高三起点考试数学(理科)
数学丨湖北省2023届高三9月起点考试数学试卷及答案
2023届高三（9月）起点考试数学参考答案一、选择题：题号12345678答案D C C B A B A D 8.【解析】①计第一步取出两个白球为事件A，则P(A)=16，P(X=0|A)=1,P(X=1|A)=P(X=2|A)=0②计第一步取出两球为一黑一白为事件B，则P(B)=23，P(X=0|B)=12，P(X=1|B)=12，P(X=2|B)=0③计第一步取出两个黑球为事件C，则P(C)=16，P(X=0|C)=16，P(X=1|C)=23,P(X=2|C)=16故由全概率公式，P(X=0)=P(A)P(X=0|A)+P(B)P(X=0|B)+P(C)P(X=0|C)=16×1+23×12+16×16=1936，同理P(X=1)=1636，P(X=2)=136∴E(X)=12.另解：在第一步完成之后，X 服从超几何分布，故E(X)=P(A)∙2×04＋P(B)∙2×14+P(C)∙2×24=12二、选择题：题号9101112答案BC ACD BCD BCD12.【解析】由导数的几何意义及)(x f 的对称性，)(x f 在x 和x -处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故)()(x g x g -=，)(x g 是偶函数，)2(-x g 对称轴为2=x ，A 错；由)(x g 的对称性，)(x g 在x 和x -处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故)()(x g x g '-=-'，)(x g '为奇函数，又定义域为R ，0)0(='g ，B 对；4)4()4()(+-+-=x x f x h ，由)(x f 为奇函数知x x f x u +=)()(为奇函数，图像关于（0,0）对称，)(x h 可以看作由)(x u 按向量)4,4(平移而得，故C 对；由C 选项知，当821=+x x 时，8)()(21=+x h x h ，由等差数列性质8)()(8111111=+∴=+a h a h a a ，，以此类推倒序相加，D 正确。
2025届湖北武汉部分高中高三起点考试数学试卷+答案
2024年武汉市部分高中高三起点考试数学试卷考试时间：2024年7月24日下午14：00-16：00 试卷满分：150分一､单选题1.若全集U =R ，集合{03},{14}A x x B x x =<=<<∣∣ ，则U A B ∩= （ ）A.[)0,1B.[]0,1C.(),1∞−D.(],1∞−2.复数34i 2iz +=−（其中i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A.第四象限 B.第三象限C.第二象限D.第一象限3.已知向量,a b ，满足()2,44a a b b =+⋅= ，则2a b += （ ）A.4.若()4sin π,5αα−=为第二象限角，则sin2α=（ ） A.725− B.2425− C.725 D.24255.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,M N 两点，且3OM ON =− ，则C 的离心率为（ ）6.若曲线ln(2y x a =+）的一条切线为e 2y x b =−（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11e a b+的取值范围是（ ） A.[)2,e B.(]e,4 C.[)4,∞+ D.[)e,∞+7.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A.若{}n a 为等差数列，且98910,S S S S >>，则17180,0S S ><B.若{}n a 为等差数列，且17180,0S S ><，则17180,0a a ><C.若{}n a 为等比数列，且40a >，则2024S 0>D.若{}n a 为等比数列，且50a >，则2023S 0>8.已知奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的x 满足()()2f x f x −=+，且()f x 在区间()1,0−上单调递增，若4π1log 3,log 2,4a b c ==，则()()(),,f a f b f c 的大小关系为（ ） A.()()()f c f a f b >> B.()()()f c f b f a >>C.()()()f a f b f c >>D.()()()f a f c f b >>二､多选题9.下列论述正确的有（ ）A.若,A B 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==−，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B.数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38C.若随机变量()27,X N σ∼，且(9)0.12P X >=，则(57)0.38P X <<= D.若样本数据126,,,x x x 的方差为1，则数据12621,21,,21x x x −−− 的方差为410.已知函数(){}min sin ,cos f x x x =，则（ ）A.()f x 关于直线π4x =−对称B.()f xC.()f x 在ππ,22 −上不单调 D.在()0,2π，方程()f x m =（m 为常数）最多有4个解11.已知圆222:(0)O x y r r +=>，斜率为k 的直线l 经过圆O 内不在坐标轴上的一个定点P ，且与圆O 相交于A B ､两点，下列选项中正确的是（ ）A.若r 为定值，则存在k ，使得OP AB ⊥B.若k 为定值，则存在r ，使得OP AB ⊥C.若r 为定值，则存在k ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为kD.若k 为定值，则存在r ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为2r 三､填空题12.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F P 是C 上的点21212,30PF F F PF F ∠⊥= ，则C 的离心率为__________.13.已知正三棱锥P ABC −，点,,,P A B C 的球面上，若,,PA PB PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为__________.14.ABC 为锐角三角形，其三个内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,2b C B ==，则ABC 周长的取值范围为__________.四､解答题15.如图，四棱锥P ABCD −中，PA ⊥底面,ABCD AB ∥,,120CD AD CD a BAD ==∠= ，90ACB ∠=.（1）求证：BC ⊥平面PAC ；（2）若PA =，求二面角D PC A −−的余弦值.16.第33届夏季奥林匹克运动会运动会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，共设置射击､游泳､田径､篮球等32个大项，329个小项.共有来自120多个国家的近万名运动健儿同台竞技.我国也将派出强大的阵容在多个项目上参与奖牌的争夺.武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解奥运会的相关知识.武汉市体育局为了解广大民众对奥运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下： 组别 [)30,40 [)40,50 [)50,60 [)60,70 [)70,80 [)80,90 [)90,100频数 5 30 40 50 45 20 10（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,µσ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,µσ的值（,µσ的值四舍五入取整数）并计算(5193)P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于µ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于µ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13.现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望. （参考数据：()0.6827P X µσµσ−<+≈ ，(22)0.9545P X µσµσ−<+≈ ，(33)0.9973P X µσµσ−<+≈ ）17.已知曲线C 上的点到点()1,0F −的距离比到直线3x =的距离小2,O 为坐标原点.直线l 过定点()0,1A . （1）直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；（2）曲线C 与直线l 交于,M N 两点，试分别判断直线,OM ON 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.18.已知函数()1ln f x x x a=−与函数()e ax g x x =−，其中0a > （1）求()f x 的单调区间；（2）若()0g x >，求a 的取值范围；（3）若曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，求证：曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.19.定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，所有项的和为n S .（1）若2,3,4a b c ===，求22,P S ； （2）若2024n P ≥，求正整数n 的最小值；（3）是否存在数列(),,,,a b c a b c ∈R ，使得数列{}n S 为等比数列？请说明理由.硚口区2024年高三年级起点考数学参考答案1.B2.A3.A4.B5.B6.C7.D8.D9.BCD 10.BCD 11.AC(2 15.（1）PA ⊥ 底面,ABCD BC ⊂平面,ABCD PA BC ∴⊥.90,ACB BC AC ∠=∴⊥ .又,,PA AC A PA AC ∩=⊂平面,PAC BC ⊥平面PAC . （2）令1a =取CD 的中点E ，易得三角形ADC 是正三角形，,AE CD AE AB ⊥∴⊥ . 又PA ⊥ 底面,,ABCD AE AB ⊂平面,,ABCD PA AE PA AB ∴⊥⊥.在Rt ACB 中，60,1BAC AC ∠== ，所以2AB =，可建立如图所示的空间直角坐标系，则()(()110,0,0,,,0,,0,0,2,022A P C D B − ，设平面PAC 的一个法向量 为()1,,n x y z =，则110,0,AP n AC n ⋅= ⋅=即0102y =+=令x =)13,0n =− ， 设平面PDC 的一个法向量为()2,,n a b c =，则220,0,DC n PC n ⋅= ⋅=即0102b b = +=，令a =2n =所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅ . 16.（1）由已知频数表得：()53040504520103545556575859565200200200200200200200E X =×+×+×+×+×+×+×=()22222(3565)0.025(4565)0.15(5565)0.2(6565)0.25(7565)0.225D X =−×+−×+−×+−×+−× 由2196225σ<<，则1415,σ<<而22214.5210.5210(8565)0.1(9565)0.05210=>+−×+−×=所以14σ≈则X 服从正态分布()65,14N ，所以；(22)()(5193)(2)2P X P X P X P X µσµσµσµσµσµσ−<<++−<<+<<=−<<+= 0.95450.68270.81862+= （2）显然()()0.5P X P X µµ<=≥=， 所以所有Y 的取值为15,30,45,60, ()12115233P Y ==×= ()111227302323318P Y ==×+××= ()12111245233239P Y ==××+× ()11116023318P Y ==××= 所以Y 的分布列为：所以，()17211530456030318918E Y =×+×+×+×= 17.（1）曲线C 上的点到点()F 1,0−的距离比到直线x 3=的距离小2.所以曲线2:4C y x =−， 过点()0,1A 的直线l 与抛物线C 仅有一个公共点，若直线l 可能与抛物线C 的对称轴平行时，则有：1y =，若直线l 与抛物线C 相切时，易知：0x =是其中一条直线，另一条直线与抛物线C 上方相切时，不妨设直线l 的斜率为k ，设为1y kx =+，联立214y kx y x=+ =− 可得：()222410k x k x +++=则有：22Δ(24)40k k =+−=解得：1k =−，故此时的直线l 的方程为：1y x =−+， 综上，直线l 的方程为：1y =或0x =或1y x =−+. （2）若l 与C 交于,M N 两点，分别设其坐标为()()1122,,,M x y N x y ，且12x x <由（1）可知直线l 要与抛物线C 有两个交点，则直线l 的斜率存在且不为0，不妨设直线l 的斜率为k ，则有：1y kx =+，联立直线l 与抛物线C 可得：214y kx y x =+ =−可得：()22222410Δ(24)416160k x k x k k k +++==+−=+>，即有：1k >−根据韦达定理可得：121222241,,k x x x x k k ++=−=则有：112212112211,y kx y kx k k x x x x ++====（12121212121124kx kx x x k k k x x x x ++++=+=+=−，故为定值；()21212121212121114,k x x k x x kx kx k k k x x x x +++++=⋅==−故不为定值； 综上：12k k +为定值124,k k −不为定值.18.（1）()y f x =的定义域为：0x >，又已知()1101a x a a f x ax ax−>′=−= 所以10,x a∈时，()()0,f x f x ′<单调递减； 1,x a ∞ ∈+时，()()0,f x f x ′>单调递增. （2）由题意：()e 0axg x x =−>，即e ax x > 若0x ，不等式恒成立，若0x >，即ln x a x >令()ln (0)x h x x x=> ()21ln x h x x −=′ 当()0,e x ∈时，()()0,h x h x ′>单调递增；当()e,x ∞∈+时，()0h x ′<， ()h x 单调递减；max 1()eh x =. 故a 的取值范围为1,e ∞ + ..（3）曲线()y f x =与x 轴有两个不同的交点，即函数()y f x =有两个不同的零点12,x x 不妨令120x x <<，由（2）知，a 的取值范围为10,e且由11e ax x =得111ln x x a=，同理得曲线()y f x =与曲线()y g x =共有两个 不同的交点()()12,0,0x x下面证明这两条曲线还有一个交点.令()1e 2ln ax H x x x a=−+ ()1e 21e 2ax axa ax ax H x a ax ax ax ⋅−=+−=−′ 令t ax =，则()e 21,0tm t at t t =−+> ()()1e 2t m t a t =+−′()()2e 0t m t a t +′=>′恒成立，则()m t ′单调递增， 又()12e 20m a =−<′ 令()()1e 20t m t a t =+−=′，得()22e 1t a t a=<+ 故存在021ln t a <<，使得()y m t =在()00,t 上单调递减，在()0,t ∞+单调递增，()()2010,1e 10,ln 10m m a m a =>=−<=>故()e 21t m t at t =−+有两个零点12122,,01ln t t t t a<<<<， 令1324,t ax t ax =，即()y H x =有且只有两个极值点34,x x 所以()y H x =在()30,x 上单调增，在()34,x x 上单调减，在()4,x ∞+上单调增. 又()111120H x ax ax =+−≥′，若()110,1H x ax == 由11e ax x =得11e,ex a ==与题设矛盾.所以()10H x ′> 同理()2120,,H x x x >′不可能在同一单调区间，13420,x x x x <<< 故有()()()()13420,0H x H x H x H x =<<=所以在()34,x x 间存在唯一的0x 使得()00H x =，即两条曲线还有一个交点0x 故曲线()y f x =与曲线()y g x =共有三个不同的交点.19.（1）2,3,4a b c ===，第一次“和扩充”后得到数列2,5,3,7,4，第二次“和扩充” 后得到数列2,7,5,8,3,10,7,11,4，229,2758310711457;P S ==++++++++=（2）数列经每一次“和扩充”后是在原数列的相邻两项中增加一项，数列,,a b c 经过n 次“和扩充”后得到的数列的项数为n P ，则经第()1n +次“和扩充”后增加的项数为1n P −，所以()1121n n n n P P P P +=+−=−，所以()112221n n n P P P +−=−=−，其中数列,,a b c 经过1次“和扩充”后，得到,,,,a a b b b c c ++，故115,14P P =−=，故{}1n P −是首项为4，公比为2的等比数列，所以111422n n n P −+−=×=，故121n n P +=+，则1212024n ++≥，即122023n +≥， 又*n ∈N ，解得10n ，最小值为10.（3）因为()121222,32S a a b b b c c a b S S a b c =++++++=++=+++， ()23232S S a b c =+++，依次类推，()1132n n n S S a b c −−+++，故()()()12112323232n n n n n n S S a b c S a b c a b c −−−−−+++++++++ ()()2112333n S a b c −==++++++ ， ()()1313232231322n a c a c a b c a b c b −−++ =+++++=+⋅+ −， 若使{}n S 为等比数列，则0202a c a c b + = + +≠ 或0202a c a c b + ≠ + += .。
内蒙古师范大学附属学校2025届高三下学期起点考试数学试题试卷
内蒙古师范大学附属学校2025届高三下学期起点考试数学试题试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知抛物线C ：214y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与抛物线交于A ，B 两点，若2PA AF =，则AB 为( )A ．409B ．40C ．16D ．1632．已知双曲线)，其右焦点F 的坐标为，点是第一象限内双曲线渐近线上的一点，为坐标原点，满足，线段交双曲线于点.若为的中点，则双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．3．抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点()06,A y 是C 上一点，||2AF p =，则p =（ ）A ．8B ．4C ．2D ．14．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()11,P x y ，()11,Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若22PQ OF =，1133QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（ ） A ．610,2⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ B ．(62⎤⎦C ．2312⎛⎤⎥ ⎝⎦D ．(31⎤⎦5．若[]0,1x ∈时，|2|0xe x a --≥，则a 的取值范围为（ ） A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1-6．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（ ）A ．1211e er R e e ++-- B ．111e er R e e ++-- C ．1211e er R e e-+++ D ．111e er R e e-+++ 7．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤8．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为V ，点M ，N 分别在棱1BB ，1CC 上，满足1AM MN ND ++最小，则四面体1AMND 的体积为( ) A ．112V B ．18VC ．16VD ．19V9．已知0x =是函数()(tan )f x x ax x =-的极大值点，则a 的取值范围是 A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞ C ．[0,)+∞ D ．[1,)+∞10．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．5 11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，||2ϕπ<），将函数()f x 的图象向左平移34π个单位长度，得到函数()g x 的部分图象如图所示，则1()3f x =是3212x g π⎛⎫+= ⎪⎝⎭）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年8月内蒙古包头市普通高中2021届高三上学期8月起点调研考试数学(理)试卷及答案
