到目前为止,证明映射连续的方法有几种?证明一个子集是开集,闭集的方法有几种?如何证明一个点是某个子集的凝聚点?作业:P69 1.2。

完整word版点集拓扑讲义紧致性学习笔记

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紧致性第7章7.1 紧致空间§本节重点:(这些方法哪些掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法.是充要条件);掌握紧致性是否是连续映射可保留的,是否是可遗传的、有限可积的.中,我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间,即在§5.3空间定义中的“可数LindeloffLindeloff空间.现在来仿照这种做法,即将子覆盖”换成“有限子覆盖”,以定义紧致空间.读者在数学分析中早已见过的任何一个子集为有界闭集的充分必R的Heine-Borel定理断言:实数空间中我们将要推广要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖.(在§7.3 这个定理.)因此我们现在作的事也应当在意料之中.的每一个开覆盖有一个有限子X7.1.1 设X是一个拓扑空间.如果定义 X是一个紧致空间.覆盖,则称拓扑空间空间.但反之不然,例如包含着Lindeloff明显地,每一个紧致空间都是空间,但它不是一个紧致空间.无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff不是一个紧致空间.这是因为如果我们设实数空间R例7.1.1AA)R|b∈Z+},则的任何一个有限子族,={(-nn由于它的并为{ },})(-max{},max{ 1A的开覆盖没有任何一个有限子覆盖.R的一个子覆盖.因此R所以不是的X中的一个子集,如果Y作为定义7.1.2 设X是一个拓扑空间,Y是X 的一个紧致子集.子空间是一个紧致空间,则称Y是拓扑空间X的紧致子集意味着每一个由子X拓扑空间X中的一个子集Y是根据定义,这并不明显地意味着由的开覆盖有一个有限子覆盖,空间Y中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖.所以陈述以下定理是必要YX中的开集构成的每一个的.的一XX中的一个子集.则Y是X定理7.1.1 设是一个拓扑空间,Y是此的覆盖都有有限子覆盖.(个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y定理表明开覆盖中的开子集可以是X的,也可以是Y的)A是Y,中的一个紧致子集的一个覆盖,它证明必要性设Y是拓扑空间XA}也是中的开集构成.则容易验证集族Y由X的一个覆盖,它A有一个有限子覆盖,设为由Y中的开集构成.因此A的有限子族覆盖Y{},于是.充分性,假定每一个由X的开集构成的Y的覆盖都有一个有限子覆盖.设AA存在X中的一个中的开集构成.则对于每一个A∈的一个覆盖,是Y它由YA}是由X中的开集构成的A=∩Y.因此Y的一个使得开集覆盖,所以有一个有限子覆盖,设为{}A{此时易见的子族 Y}覆盖Y.这证明是X的一个紧致子集.下面介绍关于紧致性的一个等价说法.页26 共** 页2 第AA(即定义7.1.3 设的每一个有限子族都有非空的交是一个集族.如果AA是一个具有有限交性的一个有限子族,则如果),则称是质的集族.中的是一个紧致空间当且仅当X设X是一个拓扑空间.则X定理7.1.2每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交.F中的一个具有有是设X 是一个紧致空间.用反证法.设X证明 :F≠限交性质的闭集族.设.如果AF={ ,则令}.由于∈AA{设为的一个开覆盖.是X于是有一个有限子覆盖,所以.}从而F 不具有有限交性质.矛盾.这说明中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交.为证”,设“X AA有一个有限子的一个开覆盖.我们需要证明是X是一个紧致空间,设明X AA的的每一个子族都是以及=X,则,这蕴涵覆盖.如果X=AAF中的一个非空闭集族,并且便是覆盖.以下假定}.此时={|A∈≠X设也就是说,它不具有有限交性质.它有一个有限子族其交为空集.因此,F,则的这个有限子族为{}的一个有限子覆盖.是X 3BB的一个覆盖当X的一个基,那么由X中的元素构成的如果是紧致空间然是一个开覆盖,因此有有限子覆盖.下述定理指出,为验证拓扑空间的紧致性,只要验证由它的某一个基中的元素组成的覆盖有有限子覆盖.B*B*中的元素构成是拓扑空间X的一个基,并且X的由定理7.1.3 设X是一个紧致空间.的每一个覆盖有一个有限子覆盖.则B*A*A* 的一个子族X的一个开覆盖.对于每一个A∈证明存在设是使得令由于B*的一个覆盖,所以有一个有限子覆是一个由X 故的元素构成的设为盖,,i=1,2,…n,一,对于每,个A* {} 于是对于的有限于族有A*是一个紧致}也就是说.