平方根、立方根、认识无理数

平方根、立方根、无理数 教学目标

1、认识无理数，掌握无理数的特征，熟悉有理数、无理数的区别

2、掌握幂的运算，掌握平方根、立方根的概念与运算

重难点分析

重点：1、无理数的概念与判别；

2、平方根、立方根的概念与计算。

难点：1、有理数、无理数、实数的划分；

2、平方根、立方根的计算与化简。

知识点梳理

1、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．

（1）学习无理数应把握住无理数的三个特征：

①无理数是小数；

②无理数是无限小数；

③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．

（2）有理数与无理数的区别

事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数

或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数

形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.

有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．

2、无理数的估算

要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．

3、无理数的常见类型

判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：

（1）一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．

看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．

（2）圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数．

（3）开方开不尽的数．

4、平方根

如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（或二次方跟）。 一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。正数a 的平方根记做“a ±”。

5、算术平方根

正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记作“a ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。⎩⎨

⎧≤-≥==0

02a a a a a a ， 6、立方根

如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。

一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 注意：33a a -=-，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 知识点1：平方根、算术平方根、立方根

（1）方根（平方根、算术平方根）的意义

【例1】已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则【 】 (A) a S = (B) S 的平方根是a (C) a 是S 的算术平方根 (D) S a ±=

【例2】平方根等于它本身的数是_____________，立方根等于它本身的数是__________。

【例3】下列说法中，其中不正确的有【 】

①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； ③2a 的算术平方根是a ； ④算术平方根不可能是负数．

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

【随堂练习】

1、________的平方根是它本身， 的算术平方根是它本身。

2、7的平方根记作 ；10的算术平方根记作_______。

3、一个数的平方根和它的立方根相等，则这个数是【 】

A 、1

B 、0

C 、1或0

D 、1或0或－1

4、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，则这个数是【 】

A ． 0

B ． 正整数

C ． 0和1

D ． 1

5、下列说法正确的是【 】

A ．0.25是0.5 的一个平方根

B ．正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0

C ．7 2 的平方根是7

D ．负数有一个平方根

5、一个数的平方根与立方根都是它本身，这个数是【 】

A ．1

B ．﹣1

C ．0

D ．±1，0

（2）方根的计算

【例1】下列语句中正确的是【 】

A. 9的算术平方根是3

B. 9的平方根是3

C. 9-的平方根是3-

D. 9的算术平方根是3±

【例2】计算412

的结果是【 】 Ａ 23 Ｂ 212± Ｃ 2

3± Ｄ 212

【例3】下列判断：① 01.0-是1.0的平方根；② 只有正数才有平方根；③ 7-是49-的平方根； ④2)52

(的平方根是5

2±．正确的是______________（写序号）。

【例4】（1）4的平方根是 ，算数平方根是 ，

（2）2的平方根是 ，算数平方根是 ，

（3）81的平方根是______，25的算术平方根是_____ ，－0.729的立方根是______。

【随堂练习】

1、计算

（1）4的平方根是_____；16的平方根是_____；36的平方根是_____；81的算术平方根是____。

（2）16=______；27=______；2)6(-=______；2)4(=______；81=______。

（3）96.1=______；3729.0=______；16

91-=______；

（4）2)12(-的平方根是______；256-的算数平方根是______。

（5）9的算术平方根是______；125-的立方根为______；立方根为8的数是______。

（3）方根的化简

【例1】下列各式中，正确的是【 】 A. 2)2(2-=- B. 9)3(2=- C. 393-=- D. 39±=±

【例2】计算：25= ， 1361= ， ()25= ()28

-= ， 23= ， 26-= ()23-= ， ()28--=

【随堂练习】

1、计算

=-2)4( ； =-33)6( ； 2)196(= . 38-= .

2、求出下列各式的值

(1) 33(2)- (2) 63(2)- (3) 23(8)- (4) 3174

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