2021年8月内蒙古包头市普通高中2021届高三上学期8月起点调研考试数学（理）试卷★祝考试顺利★(含答案)一、选择题（共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1. 已知集合}{2,1,0,1,2,3---=U ,}{1,0,1-=A ,}{1,2--=B ,则()=⋃B A C U}{2,3.-A }{2,1,0,2,3.--B }{2,2,3.--C }{2,1,0,3.-D答案：A解析：}{1,0,1,2--=⋃B A ,则()=⋃B A C U }{2,3-2. 若2α为第三象限角,则 0cos .<αA 0cos .>αB 0sin .<αC 0sin .>αD答案：D 解析：2α为第三象限角则23222ππαππ+<<+k k 则ππαππ3424+<<+k k 则α为第一、第三象限以及y 轴正半轴,则0sin >α3. 为全面贯彻党的教育方针,落实立德树人的根本任务,某学校积极推进教学改革,开发了7门校本课程,其中艺术类课程3门,体育类课程4门,王颖同学从7门课程中任选2门,则含有艺术类课程的概率为 73.A 74.B 75.C 76.D 答案：C解析：概率模型为古典概型：基本事件的总数为2127=C ,事件从7门课程中任选2门则含有艺术类课程的基本事件数为15141323=+C C C ,则()752115==A P 4. 已知圆M 与两坐标轴都相切,且M 到直线22-=x y 的距离为552,则圆M 的直径为 4.A 6.B 8.C 10.D答案：C解析：由已知得：圆心M 的横纵坐标的相等,则设()()0,>a a a M 则半径a r =,由点到直线的距离公式2200B A cBy Ax d +++=得：552522=--=a a d 解得：0,4==a a （舍去）,则直径为82=a5. 设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ,其公比大于1,且8,20342==+a a a ,则=-1510a S 66.A 64.B 62.C 60.D答案：A解析：等比数列通项公式与前n 项和公式为：()q q a S q a a nn n n --=⋅=-11,111 由已知得：⎪⎩⎪⎨⎧==+82021311q a q a q a 解得：21=q （舍）2=q 则21=a 661,32,2046510510=-==a S a S 6. 右图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ,在俯视图中对应的点为N ,则该端点在侧视图中对应的点为F A .E B .H C .G D .答案：B解析：由三视图还原图形如图：。
湖北省武汉市部分重点中学2008—2009学年度新高三数学起点考试试卷(理科)人教版
武汉市部分重点中学2008——2009学年度新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π27．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ）A ．g （x ）⊂MB ．g （x ）∈MC ．g （x ）∉MD ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有 （ ） A ．2个 B ．5个 C ．6个 D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
【名师解析】湖北省部分重点中学2015届高三上学期起点考试数学理试题 Word版含解析
湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高三起点考试数 学 试 卷（理 科）【试卷综评】全面考查了考试说明中要求的内容，明确了中学数学的教学方向和考生的学习方向,适度综合考查，提高试题的区分度.通过考查知识的交汇点，对考生的数学能力提出了较高的要求.突出考查数学主干知识 ,侧重于中学数学学科的基础知识和基本技能的考查。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 . i 为虚数单位，512iz i=+, 则z 的共轭复数为 ( ) A. 2-i B. 2+i C. -2-i D. -2+i2i =+，故z 的共轭复数为2i -，故选A.【思路点拨】先把原式化简，再利用共轭复数的概念即可求得结果.2．若二项式82a x x骣琪+琪桫的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ） DA ．2B ．12C ．【知识点】二项式定理；二项式系数的性质．【答案解析】B 解析 ：解：二项式定理的通项公式可得：()888218822rrr r r r r r a T C x C x a x ---+骣琪==琪桫，令820,4r r -==，所以常数项为4448270C a =，解得1a =. (第3题图)【知识点】程序框图，等差数列的前n 项和公式.【答案解析】C 解析 ：解：框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1， 执行n=1+1=2，p=1+（2×2-1）=1+3=4； 判断4＞20不成立，执行n=2+1=3，p=1+3+（2×3-1）=1+3+5=9； 判断9＞20不成立，执行n=3+1=4，p=1+3+5+（2×4-1）=1+3+5+7=16； …由上可知，程序运行的是求首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，由()2121202n n p n +-==>，且n ∈N *，得n=5．故选C ．【思路点拨】框图首先给循环变量n 赋值1，给累加变量p 赋值1，然后执行运算n=n+1，p=p+2n-1，然后判断p ＞20是否成立，不成立循环执行n=n+1，p=p+2n-1，成立时算法结束，输出n 的值．且由框图可知，程序执行的是求等差数列的前n 项和问题．当前n 项和大于20时，输出n 的值．4.直线:1l y k x =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“△ABO 的面积为12”的（ ） .A 充分而不必要条件 .B 必要而不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分又不必要条件【知识点】充分、必要条件的判断.【答案解析】A 解析 ：解：若1k =，则直线与圆交于()()0,1,1,0两点，所以111122ABOS=创=,充分性成立；若△ABO 的面积为12，易知1k = ，必要性不成立，故选A.【思路点拨】看两命题是否能够互相推出，然后根据必要条件、充分条件和充要条件的定义进行判断．5． 已知函数 y = 2sin x 的定义域为[a,b] ,值域为[-2,1] ，则 b-a 的值不可能是( ) A.56π B.π C . 76π D. 2π 【知识点】正弦函数的图象;利用图象求函数的值域. 【答案解析】D 解析 ：解：函数2sin y x =在R 上有22y-＃函数的周期T =2p ,值域[]2,1-含最小值不含最大值，故定义域[],a b 小于一个周期 b a 2p -＜,故选D【思路点拨】结合三角函数R 上的值域，当定义域为[],a b ，值域为[]2,1-，可知[],a b 小于一个周期，从而可得结果．6.若,x y满足2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩且z y x=-的最小值为－2，则k的值为（）A. 1B.－1C. 2D. --2 【知识点】简单线性规划．【答案解析】B解析：解：由约束条件2020x ykx yy+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩作出可行域如图，由20kx y-+=，得2xk=-，∴B2,0k骣琪-琪桫．由z y x=-得y x z=+．由图可知，当直线y x z=+过B2,0k骣琪-琪桫时直线在y轴上的截距最小，即z最小．7.在空间直角坐标系Oxyz中，已知()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，若1S，2S，3S分别表示三棱锥D A B C-在xO y，yO z，zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则（）A123S S S== B12S S=且31S S≠C13S S=且32S S≠ D23S S=且13S S≠【知识点】空间直角坐标系．【答案解析】D解析：解：设()2,0,0A，()2,2,0B，()0,2,0C，(1D，则各个面上的射影分别为A'，B'，C'，D'，在xOy坐标平面上的正投影A'（2，0，0），B'（2，2，0），C'（0，2，0），8．已知a b >，椭圆1C 的方程为22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C，则2C 的渐近线方程为( )A . 0x ?B.0y ±= C.20x y ±= D.20x y ±===0?选A.【思路点拨】由已知椭圆、双曲线的几何性质可得双曲线的渐近线方程. 9.已知向量 ,a b 满足1,a =a 与b 的夹角为3p，若对一切实数x , 2xa b a b +? 恒成立，则b 的取值范围是( )。
湖北省“宜荆荆恩”2025届高三上学期9月起点考试 数学含答案
湖北省2025届高三（9月）起点考试数学试卷（答案在最后）命题单位：2024.9本试卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上，1.已知集合{}{}|3217,0,1,2,3,4,5xA xB =<<=，则A B ⋂=（）A.{}0,1B.{}0,1,5C.{}2,3,4D.{}52.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“1l ∥2l ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知复数z 满足()()i 1i 3i z --=+，则z 的共轭复数z 在复平面中的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.将95,96,97,98,99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（）A.15B.25C.35D.455.已知7sin cos 5θθ-=，则πtan 4θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A.17或7 B.17或17- C.7或-7D.-7或17-6.已知点P 在ABC 所在的平面内，且20PA PB PC ++=.过点P 的直线与直线,AB AC 分别交于,M N ，设,,(0,0)AM AB AN AC αβαβ==>>，则4αβ+的最小值为（）A.74B.3224+ C.94D.327.一个三角形纸板的三个顶点为,,,3,A B C AB BC AC ===AB 边上的高所在直线为旋转轴，将三角形纸板旋转180 ，则纸板扫过的空间所形成的几何体的体积为（）A.5π6B.πC.5π3D.2π8.若不等式ln kx b x + 恒成立，则bk的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.[)1,∞-+ C.[)2,∞-+ D.[)e,∞-+二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数()()sin ,cos f x x g x x ==，则下列结论正确的有（）A.函数()()y f x g x =的最小正周期为2πB.函数()()y f x g x =-C.函数()()y f x g x =-的所有零点构成的集合为ππ,4x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z D.函数()()y f x g x =+在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数10.已知定义域为R 的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=--，当(]1,2x ∈时()22xf x =-，则下列结论正确的有（）A.()10f -=B.()f x 的图象关于点()3,0成中心对称C.()()20242025f f >D.2112x f f x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭11.在平面直角坐标系中，已知点P 是曲线2Γ:y x =上任意一点，过点P 向圆22:(2)1C x y -+=引两条切线，这两条切线与Γ的另一个交点分别为,A B ，则下列结论正确的有（）A.0CA CB ⋅>B.直线AB 与圆C 相切C.PAB 的周长的最小值为D.PAB 的面积的最小值为三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.12.已知某种商品的广告费x （单位：万元）与销售额y （单位：万元）之间的对应数据如下表：x 13457y1418304246根据表中数据得到y 关于x 的经验回归方程为ˆ6ˆyx a =+，则当广告费为10万元时，销售额预测值为__________万元.13.过双曲线2213x y -=的一个焦点作倾斜角为60 的直线，则该直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形的面积是__________.14.已知数列{}n a 有30项，12a =，且对任意{}2,3,,30n ∈ ，都存在{}1,2,,1i n ∈- ，使得3n i a a =+.（1）5a =__________；（写出所有可能的取值）（2）数列{}n a 中，若k a 满足：存在{}1,2,,1j k ∈- 使得k j a a =，则称k a 具有性质P .若{}n a 中恰有4项具有性质P ，且这4项的和为20，则301nn a==∑__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2n n a a S +==+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 11n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .16.（本小题满分15分）如图，长方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,BB DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥.（1）求证：1A C ⊥平面AEF ；（2）当11,2AB AD AA ===时，求平面AEF 与平面1A BD 的夹角的余弦值.17.（本小题满分15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且2FA FB =，求l 的方程.18.（本小题满分17分）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有,,A B C 三个腔室，粒子只能从A 室出发经B 室到达C 室.粒子在A 室不旋转，在B 室､C 室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从A 室经过1号门进入B 室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从B 室经过2号门进入C 室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为(01)p p <<.现有两个粒子从A 室出发，先后经过1号门，2号门进入C 室，记C 室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为X .（1）已知两个粒子通过1号门后，佮有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然佮有1个上旋状态1个下旋状态的概率为58，求p ；（2）求X 的分布列和数学期望；（3）设13p =，若两个粒子经过2号门后都为上旋状态，求这两个粒子通过1号门后都为上旋状态的概率.19.（本小题满分17分）已知函数()()11,2ln ln ax f x g x bx x x x-==++.（1）当1b =-时，求()g x 的单调区间；（2）若()1f x x <+在()1,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）帕德近似（Pade approximation ）是数学中常用的一种将三角函数､指数函数､对数函数等“超越函数”在一定范围内用“有理函数”近似表示的方法，比如在1x =附近，可以用223341x x x -++近似表示ln x .（i ）当0x >且1x ≠时，试比较ln x 与223341x x x -++的大小；（ii ）当22b a ==时，求证：()12421x xf xg x +⎛⎫<+⎪+⎝⎭.参考答案及评分标准2024.9一､单项选择题：1-4：CADD 5-8：BCAB二､多项选择题：9.BC10.ABD11.BD三､填空题：12.6613.214.（1）5,8,11,14（2分，不完整不得分）；（2）1047（3分）四､解答题：15.解：（1）由12n n a S +=+，则当2n ≥时12n n a S -=+两式相减得1n n n a a a +-=，所以()122n n a a n +=≥.将12a =代入12n n a S +=+得，2142a a ==，所以对于*1,2n n n a a +∈=N ，故{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，所以2nn a =.（2）22log 11211n n b a n =-=-.()2121010n n B b b b n n n n=+++=-=- 因为当5n ≤时0n b <，当6n ≥时0n b >所以当5n ≤时，21210n n n T b b b B n n=----=-=- 当6n ≥时，212567521050n n n T b b b b b b B B n n =----++++=-=-+ .故2210,51050,6n n n n T n n n ⎧-≤=⎨-+≥⎩.16.解：（1）因为BC ⊥平面11,ABB A AE ⊂平面11ABB A ，所以AE BC ⊥，又1AE A B ⊥且1A B BC B ⋂=，所以AE ⊥平面1A BC ，故1AE AC ⊥，同理，1AF AC ⊥，,AE AF ⊂平面,AEF AE AF A ⋂=，所以1A C ⊥平面AEF .（2）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则()()()()10,0,2,1,0,0,1,1,0,0,1,0A B C D ，在平面1A BD 中，()()11,1,0,1,0,2BD A B =-=-设平面1A BD 的一个法向量为(),,n x y z =，则020x y x z -+=⎧⎨-=⎩，可取()2,2,1n =由（1）知，平面AEF 的一个法向量为()11,1,2AC =-设平面AEF 与平面1A BD 的夹角为θ，则1cos cos ,9n AC θ===故所求的夹角的余弦值为6917.解：（1）联立2222222191414a b c a b a a ⎧+=⎪⎪⎨-⎪==⎪⎩得224,3a b ==，故所求方程为22:143x y C +=（2）①当l 斜率为0时，3FA FB =或3FB FA =，不符合题意②当当l 斜率不为0时设:1l x my =+，设()()1122,,,A x y B x y ，联立221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得()2234690m y my ++-=.()212122269,,Δ144103434m y y y y m m m --+===+>++.由2FA FB =得122y y =-，代入以上两式消去12,y y得5m =±故:15l x y =±+，化为一般方程为20y ±=18.解：（1）设A =“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”.事件A 发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态，故()225(1)8P A p p =+-=解得14p =或34（2）由题知0,1,2X =，2X =时分3类情形，①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态：②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态：③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态，所以()()22111121(1)4244P X p p p p ==+-+-=，同理()()()12212211111C 1(1)C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦，()()()101124P X P X P X ==-=-==，所以所求的分布列为X12P141214所以所求数学期望()1110121424E X =⨯+⨯+⨯=（3）设i A =“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为i 个”，0,1,2,i B ==“两个粒于通过2号门后处于上旋状态的粒于个数为2个”，则()()()22102121111,C 2422P A P A P A ⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()012124,,999P B A P B A P B A ===∣∣∣，则()()21112141()4929494i ii P B P A P B A ===⨯+⨯+=∑∣.（或由（2）得）.故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣.19.解：（1）当1b =-时，()12ln (0)g x x x x x=-+>，则()22(1)0x g x x-=-≤'.所以()g x 的减区间为()0,∞+，无增区间.（2）()()11ln 1f x x x x ax <+⇔+>-，记()()1ln 1h x x x ax =+-+，则()1ln 1h x x a x =++-'，进而有()221110(1)x h x x x x x'-=-=>>' .所以()h x '在()1,∞+递增.根据()11h a =-及()l 2h a '=-可以确定讨论的边界.①当1a ≤时，对任意的()()()1,120.x h x h a h x >>>'='-在()1,∞+上单调递增，()()110h x h a >=-≥，故有()1ln 1x x ax +>-，满足题意.②当12a <≤时，对任意的1x >，有()()120h x h a '=-'>≥.所以()h x 在()1,∞+上单调递增，()()()110,10,e 10a h a h h a =-<<=+>.所以存在唯一的()01,eax ∈使()00h x =，当()01,x x ∈时，()0h x <，不满足题意.③当2a >时，()h x '在()1,∞+上单调递增，()()110,e 10eaa h h '+'<=>.所以存在唯一的()11,eax ∈使()10h x '=，当()11,x x ∈时，()0h x '<.所以()h x 在()11,x 上单调递减，()()10h x h <<，不满足题意.综上，1a ≤.（3）（i ）记()2233ln 41x F x x x x -=-++，则()()422(1)041x F x x x x -=>++'，所以()F x 在()0,∞+上单调递增，而()10F =，于是，当1x >时，()22330,ln 41x F x x x x ->>++当01x <<时，()22330,ln 41x F x x x x -<<++.（ii ）当22b a ==时，原不等式即()()412111132lnln 1ln 2ln 22x x x x x x xx --+++<++⇔<++.由于当1x >时，2233ln ,1041x x x x x ->->++，所以()2141ln 31x x x x x -++<+，当01x <<时，()22233141ln ,10,41ln 31x x x x x x x x x x --++<-<<+++也成立.所以()2141ln 31x x x x x -++<+对任意的0,1x x >≠恒成立.在()2141ln 31x x x x x -++<+中取x =<，也即11ln 6t t t -++<，所以()211ln 3x x x-+<（a ）记函数()1141ln1223x x x G x +++=++-，()441116x G x x -'++==+134114x+-=由于)23740,1024xx ⎫-=+>+>⎪⎭1-的符号，易知()G x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()()10G x G >=.所以111ln 1322x x x++++<++（b ）由（a ）（b ）得()21111ln 1ln 322x x x x x-+++<<++，故()12421x x f x g x +⎛⎫<+ ⎪+⎝⎭.。