这证明有一个有限子覆盖{ X 空间.A是一个连续映射.如果X7.1.4 定理设和Y是两个拓扑空间,f:X→Y Y)是的一个紧致子集.AX是的一个紧致子集,则f(CC,C∈中的开集组成.它由)(是证明设*fA的一个覆盖,Y对于每一个*)是(f由于是一个连续映射,CX中的一个开集页26 共** 页4 第CA的一个紧致子集,XA是*}所以是=A{的一个开覆盖.(C)|C∈由于A{有一个有限子族,设为},覆盖A所以C的)是Y).这证明f(}是A*的一个子族并且覆盖f(即{A 一个紧致子集.由上述定理可见,拓扑空间的紧致性是连续映射所保持的性质,因此是拓扑不变性质,也是一个可商性质.不是紧致空间,而每一个开区间都是与它同胚由此可见,由于实数空间R 的,所以每一个开区间(作为子空间)都不是紧致空间.7.1.5 紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.定理A的一个覆盖,它由中的一个闭子集.如果Y是证明设Y是紧致空间X BB的一个有限子1X 的一个开覆盖.设是X中的开集构成.则是AB的一个有限子族并且覆盖Y.这证明Y便是}是族并且覆盖X.则X1-{的一个紧致子集.每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间.定理7.1.6T)的元素.令是一个拓扑空间.令∞为任何一个不属于X设证明:(X, X*=X∪{∞}TT∪{X*}*=∪T})中的一个紧致闭集是拓扑空间={E 其中X*|X*-E(X,T*是集合X*的一个拓扑.首先验证 (略)5T:(X*,是一个紧致空间*)其次.证明C*C*X*-CC∈是X*的一个开覆盖.则存在C ∈,使得∞∈C.于是设因此C*C*设为是紧致的,并且有一个有限子族-{C}是它的一个开覆盖.于是,-{C}C*CC X*-C.易见1∪{C}是.的一个有限子族,并且覆盖X*1,覆盖TT的一个开子空间.这是)是拓扑空间我们指出拓扑空间(X,(X*,*)最后,T及 =X是X*的一个开集.因为TT通常(X*,*),)构造出来的紧致空间在以上定理的证明中由拓扑空间(X,T的一点紧化.称为拓扑空间(X,)由于非紧致空间(它是存在的)是它的一点紧化的一个子空间,因此紧致性不是可遗传的性质.但由定理7.1.5可知紧致性是闭遗传的.以下定理表明紧致性是可积性质.空空n≥1是个紧致定间理7.1.7 设.则积间是一个紧致空间.) 证明 (略作业: .5.P188 14.§7.2紧致性与分离性公理本节重点:掌握紧致空间中各分离性公理的关系;掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.页26 共** 页6 第在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了.此外在本节的后空间的连续映射的一个十分重要的Hausdorff半部分,我们给出从紧致空间到性质.x∈X的一个不包含点A是X定理7.2.1 设X是一个Hausdorff空间.如果.和V使得的紧致子集,则点xU∩V=和紧致子集A分别有开邻域U 是一个.对于每一个y∈A,由于是一个紧致子集,x∈证明设AX域个开邻故存在x的一Hausdorffy和的一个开邻域空间,它有一个A的一个开覆盖,.集族{|y∈A}明显是紧致子集,它们分A.令}有限子族,设为 {,覆盖有:i=1,2,…,n别是点x和集合A的开邻域.此外,由于对于每一个所以Hausdorff空间中的每一个紧致子集都是闭集.推论7.2.2x∈X,如果的一个紧致子集.对于任何设A是Hausdorff空间X 证明中,的凝聚点都在A因此凡x,xA则根据定理7.2.1可见不是A的凝聚点.A A从而是一个闭集.结合定理推论7.2.2 可见:7.1.5空间中,一个集合是闭集的充分必Hausdorff在一个紧致的推论7.2.3要条件是它是一个紧致子集.7中的几个简单而常7.2.3和推论7.1.5,推论7.2.2为了加强读者对定理用的结论的印象,重新简明地列举如下:紧致子集紧致空间:闭集空间:闭集紧致子集 Hausdorff空间:闭集紧致子集紧致的hausdorff空间都是正则空间.7.2.4 每一个紧致的Haudorff推论中的一个不Xx是设证明 A是紧致的Hausdorff空间X的一个闭子集,),所7.1.5A的点.由于紧致空间中的闭子集是紧致的(参见定理属于集合VU和A是一个紧致子集.又根据定理7.2.1,点x和集合A分别有开邻域以 X使得是一个正则空间.U∩V=.这就证明了的两个无交的B是X和定理7.2.5 设X是一个Hausdorff空间.如果A .V 使得紧致子集,则它们分别有开邻域U U∩V=和x∈A,根据定理X的两个无交的紧致子集.对于任何A 设和B是证明|x∈A}是{.集族和集合B分别有开邻域7.2.1,点x A它有一个有限子族,设为{.