中考数学圆的综合的综合题试题

一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．（1）如图1，在矩形ABCD 中，点O 在边AB 上，∠AOC =∠BOD ，求证：AO =OB ； （2）如图2，AB 是⊙O 的直径，PA 与⊙O 相切于点A ，OP 与⊙O 相交于点C ，连接CB ，∠OPA =40°，求∠ABC 的度数．

【答案】（1）证明见解析；（2）25°.

【解析】

试题分析： （1）根据等量代换可求得∠AOD=∠BOC ，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知∠A=∠B=90°，AD=BC ，根据三角形全等的判定AAS 证得△AOD ≌△BOC ，从而得证结论．

（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角∠POA 的度数，然后利用圆周角定理来求∠ABC 的度数．

试题解析：（1）∵∠AOC=∠BOD

∴∠AOC -∠COD=∠BOD-∠COD

即∠AOD=∠BOC

∵四边形ABCD 是矩形

∴∠A=∠B=90°，AD=BC

∴AOD BOC ∆≅∆

∴AO=OB

（2）解：∵AB 是O 的直径，PA 与O 相切于点A ， ∴PA ⊥AB ，

∴∠A=90°.

又∵∠OPA=40°，

∴∠AOP=50°，

∵OB=OC ，

∴∠B=∠OCB.

又∵∠AOP=∠B+∠OCB ， ∴1252

B OCB AOP ∠=∠=∠=︒. 2．如图，AB 是半圆O 的直径，

C 是

的中点，D 是的中点，AC 与BD 相交于点E .

（1）求证：BD平分∠ABC；（2）求证：BE=2AD；

（3）求DE

BE

的值.

【答案】（1）答案见解析（2）BE=AF=2AD（3）21 -

【解析】

试题分析：（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得

BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：设OH为1，则BC为2，OB=OD=2，

DH=21

-, 然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC

（2）提示：延长BC与AD相交于点F,

证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，2，

21, DE

BE

=

DH

BC

DE BE 21 -

3．如图1，在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=6cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD﹣DE运动，到点E停止，点P在AD上以5cm/s的速度运动，在DE上以1cm/s的速度运动，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN．设点P的运动时间为t（s）．

（1）当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为_____cm．（用含t的代数式表示）（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．

（3）如图2，若点O在线段BC上，且CO=1，以点O为圆心，1cm长为半径作圆，当点P 开始运动时，⊙O的半径以0.2cm/s的速度开始不断增大，当⊙O与正方形PQMN的边所在直线相切时，求此时的t值．

【答案】（1）t﹣1；（2）S=﹣3

8

t2+3t+3（1＜t＜4）；（3）t=

10

3

s．

【解析】

分析：（1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1c m/s，即可求出DP；

（2）由正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形，可知点P在DE上，求出DP=t﹣1，PQ=3，根据MN∥BC，求出FN的长，从而得到FM的长，再根据S=S梯形FMHD+S矩形DHQP，列出S与t的函数关系式即可；

（3）当圆与边PQ相切时，可求得r=PE=5﹣t，然后由r以0.2c m/s的速度不断增大，

r=1+0.2t，然后列方程求解即可；当圆与MN相切时，r=CM=8﹣t=1+0.2t，从而可求得t的值．

详解：（1）由勾股定理可知：AB22

AC BC

．

∵D、E分别为AB和BC的中点，

∴DE=1

2AC=4，AD=

1

2

AB=5，

∴点P在AD上的运动时间=5

5

=1s，当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t﹣1）s．

∵DE段运动速度为1c m/s，∴DP=（t﹣1）cm．

故答案为t﹣1．

（2）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有一种情况，如下图所示．

当正方形的边长大于DP 时，重叠部分为五边形，

∴3＞t ﹣1，t ＜4，DP ＞0，∴t ﹣1＞0，

解得：t ＞1，∴1＜t ＜4．

∵△DFN ∽△ABC ，∴DN FN =AC BC =86=43

． ∵DN =PN ﹣PD ，∴DN =3﹣（t ﹣1）=4﹣t ， ∴4t FN -=43，∴FN =344

t -（）， ∴FM =3﹣

344t -（）=34t ， S =S 梯形FMHD +S 矩形DHQP ， ∴S =

12×（34t +3）×（4﹣t ）+3（t ﹣1）=﹣38

t 2+3t +3（1＜t ＜4）． （3）①当圆与边PQ 相切时，如图：

当圆与PQ 相切时，r =PE ，由（1）可知，PD =（t ﹣1）cm ，

∴PE =DE ﹣DP =4﹣（t ﹣1）=（5﹣t ）cm ．

∵r 以0.2c m/s 的速度不断增大，∴r =1+0.2t ，

∴1+0.2t =5﹣t ，解得：t =103

s ． ②当圆与MN 相切时，r =CM ．