吉林省长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学(理)试题1
长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)考生须知：1. 本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟.2. 答题前，在答题卡指定位置上填写学校、班级、姓名和准考证号.3. 所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.4. 考试结束，只需上交答题卡.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上） 1. 已知集合{1,16,4}A x =，2{1,}B x =，若B A ⊆，则x =A. 0B. 4-C. 0或4-D. 0或4±2. 如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则12z z =A. 5B. 3C.D. 123. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是A. 3y x =B. ln()y x =-C. xy xe -= D.2y x x=+4. 已知向量m 、n 满足||2=m ，||3=n，||-=m n ||+=m nA. B. 3C.D.5. 已知x 、y 取值如下表：m 的值（精确到0.1）为A. 1.5B. 1.6C. 1.7D. 1.86. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. 8(3π+B. 8(3π+C. (4π+D. (8π+7. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若420S =，6236S S -=，则该等差数列的公差d =正视图侧视图俯视图A. 2-B. 2C. 4-D. 48. 函数2()sin ln(1)f x x x =⋅+的部分图像可能是Ox O yx O yx.Ox .CD9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A. 14B. 15C. 16D. 1710. 若2xa =，b =12log c x =，则“a b c >>”是“1x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件11. 过抛物线22y px =(0)p >的焦点F 作直线与此抛物线相交于A 、B 两点，O是坐标原点，当OB FB ≤时，直线AB 的斜率的取值范围是A. [(0,3]B. (,[22,)-∞-+∞C. (,[3,)-∞+∞D. [(0,22]-12. 已知定义在R 上的函数()f x 满足①()(2)0f x f x +-=，②()(2)0fx f x ---=，③在[1,1]-上表达式为[1,0]()1(0,1]x f x x x ∈-=- ∈⎪⎩，则函数()f x 与函数1220()log 0x x g x x x ⎧ ⎪=⎨ >⎪⎩≤的图像在区间[3,3]-上的交点个数为A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).13. 若函数1()f x x x=+，则1()e f x dx =⎰____________.14. 在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项的系数是____________.15. 若实数,x y 满足2211y x y x y x -⎧⎪-+⎨⎪+⎩≥≥≤，则22z x y =+的取值范围是___________. 16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为R 的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17.（本小题满分10分）在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c a C b -=2cos 2. (1) 求角B ；(2) 若△ABC的面积S =，4=+c a ，求b 的值. 18.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足22n n S a =-.(1) 求数列}{n a 的通项公式；(2) 设n n a b 2log =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T .19.（本小题满分12分） 每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.(1) 求某两人选择同一套餐的概率；(2) 若用随机变量X 表示某两人所获优惠金额的总和，求X 的分布列和数学期望.20.（本小题满分12分） 如图所示几何体是正方体1111ABCD A BC D -截去三棱锥111B A BC -后所得，点M 为11AC 的中点.(1) 求证：平面11AC D ⊥平面MBD ； (2) 求平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）如图，椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点. AF 的最大值是M ，BF 的最小值是m ，满足234M m a ⋅=.(1) 求该椭圆的离心率；(2) 设线段AB 的中点为G ，AB 的垂直平分线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点，O 是坐标原点. 记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆的面积为2S ，求1222122S S S S +的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数2()1xe f x ax =+，其中a 为实数，常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点，求a 的值；(2) 当4a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3) 当a 取正实数时，若存在实数m ，使得关于x 的方程()f x m =有三个实数根，求a 的取值范围.MAC 1DBCD 1A1长春市2014—2015学年新高三起点调研考试 数学（理科）试题答案及评分参考一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. C2. A3. D4. B5. C6. D7. B8. B9. C 10. B 11. D 12. B简答与提示：1. 【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.【试题解析】C 由题可得216x =或24x x =，则4,0,4x =-，又当4x =时，A 集合出现重复元素，因此0x =或4-. 故选C.2. 【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.【试题解析】A 由图可知：1z i =，22z i =-，，则122z i z i =-故选A.3. 【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查. 【试题解析】D 由题可知，B 、C 选项不是奇函数，A 选项3y x =单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.4. 【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.【试题解析】B 由||-m n 且2222||||2226-++=+=m n m n m n 可知，||3+=m n . 故选B.5. 【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.【试题解析】C 将 3.2x =代入回归方程为ˆ1y x =+可得 4.2y =，则4 6.7m =，解得1.675m =，即精确到0.1后m 的值为1.7. 故选C.6. 【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.【试题解析】D 如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，即2148(82S r rl ππππ=⋅+=+=+. 故选D.7. 【命题意图】本题考查数列基本量的求法.【试题解析】B 由题意，123420a a a a +++=，345636a a a a +++=，作差可得816d =，即2d =. 故选B.8. 【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.【试题解析】B 由题可知，()f x 为奇函数，且sin x 存在多个零点导致()f x 存在多个零点，故()f x 的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.9. 【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.【试题解析】C 由程序框图可知，从1n =到15n =得到3S <-，因此将输出16n =. 故选C.10. 【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.【试题解析】B 如右图可知，“1x >”⇒“a b c >>”，但“a b c >>” /⇒“1x >”，即“a b c >>”是“1x >”的必要不充分条件. 故选B.11. 【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.【试题解析】D 由题可知，点B 的横坐标4B px ≤时，满足OB FB ≤，此时22B y -≤≤，故直线AB （即直线FB）的斜率的取值范围是[(0,22]-. 故选D.12. 【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题. 【试题解析】B 根据①可知()f x 图像的对称中心为(1,0)，根据②可知()f x 图像的对称轴为1x =-，结合③画出()f x 和()g x 的部分图像，如图所示，据此可知()f x 与()g x 的图像在[3,3]-上有6个交点. 故选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 212e +14. 12-15. 1[,25]216. 3R简答与提示：13. 【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识.【试题解析】计算可得221111()(ln )22ee x e x dx x x ++=+=⎰.14. 【命题意图】本题考查二项展开式系数问题.【试题解析】在42()(1)x x x+-的展开式中，2x 项是1332442()()12x C x C x x x⋅-+-=-，故2x 的系数为12-. 15. 【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识.【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数22z x y =+的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故z 的取值范围是1[,25]2.16. 【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题.【试题解析】设三棱柱的高为2t，由题意可得，正三棱柱的体积为23)V R t t =-，求导可得当t R =时，V 取得最大值为3R . 三、解答题17. (本小题满分10分)【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 根据正弦定理c a C b -=2cos 2可化为2sin cos 2sin sin B C A C =-即2sin cos 2sin()sin B C B C C =+-整理得2sin cos sin C B C =，即1cos 2B =，3B π=. （5分）(2) 由△ABC的面积1sin 2S ac B ==3ac =，而4a c +=由余弦定理得b ===（10分）18. (本小题满分12分)【命题意图】本题考查数列通项公式及其前n 项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.【试题解析】解：(1) 当1n =时，11122a S a ==-，解得12a = 当2n ≥时，112222n n n n n a S S a a --=-=--+，有12n n a a -=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，有2n n a =. （6分）(2) 由（1）知2log 2n n b n ==，有2n n n a b n ⋅=⋅ 212222n n T n =⨯+⨯++⨯①①2⨯，231212222n n T n +=⨯+⨯++⨯② ①-②，得212222n n n T n +-=+++-⨯整理得1(1)22n n T n +=-⋅+. （12分）19. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为1111331388228832P =⋅+⋅+⋅=. （4分）(2) 由题意知某两人可获得优惠金额X 的可能取值为400，500，600，700，800，1000.111(400)8864P X ==⋅=12136(500)8864P X C ==⋅⋅=339(600)8864P X ==⋅=12118(700)8264P X C ==⋅⋅=121324(800)2864P X C ==⋅⋅=1116(1000)2264P X ==⋅= （8分）综上可得X（10分）X 的数学期望169824164005006007008001000775646464646464EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（12分）20. (本小题满分12分)【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间平面的垂直关系，以及二面角等知识，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力. 【试题解析】(1) 证明：因为几何体是正方体1111ABCD A B C D -截取三棱锥111B A BC -后所得，11111111111111111111DA DC DM AC A M C M BA BC AC MBD BM AC AC D MBD A M C M DM BM M AC AC D ⎫⎫=⎫⇒⊥⎪⎬⎪=⎭⎪⎪⎪⎪=⎫⎪⎪⇒⊥⇒⊥⎬⎪⎬⇒⊥=⎬⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪ =⎭⎪⊂⎪⎭平面平面平面平面.（6分） (2) 以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设1DA =， 依题意知，11(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1)A B C ， 有111(0,1,1),(1,1,0)A B AC =-=- 设平面11A BC 的一个法向量(,,)n x y z =，有11100n A B n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩代入得00y z x y -=⎧⎨-+=⎩， 设1x =，有(1,1,1)n =，平面ABCD 的一个法向量(0,0,1)m =， 设平面11A BC 与平面ABCD 所成锐二面角大小为α，有3cos ||||n m n m α⋅==， 所以平面11A BC 与平面ABCD .（12分）21. (本小题满分12分)【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力. 【试题解析】解：(1) 设(,0)(0)F c c ->，则根据椭圆性质得,,M a c m a c =+=-而234M m a ⋅=，所以有22234a c a -=，即224a c =，2a c =， 因此椭圆的离心率为12c e a ==.（4分）(2) 由(1)可知2a c =，b =，椭圆的方程为2222143x y c c+=.根据条件直线AB 的斜率一定存在且不为零，设直线AB 的方程为()y k x c =+，并设1122(,),(,)A x y B x y 则由2222()143y k x c x y c c=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得 222222(43)84120k x ck x k c c +++-=从而有21212122286,(2)4343ck ckx x y y k x x c k k +=-+=++=++，（6分）所以22243(,)4343ck ckG k k -++. 因为DG AB ⊥，所以2223431443D ckk k ckx k +⋅=---+，2243D ck x k =-+. 由Rt FGD ∆与Rt EOD ∆相似，所以22222222122222243()()943434399()43ck ck ck S GD k k k ck S OD k k -+++++===+>-+. （10分）令12St S =，则9t >，从而 1222122229114199S S S S t t =<=+++，即1222122S S S S +的取值范围是9(0,)41. （12分）22. (本小题满分12分)【命题意图】本小题主要考查函数与导数的知识，具体涉及到导数的运算，用导数来研究函数的单调性、极值等，以及函数与不等式知识的综合应用，考查学生解决问题的综合能力.【试题解析】解：(1)222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+ （2分）因为13x =是函数()f x 的一个极值点，所以1()03f '=，即12910,935a a a -+==. 而当95a =时，229591521(2)()()59533ax ax x x x x -+=-+=--，可验证：13x =是函数()f x 的一个极值点. 因此95a =. （4分）(2) 当4a =-时，222(481)()(14)xx x e f x x -++'=-令()0f x '=得24810x x -++=，解得1x =，而12x ≠±.所以当x 变化时，()f x '、()f x 的变化是()f x 的单调减区间是1(,)2-∞-，1(,12-，(1)++∞； （9分）(3) 当a 取正实数时，222(21)()(1)xax ax e f x ax -+'=+， 令()0f x '=得2210ax ax -+=，当1a >时，解得12x x ==. ()f x 在1(,)x -∞和2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，但是函数值恒大于零，极大值1()f x ，极小值2()f x ，并且根据指数函数和二次函数的变化速度可知当x →+∞时，2()1xe f x ax =→+∞+，当x →-∞时，2()01xe f x ax=→+. 因此当21()()f x m f x <<时，关于x 的方程()f x m =一定总有三个实数根，结论成立；当01a <≤时，()f x 的单调增区间是(,)-∞+∞，无论m 取何值，方程()f x m =最多有一个实数根，结论不成立.因此所求a 的取值范围是(1,)+∞. （12分）。
陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学(理)检测卷(有答案)