令},覆盖A紧致子集的一个开覆盖,有,2,…,n由于对于每一个i=1 U∩V=∩V=,所以.7.2.5空间的每一个闭子集都是紧致子集,所以根据定理由于Hausdorff 立即有:7.2.6 每一个紧致的Hausdorff空间都是推论的,页26 共** 页8 第根据这个推论联6.4.3直接推出.这个结论也可以根据推论7.2.4和定理我们可空间这一事实,并且留意到每一个紧致空间都是系着表6.1Lindeloff 在紧致空间中分离性公理显得特别简单.有图表7.1.从这个图表中可以看出,:紧致空间中的分离性公理图表7.1是UX是一个正则空间.如果A是X中的一个紧致子集,定理7.2.7 设使得的一个开邻域,则存在.A的一个开邻域AV的一个开邻域.对于A中的一个紧致子集,是正则空间XU是证明设A的|x∈A}是紧致子集集族{x∈A,点任何xA有一个开邻域使得.令A},它一个开覆盖,它有有限子族,设为,覆盖{A是的一个开邻域,并且根据这个定理立即可见,每一个紧致的正则空间都是正规空间.然而这并空间,所以它明显地蕴Lindeloff不是什么新结论,因为每一个紧致空间都是涵于定理6.4.3中..在那个正.3然而紧致的正规空间可以不是正则空间.例子见于例6.2 规而非正则空间的例子中的拓扑空间只含有有限多个点,当然会是紧致的.定理7.2.8 从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射.9是一个连Y是一个紧致空间,是一个Hausdorff空间,f:X→Y证明设X A是紧致空间X中的一个闭子集.则它是紧致的(参见定理续映射.如果中的一个紧致子集(参见Hausdorff空间Y)是7.1.5),因此它的象集f(A ).这证明f是一个闭映射.定理7.1.4),所以又是闭集(参见推论7.2.2因为一个既单且满的开(或闭)的连续映射即是一个同胚,所以我们有:空间的任何一个既单且满的(即—7.2.9 从紧致空间到Hausdorff推论一的)连续映射都是同胚.:作业 1.2. P192n 维欧氏空间§7.3中的紧致子集使>0AX.如果存在实数M定义7.3.1 设(X,ρ)是一个度量空间,的一个有界子集;如果XA是对于所有x,y∈A得ρ(x,y)<M成立,则称X本身是一个有界子集,则称度量空间(X,ρ)是一个有界度量空间.定理7.3.1 紧致度量空间是有界的.证明设(X,ρ)是一个紧致度量空间.由球形邻域构成的集族{B(x,1)|x ∈X}是X的一个开覆盖,它有一个有限子覆盖,设为{B(x1,1),B(x2,1),…,B(xn,1)}.令M=rnax{ρ(xi,xj)|1≤i,j≤n}十2如果x,y∈X,则存在i,j,1≤i,j≤n,使得x∈B(xi,l)和y∈B(xj,l).于是ρ(x,y)<ρ(x,xi)+ρ(xi,xj)十ρ(xj,y)<M页26 共** 页10 第的n维欧氏空间因此度量空间中的每一个紧致子集都是有界子集.特别每一个紧致子集都是有界的.是一个紧致空间的证明.尽管读者可[0,1]下面作为引理给出单位闭区间能早已熟知这个结论.引理7.3.2 单位闭区间[0,1]是一个紧致空间.A是[0,1] 设的一个开覆盖.令证明A有一个有限子族覆盖[0,P={x∈[0,l]|x]}它是[0,1]的一个子集.对于集合P,我们依次证明,P.因为显然0∈P;(l)(2)P是一个开集.A{},覆盖[0,设x∈P.则x]有一个有限子族,设为.当x=1时,易见P=[0,l],它是一个开集.因此x是P的一个内点.下设x<1.这由于是[0,i0,1≤i0≤n,有x1]∈.中的一个开集,所以时对于某一个)ε)x+[0,.于是[0,..这蕴涵使得存在实数ε>0[x,x+εPx+ε).由于[0,x+ε)是[0,1]中的一个包含x的开集,所以x是P的一个内点.以上证明了集合P中的任何一个点都是P的内点,所以它是一个开集.(3)P是一个闭集.1].另外根据(1)的定义可见,[x设,x∈=[0,1]-P.根据集合P A使得x∈A.由于A是一个开集,所以存在实数ε0可见.<x.选取选取A∈,x]∩P≠,设z ∈(x-ε(A.假如x-ε,x]∩P.则x]-0>使得(xε,AAAA1∪{A}覆盖[0,x]有一个有限子族,这1覆盖[0,z],因此的有限子族,1],从而,(x-ε,x]-(,即xεεx所以P与x矛盾.(-,x]∩P=的一个内点.这证明x因此是是一个开集,即P是一个闭集.11是一[0,1],l]中的一个既开又闭的非空子集.由于根据上述三条,P是[0A有一个有限子族覆盖个连通空间,所以P=[0,1],特别,1∈P.这也就是说是一[0,1],[0,1].以上证明了[01]的任何一个开覆盖有有限子覆盖,故个紧致空间.]同胚,所,1b任何一个闭区间[a,b](a<),由于它和单位闭区间[0中任何一个闭维欧氏空间以是紧致的.并且作为紧致空间的积空间,可见n方体(a<b)也是紧致空间.是一个紧致子集n维欧氏空间则A定理7.3.3 中的一个子集.设A是是一个有界闭集.当且仅当A设证明ρ是n维欧氏空间的通常度量.,它是有界”:如果7.3.1A是一个紧致子集,则根据定理“,它是一个闭集.