第六章梁的弯曲内力

Y 0 V RB F 0 V F RB RA
RB MC 0 M RB x F l x 0 M RB x F l x RA x
求弯曲内力（剪力和弯矩）的基本方法——截面法 设有一简支梁AB，受集中力F作用。现分析距A
端为x处的横截面m-m上的内力。
a mF b
例2 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面） 上的内力。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FA
a
4a
a
FB
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
FB 3qa FA qa
2、求C截面（跨中截面）上的内力
M1 2qa2 q
由Y 0, 得到：
A
FA
a
Mc
C Vc
FA q 2a Vc 0
单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算
一、平面弯曲的概念
梁的截面形式: 工程中常见的梁，其横截面均有对称轴，例如：
对称轴
对称轴
二、 梁的荷载及计算简图
研究对象：等截面直梁，且外力作用在梁对称面 内的平面力系。
1.梁的计算简图：梁轴线代替梁，将荷载和支座加 到轴线上。
2.梁的支座简化(平面力系)：
a)滑动铰支座
F左
V
+
V
顺转剪力为正
F右
F左
V
-
V
逆转剪力为负
F右
五、剪力和弯矩的正负号规定
②弯矩—绕截面转动的内力偶，使梁段产生上凹下凸 弯曲变形的弯矩为正，反之为负(梁上压下拉的弯矩为 正)。
M
F左
F左
MM +
下凸弯矩为正
M
F右
F右
M
M-M
M
上凸弯矩为负
弯矩： 梁上压下拉弯矩为正
压
拉
上凹下凸弯曲变形弯矩为正
解： 1、根据平衡条件求支座反力
Fb
Fa
A
B
RA l , RB l
xm L
RA
m
A
oM
xV
RA
m
2、截取m-m截面左段。
RB 剪力 V ——使截面不产生移动
弯矩M ——使截面不产生转动
由Y 0 RA V 0
得
Fb
V RA l
a mF b
Fb 由Y 0, 得： V RA l
A
B
由MO 0 M RA x 0
b)固定铰支座
c)固定端
R
Rx
Ry
M Rx
Ry
二、 梁的荷载及计算简图
3.静定梁—仅用静力平衡方程即可求得反力的梁
(a)悬臂梁
(b)简支梁
(c)外伸梁
4.作用在梁上的荷载可分为:
(a)集中荷载
F1
集中力
q(x)
(b)分布荷载
任意分布荷载
M
集中力偶
q
均布荷载
三、平面弯曲工程实例
三、平面弯曲工程实例
Vc FA q 2a qa
（剪力VC 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由MC 0, 得到：
MC FA 2a 2qa a M1 0
MC FA 2a 2qa a M1 2qa2
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
如以右侧梁作为研究对象，则：
Vc q 2a FB
RA
RB
2.梁 以弯曲变形为主的杆件称为梁。
①轴线是直线的称为直梁，轴线是曲线的称为曲梁。
②有对称平面的梁称为对称梁，没有对称平面的梁称为 非对称梁
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单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算
一、平面弯曲的概念
3.平面弯曲（对称弯曲）：若梁上所有外力 都作用在纵向对称面内，梁变形后轴线形成的曲 线也在该平面内的弯曲。
FA 15kN
Y 0
FA FB F q 3 0
FB 29kN
(也可由 M A 0求FB或校核FB的正误)
V1 FA F 7kN
V2 q 1.5 FB 11kN
M1 FA 2 F (2 1.5) 26kN m
1.5 M2 FB 1.5 q 1.5 2 30kN m
取右段梁为研究对象:
Vc q 2a FB qa
V Y(一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 在垂直于轴线方向投影的代数和.
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FA
a
4a
a
FB
取左段梁为研究对象:
MC FA 2a 2qa a M1
例1求下图所示简支梁11与22截面的剪力和弯矩。
F=8kN
q=12kN/m
A 2m
FA 1.5m
1 1 1.5m
F=8kN
M1
FA
V1
2
2
1.5m
3m
q=12kN/m
M2 V2
B 解： 1、求支反力
2、计算1-1
FB
截面的内力
3、计算2-2 截面的内力
FB
3 MB 0 FA 6 F 4.5 q 3 2 0
A
P
栏杆
a
A
B
阳台梁
M e Pa
q P
B
三、平面弯曲工程实例
吊车横梁
三、平面弯曲工程实例
单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算
四、截面法求内力
a
F
A
x
RA
l
CM
RA
x
V
F
MC
弯曲内力
V
剪力V 弯矩M
截开、代替、平衡
Y 0 RA V 0
B
V RA
RB
MC 0 M RA x 0
M RA x
qa
q Mc
C Vc
MC FB 2a 2qa a M2
2qa2
M2 2qa2
B
a
FB
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
六、计算剪力和弯矩的简便方法
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:
Vc FA q 2a qa
q F
纵向对称面
FA
变形后的梁轴线
梁轴线
FB
4.非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁 有纵向对称面上但外力并不作用在纵向对称面内的 弯曲。
一、平面弯曲的概念
单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算
一、平面弯曲的概念
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
纵向对称面——通过梁轴线和截面对称轴的平面。 平面弯曲——梁的挠曲线与载荷作用面共面。
任务六 受弯构件的内力与应力计算
单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算 单元二 受弯构件剪力图和弯矩图的绘制 单元三 受弯构件的应力与强度计算
单元一 受弯构件的剪力与弯矩计算
一、平面弯曲的概念
1.弯曲 当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵
向平面内受到力偶作用时，杆轴由直线弯成曲线的
变形。
q F
纵向对称面
xm L
RA
m
RB
得
M
RA
x
Fb l
x
如截取m-m截面右段梁:
A
oM
RA
xV
mF
m
b
由作用力与反作用力，得
V Fb , M Fb x
l
l
3、根据变形规定内力符号：
M
Vm
l-x
内力正负号规则：
B 同一位置处左、右侧截面上内
RB 力分量必须具有相同的正负号。
五、剪力和弯矩的正负号规定
①剪力—平行于横截面的内力.使梁段有顺时针转动 趋势的剪力为正；反之，为负。