陕西省宝鸡市2024届高三上学期高考数学（理）检测卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷解答题又分必考题和选考题两部分，选考题为二选一．考生作答时，将所写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上．3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，满分60分．1．若集合中只有一个元素，则实数（ ）{}2210A x R ax x =∈-+=a =A ．1B ．0C ．2D ．0或12．已知复数，为z 的共轭复数，则在复平面表示的点在（ ）z =z ||z z -A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．展开式中的第四项为（ ）622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭A ．B ．C ．240D ．3160x3160x-240-4．函数的部分图像大致为（ ）23cos ()1x x e xf x e =-A ．B ．C ．D ．5．已知直线和圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则“”是“y x m =+224x y +=m =”的（ ）AOB △A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件6．在空间中，下列说法正确的是（）A ．若的两边分别与的两边平行，则AOB ∠111AO B ∠111AO B AOB∠=∠B ．若二面角的两个半平面，分别垂直于二面角的两个半平面，l αβ--αβ111l αβ--1α，则这两个二面角互补1βC ．若直线平面，直线，则l ⊥αa l ⊥//a αD ．到四面体的四个顶点A ，B ，C ，D 距离均相等的平面有且仅有7个ABCD 7．已知，则（ ）4sin 2sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．34-3445-458．三棱锥中，平面，为等边三角形，且，，P ABC -PA ⊥ABC ABC △3AB =2PA =则该三棱锥外接球的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．8π16π323π12π9．千年宝地，一马当先．2023年10月15日7时30分，吉利银河．2023宝鸡马拉松赛在宝鸡市行政中心广场鸣枪开跑，比赛吸引了全国各地职业选手及路跑爱好者共2万人的热情参与．为确保活动顺利举行，组委会自起点开始大约每隔5公里设置一个饮水站（志愿者为选手递送饮料或饮用水，为选手提供能量补给），两个饮水站中间设置一个用水站（志愿者为选手递送湿毛巾等，协助医务工作者），共15个饮用水服务点，分别由含甲、乙在内的15支志愿者服务队负责，则甲队和乙队服务类型不同且服务点不相邻的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．215257153510．过抛物线的焦点F 作倾斜角为的直线与抛物线交于A ，B 两点，其22(0)y px p =>60︒中点A 在第一象限，则（ ）||||FA FB =A ．3B C ．2D ．411．已知函数满足：，且()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭()2f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则的值可能是（ ）()6f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ωA ．17B ．21C ．25D ．2912．设，是椭圆与双曲线的1F 2F 22122:1(0)x y C a b a b +=>>22222:1x y C m n-=0m >0n >公共焦点，P 为它们的一个交点，，分别为，的离心率，若，则1e 2e 1C 2C 1223F PF π∠=的取值范围为（ ）12112e e ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭A ．B ．C ．D ．(0,2))((2,)+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．命题“任意，”为假命题，则实数a 的取值范围是__________．(1,3)x ∈4a x x≥+14．设x ，y 满足约束条件，则的最小值为__________．20220220x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩3z x y =-15．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，，且ABC △2a =2cos 22b c Ac +=，则__________．2AD DB =AD BC ⋅= 16．已知函数，若且，则的最大值为2ln ,0()21,0x x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩12x x ≠()()12f x f x =12x x-__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）随着计算机时代的迅速发展，人工智能也渗透到生活的方方面面，如：线上缴费、指纹识别、动态导航等，给人们的生活带来极大的方便，提升了生活质量，为了了解市场需求，某品牌“扫地机器人”公司随机调查了1000人，记录其年龄与是否使用“扫地机器人”得到如下统计图表：（分区间，，……统计）[20,30)[30,40)[60,70)（1）根据所给的数据，完成下面的列联表，并根据表中数据，判断是否有的把握认为99%使用“扫地机器人”与年龄有关？是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)[40,70)（2）若以图表一中的频率视为概率，现从年龄在的人中随机抽取3人做深度采访，[30,50)求这3人中年蛉在人数X 的分布列与数学期望．[30,40)附：．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()20P K k ≥0.0500.0100.0010k 3.8416.63510.82818．（本小题满分12分）已知四棱锥中，，，，，M 为P ABCD -PA PD =//AD BC 90ABC ∠=︒PC BC ⊥的中点．PD （1）求证：平面；//CM PAB （2）若，，求二面角的余弦值．2PA AD ==3PC ==M AC D --19．（本小题满分12分）已知数列，若，且．{}n a 11a =121n n a a +=+（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；{}1n a +{}n a （2）若，且数列的前项和为，不等式对任意的正()12n n nn a b +=21n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭nS (1)3log 4a an S ->整数n 恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上运动，且P 满足xOy ||AB =．OB =+（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设点M ，N 在曲线C 上，O 为坐标原点，设直线，的斜率分别为，，且OM ON 1k 2k ，试判断的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请1213k k =-MON △说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln(1)()1x m f x x m R x +=+-∈+（1）当时，求的单调区间；1m =-()f x （2）已知，求证：当时，恒成立；0x >1m ≥()0f x <（3）设，求证：当函数恰有一个零点时，该零点一定不是函数的极0m >()f x 21x my x +=+值点．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请先涂题号．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为（为参数），直线l 的xOy 1cos sin ,cos sin x y θθθθ=++⎧⎨=-⎩θ参数方程为（其中t 为参数，），且直线l 和曲线C 交于M ，Ncos ,sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩0απ≤<两点．（1）求曲线C 的普通方程及直线l 经过的定点P 的坐标；（2）在（1）的条件下，若，求直线l 的普通方程．112||||PM PN +=23．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知，若的解集为．()|31|||f x x x m =-+-()5f x ≤[],2n （1）求实数m ，n 的值；（2）已知a ，b ，c 均为正数，且满足，求的最小值．()8a b c n +=-221a b c a b c+++++数学（理科）答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分．满分60分．123456789101112DDBCBDCBBABA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分．13．14．15．16．(,5)-∞2-83-32三、解答题：共70分，解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．【详解】（1）根据所给的数据，完成列联表如下：是否使用扫地机器人年龄是否[20,40)440110[40,70)270180221000(440180110270)48.1 6.635550450710290K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯故而有的把握认为使用“扫地机器人”与年龄有关．99%（2）由条件可知：X 的所有取值有0，1，2，3，，33,5X B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，328(0)5125P X ⎛⎫===⎪⎝⎭2133236(1)55125P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，，2232354(2)55125P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭3327(3)5125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭分布列为X 0123P8125361255412527125．39()355E X =⨯=18．【详解】（1）证明：设H 为的中点，连接，，AD PH CH ，，PA PD = PH AD ∴⊥又，，，//AD BC PC BC ⊥PC AD ∴⊥又，平面，，PC PH P = AD ∴⊥PHC AD CH ∴⊥又，，四边形为矩形，90ABC ∠=︒ //AD BC ∴ABCH 且．//AD BC ∴12BC AD =设N 为的中点，连接，，则，且，PA BN MN //MN BC MN BC =四边形为平行四边形，，∴BCMN //CM BN ∴又平面，平面．BN ⊂PAB //CM ∴PAB （2）由，，2PA AD ==PH CH ==120PHC ∠=︒如图建系，则，，，，32P⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭13,24M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭(0,1,0)A-)C ，，)AC ∴=33,24AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面的法向量，MAC 1(,,)n a b c =由得：1100AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩033024b b c +=⎨++=⎪⎩得一个法向量为，平面的一个法向量为，)13,7n =- ACD 2(0,0,1)n =．121212cos ,n n n n n n ⋅==M AC D --19．【详解】（1），，121n n a a +=+ ()1121121n n n a a a +∴+=++=+又，是首项为2，公比为2的等比数列．112a += {}1n a ∴+，．11222n n n a -∴+=⋅=21n n a =-（2），且结合（1）得，()12n n nn a b +=n b n =，211111(2)22n n b b n n n n +⎛⎫∴==- ⎪++⎝⎭11111111111232435112n S n n n n ⎛⎫∴=-+-+-+⋯+-+- ⎪-++⎝⎭，1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭要使不等式对任意正整数n 恒成立，只要，即．(1)3log 4a a n S ->(1)33log 44a a-≥(1)log 1a a -≥由题意可得，解得，只需，解得，110a a a >⎧⎪≠⎨⎪->⎩01a <<1a a -≤12a ≥综上所述，实数a 的取值范围是．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭20．【详解】（1）设，，，，，(,)P x y ()0,0A x ()00,By ||AB = 22008x y ∴+=，，OB =+0=0y =动点P 的轨迹C 的方程．∴221124x y +=（2）依题的斜率不为0，所以设，，，MN :MN x my t =+()11,M x y ()22,N x y联立得，，221124x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22232120m y mty t +++-=0∆>得，，．224120m t -+>12223mt y y m -+=+2122123t y y m -⋅=+又因为O 到的距离，MN d =，2||MN y =-=11|||22MONS MN d t ==△又因为，，1213k k ⋅=-()()12123y y my t my t ∴=-++代入韦达定理得，化简得，()2223t m =+MON S =△综上，的面积是定值，且该定值为MON △21．【详解】（1）时，1m =-，．()ln(1)1f x x x =+-+1()1(1)11xf x x x x '=-=->-++所以，当时，，单调递增；10x -<<()0f x '>()f x 当时，，单调递减．0x >()0f x '<()f x 即的递增区间为，递减区间为．()f x (1,0)-(0,)+∞（2）因为，，0x >2()0(1)ln(1)f x x x x m <⇔++<+令，则，2()(1)ln(1)(0)g x x x x m x =++-->()ln(1)12g x x x '=++-令，则，()()h x g x ='1()201h x x '=-<+即在上单调递减，且，，()g x '(0,)+∞13ln 022g ⎛⎫'=>⎪⎝⎭(1)ln 210g '=-<即存在唯一，使，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()000ln 1120g x x x '=++-=且()()()()()222max 000000000()1ln 11211g x g x x x x m x x x m x x m==++--=+---=+--，又因为，则，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()2011110g x m m <+--=-≤所以时，恒成立．即．1m ≥()0g x <()0f x <（3）由（2）知函数的零点就是函数的零点，()f x ()g x 当有唯一零点时，设为，则，()f x 0x 20010(*)x x m +--=又，即该函数的极值点为，211211x m m y x x x ++==++-++1x =代入得，此方程无解，所以原命(*))2120m +--=0=题成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请先涂题号．22．【详解】（1）由，将两个方程左右两边平方后相加，1cos sin cos sin x y θθθθ-=+⎧⎨=-⎩可得曲线C 的直角坐标方程为．22(1)2x y -+=由得直线l 经过的定点P 的坐标为．cos sin x t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(0,（2）将，代入，得cos x t α=sin y t α=+22(1)2xy -+=，(22(cos 1)sin 2t t αα-+=即，设其两根为，，()22cos 20t t αα-+=1t 2t 则，121212*********||||t t t t PM PN t t t t t t +++=+====得，即，得，经检验，cos 2αα=sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭3πα=0∆>故直线l 的普通方程为：y =-23．【详解】（1）因为的解集为，所以，得，()5f x ≤[],2n (2)5f ≤2m =当时，，得，123x ≤≤3125x x -+-≤123x ≤≤当时，得，13x ≤13x 25x -+-≤1123x -≤≤综上解得，，，．122x -≤≤12n ∴=-2m ∴=12n =-（2）由（1）得，，12n =-()4a b c ∴+=，2212()11()2a b c a b ca b c a b c a b c a b c a b c ++++++=+=+++++++++又a ，b ，c 均为正数，，()4a b c +=所以得，2()2a b c a b c ++⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭4a b c ++≥所以，2211924a b c a b c a b c a b c ++++=+≥+++++当且时，即，取得最小值．4a b c ++=()4a b c +=2a =2b c +=94。
湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三上学期9月起点考试数学试题及参考答案
湖北省新高考联考协作体2023-2024学年高三上学期9月起点考试数学试题及参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.已知复数z 满足()i z i -=+21,则z 的虚部为（）A.21 B.21-C.23 D.23-2.已知集合A={x|x²-5x+4≥0},集合B={x∈Z||x-1|≤2},则集合(C R A)∩B的元素个数为（）A.1B.2C.3D.43.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，满足2a 3-a 5=7,a 2+S 7=12,则S n 的最大值为（）A.14B.16C.18D.204.已知(2x+a y)(x-2y)⁴的所有项的系数和为3，则x²y 3的系数为（）A.80B.40C.-80D.-405.已知圆O的直径AB=4,动点M满足MB MA 2=，则点M的轨迹与圆O的相交弦长为（）A.328 B.324 C.322 D.226.设函数()⎩⎨⎧>≤++=0,ln 0,122x x x x x x f ,则函数y=f(f(x)-1)-1的零点个数为（）A.4B.5C.6D.77.已知来自甲、乙、丙三个学校的5名学生参加演讲比赛，其中三个学校的学生人数分别为1、2、2.现要求相同学校的学生的演讲顺序不相邻，则不同的演讲顺序的种数为（）A.40B.36C.56D.488.已知5sin π=a ，2e b =，2ln =c ,则a，b，c的大小关系为（）A.a<c<bB.a<b<cC.c<a<bD.c<b<a 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.若直线(a-1)x+y-1=0与直线2x+ay-2=0平行,则a=2或-1B.数据1、5、8、2、7、3的第60%分位数为5C.设随机变量X~B(12,21),则P(X=k)最大时,k=6D.在△ABC中,若a cos A=b cos B,则ΔABC为等腰三角形10.已知函数()23cos 3cos sin 2-+=x x x x f ，则（）A.点(3π,0)为y=f(x)的一个对称中心B.函数y=f(x)在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛--42ππ，上单调递增C.函数y=2f(x)在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上的值域为[1,2]D.若函数y=f(x)在区间[0，a]上只有一条对称轴和一个对称中心，则ππ1273≤≤a 11.在边长为2的正方体ABCD -A ₁B ₁C ₁D ₁中,点M,N,P分别为AB,AA ₁,A ₁D ₁的中点,则（）A.PN//平面A ₁BC ₁B.点B到平面PMN的距离为36C.D ₁N、DA、CM 相交于一点D.平面PMN与正方体的截面的周长为2612.已知双曲线1222=-y x 的左右顶点为A ₁,A ₂，左右焦点为F ₁，F ₂，直线l 与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，则（）A.若321π=∠PF F 则△PF ₁F ₂的面积为32B.存在弦PQ的中点为(1,1),此时直线l 的方程为2x-y-1=0C.若PA ₁的斜率的范围为[-8,-4],则PA ₂的斜率的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--41,21D.直线l 与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则PM =NQ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13.若向量()k a ,1=，()1,2-=b ，且b a b a 22-=+，则b a +与b 的夹角为.14.一家物流公司计划建立仓库储存货物，经过市场了解到下列信息：每月的土地占地费1y (单位：万元)与仓库到车站的距离x(单位：km)成反比，每月库存货物费y 2(单位：万元)与x成正比.