的;由于是一个Hausdorff空间,根据推论7.2.2是紧致的.下设是一个有界闭集.如果”:设AA=,则“A .任意选取(xM,yA)<>.于是存在实数M0使得对于任何x,y∈A有ρ)∈0),其中,x00=,…,(0,0(x0∈A,并且令.容易验证N=M十ρ0作为紧致空间.(根据三角不等式)A中的一个闭子因此A 集必定是紧致的.则存是一个连续映射.设7.3.4 X是一个非空的紧致空间,f:X→R定理有x0在,x1∈X使得对于任意x∈X )≤f(x)≤f(x1) f(x0换言之,从非空的紧致空间到实数空间R的任何一个连续映射都可以取到最大点与最小点.页26 共** 页12 第中的一Rf(X)是实数空间由于X紧致,故根据定理7.1.4可见证明Mf(X)是一个闭集.设m和个紧致子集.由于R是一个Hausdorff空间,所以使得,M∈f(X).因此存在x0,x1∈Xm分别为集合f(X)的下,上确界,则f.根据上,下确界的定义立即可见,对于任何x∈X有f(x0)=m和f(x1)=M (x0)≤f(x)≤f(x1).维欧氏空是一个有界闭集,所以是紧致的,此外,由于mn 维单位球面不是紧致的,而紧致性又是一个拓扑不变性质,所以:间维单位球面与n不同胚.设定理7.3.5 m,n∈Z+.则m维欧氏空间这是通过拓扑不变性质区分不同胚的拓扑空间的又一个例子.作业:1. 2. P196几种紧致性以及其间的关系§7.4:本节重点掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系.实数空间中的一个子集读者已从数学分析的学习中知道了以下命题:A如果满足以下条件(l)~(4)中的任何一条,则满足其他的几条.(l)A是一个有界闭集;(2)A的每一个开覆盖都有有限子覆盖;(3)A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中;(4)A中的每一个序列都有收敛的子序列收敛于A中的点.13不难发现这四条中以读者应当早就有所体会了.这几个条件的重要意义,)三条中所涉及惟有(l)中涉及的概念有赖于度量,其余(2),(3)和(4的概念都只是牵连到拓扑.我们当然希望在一般的拓扑空间中还能建立条件)的等价性;假如不能,讨论在何种条件下它们等价也是(2),(3)和(4一件有意义的事.本节我们研究这个问题.为了研究问题时的方便,引进以下 5)作为讨论的中间站.条件( A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖.(5)的每一个可数开覆盖都有有限定义7.4.l 是一个拓扑空间.如果X设X 子覆盖,则称拓扑空间X是一个可数紧致空间.以下两个定理的证明十分容易,请读者自己补证.每一个紧致空间都是可数紧致空间.定理7.4.1的可数紧致空间都是紧致空间.定理7.4.2 每一个Lindeloff的每一个无限子集都有凝聚点,X是一个拓扑空间.7.4.2 设X如果定义 X是一个列紧空间.则称拓扑空间定理7.4.3 每一个可数紧致空间都是列紧空间.证明设X是一个可数紧致空间.为了证明它是一个列紧空间,我们只要证明它的每一个可数的无限子集都有凝聚点,现在用反证法来证明这一点.假设X有一个可数无限子集A没有凝聚点.首先这蕴涵A是一个闭集.此外对于所以存在a的一个开邻域使得不是每一个a∈A,由于aA的凝聚点,}是|a ∈A}∪{X的一个开覆盖.由于X是可数紧致∩A={a}.于是集族{页26 共** 页14 第无交,由于{与A} 空间,它有一个有限子覆盖,不妨设为所以必定覆盖{A.因此,})∩A={a1,a2,…an}是一个有限集.这是一个A=(矛盾.是一个由集合构成的序列,如果它满足条件:定义7.4.3 设 i∈Z+成立,即对于每一个则称序列是一个下降序列.在某一个拓扑空间中的一个由非空闭集构成的下降序列也叫做一个非空闭集下降序列.是一个可数紧致空间当是一个拓扑空间.则拓扑空间X引理7.4.4 设X集下降序列,有非个任何一非空空闭的交,即且中仅当由X得使序列降闭中空证明数设可紧致间X的非空集下于是}{ 设为的一个开覆盖,X是它有一个有限子覆盖,由此可得这是一个矛盾.中的每一个非空闭集下降序列都有非空的交.如X另一方面,设拓扑空间没有{ 有一个可数开覆盖,X则X果不是一个可数紧致空间,设为}, i∈Z+,令有限子覆盖.对于每一个15的一个开覆盖,没有有限子覆盖,并且满足条件:X}则也是{.由此因此是一个非空闭集下降序列,所以.也就是说}{不是的一个覆盖,这是一个矛盾.可见X每一个列紧的7.4.5 定理空间都是可数紧致空间.不是一个可数紧致空间,则根据空间.如果证明 X设X是一个列紧的中有一个非空闭集下降序列,,使得在每一个引理7.4.4X A={中选取一点},并且考虑集合,和一个正整数的严格递增序列n1如果A是一个有限集,则必有一点x∈A .这是因为,n2,…使得于是对于任何i∈Z+有x∈,这与反证假设矛盾.于是x∈有一个凝聚点,设为是一个无限集.