若在距离车站10km处建立仓库，则1y 与2y 分别为4万元和16万元.则当两项费用之和最小时x=(单位：km).15.已知直线y=kx-1是曲线y=x+ln x与抛物线y=ax²+(2-2a)x-3的公切线，则a=.16.在△ABC中,10==AC AB ,2=BC ，将△ABC绕着边BC逆时针旋转32π后得到ΔDBC,则三棱锥D-ABC的外接球的表面积为.四、解答题：本大题共6小题，共计70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知数列{an}的首项431=a ，满足()++∈+=N n a a a n n n 121.(1)求证:数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 为等比数列；(2)记数列⎭⎫⎩⎨⎧n a 1的前n项的和为n T ，求满足条件100<n T 的最大正整数n.18.(12分)已知a,b,c为ΔABC的三个内角A,B,C的对边,且满足:(1)求角A ;(2)若△ABC的外接圆半径为332，求△ABC的周长的最大值.19.(12分)如图所示,在三棱柱ADF -BCE中,侧面ABCD是边长为2的菱形,3π=∠ABC ，侧面ABEF为矩形,AF=4,且平面ABCD⊥平面ABEF.(1)求证:BD⊥CF ;(2)设M是线段AF上的动点，试确定点M的位置，使二面角M-BC-D的余弦值为721.20.(12分)为了研究吸烟是否与患肺癌有关，某研究所采取有放回简单随机抽样的方法，调查了100人，得到成对样本观测数据的分类统计结果如下表所示：吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者251035吸烟者155065合计4060100(1)依据小概率α=0.001的独立性检验，分析吸烟是否会增加患肺癌的风险；(2)从这100人中采用分层抽样，按照是否患肺癌抽取5人，再从这5人中随机抽2人，记这2人中不患肺癌的人数为X ，求X 的分布列和均值；(3)某药厂研制出一种新药，声称对治疗肺癌的有效率为90%.现随机选择了10名肺癌患者，经过使用药物治疗后，治愈的人数不超过7人.请问你是否怀疑该药厂的宣传，请说明理由.参考公式和数据：其中n=a+b+c+d，且x 0.001=10.828.(2)0.9⁸≈0.430;概率低于0.08的事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的.21.(12分)已知函数()21ln 2212---=x x ax x f .(1)求函数f(x)的单调区间;(2)若函数f(x)≥0在其定义域内恒成立，求a的范围.22.(12分)已知椭圆E:()012222>>=+b a by a x 的离心率22=e ，且经过点(2,-1).(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l ：y=k x+m 与椭圆E 交于A，B 两点，且椭圆E 上存在点M，使得四边形OAMB 为平行四边形.试探究：四边形OAMB 的面积是否为定值?若是定值，求出四边形OAMB 的面积；若不是定值，请说明理由参考答案一、选择题1.C 解析：由于23112i i i z -=+-=，∴i z 2321+=，则z 的虚部为23.2.B解析：由于集合{}14≤≥=x x x A 或，集合{}{}3,2,1,0,131-=≤≤-∈=x Z x B ，从而()(){}{}3,23,2,1,0,141=-= ，B A C R ，故元素个数为2.3.D解析：设{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则()()1114227a d a d a =+-+=，又()()1221711=+++d a d a ，∴71=a ，2-=d ，则()029127≥-=--=n n a n ，解得41≤≤n ，从而数列的前4项为正，其余项为负，故n S 的最大值为164=S .4.D解析：由已知可得：32=+a ，∴1=a .∴()()()()+-=++-+=-+322234402432222y x y x xy y x y x y x ，则32y x 的系数为40-.5.A解析：由题知，圆O 的半径为2，其方程为：422=+y x ……①可设()()0202，，，B A -，动点()y x M ,由MB MA 2=，从而有()()2222222y x y x ++⋅=++，化简得：041222=+-+x y x ……②由①-②可得相交弦的方程为：32=x 代入①可求出324±=y ，故相交弦长为328.6.C解析：令()1-=x f t ，则亦有()1=t f 可求出2-=t 或0或e .从而有()11-=+=t x f 或1或1+e ，从而相应方程的根的个数分别为1或3或2.故函数()()11--=x f f y 的零点个数为6.7.D解析：设这5个人分别为：ABCDE，则要求B 与C 和D 与E 的演讲顺序都不能相邻.第一类：A 在BC 中间，此时再把D 与E 插空到这3人中间，此时的不同的演讲顺序有242422=A A 第二类：A 不在BC 中间，此时先考虑B 与C 和D 与E，它们的顺序应相间排列，最后考虑A，此时的不同的演讲顺序有2413222222=A A A A .综上可得：总共有48种不同的演讲顺序.8.A解析：对于A，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<<<20sin πx x x ，则63.055sin ≈<ππ，故63.0<a ；对于B，8.026.1256.22==>=eb ，故8.0>b ；对于C，由于4344321608.20=>≈=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e e ，则243>e ，从而可得75.0432ln =<，∴有75.02ln 67.0<=<c .综上有：b c a <<.二、选择题9.BC 解析：对于A，由两直线平行可得：()21=-a a ，解得2=a 或1-=a ，又2=a 时，两直线重合，舍去；经检验1-=a 符合题意，故A 错误.对于B，这6个数据按从小到大排序为：123578，由6.3%606=⨯，则这组数据第60%分位数为第4个数，即为5.对于C，由()5.621131=⨯=+p n ，从而6=k 时()k X P =最大，故C 正确.对于D，由B b A a cos cos =，可得B B A A cos sin cos sin =,即B A 2sin 2sin =，又()π202,2，∈B A ，则有B A 22=或π=+B A 22，∴B A =或2π=+B A ，故ABC ∆为等腰三角形或直角三角形，故D 不正确.10.AC解析：明显()()⎪⎭⎫⎝⎛+=-++=32sin 232cos 1232sin 21πx x x x f ，对于A 明显成立，故A 正确；对于B，令32π+=x t ，由⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈4,2ππx ，则⎪⎭⎫⎝⎛--∈6,32ππt ，明显：⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈2,32ππt ，即⎪⎭⎫⎝⎛--∈125,2ππx 时()x f y =递减，故B 不正确；对于C，由32π+=x t ，及⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,0πx ，则⎦⎤⎢⎣⎡∈65,3ππt ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21sin t ，∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,21sin t ，则()x f y 2=在区间⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21，故C 正确；对于D，由32π+=x t ，及[]a x ,0∈，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∈32,3ππa t ，由题意可知：2332πππ<+≤a ，从而：ππ1273<≤a ，故D 不正确.11.ACD解析：对于A，明显有1BC PN ∥，又⊆1BC 平面11BC A ，⊄PN 平面11BC A ，从而∥PN 平面11BC A 成立，故A 正确；对于B，由等体积法：BMN P PMN B V V --=，明显有：BMN ∆的面积为211=S ，点P 到BMN ∆的距离为11=d ，又在PMN ∆中，2==MN PN ，6=PM ，可求出PMN ∆的面积为232=S ，从而可得：1213123312⨯⨯=⨯⨯d ，解得332=d ，故B 不正确；对于C：由于1CD MN ∥，则CM N D ,1相交于一点G ，从而有⊆∈CM G 平面ABCD ，⊆∈N D G 1平面D D AA 11，则可得∈G 平面ABCD ∩平面AD D D AA =11，即AD G ∈，∴有CM DA N D ,,1相交于一点G ，故C 正确；对于D，平面PMN 与正反体的截面为边长为2的正六边形PNMEFH ，（点H F E ,,分别为111,,D C CC BC 的中点）则其周长为26，故D 正确.12.ACD 解析：在双曲线1222=-y x 中，1=a ，2=b ，3=c ，且()011，-A ，()012，A ，()0,31-F ，()0,32F .对于A，设m PF =1，n PF =2，由双曲线定义得：2=-n m ，两边平方得：4222=-+mn n m ……①在21F PF ∆中，由余弦定理可得：()222323cos2=-+πmn n m ，即1222=-+mn n m ……②，联立①②可得：8=mn .故21F PF ∆的面积为32238213sin 21=⨯⨯=πmn ，故A 正确；对于B，由中点弦公式：211120202=⨯⨯==x a y b k ，此时直线l 的方程为12-=x y ，代入双曲线的方程消去y 可得：03422=+-x x ，此时08<-=∆，此时直线l 与双曲线无公共点，说明此时直线l 不存在，故B 不正确；对于C，设()n m P ,，则1222=-n m ，即()1222-=m n ，又直线1P A 与2P A 的斜率的乘积21112221=-=-⋅+=m n m n m n k k ，由于[]4,81--∈k ，从而可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈41,212k ，故C 正确；对于D，设直线m kx y l +=：代入λ=-222y x （*）（当1=λ时，（*）式表示双曲线，当0=λ时，（*）式表示双曲线的两条渐近线）得()0222222=+++-λm kmx x k ，应满足：022≠-k ，且0>∆且明显有：22122k kmx x -=+（与λ无关）.这说明线段PQ 的中点与线段MN 的中点重合，故有NQ PM =，故D 正确.三、填空题13.4π解析：由b a b a 22-=+可得b a ⊥，从而02=-=⋅k b a，∴2=k .则()1,3=+b a ，又()1,2-=b ，则b a +与b的夹角的余弦值为225105cos =⋅=θ，则b a +与b 的夹角为4π.14.5解析：由已知可设：xk y 11=，22kx y =，且这两个函数分别为()()16,104,10，，得404101=⨯=k ，5810162==k ，从而x y 401=，()0582>=x xy ，故1658402584021=⋅≥+=+xx x x y y ，当且仅当5840x x =，即5=x 时等号成立.15.2-解析：先考虑1-=kx y 与x x y ln +=相切，设切点的横坐标为0x ，由x x y ln +=，则xy 11+='，由相切的性质可得：①000ln 1x x kx +=-及011x k +=，由②知：001x kx +=，代入①可求出：0ln 0=x ，从而有10=x ，∴2=k .再考虑12-=x y 与()3222--+=x a ax y 相切，联立方程，消去y ，可得：0222=--ax ax ，0842=+=∆a a 解得2-=a 或0=a （舍去）.16.9292π解析：如图所示，取BC 的中点E ，连接DE AE ,，则明显有32π=∠AED ，由于ABC ∆与BCD ∆的外心G 与F 分别在AE 与DE 上，则三棱锥ABC D -的外接球的球心O 在过点G 且与平面ABC 垂直的直线上.由对称性可知：3π=∠OEG ，易求出3=AE ，设x CG AG ==，则x GE -=3，在CEG Rt ∆中，有()2231x x -+=，解得35=x ，则35=AG ，34=EG ,又在OEG Rt ∆中，3π=∠OEG ，∴334=OG ，从而在OAG Rt ∆中，97392548222=+=+=AG OG R ，∴三棱锥ABC D -的外接球的表面积929242ππ==R S .四、解答题17.解：（1）由于121+=+n n n a a a ，∴nn a a 212111+=+，即()++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-N n a a n n 1121111，又31111=-a ，∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为31，公比为21的等比数列，（2）由（1）可知：1213111-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=-n n a ，∴1213111-⎪⎭⎫⎝⎛⨯+=n n a ，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+=nn n T 21132，且n T 关于n 是递增的，又10099<T ,100100>T ，∴满足条件的最大正整数99=n .18.解：（1）由已知可得：CB B A B A sin sin sin sin 3cos sin +=+()AB B A B B A B cos sin cos sin sin sin sin ++=++=由于0sin >B ，则有216sin 6sin 2cos sin 31=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=ππA A A A 又π<<A 0，则有6566πππ<-<-A ，∴66ππ=-A ，∴3π=A .（2）由正弦定理可知：3342sin ==R A a ，又∵3π=A ，∴2=a .又由余弦定理可知：A bc c b a cos 2222-+=，即bc c b -+=224.由于bc c b 222≥+，则有bc bc bc bc c b =-≥-+=2422，即4≤bc 又()bc c b bc c b 34222-+=-+=，即()16434342=⨯+≤+=+bc c b ，从而4≤+c b ，当且仅当2==c b 时等号成立则6≤++c b a ，故ABC ∆的周长的最大值为6.19.解：（1）证明：连接AC ，在矩形ABEF 中，AB AF ⊥，又平面⊥ABCD 平面ABEF ，平面 ABCD 平面AB ABEF =，∴⊥AF 平面ABCD ，又⊇BD 平面ABCD ，∴BD AF ⊥.又在菱形ABCD 中，BD AC ⊥，且A AF AC = ，则⊥BD 平面ACF ，又⊆CF 平面ACF ，则CF BD ⊥.（2）如图，建立空间直角坐标系，则()()301002，，，，，C B ，设()t M ,0,0，则()()t BM BC ，，，，，02302-=-=，设()z y x m ,,=是平面MBC 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=+-=⋅=+-=⋅02032tz x BM m z x BC m ，故可取()32,,3t t m =，平面BCD 的一个法向量为()1,0,0=n.有72141232,cos 2=+=t n m，解得2=t .∴点M 为AF 的中点，使二面角D BC M --的余弦值为721.20.解：（1）零假设为0H ：吸烟与患肺癌之间无关.根据列联表中的数据，计算可得()828.10161.222736050653560401015502510022>≈=⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ.依据小概率001.0=α的独立性检验，认为0H 不成立，即吸烟会增加患肺癌的风险（2）由已知可得：抽取的5人中，不患肺癌的有2人，患肺癌的有3人.X 的所有可能取值为：0，1,2，且()10302523===C C X P ，()531251312===C C C X P ，()10122522===C C X P .故X 的分布列为：∴X 的均值为()5410125311030=⨯+⨯+⨯=X E .（3）随机选取10个病人，治愈人数不超过7人的概率为：109910288109.01.09.01.09.01-⨯⨯-⨯⨯-=C C P X 012P1035310108.00712.081.0430.01.09.0430.01001.0430.0451<=⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯-=.从而该事件称为小概率事件，一般认为在一次试验中是几乎不发生的，∴可以怀疑该药厂时虚假宣传.21.解：（1）()xx ax x ax x f 2212--=--='，当0≤a 时，()0<'x f 恒成立，此时()x f 的递减区间是()∞+，0，无递增区间.当0>a 时，考虑022=--x ax ，081>+=∆a ，且ax x 221-=，则022=--x ax 有一正一负两个根，取正根a a x 28110++=，且当aax 28110++<<时，()0<'x f ，当aax 2811++>时，()0>'x f ，此时()x f 的递减区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 28110，，递增区间为⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+++，a a 2811.综上可得：当0≤a 时，()x f 的递减区间是()∞+，0，无递增区间.当0>a 时，()x f 的递减区间是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++a a 28110，，递增区间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+++，a a 2811.（2）当0≤a 时，()x f 在()∞+，0上单调递减，且()0231<-=a f ，不符合题意.当0>a 时，由（1）可知：只需()()021ln 22100200min≥---==x x ax x f x f ，又由于02020=--x ax ，即2020+=x ax ，则只需()()0ln 22121ln 222000000min ≥--=---+==x x x x x x f x f ，考虑()x xx g ln 221--=，()x g 在()∞+，0递减且()01=g ，从而可得；100≤<x ,考虑()22--=x ax x h ，由0>a 及（1）可知：()0=x h 有一正一负两个根，又()020<-=h ，要使100≤<x 成立，则必有()031≥-=a h ，∴3≥a .综上所述：使函数()0≥x f 在其定义域内恒成立的a 的范围为[)∞+，3.22.解：（1）由已知可得：22=a c ，11222=+ba ，222c b a +=，可得：2=a ，2==c b ，椭圆E 的方程为：12422=+y x .（2）四边形OAMB 的面积为定值6，理由如下：将m kx y +=代入12422=+y x 可得：()042412222=-+++m kmx x k ，设()()2211,,y x B y x A ，，则1242,1242221221+-=+-=+k m x x k km x x ，则()122222121+=++=+k m m x x k y y ，由于四边形OAMB 为平行四边形，则OB OA OM +=，则点⎪⎭⎫ ⎝⎛++-12212422k m k km M ，，代入椭圆E 的方程，化简可得：12222+=k m ，此时()()()()012124212442222>+=-+-=∆k m k km 恒成立，由于点O 到直线AB 的距离为12+=k m d ，而()1242412414122222212212+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-++=k m k km kx x x x kAB 又由12222+=k m ，可得1232122+⋅+=k kAB ，从而123222+=⋅==∆k m d AB S S AOB OAMB ，又()6212121222222==+=m m k m S OAMB ，∴四边形OAMB 的面积为定值6.。
河南省2024届高三起点考试数学试题及参考答案