由于X是一个列紧空间,所以AA设空间(它的每一个有限子集都是闭集),易见对于每一个.由于X是一个y于由凝个聚点;又也i∈Z+,点y合是集的一.这也与反证假定矛盾.中的每一个序列都有一个收敛X设X是一个拓扑空间.如果定义7.4.4是一个序列紧致空间.的子序列,称拓扑空间X定理7.4.6 每一个序列紧致空间都是可数紧致空间.页26 共** 页16 第{}是X设X是一个序列紧致空间,中的一个非空闭集下降证明.在每对于每一个i∈Z+,序列..根据引理7.4.4X是一个可数紧致空间.定理7.4.7 每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间.证明设X是一个满足第一可数性公理的可数紧致空间,设.于是i∈Z+,令和.对于每一个是拓扑空间X中的一个非空闭集下降序列,因此根据引理7.4.4,我们有.由于X满足第一可数性公理,根据定理5.1.8,在点x处有一个可数邻域满足条件:}对于任基{ 意j∈Z+成立.令l,令对于每一个i>是一个严格递增的于是 ,对于每一个正整数序列.并且i∈Z+成立.存在U设是x的一个邻域.:收敛于的子序列}我们来证明序列{{}x时我们有k i某一个k∈Z+,使得,于是当>7.2根据本节中的各个定理,我们可以得到图表.17根据这个表立即可以知:的一个子设X是一个满足第二可数性公理的X空间,推论A7.4.8 是集.则下列条件等价:的每一个开覆盖都有有限子覆盖;(Al)()2A的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖;中的点;(3)A中的每一个序列都有子序列收敛于A ( 4)A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中.的子集以上推论成立,并且推论中的每维欧氏空间特别,对于n 是一个有界闭集.一个条件都等价于A作业:P201 1度量空间中的紧致性§7.5本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系.由于度量空间满足第一可数性公理,同时也是空间,所以上一节中的讨论(参见表7.2)因此我们,一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间,也当且仅当它是序列紧致空间.但由于度量空间不一定就是Lindeloff页26 共** 页18 第本并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧致空间.空间,因此从定理7.4.2 节研究这个问题并给出肯定的回答.的直径)中的一个非空子集.集合,ρA定义7.5.1 设A是度量空间(X (A)定义为diam (x,y)|x,y∈A}若A是有界的 diam(A)=sup{ρ A是无界的diam(A)=∞若AλX的一个开覆盖.实数定义7.5.2 设(X,ρ)是一个度量空间,是A只要中的任何一个子集A>0称为开覆盖,的一个Lebesgue数,如果对于X A包含于开覆盖的某一个元素之中.diam(A)<λ,则 A Lebesgue的开覆盖数不一定存在.例如考虑实数空间R {(-∞,1)}∪{(n-1/n,n+1+1/n) |n∈Z+}数.(请读者自补证明.)则任何一个正实数都不是它的Lebesgue序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有数定理] 定理7.5.1[Lebesgue一个Lebesgue数.A是XX设是一个序列紧致的度量空间,的一个开覆盖.假若开覆证明AA的Lebesgue不是数,所数,则对于任何i∈Z+,实数1/i盖没有LebesgueA的任何元素之中.不包含于 EiE)<1/i并且E,以X有一个子集使得diam(之中任意选取一个点,由于在每一个X是一个序列紧致空间,所以序A是X列.由于的一个开覆盖,故有一个收敛的子序列A使得y∈A,并且存在实数ε>0使得球形邻域B(yA.由存在A∈,ε)时.令k为任>于,所以存在整数M0使得当i>M 则对于任何,M+2/有 k意一个整数,使得>ε19εy ρ)<((x,y)≤ρ(x,,)+ρ这证明A的选取矛盾.与每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间.定理7.5.2A的一个开覆盖.根据定理是X 设X是一个序列紧致的度量空间,证明A 0.Lebesgue数,设为λ7.5.1,X的开覆盖>有一个BB有一个有的一个开覆盖.我们先来证明/3)}.它是令X={B(x,λ限子覆盖.B,假定点1.对于i假设>没有有限子覆盖.任意选取一点∈X 已经取定,由于.按照归纳原则,序列,选取不是X的覆盖(i,j∈Z+,i≠j,有ρλ/3.序列已经取定.易见对于任何)>中最λ/6)没有任何收敛的子序列.(因为任何y∈X的球形邻域B(y, X是序列紧致空间相矛盾.多只能包含这个序列中的一个点.)这与B的一个有限子覆{}是开覆盖现在设存在i=1,2,…,n盖.