河南省2024届高三起点考试数学试题及参考答案2023.8.27一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()i z i +-=⋅+21，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于（）A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.已知(){}21log 2<-∈=x Z x A ，{}0822<--∈=x x Z x B ，则=B A （）A .{}42<<-x xB .{}41<<x x C .{}3,2,1,0,1-D .{}3,23.已知βα，是两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，下列说法正确的是（）A .若β∥m ，则βα∥B .若β⊂l ，l m ∥，则β∥mC .若βα⊥，则β⊥m D .若β⊥m ，则βα⊥4.新高考按照“3+1+2”的模式设置，其中“3”为语文，数学，外语3门必考科目，“1”由考生在物理，历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学，生物，政治，地理4门科目中选考2门科目，若学生甲、乙随机选择自己的选考科目，则甲、乙选考的三门科目均不相同的概率为（）A .121B .101C .81D .615.已知{}02≤+-∈=a x x R x A ，{}02≤+-∈=b x x R x B ，甲：b a =，乙：B A =，则（）A .甲是乙的充分条件但不是必要条件B .甲是乙的必要条件但不是充要条件C .甲是乙的充要条件D .甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6.设不为1的实数c b a ,,满足：0>>>c b a ，则（）A .bb ac log log >B .ab b a lg lg =C .ca b b >D .cb a a log log >7.已知过坐标原点的直线l 与圆()()1258622=++-y x C ：相交于N M ,两点，当线段MN 的长为整数时，所有满足条件直线的条数为（）A .12B .13C .25D .268.已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧><=0,ln 0,2x x x x g x （e 为自然对数的底数），则函数()()[]()191--=x g x g g x f 的零点个数为（）A .1B .3C .5D .7二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.学校“未来杯”足球比赛中，甲班每场比赛平均失球数是1.9，失球个数的标准差为0.3；乙班每场比赛平均失球数是1.3，失球个数的标准差为1.2，你认为下列说法中正确的是（）A .平均来说乙班比甲班防守技术好B .乙班比甲班防守技术更稳定C .乙班在防守中有时表现非常好，有时表现比较差D .甲班不怎么失球10.下列函数中既是奇函数又是增函数为（）A .xy 1-=B .xx y =C .x x y --=22D .1221+-=x y 11.已知B A ,两点的距离为定值2，平面内一动点C ，记ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，面积为S ，下面说法正确的是（）A .若CB CA ⊥，则S 的最大值为1B .若a b 3=，则S 的最大值为3C .若1=-b a ，则S 的最大值为23D .若31tan tan =⋅B A ，则S 的最大值为3312.已知b a ,是正实数，且ab b a 4=+，则下列说法正确的是（）A .ab 的最大值为41B .22b a +的最小值为21C .b a 4+的最大值为49D .()233415b a b a +-+的最小值为27-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()0,1=a，()1,0=b ，1=⋅=⋅c b c a ，向量a 在向量c 上的投影向量的坐标为.14.数列{}n a 的首项为2，等比数列{}n b 满足nn n a a b 1+=，且11012=b ，则2024a 的值为.15.偶函数()x f 的定义域为D ，函数()x f 在()∞+，0上递增，且对于任意D b a ∈,，0≠b 均有()()b f a f b a f -=⎪⎭⎫⎝⎛，写出符合要求的一个函数()x f 为.16.已知函数()()[]πϕωϕω,0,,cos ∈∈+=+N x x f ，在⎪⎭⎫⎝⎛-∈ππ31,32x 内恰有两个极值点，且03132=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-ππf f ，则ϕ的所有可能取值构成的集合是.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n n S n 142-=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11+=n n n a a b ，求数列{}n b 的前13项和13T .18.（12分）已知ABC ∆中54sin =C ，()A C B sin sin 2=-.（1）求B sin ；（2）设516=BC ，求ABC ∆的面积.19.（12分）如图，四棱锥ABCD P -中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，22==AB BC ，︒=∠30ACB ，侧面P AB 是等边三角形.（1）证明：AC PB ⊥；（2）点E 是侧棱P A 的中点，过E B ,两点作平面α，设平面α与PD PC ,分别交与点Q F ,，当直线α∥AC 时，求直线PC 与平面α所成角的正弦值.21.（12分）某考生在做高考数学模拟题第12题时发现不会做.已知该题有四个选项，为多选题，至少有两项正确，至多有3个选项正确.评分标准为：全部选对得5分，部分选对得2分，选到错误选项得0分.设此题正确答案为2个选项的概率为0p （100<<p ）.已知该考生随机选择若干个（至少一个）.（1）若210=p ，该考生随机选择1个选项，求得分X 的分布列及数学期望；（2）为使他此题得分数学期望最高，请你帮他从以下二种方案中选一种，并说明理由.方案一：随机选择一个选项；方案二：随机选择二个选项.21.（12分）已知函数()D x xxx f ∈-=,1ln .其中()()∞+=，11,0 D .（1）求函数()x f 在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21f 处的切线方程；（2）若()xa x g -=，且D x ∈∀，()()x g x f ≥恒成立，求a 的取值范围.22.（12分）已知双曲线E ：12222=-by a x 实轴左右两个顶点分别为B A ,，双曲线E 的焦距为52，渐近线方程为02=±y x .（1）求双曲线E 的标准方程；（2）过点()1,0直线l 与双曲线E 交于D C ,两点.设BD AC ,的斜率分别为21,k k ，且321-=k k ，求l 的方程.参考答案一、单选题二、多选题三、填空题13.⎪⎭⎫⎝⎛21,2114.215.()1log >=a x y a 均可以16.⎭⎬⎫⎩⎨⎧ππ，，650四、解答题17.解：（1）当1=n 时，131-=S ；当Z n n ∈≥,2时，1521-=-=-n S S a n n n ；∴152-=n a n .（2）当7=n 时，87,a a 异号；7≠n ，1,+n n a a 同号，∴()()⎩⎨⎧≠∈--===++7,1321527111n N n n n n a a b n n n 且，，871413877621141387762113211111111aa a a a a a a a a a a a a a a a a T -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++-++=132521121141=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a a .因此，132513=T .18.解：（1）∵在ABC ∆中()A C B sin sin 2=-，∴()()C B C B +=-sin sin 2，整理得C B C B cos sin sin cos 3=，∴C B tan 3tan =，∵ABC ∆中，C B ,为锐角，由54sin =C 得到34tan =C ，∴4tan =B ，因此17174sin =B ；题号12345678答案BDDAABCD题号9101112答案ACBCDABDBC（2）ABC ∆中()17516sin cos cos sin sin sin =+=+=C B C B C B A ，由正弦定理BbA a sin sin =，∴4=b ，因此ABC ∆的面积等于25128sin 21=C ab .19.解：（1）证明：在ABC ∆中，22==AB BC ，∵︒=∠30ACB ，由正弦定理可知：ABACBBC BAC ∠=∠sin sin ，∴1sin =∠BAC ，∴AC AB ⊥.又∵平面P AB ⊥平面ABCD ，平面P AB ∩平面AB ABCD =，AC AB ⊥，⊂AC 平面ABCD ，∴⊥AC 平面P AB .由⊂PB 平面P AB ，∴AC PB ⊥.（2）在P AC ∆中，∵直线AC ∥平面α，平面P AC ∩平面EF =α，∴直线EF ∥直线AC ，且直线EF 过点H ，∴点F 为线段PC 的中点.以点A 为坐标原点，AC AB ,分别为y x ,轴，过点A 垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设2=AB .则()()()()()3010,3220,320002000，，，，，，，，，，，，P D C B A -.∵点E 为线段P A 中点，∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛23,0,21E .设平面BEF 的法向量为()z y x n ,,1=，∵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=230,23，BE ，()0,3021，==AC EF ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n BF n BE ，得⎪⎩⎪⎨⎧==+-0302323y z x ，令1=x ，则()3,0,11=n .且()3,321--=，PC ，∴21cos 1-=⋅=PC n∴直线PC 与平面α所成角的正弦值为21.20.解：（1）设多选题正确答案是“选两项”为事件2A ，正确答案是“选三项”为事件3A ，则32A A =Ω.考生得0分，2分为事件20,B B ，()02p A P =，()031p A P -=.∵03020B A B A B =，∴()()()()030203020B A P B A P B A B A P B P +== ()()()()838141212114111412330220=+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+=C C C C A P A B P A P A B P .∵23222B A B A B =，∴()()()()232223222B A P B A P B A B A P B P +== ()()()()85212114131412332222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=+=C C C C A P A B P A P A B P .∴得分X 的分布列为：得分X 的数学期望()45852830=⨯+⨯=X E .（2）方案一：随机选择一个选项正确答案是“选两项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分；正确答案是“选三项”时，考生选1项，选对得2分，选错得0分.∵3020B A B A B =，∴()0B P ()()()()()000330220414141142p p p A P A B P A P A B P +=⨯-+⨯=+=.∵23222B A B A B =，∴()2B P ()()()()()000332222414343142p p p A P A B P A P A B P -=⨯-+⨯=+=.∴随机选择一个选项得分的数学期望为：00021234143241410p p p -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯.方案二：随机选择两个选项：∴()0B P ()()()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⨯=+=241302422033022011C C p CC p A P A B P A P A B P ()2131********+=-+=p p p X 02P8385()2B P ()()()()()()00242300332222212112110p p C C p p A P A B P A P A B P -=-=⨯-+⨯=+=.()()()()()()0024023*******011p P C p A P A B P A P A B P B P =⨯-+⨯=+=.∴随机选择两个选项得分的数学期望为：()0000611615121221310p p p p -=⨯+-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯.∵⎪⎭⎫⎝⎛-02123p 0312161100>-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--p p ，∴选择方案一.21.解：（1）∵()()2111ln x x x x f -⎪⎭⎫⎝⎛--='，∴2ln 221-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，2ln 4421-=⎪⎭⎫ ⎝⎛'f ，∴切线方程为：()⎪⎭⎫⎝⎛--=+212ln 442ln 2x y ，即()022ln 44=---y x .∴函数()x f 在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21f 处的切线方程为：()022ln 44=---y x .（2）由于()0<x f 恒成立，0≤a 时D x ∈∀，()()xg x f ≥不可能恒成立；D x ∈∀，()()x g x f ≥可以等价变形为：()1,0∈∀x ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-≥x x a x 1ln 2()∞+∈∀，1x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤x x a x 1ln 2.令()()+∞∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=,0,1ln 2x x x a x x h ，()01=h ，()222x a x ax x h -+-='，当1≥a 时，0442≤-=∆a ，022≤-+-a x ax 恒成立，∴()x h 在()+∞∈,0x 上单调递减，此时，D x ∈∀，()()x g x f ≥恒成立；当10<<a 时，0442>-=∆a ，022=-+-a x ax 的两实根分别为()2121,x x x x <，且1,22121==+x x ax x ，∴2110x x <<<，因此()x h 在()21,x x x ∈上单调递增，()()+∞∈,,,021x x x 上单调递减，∴当()1,1x x ∈时，()()01=<h x h ，不合题意；综上所述，a 的取值范围为：1≥a .22.解：（1）由已知得5=c ，b a 2=，222b a c +=，∴12=b ，42=a ，∴双曲线E 的标准方程为：1422=-y x .（2）由（1）及题意可得()02，-A ，()02，B ，设()11,y x C ，()22,y x D ，直线l 的斜率一定存在，设为k .联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=14122y x kx y ，整理得()0884122=---kx x k ，则221221418,418kx x k k x x --=-=+，064322>-=∆k ，则412122≠<k k 且，∴()()22221221221121+-=-+=x y x y x y x y k k ，且142121=-y x ，∴1111422y x x y +=-替换代入得：()()()()141444444242222212122121212121-++=+++++-=--=k k k x x k x x k x x x x y y x x k k ∴31414422-=-++k k k ，解得：41=k 或21-=k ，∵412122≠<k k 且，∴41=k .∴直线l 的方程为044=+-y x .。
武汉市部分学校新高三起点调研测试数学试题
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９ ．设 Ａ， Ｃ Ｄ是 半 径 为 Ｒ 的球 面 上 的 四点 ， Ｂ， ， 且 Ａ 、Ｃ Ａ Ｂ Ａ 、Ｄ两两相互垂 直 ， △彻 ｃ ＺＡ Ｄ ＺＡ Ｄ面积 则 、Ｘ Ｂ 、Ｘ Ｃ
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湖北省“宜荆荆恩”2022-2023学年高三上学期起点考试数学试卷含答案
湖北省2023届高三(9月)起点考试数学试卷2022.9本试卷共4页,22题,全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合(,1][2,),{11}A B xa x a =−∞+∞=−<<+∣, 若A B R =, 则实数a 的取值范围为 A. (1,2) B. [1,2) C. (1,2] D. [1,2]2. 已知i 为虚数单位, 复数3i1i z −=−, 则2z = A. 3B. 4C. 5D. 253. 已知,,αβγ是三个不同的平面,,m n 是两条不同的直线, 下列命题为真命题的是 A. 若//,//m m αβ, 则//αβ B. 若//,//m n αα, 则//m n C. 若,m n αα⊥⊥, 则//m nD. 若,αγβγ⊥⊥, 则αβ⊥4. 已知0,,2sin 2cos 212πααα⎛⎫∈=+ ⎪⎝⎭, 则sin α=A. 15B.5C.3D.55. 已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列, {}n b 为等比数列, 且1122431,,a b a b a b ====, 设n n n c a b =+, 则数列{}n c 的前10 项和为A. 1078B. 1068C. 566D. 5566. 我国古代名著《张丘建算经》中记载: 今有方锥下广二丈, 高三丈, 欲斩末为方亭, 令上方六尺, 问亭方几何? 大致意思: 有一个正四棱锥下底边长为二丈, 高三丈, 现从上面截去一段, 使之成为正四棱台状方亭, 且正四棱台的上底边长为六尺, 则该正四棱台的体积是 (注: 1丈 =10尺) A. 1946 立方尺 B. 3892 立方尺 C. 7784 立方尺 D. 11676 立方尺7. 已知,,(0,1),a b c e ∈是自然对数的底数, 若434,3,2ln 2a b c ae e be e c e ===, 则有 A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. c a b <<8. 一个袋子中装有形状大小完全相同的 4 个小球, 其中 2 个黑球, 2 个白球. 第一步 : 从袋子里随机取出 2 个球, 将取出的白球涂黑后放回袋中, 取出的黑球直接放回袋中; 第二步: 再从袋子里随机取出 2 个球, 计第二步取出的 2 个球中白球的个数为X , 则()E X =A. 56B.34C.23D.12二、选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分。
数学_2014-2015学年湖北省部分重点中学高三(上)起点考试数学试卷(理科)(含答案)
2014-2015学年湖北省部分重点中学高三（上）起点考试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. i 为虚数单位，z =5i1+2i ，则i 的共轭复数为（ ） A 2−i B 2+i C −2−i D −2+i2. 若二项式(2x +ax )8的展开式中的常数项为70，则实数a 可以为（ ） A 2 B 12 C √2 D √223. 若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是（ ）A 3B 4C 5D 64. 直线l:y =kx +1与圆O:x 2+y 2=1相交于A ，B 两点，则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的（ ）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件5. 已知函数y ＝2sinx 的定义域为[a, b]，值域为[−2, 1]，则b −a 的值不可能是（ ） A 5π6B πC 2πD 7π66. 若x ，y 满足{x +y −2≥0kx −y +2≥0y ≥0且z =y −x 的最小值为−2，则k 的值为（ ）A 1B −1C 2D −27. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A(2, 0, 0)，B(2, 2, 0)，C(0, 2, 0)，D(1, 1, √2)，若S 1，S 2，S 3分别表示三棱锥D −ABC 在xOy ，yOz ，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则（ ）A S 1=S 2=S 3B S 2=S 1且S 2≠S 3C S 3=S 1且S 3≠S 2D S 3=S 2且S 3≠S 1 8. 已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2+y 2b 2=1，双曲线C 2的方程为x 2a 2−y 2b 2=1，C 1与C 2的离心率之积为√32，则C 2的渐近线方程为（ ）A x ±√2y ＝0B √2x ±y ＝0C x ±2y ＝0D 2x ±y ＝09. 已知向量a →，b →满足|a →|＝1，a →与b →的夹角为π3，若对一切实数x ，|xa →+2b →|≥|a →+b →|恒成立，则|b →|的取值范围是（ ）A [12, ∞) B (12, ∞) C [1, +∞) D (1, +∞)10. 已知f(x)＝ln(1+x)−ln(1−x)，x ∈(−1, 1)．现有下列命题： ①f(−x)＝−f(x)； ②f(2x1+x 2)＝2f(x)③|f(x)|≥2|x|其中的所有正确命题的序号是（ ）A ①②③B ②③C ①③D ①②二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.（一）必考题（11-14题） 11. 不等式|x −1|+|x +2|≥5的解集为________．12. 已知偶函数f(x)在[0, +∞)单调递减，f(2)=0，若f(x −1)>0，则x 的取值范围是________．13. 过点M(1, 1)作斜率为−12的直线与椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．14. （2014⋅四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合：对于函数φ(x)，存在一个正数M ，使得函数φ(x)的值域包含于区间[−M, M]．例如，当φ1(x)=x 3，φ2(x)=sinx 时，φ1(x)∈A ，φ2(x)∈B ．现有如下命题： ①设函数f(x)的定义域为D ，则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f(a)=b”； ②函数f(x)∈B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值；③若函数f(x)，g(x)的定义域相同，且f(x)∈A ，g(x)∈B ，则f(x)+g(x)∉B ． ④若函数f(x)=aln(x +2)+x x 2+1(x >−2, a ∈R)有最大值，则f(x)∈B ．其中的真命题有________．