由于其中每一个元素的直径都小于λ,所以对于每一个使得A的一个子覆盖.{}λB(,是/3).于是以及前一节中的讨论可见:因此,根据定理7.5.2定理7.5.3 设X 是一个度量空间.则下列条件等价:页26 共** 页20 第是一个紧致空间;)X (1 )X是一个列紧空间;(2 )X是一个序列紧致空间;(3 X是一个可数紧致空间.)(4以示强调.的结论列为图表我们将定理7.5.37.3作业: P205 1.本章总结: 1)重点是紧致性、紧致性与分离性的关系.( 2)度量空间(特别是)中的紧致性性质要掌握.()紧致性是否是连续映射所能保持的、可积的、可遗传的?证明时牵(3 涉到的闭集要注意是哪个空间的闭集.仿紧致空间§7.6 局部紧致空间,:本节重点掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义.性质;掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系;掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系.21中的每一个点都有一个紧致的如果X定义7.6.1 设X是一个拓扑空间, 则称拓扑空间X是一个局部紧致空间.邻域,因为紧致空间本身每一个紧致空间都是局部紧致空间,,由定义立即可见便是它的每一个点的紧致邻域.因为其中的任何一个球形邻域的闭包都维欧氏空间也是局部紧致空间,n 是紧致的.定理7.6.1 每一个局部紧致的空间都是正则空间.的一个开邻x∈X,U是x是一个局部紧致的Hausdorff空间,设证明设X中的是XHausdorff空间X的紧致子集,DD域.令是x的一个紧致邻域,作为所以是一个空间,闭集.由推论7.2.4,D 作为子空间是一个紧致的Hausdorff在拓是集合中的一个开邻域,D其中正则空间.是x在子空间D中DD中有一个开邻域V使得它在子空间扑空间X中的内部.从而x在子空间V因此,并且又包含于W,.一方面的闭包包含于WV是子空间D中的一个开集另也是X中的开集.是WX中的一个开集,所以V 是子空间W中的一个开集,而因此点中的闭包D中的闭包便是V在X的闭集一方面,由于D是X,所以V在使得是一个正则空间..因此Vx在X中的开邻域X的所有紧致邻定理7.6.2 设X是一个局部紧致的正则空间,x∈X,则点x 域构成的集族是拓扑空间X在点x处的一个邻域基.是则x的一个开邻域.设证明 U是x∈X令D为的一个紧致邻域,闭使得.Vx,X的一个开邻域.x因为是正则空间所以存在的开邻域页26 共** 页22 第以上证并且作为紧致空间D中的闭子集,它是紧致的.集是x的一个闭邻域,中包含着某一个紧致邻域的任何开邻域U.明了在x:从前面两个定理立即可以推出的所是一个局部紧致的Hausdorff空间,x∈X.则点xX推论7.6.3 设处的一个邻域基.有紧致邻域构成的集族是拓扑空间X在点x7.6.4 每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间.定理是一个完全正则空间我们验证X设X是一个局部紧致的正则空间.证明:如下由的一个开邻域.使得是B和是X中的一个闭集,x设x∈X 的一个子空间是使得XV作为7.6.2,定理存在x的一个紧致闭邻域V,.因此是完全正则的.因而存在连续映射),(正则是可遗传的紧致的正则空间g(y)=1.g:V→[0,1],使得g(x)=0,和对于任何有定义映射hh:是一个连续映射使得.显然 f:X→[0,1],使得对于任何z∈X定义映射因为如果,f首先,映射的定义是确切的其,则有g(z)=1=h(z).f(x)=0,显。

点集拓扑讲义-104页

点集拓扑讲义-104页
则 (X, T1) 为一个拓扑空间, 而 (X, T2) 则不是.
例 3. 设 X 为任一集合, Tα α ∈ ∧ 为 X 上的一族拓扑, 令 T = Tα,
α∈∧
则 T 也为 X 上的一个拓扑.
例 4. 设 (X, T ) 为一个拓扑空间, A 为 X 的一个子集, 令
TA = E ∩ A E ∈ T ,
4
第一章 点集拓扑基础
例 5. 令 X = 1, 2, 3, 4, 5 , S = {1}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} , 则
B1 = {1}, {2}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5} ,
B2 = {1}, {2}, {5}, {1, 2}, {1, 5}, {2, 3}, {2, 5}, {4, 5}, {1, 2, 3}, {1, 2, 5},
d(P, Q) = (x2 − x1)2 + (y2 − y1)2. 平面上以 P 为中心, r(r > 0) 为半径的开球记为 B(P ; r), 即
B(P ; r) = M (x, y) ∈ R2 d(P, M ) = (x − x1)2 + (y − y1)2 < r .