（写出所有真命题的序号）（二）选考题（第15、16两题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分.）【选修4-1：几何证明选讲】15. 如图所示，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB =√3，BC =2√2，则⊙O 的半径等于________．【选修4-4：坐标系与参数方程】 16. 已知曲线C 1的参数方程是{x =√t y =√3t 3（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2a+b c=cos(A+C)cosC.(1)求角C 的大小；(2)若c =2，求使△ABC 面积最大时a ，b 的值．18. 已知各项均为正数的数列{a n }满足：S n 为数列{a n }的前n 项和，且2，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a n 2=(12)b n ，c n =bn a n，求数列{c n }的前n 项和．19. 如图1，△ABC 中，∠B =90∘，AB =√2，BC =1，D 、E 两点分别是线段AB 、AC 的中点，现将△ABC 沿DE 折成直二面角A −DE −B ．（1）求证：面ADC ⊥面ABE ；（2）求直线AD 与平面ABE 所成角的正切值．20. 某省进行高考改革，外语实行等级考试，其他学科分值如下表：（1）有老师建议语文放在首场，数学与科目A 不相邻，按这位老师的建议安排考试，前三科总分不小于400的概率为多少？（2）若前三场科目中要安排语文，求前三场考试总分ξ的分布列及期望值． 21. 已知点A(0, −2)，椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的斜率为2√33，O 为坐标原点． （1）求E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程． 22. 已知函数f(x)=ln(1+2x)+ax(a <0) （1）若f(x)在x =0处取极值，求a 的值，（2）讨论f(x)的单调性， （3）证明(1+13)(1+19) (1)13n)<√e ，(e 为自然对数的底数，n ∈N ∗)．2014-2015学年湖北省部分重点中学高三（上）起点考试数学试卷（理科）答案1. A2. B3. C4. A5. C6. B7. D8. A9. C 10. A11. (−∞, −3]∪[2, +∞) 12. (−1, 3) 13. √22 14. ①③④ 15. 1.516. (√3, 1)17. 解：(1)∵ A +C =π−B ，即cos(A +C)=−cosB ， ∴ 由正弦定理化简已知等式得：2sinA+sinBsinC=−cosB cosC，整理得：2sinAcosC +sinBcosC =−sinCcosB ，即−2sinAcosC =sinBcosC +cosBsinC =sin(B +C)=sinA ， ∵ sinA ≠0， ∴ cosC =−12， ∵ C 为三角形内角， ∴ C =2π3.(2)∵ c =2，cosC =−12，∴ 由余弦定理得：c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 即4=a 2+b 2+ab ≥2ab +ab =3ab ， ∴ ab ≤43，（当且仅当a =b 时ab =43成立）， ∵ S =12absinC =√34ab ≤√33，∴ 当a =b 时，△ABC 面积最大为√33，此时a =b =2√33， 则当a =b =2√33时，△ABC 的面积最大为√33．18. 解：（1）由题意知2a n =S n +2，① 当n =1时，2a 1=a 1+2，a 1=2． 当n ≥2时，2a n−1=S n−1+2，② ①-②得：a n =2a n−1，∴ 数列{a n }是以2为首项，以2为公比的等比数列． ∴ 通项公式为a n =a 1q n−1=2n ；（2）由a n 2=(12)b n ，得b n =log 12a n 2=−log 222n =−2n ，∴ c n =b n a n=−2n 2n=−n 2n−1．∴ 数列{c n }的前n 项和T n =−120−221−322−⋯−n−12n−2−n 2n−1，12T n =−121−222−323−⋯−n−12n−1−n2n．两式作差得：12T n =−1−12−122−⋯−12n−1+n 2n=−1−12n 1−12+n 2n．∴ T n =n 2n−1+12n−2−4．19. 解：（1）由∠B =90∘，D 、E 两点分别是线段AB 、AC 的中点， 得DE // BC ，DE ⊥AD ，DE ⊥BD ，∴ ∠ADB 为二面角A −DE −B 平面角，∠ADB =π2． ∴ AD ⊥面BCD ，又∵ BE ⊂面BCD ，∴ AD ⊥BE ， 又BD =√22，DE =12，BC =1，即BD DE =BCBD ，∴ △BDE ∼△DBC ，∴ ∠EBD =∠DCB ，∴ BE ⊥DC ，∴ BE ⊥面ADC ，又BE ⊂面ABE ，∴ 面ABE ⊥面ADC ． （2）连结BE 交CD 于H ，连结AH ， 过点D 作DO ⊥AH 于O ． ∵ AD ⊥BE ，BE ⊥DH ，∴ BE ⊥面ADHDO ⊂面ADH ，∴ BE ⊥DO ， 又DO ⊥AH ，∴ DO ⊥面ABE ， ∴ ∠DAO 为AD 与平面ABE 所成角．Rt△BDE中，BD=√22，DE=12∴ DH=BD⋅DEBE=√66，Rt△ADH中，tan∠DAO=DHDA =√66×√2=√33．∴ 直线AD与平面ABE所成角的正切值为√33．20. 解：（1）第二三场基本事件总数为A52−2=18，首场是语文，第二场和第三场在科目B、科目C、科目D中任选一科搭档数学和科目A，基本数个数为：A32⋅A22=12．前三科总分不小于400的概率为：P=1218=23．（2）ξ可能值为380，400，430，450，P(ξ=380)=C32A33C52A33=0.3，P(ξ=400)=C31A33C52A33=0.3，P(ξ=430)=C31A33C52A33=0.3P(ξ=450)=A33C52A33=0.1．ξ的分布列为21. 解：（1）设F(c, 0)，∵ 直线AF的斜率为2√33，∴ 2c =2√33，解得c=√3．又ca =√32，b2=a2−c2，解得a=2，b=1．∴ 椭圆E的方程为x24+y2=1；（2）设P(x1, y1)，Q(x2, y2)．由题意可设直线l的方程为：y=kx−2．联立{y=kx−2x2+4y2=4，化为(1+4k2)x2−16kx+12=0，当△=16(4k2−3)>0时，即k2>34时，x1+x2=16k1+4k2，x1x2=121+4k2．∴ |PQ|=√(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2]=√(1+k 2)[(16k 1+4k 2)2−481+4k 2]=4√1+k 2√4k 2−34k 2+1，点O 到直线l 的距离d =√1+k 2． ∴ S △OPQ =12d ⋅|PQ|=4√4k 2−34k 2+1，设√4k 2−3=t >0，则4k 2=t 2+3， ∴ S △OPQ =4tt 2+4=4t+4t≤2√4=1，当且仅当t =2，即√4k 2−3=2，解得k =±√72时取等号． 满足△>0，∴ △OPQ 的面积最大时直线l 的方程为：y =±√72x −2．22. （1）解：∵ f(x)=ln(1+2x)+ax(a <0) ∴ f ′(x)=21+2x+a ，∵ f(x)在x =0处取极值，∴ f′(0)=2+a =0，解得a =−2， 验证知a =−2符合条件，∴ a =−2． （2）解：f ′(x)=21+2x +a =2ax+2+a 1+2x，若{a <02+a ≤0，当a ≤−2时，f′(x)≤0对x ∈(−12, +∞)恒成立， ∴ f(x)在(−12, +∞)上单调递减；−2+a 2a=−1a−12>−12，若−2<a <0，由f′(x)>0，得2ax +2+a >0， ∴ −12<x <−2+a 2a，再令f′(x)<0，得x >−2+a 2a，∴ f(x)在(−12, −2+a 2a)上单调递增，在(−2+a 2a, +∞)上单调递减．（3）证明：由（2）知，当a =−2时，f(x)在(−12, +∞)上单调递减， 当x ∈(0, +∞)时，由f(x)<f(0)=0， ∴ ln(1+2x)<2x ，∴ ln[(1+13)(1+19)...(1+13n )] =ln(1+13)+ln(1+19)+...+ln(1+13n )<13+132+⋯+13n =13(1−13n )1−13=12(1−13n )<12，∴ (1+13)(1+19) (1)13n)<√e ．。
2020届湖北省武汉市部分学校高三上学期起点质量监测数学（理）试题
2020届湖北省武汉市部分学校高三上学期起点质量监测数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|20A x x x =--<，则A =R（）A ．{}|12x x -<<B ．{|12}x x -C ．{}|12x x x <->或 D ．{}|12x x x -或【答案】D【解析】解一元二次不等式220x x --<即可得出结果【详解】 由220x x --<得12x -<<其在R 上的补集为{}|12x x x -或，故选D【点睛】本题考查集合的补集，是一道基础题。
2．设121iz i i+=--，则||z =（） A ．0 B ．1CD ．3【答案】B【解析】先将z 分母实数化，然后直接求其模。
【详解】11122=2=211121i i i iz i i i i i i i z +++=---=---+=（）（）（）（） 【点睛】本题考查复数的除法及模的运算，是一道基础题。
3．已知双曲线222:116x y E m-=的离心率为54，则双曲线E 的焦距为（）A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】D【解析】通过离心率和a 的值可以求出c ，进而 可以求出焦距。
【详解】有已知可得54c a =，又4a =，5c ∴=，∴焦距210c =，故选：D 。
【点睛】本题考查双曲线特征量的计算，是一道基础题。
4．已知α，β是两个不重合的平面，直线a α⊂，:p a β，:q αβ，则p 是q的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过面面平行的判定定理以及面面平行的性质，可以得到:p aβ不能推出:q αβ，:q αβ可以推出:p a β。
【详解】一个面上有两相交直线都和另一个面平行，则这两个面平行，所以:p aβ不能推出:q αβ。
两个平面平行，其中一个面上的任何一条直线都和另一个平面平行，所以:q αβ可以推出:p a β，所以p 是q 的必要不充分条件，故选：B 。
高三起点考试数学试卷
高三起点考试数学试卷一、选择题：本大题共有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．=+-i i i 1)1( i i A -B. . C 1 D -12．=+-→xx xx x 230limA 、0B 、21C 、1D 、 -1 3．“直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1各条棱长相等”是“直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体”的A 、充分但不必要条件B 、必要但不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4．设函数)(x f 的定义域为]1,1(-，则函数)2(2+x f 的定义域是A 、（2，3]B 、[2，3]C 、ΦD 、不存在函数)2(2+x f 5．点P 从（0，1）出发，沿单位圆122=+y x 逆时针方向运动6π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 A 、)23,21(-B 、)21,23(-C 、 )23,21(D 、)21,23( 6．b a ≥，可以推出 A 、b a 11≥ B 、22bc ac ≥ C 、22cb c a > D 、22)()(bc ac ≥ 7．函数)32cos(3π--=x y 的初相是A 、π67B 、π31-C 、π31D 、π658．如果函数)10()(<<=a a x f x ，那么)1()(1-=-x f x g 的图象是A B C D9.设椭圆12222=+n y m x ，双曲线12222=-ny m x ，抛物线)0()(22>>+=n m x n m y 其中的离心率分别为1e ，2e ，3e ，则A 、321e e e >B 、321e e e <C 、321e e e =D 、21e e 与3e 的大小关系不能确定 10．已知向量c b a ,,且0=++c b a ；|a|=3，|b|=4，|c|=5。
设b a 与的夹角为1θ，c b 与的夹角为2θ，c a 与的夹角为3θ，则的大小关系是A 、1θ<2θ<3θB 、1θ<3θ<2θC 、2θ<3θ<1θD 、3θ<2θ<1θ二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在横线上。
高三数学起点考试试题理试题
监利县2021届高三数学起点考试试题 理〔无答案〕本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
一、选择题(本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的)．1．全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，那么图中的阴影局部所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}2．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1}，f 是从A 到B 的映射，那么满足f (0)>f (1)的映射有 ( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．2个3．以下函数中，既是偶函数又在区间),0(+∞上单调递减的是 〔 〕A ．3x y =B ．x y ln =C ．)2sin(x y -=π D ．12--=x y 4．设x ，y ，z >0且x ＋3y ＋4z ＝6，那么x 2y 3z 的最大值为 ( )A ．1B ．2C ．3D ．45．以下命题中，真命题是 ( )A ．0,00≤∈∃x e R xB ．22,x R x x >∈∀C ．0=+b a 的充要条件是1-=ba D ．1,1>>b a 是1>ab 的充分条件 6．定义域为R 的函数f (x )满足f (4)＝－3，且对任意x ∈R 总有f ′(x )<3，那么不等式f (x )<3x －15的解集为 ( )A ．(－∞，4)B ．(－∞，－4)C ．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)7．对于满足40≤≤p 的所有实数p ，使不等式342-+>+p x px x 都成立的x 的取值范围 〔 〕A ．13-<>x x 或B ．13-≤≥x x 或C ．31<<-xD ．31≤≤-x8．“a ＝1〞是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增〞的 ( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件9．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)，曲线C 的极坐标方程是ρ＝2，直线l 与曲线C 交于A 、B ，那么|AB |＝ ( ) A ． 2 B ．2 2 C ．4 D ．4 210．函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x )．当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.假设直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图像在[0,2]内恰有两个不同的公一共点，那么实数a 的值是( )A ．0B ．0或者－12C ．－14或者－12D ．0或者－1411．函数1)(,)(+==x x g e x f x ，那么关于)(),(x g x f 的语句为假命题的是 〔 〕A ．)()(,x g x f R x >∈∀B ．)()(,,2121x g x f R x x <∈∃C ．)()(,000x g x f R x =∈∃D ．R x ∈∃0，使得)()()()(,00x g x f x g x f R x -≤-∈∀12．函数()()b ax x x x x f +++=22)(，假设对R x ∈∀，均有)2()(x f x f -=，那么)(x f 的最小值为 〔 〕A ．49- B ．1635- C ．2- D ．0 二、填空题(此题一共4小题，每一小题5分，一共20分，把答案填在答题卡中横线上)．13．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 x ＞0，－ex ＝0，x 2＋1 x ＜0，那么f {f [f (π)]}的值是__________．14．全集{}4321,,,a a a a U =，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足以下三个条件：①假设A a ∈1，那么A a ∈2；②假设A a ∉3，那么A a ∉2；③假设A a ∈3，那么A a ∉4．那么集合=A 〔用列举法表示〕．15．以下命题：①112-=x y 的值域是),0(+∞；②21x y -=的值域是[]1,0；③3++=x x y 的值域为[)+∞-,3；④21x x y -+=的值域为[]2,2-，其中错误命题的个数为 ． 16．设正数c b a ,,满足c b a c b a ++≤++642541，那么=++ac b a ．三、解答题(本大题一一共6小题，一共70分，解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤)．17．(本小题满分是10分)集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)假设A ∩B ＝[0,3]，务实数m 的值；(2)假设A ⊆∁R B ，务实数m 的取值范围．18．(本小题满分是12分)R m ∈，命题p ：对[]1,0∈∀x ，不等式m m x 3222-≥-恒成立；命题q ：[]1,1-∈∃x ，使得ax m ≤成立．〔1〕假设p 为真命题，务实数m 的取值范围；〔2〕当1=a 时，假设q p ∧为假，q p ∨为真，务实数m 的取值范围．19．(本小题满分是12分)函数f (x )＝lg(x ＋1)．(1)假设0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)假设g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，当x ∈[1,2]时，求函数y ＝g (x )的解析式．20．(本小题满分是12分)直线l ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 213235 (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA|·|MB|的值．21．(本小题满分是12分)函数f (x )＝|x －1|＋2a (a ∈R )．(1)解关于x 的不等式f (x )<3；(2)假设不等式f (x )≥ax ，∀x ∈R 恒成立，求a 的取值范围．22．(本小题满分是12分)函数32,1()ln ,1x x x f x a x x ⎧-+<=⎨⎩≥，其中0a >．〔Ⅰ〕求()f x 在(,1)-∞上的单调区间；〔Ⅱ〕求()f x 在[1,]e -〔e 为自然对数的底数〕上的最大值；〔III 〕对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点P 、Q ，使得POQ ∆是 以原点O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。
湖北省武汉市硚口区部分高中2025届高三起点考试数学试卷含解析
湖北省武汉市硚口区部分高中2025届高三起点考试数学试卷一、单选题1．若全集U =R ，集合{|03},{|14}A x x B x x =≤<=<<，则()U A B ⋂=ð（）A ．[)0,1B ．[]0,1C ．(),1-∞D ．(],1-∞【答案】B【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.【详解】由{|14}B x x =<<，得{|1U B x x =≤ð或4}x ≥，而03{|}A x x =≤<，所以[],1(0)U A B = ð.故选：B 2．复数34i2iz +=-（其中i 为虚数单位）的共轭复数z 在复平面内对应的点在（）A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．已知向量,a b ，满足()2,44a a b b =+⋅=，则2a b +=（）A ．B ．C ．20D ．54．若()4sin π,5αα-=为第二象限角，则sin2α=（）A ．725-B ．2425-C ．725D ．24255．已知双曲线22:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点为A ，若以点A 为圆心，以b 为半径的圆与C 的一条渐近线交于,M N 两点，且3OM ON =-，则C 的离心率为（）A BC ．62D 则tan b MOA a ∠=，故cos 设ON m =，则3OM = 则有2cos 2OA MOA OA +∠=⋅22cos OA ON NOA +∠=6．若曲线()ln 2y x a =+的一条切线为e 2y x b =-（e 为自然对数的底数），其中,a b 为正实数，则11e a b+的取值范围是（）A ．[)2,eB ．(]e,4C ．[)4,+∞D ．[)e,+∞7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A ．若{}n a 为等差数列，且98910,S S S S >>，则17180,0S S ><B ．若{}n a 为等差数列，且17180,0S S ><，则17180,0a a ><C ．若{}n a 为等比数列，且40a >，则20240S >D ．若{}n a 为等比数列，且50a >，则20230S >【答案】D8．已知奇函数()f x 的定义域为R ，对任意的x 满足()()2f x f x -=+，且()f x 在区间()1,0-上单调递增，若=log 43,=log π2,=14log 25122，则,,的大小关系为（）A ．()()()f c f a f b >>B ．()()()f c f b f a >>C ．()()()f a f b f c >>D ．()()()f a f c f b >>二、多选题9．下列论述正确的有（）A ．若,AB 两组成对数据的样本相关系数分别为0.97,0.99A B r r ==-，则A 组数据比B 组数据的相关性较强B ．数据49,21,32,29,38,65,30,50的第60百分位数为38C ．若随机变量()27,X N σ~，且(9)0.12P X >=，则(57)0.38P X <<=D ．若样本数据126,,,x x x 的方差为1，则数据21−1,22−1,⋯,26−1的方差为4【答案】BCD10．已知函数(){}min sin ,cos f x x x =，则（）A ．()f x 关于直线π4x =-对称B ．()f xC ．()f x 在ππ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调D ．在()0,2π，方程()f x m =（m 为常数）最多有4个解对A ：由图象可得()f x 不关于直线π4x =-对B ：由图象可得()f x 的最大值为22，故对C ：当ππ,x ⎛⎫∈- ⎪时，()sin ,x f x ⎧-⎪⎪=⎨11．已知圆222:()0O x y r r +=>，斜率为k 的直线l 经过圆O 内与O 点不重合且不在坐标轴上的一个定点P ，且与圆O 相交于A 、B 两点，下列选项中正确的是（）A ．若r 为定值，则存在k ，使得OP AB ⊥B ．若k 为定值，则存在r ，使得OP AB⊥C ．若r 为定值，则存在k ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为k D ．若k 为定值，则存在r ，使得圆O 上恰有三个点到l 的距离均为2r【答案】AC【分析】当P 为弦AB 中点时可判断AB 选项，利用平行线间的距离及极限思想判定C ，设直线OP 与l 的夹角为θ，求出满足条件时θ的取值范围即可判断D.当P为弦AB中点时，OP AB⊥，A正确，B错误；因为与l距离为非零定值的所有点的轨迹是与l若r为定值，当k趋向于0时，两条平行线与l无穷大时，两条平行线与l的距离趋向于无穷大，都与圆相离由于P点在圆内且与O点不重合，前面两个极限状态之间必然存在一条平行线与圆相交而另一条平行线与圆相切的情况，此时圆O上恰有三个点到正确；若k为定值，当圆O上恰有三个点到l的距离均为一条与圆相交．设原点O与l的距离为d，直线三、填空题12．设椭圆C：22221(0)x y a ba b+=>>的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，1230PF F︒∠=，则C的离心率为．13．已知正三棱锥-P ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为PA ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为．PF 为三棱锥P-ABC 的外接球的直径，且2312,2,a a AB AC BC ====由P ABC B PAC V V --=，得1••3h S ∆距离为33.14．ABC V 为锐角三角形，其三个内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,2b C B ==，则ABC V周长的取值范围为.四、解答题15．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，AD CD a ==，120BAD ∠=︒，90ACB ∠=︒.BC平面PAC；(1)求证：⊥(2)若PA，求二面角D PC A--的余弦值.16．第7届世界军人运动会于2019年10月18日至27日在湖北武汉举行，赛期10天，共设置射击、游泳、田径、篮球等27个大项，329个小项．共有来自100多个国家的近万名现役军人同台竞技．前期为迎接军运会顺利召开，武汉市很多单位和部门都开展了丰富多彩的宣传和教育活动，努力让大家更多的了解军运会的相关知识，并倡议大家做文明公民．武汉市体育局为了解广大民众对军运会知识的知晓情况，在全市开展了网上问卷调查，民众参与度极高，现从大批参与者中随机抽取200名幸运参与者，他们得分（满分100分）数据，统计结果如下：组别[)30,40[)40,50[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100频数5304050452010（1）若此次问卷调查得分整体服从正态分布，用样本来估计总体，设,μσ分别为这200人得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值作为代表），求,μσ的值（,μσ的值四舍五入取整数），并计算()5193P X <<；（2）在（1）的条件下，为感谢大家参与这次活动，市体育局还对参加问卷调查的幸运市民制定如下奖励方案：得分低于μ的可以获得1次抽奖机会，得分不低于μ的可获得2次抽奖机会，在一次抽奖中，抽中价值为15元的纪念品A 的概率为23，抽中价值为30元的纪念品B 的概率为13．现有市民张先生参加了此次问卷调查并成为幸运参与者，记Y 为他参加活动获得纪念品的总价值，求Y 的分布列和数学期望．（参考数据：()0.6827P X μδμδ-<≤+≈；(22)0.9545P X μδμδ-<≤+≈；(33)0.9973P X μδμδ-<≤+≈．）17．已知曲线C 上的点到点()1,0F -的距离比到直线3x =的距离小2,O 为坐标原点.直线l 过定点()0,1A .(1)直线l 与曲线C 仅有一个公共点，求直线l 的方程；(2)曲线C 与直线l 交于,M N 两点，试分别判断直线,OM ON 的斜率之和､斜率之积是否为定值？并说明理由.【答案】(1)1y =或0x =或1y x =-+(2)斜率之和为定值､斜率之积不是定值【分析】（1）由题意结合抛物线定义可得曲线C 的方程，结合抛物线的性质及直线与抛物线的位置关系计算即可得；（2）设出直线方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，即可表示出直线,OM ON 的斜率之和､斜率之积，并可借助韦达定理计算出其是否为定值.【详解】（1）曲线C 上的点到点()1,0F -的距离比到直线3x =的距离小2，故曲线C 上的点到点()1,0F -的距离与到直线1x =的距离相等，故曲线C 为以()1,0F -为焦点，直线1x =为准线的抛物线，即有2:4C y x =-，过点()0,1A 的直线l 与抛物线C 仅有一个公共点，若直线l 可能与抛物线C 的对称轴平行时，则有：1y =，若直线l 与抛物线C 相切时，易知：0x =是其中一条直线，18．已知函数()1ln f x x x a=-与函数()e axg x x =-，其中0a >.(1)求()f x 的单调区间；(2)若>0，求a 的取值范围；(3)若曲线=与x 轴有两个不同的交点，求证：曲线=与曲线=共有三个不同的交点.19．定义：在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“和扩充”，例如：数列1,2,3经过第一次“和扩充”后得到数列1,3,2,5,3；第二次“和扩充”后得到数列1,4,3,5,2,7,5,8,3.设数列,,a b c经过n次“和扩充”后得到的数列的项数为n P，所有项的和为n S.(1)若2,3,4a b c ===，求22,P S ；(2)若2024n P ≥，求正整数n 的最小值；(3)是否存在数列(),,,,a b c a b c ∈R ，使得数列{}n S 为等比数列？请说明理由.。
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武汉市第四十九中学——新高三起点考试数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知n 为等差数列 ,0,2,4--中的第8项，则二项式nxx )2(2+展开式中常数项是（ ）A ． 第7项B ．第8项C ．第9项D ．第10项 2．设),(~p n B ξ，3=ξE ，49=ξD ，则n 与p 的值为（ ）A ．41,12==p nB ．43,12==p n C ．41,24==p nD ．43,24==p n 3．下列电路图中，闭合开关A 是灯泡B 亮的必要不充分条件的是 （ ）4．下列函数在x ＝0处连续的是 （ ）A ．f （x ）＝⎩⎨⎧>-≤-.0,1,0,1x x x B ．f （x ） ＝lnxC ．f （x ）＝xx || D ．f （x ）＝⎪⎩⎪⎨⎧<=>-.0,1,0,0,0,1x x x5．已知函数ba b f a f x f x f x 11,4)()()(2)(111+=+=---则满足的反函数的最小值为（ ）A ．1B ．31 C ．21 D ．41 6．ABC ∆的三内角A ，B ，C 所对边长分别是c b a ,,，设向量),sin ,(C b a m += )sin sin ,3(A B c a n -+=，若n m //，则角B 的大小为 （ ）A ．6π B ．65π C ．3π D ．32π 7．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦点，而被该双曲线的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，则该双曲线的离心率等于 （ ）A ．5B ．25 C ．3 D ． 28．有两个同心圆，在外圆周上有相异6个点，内圆周上有相异3个点，由这9个点决定的直线至少有 （ ） A ．36条 B ．30条 C ．21条 D ．18条 9．记满足下列条件的函数f （x ）的集合为M:当|x 1|≤1,|x 2|≤1时, |f （x 1）－f （x 2）|≤4|x 1－x 2|．若有函数g （x ）＝x 2＋2x －1, 则g （x ）与M 的关系是（ ） A ．g （x ）⊂M B ．g （x ）∈M C ．g （x ）∉M D ．不能确定 10．已知函数12||4)(-+=x x f 的定义域是[]b a ,),(z b a ∈值域是[0，1]，则满足条件的整数数对),(b a 共有（ ）A ．2个B ．5个C ．6个D ．无数个二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置上） 11．已知某人投篮的命中率为34，则此人投篮4次，至少命中3次的概率是 。
12．已知随机变量)4,3(~N ξ，若ξ=2η+3，则D η=____________.13．已知,,R y x ∈且满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+756y x y x ，则22y x +的最大值是 .14．设10321221010++3+2+++++=+1a a a a ,x a x a x a a )x (nn n 则= .15． 行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离。
在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：n mx x y ++=2002(m ,n 是常数)，如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图. （I ）y 关于x 的函数表达式为：___________（II ）如果要求刹车距离不超过25.2米，则行驶的最大速度为：__________三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分）已知函数.sin 3cos ]sin )3sin(2[)(2x x x x x f -++=π（I ）若函数)(x f y =的图象关于直线)0(>=a a x 对称，求a 的最小值；（II ）若存在02)(],125,0[00=-∈x mf x 使π成立，求实数m 的取值范围. 17．（本小题满分12分）如图在直三棱柱ABC – A 1B 1C 1中，∠BAC = 90°，AB = AC = a ，AA 1 = 2a ，D 为BC 的中点，E 为CC 1上的点，且CE =41CC 1 （I ）求三棱锥B – AB 1D 的体积； （II ）求证：BE ⊥平面ADB 1；（Ⅲ）求二面角B —AB 1—D 的大小.18．（本小题满分12分）口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球。
求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望；19．（本小题满分12分）已知点A （－1，0），B （1，－1）和抛物线.x y C 4:2=，O 为坐标原点，过点A 的动直线l 交抛物线C 于M 、P ，直线MB 交抛物线C 于另一点Q ，如图. （I ）若△POM 的面积为25，求向量OM 与的夹角。
（II ）试证明直线PQ 恒过一个定点。
20．（本小题满分13分）设函数.)2()(2xe k kx x xf -+-= （I ）k 为何值时，f (x )在R 上是减函数；（II ）试确定实数k 的值，使)(x f 的极小值为0.21．（本小题满分14分）已知函数21)1()()(=-+∈x f x f R x x f 都有对任意 （1）求*))(1()1()21(N n nn f nf f ∈-+和的值； （2）数列{a n }满足*)(),1()1()2()1()0(N n f nn f n f n f f a n ∈+-++++= 数列{a n }是等差数列吗？请给予证明； （3）2212221,1632,144n n n n n b b b b T nS a b ++++=-=-= ，试比较T n 与S n 的大小.武汉市部分重点中学2008——2009学年度新高三起点考试数学答案（理科）一、选择题： CABAC BDCBB 二、填空题： 11．18925612．1 13.74 14．5120 15．（I ）)0(1002002≥+=x xx y （II ）70千米/时 三、解答题16．解：（I ）).32sin(22cos 32sin )(π+=+=x x x x f …………………………（4分）由题设，).(122,232Z k k a k a ∈+=+=+πππππ即 .12,0,0min π==>a k a 时则当 ………………………………………………（6分）（II ）当].1,21[)32sin(],67,3[32,]125,0[000-∈+∈+∈ππππx x x x 时].2,1[)(0-∈∴x f …………………………………………………………………（9分）由.12,221.2)(,02)(00≥-≤≤≤-∴==-m m mm x f x mf 或即得故m 的取值范围是).,1[]2,(+∞⋃--∞…………………………………………（12分）17.解：（Ⅰ）∵AB=AC=a ，∠BAC=90°，D 为BC 中点B 1B=C 1C=A 1A=2a ，2411a CC CE ==∴241)21(2121a AC AB S S ABC ABD =⋅==∆∆ ………………2分∵32161241313111a a a BB S V V ABD ABD B D AB B =⋅⋅=⋅⋅==∆-- …………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC ，D 是BC 的中点，得AD ⊥BC 从而AD ⊥平面B 1BCC 1又BE ⊂平面B 1BCC 1，所在AD ⊥BE …………6分 由已知∠BAC=90°，AB=AC=a ，得a BC 2=在Rt △BB 1D 中，4221tan 111===∠BB BCBB BD D BB 在Rt △CBE 中，4222tan ===∠aa BC CE CBE 于是∠BB 1D=∠CBE ，设EB ∩DB 1=G∠BB 1D+∠B 1BG=∠CBE+∠B 1BG=90°，则DB 1⊥BE ，又AD ∩DB 1=D 故BE ⊥平面ADB 1 ……………………8分 （Ⅲ）过点G 作GF ⊥AB 1于F ，连接BF由（Ⅰ）及三垂线定理可知∠BFG 是二面角B —AB 1—D 的平面角 …………10分 在Rt △ABB 1中，由BF ·AB 1=BB 1·AB ，得a BF 552= 在Rt △BDB 1中，由BB 1·BD=BG ·DB 1，得BG=a 32 所以在Rt △BFG 中，35sin ==∠BF BG BFG 故二面角B —AB —D 的大小为arcsin35………………12分 解法二：解法：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系A －xyz …………2分可知A （0，0，0），B （a ，0，0），C （0，a ，0），D （0,2,2aa ）， B 1（a ，0，2a ），E （0，a ，2a） …………4分 可得 ),0,2,2(),2,,(aa AD a a a BE =-=)2,2,2(1a aa DB = ………………6分于是得0,01=⋅=⋅DB BE AD BE ，可知BE ⊥AD ，BE ⊥DB 1又AD ∩DB 1=D ，故BE ⊥平面ADB 1 …………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB 1的法向量)2,,(a a a BE -=，平面ABB 1的法向量)0,,0(a AC =于是 32||||,cos =⋅>=<AC BE AC BE AC BE …………10分 故二面角B —AB 1—D 的大小为arccos32………………12分 18．解：记“甲摸球一次摸出红球”为事件A ，“乙摸球一次摸出红球”为事件B ，则 32)()(,31844)()(===+==B P A P B P A P ，且A 、B 相互独立.………………（2分）据题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，其中.271)31()()3(.27232)31()()2(.2710)32(3231)()()1(.2714)32(3132)()()0(3223==⋅⋅===⨯=⋅⋅===+⨯=⋅⋅+⋅===+⨯=⋅⋅+⋅==A A A P P A A A P P A B A P A A P P A B A P B A P P ξξξξ………………（8分）ξ 0 1 2 3 p14/2710/272/271/27………………（10分）)12(.2717271327222710127140分 ⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=∴ξE 19．解：（I ）设点P y y P y y M ),,4(),,4(222121、M 、A 三点共线，,4,14,4414,2121211222121211=∴+=+--=+=∴y y y y y y y y y y y y k k DM AM 即即……（2分）.544212221=+⋅=⋅∴y y y y OP OM ……………………………………………（4分）设∠POM =α，则.5cos ||||=⋅⋅α.5sin ||||,25=⋅⋅∴=∆αS ROM 由此可得tan α=1.…………………（6分）又.45,45),,0(︒︒=∴∈的夹角为与故向量OP OM απα……………………（7分）（II ）设点M y y Q ),,4(323、B 、Q 三点共线，,QM BQ k k =∴)8(.04,4))(1(,141,441431312331331233232131233分即即即=+++-=++∴+=-+--=+y y y y y y y y y y y y y y y y y y,0444,4,432322121=+++⋅∴==y y y y y y y y 即即.(*)04)(43232=+++y y y y ……………………………………（9分）)4(4,4442232232232232y x y y y y PQ y y y y y y k PQ-+=-∴+=--=的方程是直线 即.4)(,4))((323222322x y y y y y y x y y y y =-+-=+-即……………………（10分）由（*）式，,4)(43232++=-y y y y 代入上式，得).1(4))(4(32-=++x y y y由此可知直线PQ 过定点E （1，－4）.…………………………………………（12分）20.解：（Ⅰ）∵xe k kx x xf -⋅+-=)2()(2∴x xe k kx x e k x xf --⋅-⋅+-+-=')1()2()4()(2x e x kx -⋅-⋅--=)2()2(2 ………………2分 当k=4时，0)2()(≤⋅--='-xe x x f∴当k=4时，R x f 在)(上是减函数………………5分（Ⅱ）当k ≠4时，令2,20)(21kx x x f ==='，得………………6分 当k<4时，即2<k有令,02)2(2,0)2(2=+⋅-⋅=k k k k k f 得 ∴k=0 ………………9分②当k>4时，即k>2有0242 0)2(=+-⨯=k k f 得∴当k=0或k=8时，)(x f 有极小值0 ………………13分21．（1）解：f (x )对任意21)1()(=-+∈x f x f R x 都有 41)21(21)211()21(21=∴=-+=f f f x 时有………………2分令21)11()1(*)(1=-+∈=n f n f N n n x 时有21)1()1(=-+∴n n f n f ……………………………………4分（2）解：数列{a n }是等差数列f (x )对任意x ∈R 都有,21)1()(=-+x f x f 则令21)()(=-+=n k n f n k f n k x 时有……………………………………6分*)(414141)1(*)(41*)(212)]0()1([)]1()1([)]1()1([)]1()0([2)0()1()2()1()1()1()1()2()1()0(1N n n n a a N n n a N n n a f f nf n n f n n f n f f f a f nf n n f n n f f a f n n f n f n f f a n n n n n n n ∈=+-++=-∴∈+=∴∈+=∴+++-++-+++=∴+++-+-+=∴+-++++=+ ∴{a n }是等差数列. ………………10分（3）解：由（2）有*)(4144N n na b n n ∈=-=nnn S nn n n n n nn b b b b T =-=-=--++-+-+=-++⨯+⨯+≤++++=++++=++++=1632)12(1611131212111(16))1(13212111(16)1312111(1643424142222222222222212221∴T n ≤S n …………………………………………………………………………14分 该题也可用数学归纳法做。