设 E 为 平 面 上 的 一 个 非 空 子 集, P0(x0, y0) 为 平 面 上 的 一 个 点, 若 存 在 某 个 δ > 0, 使 得 B(P0; δ) ⊆ E, 则 称 P0 为 集 合 E 的 一 个内点. 由 定 义 知, 若 P0 为 E 的内点, 则 p0 必须属于集合 E. 但另一方面, 集合 E 中的点并 不一定都是 E 的内点, 如: 利用有理数及无理数在实数中的稠密性可知, 集 合 E = {M (x, y) x, y ∈ Q} 甚至没有一个内点. 当然也有另一种极端的情形, 即集合 E 中的每个点都是 E 的内点, 我们称这样的集合为开集. 按这样的定义,
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证明: (4) (1)
设 U 是 Y 的任意开集,则 U 是 Y 的闭集,对 U 应用(4)有:
f 1(U) f 1(U) . 又因为 f 1(U) f 1(U) 故 f 1(U) f 1(U) 故 ( f 1(U )) f 1(U )是闭集,从而 f 1(U )是开集,因此 f 连续.
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是一个闭集.
(3)对于任何 A X ,有 f ( A) f ( A)
(证4)明对:于(3任) 何(B4) Y ,有 f 1(B) f 1(B)
设 B 是 Y 的任意闭集,由于 f 1(B) X
应用(3) 有 f ( f 1(B)) f ( f 1(B)) B
故 f 1(B) f 1(B) .
显然有 d(A) A ,故 A 是闭集.
定理2.4.5 设 X 是一个拓扑空
间.则对于任意 A, B X ,有:
(1)
(2) A A (若 A B则 A B )
(3) A B A B (4) A A
定理2.4.6 设 X 是一个拓扑空 间,F 是由空间 X 中所有的闭集构成
定理2.4.8 设 X 是一个集合, c* :P (X ) P (X )是集合 X 的一个闭 包运算. 则存在 X 的唯一一个拓扑 T 使得在拓扑空间(X,T)中对于每一
个 A X 有 c*(A) A .
T {U X | c*(U ) U }
定义2.4.5 设 (X , ) 是一个度
§2.4 导集,闭集,闭包
定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间,
A X.如果点 x∈ X 的每一个邻域 U
中都有 A 中异于 x 的点.即,
U (A {x})
则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极 限点.集合 A 的所有凝聚点构成的集 合称为 A 的导集,记作 d (A).
➢如果 x d ( A) ,则称 x 为 A 的
都属于A,即 d(A) A 则称A是一个闭
集. 注: 离散空间中的任何一个子集都
是闭集;
平庸空间中的闭集只有 X , .
定理2.4.2 设 X 是一个拓扑空间,
A X 则 A 是一个闭集,当且仅当 A
的补集 A 是一个开集.
证明:必要性:设 A 是一个闭集 ,
对 x A,则 x A ,从而 x d (A) 这样
(3) 若A多于一点 . 则对任意 x X ,
有 X (A {x}) 故 d(A) X
定理2.4.1 设 X 是一个拓扑空间,则
(1) d ()
(2) 若 A B ,则 d(A) d(B)
(3) d(A B) d(A) d(B) (4) d(d(A)) A d(A)
(1)对任意 x X ,和点 x 的每一个
作业
第69页 1,2题 思考题: 6题
例2.4.2 平庸空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解:设 A 是 X 的任意一个子集.
(1) 若 A 是 空集,显然有 d (A)
(2) 若 A 是一个单点集,令 A {a}
对任意 x X , x a ,点 x 有唯的一
个邻域 X ,使得 X (A {x}) ,
即 x d (A) . 对 a 的唯一的邻域 X ,有X (A {a}) 故 a d ( A) ,由以上的讨论我们有: d(A) X A
d(A) d(B) d(A B) 下面我们证明 d(A) d(B) d(A B)
若 xxddd(((AAA))ddB((B)B),),则则有有xxxddd((A(AA)))且且 xxxddd(((BBB)))
于是x有邻域U,使得 U (A {x}) ,又有邻 域V使得UV (B {x}) ,令 D U V,
x 有一个邻域 U 使得 U (A {x}) 由于
x A ,故 U A ,即 U A ,因此 A 是 x 的一个邻域. 所以 A是一个开集.
充分性: 设 A 是一个开集. 若 x A 则 x A ,从而 A是 x 的一个邻 域,且有 A A ,进而有
A (A {x}) ,因此 x d (ห้องสมุดไป่ตู้)
量空间. X 中的点 x 到 X 的非空子
集 A 的距离 (x, A)定义为:
(x, A) inf{(x, y) | y A}
定理2.4.9 设 A 是度量空间
(X , ) 中的一个非空子集. 则:
(1) x d(A) (x, A {x}) 0
(2) x A (x, A) 0
证明: (1) 必要性: 对任意n Z
因此 V A ,这样对 y V
有V (A {y}) ,由于 V 是 y 的一个
开邻域,这就是说V中没有A的凝聚点,
从而 V (d(A) {x})
即x d(d(A)) ,故 d(d(A)) A d(A)
定义2.4.2 设 X 是一个拓扑空
间, A X .如果 A 的每一个凝聚点
于是我们有 d(A) A ,即A是一个闭
集.
例 实数空间 R 中的闭区间是闭集
定理2.4.3 设 X 是一个拓扑空间. 记 F 为所有闭集构成的集族. 则
(1) X , F
(2) 若 A, B F ,则 A BF
(3) 如果 F 1 F , 则 AF 1 A F
例 Cantor集是实数空间 R 中的一个 闭集. 定义2.4.3 设 X 是一个拓扑空
间,A X ,称 A d(A) 为集合 A
的闭包,记作 A .
注:x A 当且仅当对于 x 的每一 个邻域 U 有 U A .
定理2.4.4 拓扑空间 X 的子集 A
是闭集的充要条件是 A A.
证明:必要性:若 A 是闭集,则
d(A) A ,从而 A A d (A) A ; 充分性:若 A A,即 A d (A) A
的族,则对于 X 的每一个子集
A ,有
A
B
BF ,B A
注:集合 A 的闭包是包含A的最小闭集.
证明: A BF ,B A B ,且 B BF ,B A
是闭集, A B BF ,BA 另一方面,由于 A 是一个闭集,并且
A A ,所以 BF ,BA B A

A
B
BF ,B A
定义2.4.4 设 X 是一个集合.映 射 c* :P ( X ) P ( X ) 如果满足条件:对
从而有 D ((A B) {x}) ,
故 xxxdd(dA((A)AdBB())B),从而 d(A) d(B) d(A B)
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(4)设 x A d(A) ,则有 x A且 x d (A),
故x有一个邻域U使得 U (A {x})
任取x的一个开邻域V,使得 V U 此时也有V (A {x}) ,由于 x A
于任何 A, B P (X ) ,
(1) c*( ) (2) A c*( A) (3) c*(A B) c*(A) c*(B) (4) c*(c*(A)) c*( A)
则称 c* :P (X ) P (X )为集合X的一 个闭包运算. 注:以上四个条件称为 Kuratovski
闭包公理. 设X是一个拓扑空间,c* :P (X ) P (X ) 使得 c*( A) A , 则 c* 是一个闭包 运算.
充分性: 若 (x, A) 0 ,类似(1)
的证明可得对任意 0 ,有: B(x, ) A ,故 x A.
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定理2.4.10 设X,Y 是两个拓扑
空间,f : X Y .则以下条件等价:
(1) f 是一个连续映射; (2)Y 中任何一个闭集 B 的原象 f 1(B)
是一个闭集.
(3)对于任何 A X ,有 f ( A) f ( A) (4)对于任何 B Y ,有 f 1(B) f 1(B)
邻域 U 有 U ( {x}) ,
故 x d () ,从而 d() . (2)设 A B,对任意 x d(A),
则对于x的每一个邻域 U ,有
U (A {x}) 由于 A B
故U (B {x}) ,因此 x d(B)
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(3) A, B A B d(A),d(B) d(A B)
由于x d (A) ,所以
B(
x,
1 n
)
(
A
{x})

y
B(x,
1 n
)
(A
{x})
使得
( x,
y)
1 n

所以
(x, A {x})
0
充分性:由于 (x, A {x}) 0
则对任意 0,y A {x}
使得 (x, y) ,即
B(x, ) (A {x})
故 x d (A) . (2) 必要性: 若 x A ,易得 (x, A) 0
证明: (1) (2)
设 B 是 Y 的任意闭集,则 B 是一个
开集,由 f 连续,有 f 1(B) ( f 1(B)) 是 X 中的一个开集,因此 f 1(B) 是 X 中的一个闭集.
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证明: (2) (3)
设 A 是 X 的任意子集,由于 f ( A) f ( A) 故 A f 1( f ( A)), 所以 A f 1( f ( A)) , 因此 f ( A) f ( A) .
一个孤立点.
➢ x d (A) 存在 x 的一个邻域
U,使得U (A {x})
例2.4.1 离散空间 X 中集合的凝聚点和 导集
解:设 A 是 X 的任意一个子集,对任意 x∈X,{x} 是 x 的一个邻域,并且有
{x} (A {x})
从而 x 不是 A 的凝聚点,故 d ( A) .
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